TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC BÀI TIỂU LUẬN ĐỀ TÀI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG HỌC VIÊN: LỚP: CAO HỌC TỐN GIẢI TÍCH K13 GVHD: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thanh hóa, tháng 08 năm 2021 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Lý thuyết Phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu Giải tích tốn học Trong Phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình nhất, quan trọng có nhiều ứng dụng để giải tốn Phương trình hàm sau này, ứng dụng giải toán nhiều lĩnh vực khác ứng dụng thực tế Với lý trên, thời gian kiến thức có hạn, thân lựa chọn đề tài: “Nghiệm Phương trình hàm Cauchy cộng tính số tập áp dụng” 1.2 Đối tượng nghiên cứu đề tài: Đối tượng nghiên cứu đề tài nội dung Nghiệm Phương trình hàm Cauchy cộng tính ứng dụng giải số toán cụ thể 1.3 Phạm vi nghiên cứu đề tài: + Phương trình hàm Cauchy cộng tính cách giải + Sử dụng nghiệm Phương trình Cauchy cộng tính giải số tốn cụ thể 1.4 Phương pháp nghiên cứu đề tài: + Phương pháp nghiên cứu tài liệu + Phương pháp tổng hợp, thống kê NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 2.1 Lý thuyết nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính Bài tốn Tìm tất hàm số f x liên tục � thỏa mãn: f x y f x f y (1) Lời giải f f 0 f 0 � f 0 + Với x , y vào ta được: f x f x f 0 Với y x vào (1) ta được: � f x f x với x �� * f x f x với x �� Với y x vào (1) ta được: + Chứng minh - Với f nx nf x ,n ��,x �� 2 n � 0,1,2 , theo - Giả sử 2 f kx kf x với k ��,k , tức - Với n k 1, ta có: f k 1 x f kx x f kx f x kf x f x k 1 f x Theo nguyên lý quy nạp, ta có + Kết hợp * , ta f nx nf x ,n ��,x �� f mx mf x với m ��,x �� � x� f x f � � f � 2� + Từ ta có: �x � � � f �2 � �x � � f � n � n f x �2 � �m f �n ,4 Từ ta �2 �x � n � � f �2 � 3 �x � �n � �2 � 4 � m x � n f x * � với m ��,n �� �m � m f � n � n f 1 Với x �2 � 5 f x Do tính trù mật � � tính liên tục hàm số nên từ ta f x ax với a f x ,x �� + Thử lại ta thấy hàm f x ax thỏa mãn 1 Vậy Hàm số cần tìm (Hay nghiệm phương trình hàm Cauchy) f x ax với a �� tùy ý Nhận xét: Qua lời giải toán trên, ta nhận thấy rằng: Khi hàm số f x f x y f x f y với x, y �� liên tục � thỏa mãn điều kiện f x có dạng f x ax , a tùy ý thuộc � Đây ứng dụng hàm số toán để giải toán cụ thể 2.2 Ứng dụng nghiệm phương trình Cauchy cộng tính vào giải số toán cụ thể Bài toán Xác định hàm số f x liên tục � thỏa mãn điều kiện f x y f x f y , x, y �� 6 Nhận xét: Để áp dụng nghiệm tốn Cauchy cộng tính vào giải toán trên, từ hàm kiện f x ta cần xây dựng hàm g x liên tục � thỏa mãn điều g x y g x g y , ta có nghiệm g x ax từ tìm hàm f x Lời giải + Nhận thấy f x �0 nghiệm + Xét trường hợp f x �0 , tồn x0 �� cho f x0 �0 Theo 6 ta có: f x0 f x x0 x f x f x0 x �0 , x �� � �x x � � �x � f x f � � �f � � � ,x �� f x � , x �� 2 � � � � � � g x ln f x � f x e g x Đặt Khi hàm g x liên tục � g x y ln f x y ln � �f x f y � � ln f x ln f y g x g y , x, y �� � g x bx với b ��, b tùy ý � f x ebx a x với a tùy ý Vậy f x �0 f x a x a Bài toán Xác định hàm số f x liên tục �\ 0 thỏa mãn điều kiện: f xy f x f y , x, y ��\ 0 7 Lời giải + Xét x, y �� u v u v u v � f e f e f e Đặt x e , y e , từ Đặt g t f et 8 , từ ta g u v g u g v , u,v �� � f et bt g t bt 8 9 � f x aln x , x �� ,a �� tùy ý + Xét x, y �� � x �� f x2 f x y x Với , từ kết trên, ta � f x 1 f x bln x bln x 2 , x �� , b �� tùy ý Thử lại, ta thấy hàm f x bln x với b �� tùy ý , thỏa mãn điều kiện toán đặt Vậy f x bln x , x ��\ 0 ,b �� tùy ý Bài tốn Tìm hàm số f x liên tục � thỏa mãn điều kiện: �x y � f x f y f� � �2 � 10 Lời giải �x � f � � f x f ,x �� 10 + Với y , vào �2 � � Khi đó, từ 10 �x � f x f � � f �2 � suy �x y � �x � f � � f x f y f � � �2 � �2 � �y � f � � f �2 � 11 Đặt g t f t f , phương