Mục Lục Trang Lời nói đầu Chủ đề 1. Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan Chủ đề 2. Tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức Chủ đề 3. Các dạng toán số học Chủ đề 4. Các dạng toán về phương trình Chủ đề 5. Các dạng toán về hệ phương trình Chủ đề 6. Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị Chủ đề 7. Đa thức Chủ đề 8. Hàm số Chủ đề 9. Hình Học Chủ đề 10. Tổ hợp Chủ đề 11. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 1: Rút gọn biểu thức toán liên quan A Bài toán a � a 1 � a Bài 1: Rút gọn biểu thức B � với a ; a �4 �: a �a a �a a Bài 2: Cho biểu thức M x y yy x x xy 1) Tìm điều kiện xác định rút gọn M 2) Tính giá trị M, biết x y 2 a 16 a 4 a 4 1) Tìm điều kiện a để biểu thức C có nghĩa rút gọn C 2) Tìm giá trị biểu thức C a Bài 3: Cho biểu thức: C a � a 1 � a Bài 4: Cho biểu thức: M � �: a �a a �a a 1) Rút gọn biểu thức M 2) Tìm tất giá trị a để M ≤ Bài 5: Cho biểu thức A a 0; a �4 a2 a 2a a với a a a 1 a 1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị a để A = 3) Tìm giá trị nhỏ A Bài 6: Rút gọn biểu thức: A x x x x 1 x x �x x x x �� � : Bài 7: Cho biểu thức A � � � � � x x 8 x 1 � x 2 x 1� � �� 1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị x để A > Bài 8: Rút gọn biểu thức: A 10 x x 3 x 1 x3 x 4 x 1 x x �0; x �1 � x 3 x 2 x �� x � 1� Bài 9: Cho biểu thức: A � � x 3 x x 5 x � �: � � ��x x � 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm x để P A đạt giá trị lớn x Bài 10: Cho biểu thức: P x 16 x x 1 x 3 Với x x2 x 3 x 3 x 1 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị biểu thức x 2 Bài 11: 1) Tính giá trị biểu thức A 26 15 26 15 � a �� a a �� a 1 � : 2) Rút gọn biểu thức P � � � �� � � ��3 a 11 a ��a a a2 � � �� �� � x (1 x )3 (1 x )3 Bài 12: Cho A = 1 x2 1) Rút gọn A 2) Tìm x biết A Bài 13: Tính giá trị biểu thức: M ( x y )3 3( x y )( xy 1) , biết: x 3 2 3 2 , y 17 12 17 12 � Bài 14: Cho biểu thức A � �x x 1) Rút gọn A 2) Tìm x để A Bài 15: 1) Rút gọn biểu thức P � �: x 1�x x 1 x2 x x x x 1 với x , x �1 x x 1 x x 1 2) Cho x Tính giá trị biểu thức A x x 100 x x 2016 50 Bài 16: 1) Rút gọn biểu thức: P x x 1 x x 1 , với x �2 x x 1 x 2x 1 2) Cho x số thực dương thỏa mãn điều kiện x Tính giá trị biểu thức x A x5 1 B x7 ; x x Bài 17: Rút gọn biểu thức P Bài 18: Tính A 2017 x 3 x x Tìm x cho P 2018 x3 x 2 11 11 18 11 �x2 x � x 1 Bài 19: Cho biểu thức A � �x x x x x � �: x với x ; x �1 � � 1) Rút gọn A 2) Chứng minh A 1 1 2017 Bài 20: Cho A = + + + + 2018 So sánh A với 2018 � x 1 �� xy x 1�� : 1 Bài 21: Cho biểu thức P � xy 1 xy � �� xy �1 1) Rút gọn P xy x x 1 � �với x; y �0 xy xy � 2) Tính giá trị biểu thức P x y x Bài 22: � ��x 3 � � 1�, với x � 3; x �0 1) Rút gọn biểu thức A � �� x x x x 27 � �� � 2) Tính tổng B 1 1 1 2 2 2018 20192 � � a b �� a 2b3 a P � a �với a �0 ; � Bài 23: Rút gọn biểu thức: � � � a 2ab 2b �� � a 2b � 2b 2ab � b ; a �2b Bài 24: Cho biểu thức: A 13 48 Chứng minh A số nguyên 6 11 Bài 25: Rút gọn biểu thức: A Bài 26: Cho biểu thức A 10 với x �0 x 1 x x 1 x x 1 1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị lớn A Bài 27: Khơng dùng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức B 10 10 � x x x �� x x 5 � : Bài 28: Rút gọn biểu thức P � �� �với x ; x �4 x x �� x x x � � x 2 Bài 29: 1) Trục thức mẫu biểu thức sau 43 22 2) Tìm điều kiện để biểu thức A x 16 x x2 x 3 Bài 30: Rút gọn biểu thức: P Bài 31: Cho biểu thức B x x 1 x2 có nghĩa rút gọn A x 2 x 1 x x x x 2 x 1 2 x 3 12x2 x trị nguyên x để B có giá trị nguyên x 2 8x Rút gọn biểu thức B tìm giá 5 2x x 1 x 1 x 1 a) Tìm điều kiện x để P xác định rút gọn P b) Tìm giá trị x để P có giá trị Bài 32: Cho biểu thức P x x x � x 1 �� xy x � xy x 1�� : 1 x � Bài 33: Cho biểu thức P � � xy 1 xy �� xy xy � � �� � a) Rút gọn biểu thức P 1 b) Cho x y Tìm giá trị lớn P � x �� x x 2 x 2 � : �� � Bài 34: Cho biểu thức A � � � x �� � �� x x x x � a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x c) Tìm m để có giá trị x thoả mãn A Bài 35: Cho biểu thức: P x m x 1 x x2 x x x x ( x 1)( x x ) a) Rút gọn P b) Tính P x 2 c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Bài 36: Cho biểu thức: A x x x4 x 4 x x x4 x 4 với x �0, x �1, x �4 23 x x x 23 x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x Bài 37: Rút gọn biểu thức A = (2 3) 1 3 2 3 Bài 38: Cho số dương: a; b x = 3 2 3 2ab Xét biểu thức P = b2 a x a x a x a x 3b a) Chứng minh P xác định Rút gọn P b) Khi a b thay đổi, tìm giá trị nhỏ P x x 4x x Bài 39: Cho biểu thức: A x x 14 x 28 x 16 a) Tìm x để A có nghĩa, từ rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên � x y x y � x2 y y , ( x 0; y 0, x �y ) Bài 40: Cho biểu thức � �x y y x x y y x � �x y x y � � a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A biết x,y nghiệm phương trình t2 – 4t + = Bài 41: Cho biểu thức M = a a 2a - 3b 3b a - 3b - 2a a a 3ab a) Tìm điều kiện a b để M xác định rút gọn M 11 b) Tính giá trị M a = , b = 10 �x y x y �� x y 2xy � : 1 � � �1 xy �� xy xy � � � � Bài 42: Cho biểu thức: P � a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P với x Bài 43: a)Rút gọn biểu thức A 2 1 1 x2 (1 x)3 (1 x)3 x2 với 1 �x �1 b) Cho a b số thỏa mãn a > b > a a 2b ab 6b3 Tính giá trị biểu thức B a 4b4 b 4a � x 1 �� xy x � xy x 1�� : 1 x � Bài 44: Cho biểu thức A � � xy 1 xy �� xy xy � � �� � Rút gọn biểu thức A 6 Cho Tìm giá trị lớn A x y Bài 45: Cho biểu thức: � a 1 � a 1 � � P� a a � � � � a 1 � a a � � � � a) Rút gọn P b) Tính giá trị P a �x Bài 46: Cho biểu thức: P � �x x 1 2 x � x 1 Với x �0, x �1 �: x x 1 1 x � a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P c) So sánh: P2 2P Bài 47:Rút gọn biểu thức: P x 9 x 1 x 3 với x �0; x �4; x �9 x 5 x x 3 x �2 x x x �2 x : Bài 48:Rút gọn biểu thức: A � �1 x x x � � � � x 1 Bài 49:Rút gọn biểu thức B = 13 + 30 + + 3 Bài 50:Rút gọn biểu thức: A = 3 3 3 x2 x x2 x x x 1 x x 1 a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – Tìm giá trị nhỏ biểu thức B � x4 2x x 1 � x � � x x 2 Bài 52:Cho biểu thức P � với x x � � � � �2 x x � 4x 1 � x� � � Bài 51: Cho A Rút gọn biểu thức P tìm x để P � Bài 53: Rút gọn biểu thức A Bài 54: Cho P = x x 2x x x x x với x ≥ x 2 + x x 2x x x x x x x x 2 Rút gọn P Với giá trị x P > Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn x x x 8 ( x : Bài 55: Cho biểu thức A = x x Với x không âm,khác a,Rút gọn A b,Chứng minh A < với x không âm,khác