trình 11 trở thành g x y g x g y Theo nghiệm phương trình 12 có nghiệm g t at f t g t f at f Hay 1 12 f x ax b , với a ��,b f Vậy phương trình có nghiệm Bài tốn Tìm hàm số f x ax b , với a ��,b f f x liên tục � thỏa mãn điều kiện: f x 1 f x 13 Nhận xét: Nếu ta gán y �1, f y f 1 �3 từ 13 ta f x y f x f y Từ phương trình Với 1 � f t at f 1 3 � a 3 Hay phương trình Do đó, ta đặt 13 f t 3t có nghiệm f x 3 x f x 3 x g x Lời giải Đặt f x 3x g x với g x hàm số liên tục � Khi đó, từ 13 ta có: 3 x 1 g x 1 3x g x � g x 1 g x g x hàm tuần hoàn với chu kỳ T Vậy f x 3 x g x với g x hàm tuần hoàn với chu kỳ T Bài tốn Tìm hàm số f x liên tục � thỏa mãn điều kiện: f 1 2016 f x y 2016 x f y 2016 y f x ,x, y �� 14 Lời giải Theo giả thiết, từ 11 , chia vế cho 2016 x y , ta được: f x y f y f x 2016 x y 2016 y 2016 x g t Đặt Từ 15 f t t 2016t f t 2016 g t ta g x y f x f y Theo phương trình Hay Với 15 1 g t at � f t 2016t at f x 2016 x ax , a �� f 1 2016 � 2016.a 2016 � a f x 2016 x x x f x 2016 x Vậy hàm số cần tìm Bài tốn Tìm hàm số f x liên tục � thỏa mãn điều kiện: f x y f y z f z x 0,x, y,z �� 16 Lời giải 16 Cho x t, y 0,z t , phương trình trở thành: f t f t f 2t � f 2t � �f t � � ,t �� � f t ,t �� Đặt g t ln f t ,t ��� f t 2e g t g t 2 liên tục � 16 Khi đó, từ 2e 2e 2e ta g x y g yz g zx � e g x y g y z g z x � g x y g y z g z x , x, y,z �� 17 17 g 0 Với x y z , vào 17 Với y z 0,x ��, vào ta được: g x g g x � g x g x ,x �� Khi đó, từ 17 ta có: g x y g y z g z x g x z � g x y g y z g x y y z 18 u x y � � v y z , Phương trình 18 trở thành: g u g v g u v Đặt � Khi phương trình 19 có nghiệm 19 g t at,a �� f t 2e at 2 ea ,a �� t Hay f x 2c x với c ��,c x f x c Vậy Hàm số cần tìm với c ��,c Bài tốn Tìm hàm số f ,g xác định liên tục � thỏa mãn điều kiện: f x y g x g y , x, y �� 20 Lời giải 20 f x g x g g x a với a g Thế y vào ta � g x f x a,x �� Thay vào 20 ta được: f x y f x a f y a f x f y 2a � f x y 2a f x a f y 2a Đặt 21 F x f x 2a � f x F x a Khi phương trình 21 Áp dụng phương trình 1 trở thành F x y F x F y phương trình 22 có nghiệm 22 F t mt,m �� � f t mt 2a hay f x mx 2a g x mt a 20 Thử lại ta thấy f ,g thỏa mãn phương trình Vậy f x mx 2a g x mx a với m �� tùy ý Các toán tự luyện Bài tốn Tìm tất hàm số thỏa mãn điều kiện: Bài toán Cho mãn điều kiện: f x ,g x ,h x xác định liên tục � f x y g x h y , x, y �� a,b ��\ 0 , tìm tất hàm số f x liên tục � thỏa f ax by af x bf y ,x, y �� Bài tốn 10 Chứng minh khơng tồn hàm f : �� � thỏa mãn: f x f y f x y,x, y �� KẾT LUẬN + Đề tài nêu nội dung, cách giải nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính + Đề tài giới thiệu số tập có ứng dụng nghiệm Phương trình hàm Cauchy cộng tính để giải tìm nghiệm, số tập liên quan đến số dạng toán + Qua số ví dụ cụ thể trên, ta thấy quan trọng tốn nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính ứng dụng rộng rãi + Do thời gian có hạn (2 ngày) nên nội dung đề tài giới thiệu số tập, chưa thể hết ứng dụng tốn Cauchy cộng tính + Thời gian hoàn thành ngắn nên tác giả mang tính chất thống kê, xếp lại số tập bản, điển hình + Trân trọng cảm ơn thầy GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu cung cấp, trang bị kiến thức giúp tơi hồn thành tiểu luận TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Các chuyên đề Lý thuyết Phương trình hàm, tác giả: Nguyễn Văn Mậu [2] Phương trình hàm, tác giả: Nguyễn Văn Mậu – Nhà xuất GD năm 1997 [3] Phương trình hàm, tác giả: Nguyễn Tài Chung - Nguyễn Hồnh Phò – NXB ĐHQGHN năm 2006 10 ... x vào (1) ta được: + Chứng minh - Với f nx nf x ,n ��,x �� 2 n � 0,1,2 , theo - Giả sử 2 f kx kf x với k ��,k , tức - Với n k 1, ta có: f k 1... tác giả: Nguyễn Văn Mậu – Nhà xuất GD năm 1997 [3] Phương trình hàm, tác giả: Nguyễn Tài Chung - Nguyễn Hồnh Phị – NXB ĐHQGHN năm 2006 10