c,Tìm x để A số nguyên x x 26 x 19 x Bài 56: Cho biểu thức: P x2 x 3 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ �3 x 16 x �x x Bài 57: Cho biểu thức: A � a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A 6 2) x x 2 x 1 x 3 x 3 x 3 x �� 2 �� x �� x � � x 1� �x x x x ��3 x x 10 � : Bài 58: Cho biểu thức M � �� � � x x 8 � x �� � �� x x x � Rút gọn M tìm x để M>1 Bài 59: Cho biểu thức: A x �0, x �1, x �4 x x x4 x 4 x x x4 x 4 với 23 x x x 23 x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x (2 3) 1 Bài 60: Cho biểu thức: a a a a 1 a 2 a p ( a )( ) a a a a a a1 a 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh với giái trị a (thỏa điều kiện thích hợp) ta có P>6 x x 3 x 2 x 2 ):( ) Bài 61: a) Cho M (1 x 1 x 3 x x x 6 Rút gọn M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên Bài 62: Rút gọn biểu thức: A 3 2 3 3 2 3 Bài 63: Cho biểu thức: A 13 48 Chứng minh A số nguyên 6 Bài 64: Rút gọn biểu thức: A Bài 65: Tính A 11 2 10 2 2 3 � � � � � � 1 1 � � � 1 Bài 66: Cho S � � � � � � Tính S (kết để dạng phân số tối � 2.3 � � 3.4 � � 2020.2021 � giản) Bài 67: Cho hàm số f (x) (x 12x 31) 2010 Tính f (a) a 16 16 Bài 68: Tính giá trị biểu thức A 15 Bài 69: Cho biểu thức: P = 10 2m 16m m2 m 3 15 m2 m 1 2 m3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị tự nhiên m để P số tự nhiên Bài 70: Cho biểu thức P x2 x x 1 2x x , với x 0, x �1 Rút gọn x x 1 x x x x x2 x P tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên ��2 x x x x x x � � 1 Bài 71: Cho biểu thức P � với x 0, x �1, x � � �: � � � 1 x x �� x 1 x x � � 3 3 Tính giá trị P x 10 Bài 72 Rút gọn biểu thức: A 3 2 3 3 2 3 Bài 73: Rút gọn biểu thức: P x x 1 x x 1 x 2x 1 x 2x 1 , với x �2 a a : , với a ≥ Bài 74: Rút gon biểu thức : A = 1 a 1 a a a a a 1 Bài 75: Rút gọn biểu thức: A = Bài 76: Cho hai biểu thức: A �x �1 3 3 3 3 x 3 B x 2 x 1 x 2x x với x 1 x x x 2 a) Tính giá trị A với x b) Rút gọn B c) Đặt P = B:A Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên a a b b a b Bài 77: Cho biểu thức M= với a, b > a �b ab a b b a Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết a b ab �x Bài 78: Cho biểu thức: P � Với x �0, x �1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P �x x x � x 1 : � x x 1 1 x � 2 c) So sánh: P2 2P Bài 79: Cho biểu thức M = a +1 a a - a - a a + a - với a > 0, a + + a a- a a- a a nhận giá trị nguyên? M � a 2018 a 2018 � a Bài 80: Rút gọn biểu thức P � � �a a a 1 � � �2 a Với giá trị a biểu thức N Bài 81: Cho biểu thức P 2x x x x x với x 0, x �1 Rút gọn tìm giá trị nhỏ x x x x x x biểu thức P Bài 82: Rút gọn biểu thức: X 1 1 1 1 1 2 2 3 2017 20182 Bài 83: Rút gọn biểu thức: � x �� x x 2 x 2 � A� 1 : �� � � �� x 3 x 5 x 6� � x �� x � �3 x x � x 3 Bài 84: Cho biểu thức: P � ( với x �0 ) �: �x x x x x 1� � �x x 1 Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x để P � x 4(x 1) x 4(x 1) � � � 1 �, x 1, x �2 x � � x 4(x 1) Bài 85: Cho biểu thức A a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức A số nguyên Bài 86: Rút gọn biểu thức: B 13 Bài 87: Rút gọn biểu thức P 3 8 20 43 24 3x 9x x 1 x 2 Tìm x để P x x 2 x x 1 �x x x x ��3 x x 10 � : Bài 88: Cho biểu thức M � �� � � x x 8 � x �� � �� x x x � Rút gọn M tìm x để M>1 � x 2 x 3 x �� x � : Bài 89: Cho biểu thức : A � �� � �x x x x �� x 1� � �� � a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để Bài 90: Cho biểu thức: P � A x x2 x x x x ( x 1)( x x ) a) Rút gọn P b) Tính P x 2 c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên � x- x +8 �� x - +1 � � � + : � � Bài 91: Cho biểu thức P = � � � �� � �x - x - - + x - 10 - x �� � x- � � � � 1� � a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = Bài 92: Rút gọn biểu thức: A= Bài 93: Cho biểu thức: M 32 3 2 3 2 32 2 10 30 2 : 10 2 1 a a a 1 a2 a a a 1 với a > 0, a a a a a a a a) Chứng minh M b) Với giá trị a biểu thức N nhận giá trị nguyên? M x 9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x Bài 94: Rút gọn biểu thức A = B Lời giải a � a 1 � a Bài 1: Rút gọn biểu thức B � với a ; a �4 �: a �a a �a a Lời giải a � a 1 � a a � a 2 � a B� � �: � a �a a �a a �a a a � a 1 a a B a 2 a 2 a 1 a a 1 a 2 Bài 2: Cho biểu thức M a 2 2 a a 1 a 2 x y yy x x xy 1) Tìm điều kiện xác định rút gọn M 2) Tính giá trị M, biết x y Lời giải 1) ĐKXĐ: x �0 ; y �0 xy M x y x y xy 2) Với x M 1 2 1 xy 1 x y xy y 2 1 x y 1 2 2 a 16 a 4 a 4 1) Tìm điều kiện a để biểu thức C có nghĩa rút gọn C 2) Tìm giá trị biểu thức C a Lời giải 1) ĐKXĐ: a �0 ; a �16 a 2 2 C a 4 a 4 a 4 a 4 a 16 a 4 a 4 Bài 3: Cho biểu thức: C C C a 4 a 4 a 4 a2 a 4 2 a ( a 4) a 4 a 4 a a 4 a a 8 a 8 a 4 a 4 a4 a a 4 a 4 b) Gọi M(x;y) giao điểm d1 d2 Tìm m để biểu thức P x y xy 2n y đạt giá trị nhỏ Bài 12: Cho parabal ( P ) :y x đường thẳng (d ) y 2( m 2) x 4m 13 a) Với m = 4, hệ tọa độ Oxy , vẽ (P) (d) Xác định tọa độ giao điểm A B b)Tìm m để (d) cắt (p) hai điểm có hồnh độ x1 , x2 cho biểu thức S x12 x22 x1 x2 2018 đạt giá trị nhỏ Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): m –1 x y 3m – � 300 (d’): x m –1 y m Tìm m để (d ) cắt (d’) điểm M cho MOx Bài 14: Cho hai đường thẳng d1 : mx (m 2) y m d1 : mx (m 2) y m a)Tìm điểm cố định mà d1 qua điểm cố định mà d qua với m b)Chứng minh hai đường thẳng d1 d cắt điểm I m thay đổi điểm I thuộc đường tròn cố định Bài 15: Cho hàm số y m 4m x 3m có đồ thị d Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt trục hoành trục tung hai điểm A B cho OAB có diện tích 1cm (O gốc tọa độ, đơn vị đo trục cm) Bài 16: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm B 6;0 , C 0;3 đường thẳng d m có phương trình y mx 2m , với m tham số, m �0, m a) Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng d m BC b) Tìm tất giá trị tham số m cho đường thẳng d m chia tam giác OBC thành hai phần có diện tích ( O gốc tọa độ) Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d có phương trình y mx m ( m tham số thực) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d tạo với trục tọa độ Ox; Oy tam giác có diện tích Bài 18: Cho Parabol P : y x đường thẳng d : y mx (m tham số thực) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB 10 Bài 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2 a �0 đường thẳng (d): y = bx + 1) Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) 2) Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Bài 20: Trong hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – parabol (P): y = - x2 Gọi A B giao điểm d (P) 1) Tính độ dài AB 2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) hai điểm C D cho CD = AB B Lời giải x có đồ thị P điểm A 2;2 Gọi d m đường thẳng qua A có hệ số góc m Tìm tất giá trị m để d m cắt đồ thị P hai điểm A B, đồng thời cắt Bài 1: Cho hàm số y trục Ox điểm C cho AB AC Lời giải a) Bảng giá trị x y x 2 4 1 1 0 1 4 b) Phương trình hồnh độ giao điểm A , B đường thẳng d : y x P là: x x2 � x2 x Giải phương trình ta được: x 1 x x 1 � y 1 � A 1; 1 x � y 4 � B 2; �1 5 � Gọi I trung điểm AB � I � ; � �2 � vuông góc với d I có dạng: y x b Đường thẳng d � qua I � Vì d � 5 b � b 3 2 � d� :y x 3 P là: Phương trình hồnh độ giao điểm d � x x2 � x2 x � x x 1 13 7 13 �y 2 x 1 13 7 13 �y 2 1 � 13 �1 13 7 13 � �1 13 7 13 � ; ; Vậy có hai điểm M cần tìm là: M � �và M � � 2 � � � � Bài 2: Cho hàm số y x có đồ thị P hàm số y x m có đồ thị d Tìm m để P d tiếp xúc Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm P d là: 2x x m � x x m � 3 2( m 4) 17 2m P 17 2m � m d tiếp xúc � � 17 2 Bài 3: Trong hệ tọa độ Oxy , tìm m để đường thẳng d : y mx m cắt parabol P : y x hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm P d là: 2x mx m � x mx m m 4.2( m 2) m 8m 16 ( m 4)2 Đường thẳng d : y mx m cắt parabol P : y x hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung � � (m 4)2 m �4 � � b m � � � �S x1 x2 � � m � m 2; m �4 a � �m � c m2 � P x x � a � Bài 4: Gọi đồ thị hàm số y x parabol P , đồ thị hàm số y m x 2m đường thẳng d a) Tìm giá trị m để d cắt P hai điểm phân biệt b) Khi d cắt P hai điểm phân biệt A , B có hồnh độ x1 , x2 Tìm giá trị 3 m cho x1 x2 Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm P d là: x m x 2m � x (m 4) x 2m 1 � m 4 � � � 2m 5 m 2m 5 m m m d cắt P hai điểm phân biệt � m20 � � � � m20 m20 m2 � � � � m 2 m 2 � � �� �� � m20 m 2 m20 � � � � � m20 � � b) Với m 2; m 2 phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 �x1 x2 m Theo Viet ta có: � �x1 x2 2m x13 x23 � x1 x2 3x1 x2 x1 x2 � x1 x2 � 0 x1 x2 3x1 x2 � � � � m 4 � 0 �m m 5 � � � m m 1 � m 4 (nhận) m 1 (loại) Vậy m 4 giá trị cần tìm Bài 5: Tìm tất giá trị tham số m cho parabol d : y mx cắt đường thẳng điểm phân biệt A x1 ; y1 , B x2 ; y2 thỏa mãn y1 y2 x1 x2 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm P d là: x mx � x mx m2 P : y x2 P cắt đường thẳng d điểm phân biệt A x1 ; y1 , B x2 ; y2 � � m � m 2 m 2 Áp dụng định lí Vi – ét, ta có: �x1 x2 m � �x1 x2 Ta có: y1 y2 x1 x1 � mx1 mx2 x1 x2 � m x1 x2 � m m 2 � m 2m � m 1 (loại) m (nhận) Vậy m giá trị cần tìm Bài 6: Cho Parabol P : y x đường thẳng d : y m 1 x m (tham số m ) a) Với m , tìm tọa độ giao điểm P d b) Tìm m để d cắt P hai điểm nằm hai phía trục tung Lời giải a) Với m , ta có: d : y x Phương trình hồnh độ giao điểm P d là: x 2 � x2 x � x2 x � � x3 � x 2 � y x 3� y Vậy tọa độ giao điểm P d là: 2;4 3;9 b) Phương trình hồnh độ giao điểm P d là: x m 1 x m � x m 1 x m 1 d cắt P hai điểm nằm hai phía trục tung � Phương trình 1 có nghiệm trái dấu � m � m 4 Bài 7: Cho hàm số y x có đồ thị P điểm A 2;2 Gọi d m đường thẳng qua A có hệ số góc m Tìm tất giá trị m để d m cắt đồ thị P hai điểm A B, đồng thời cắt trục Ox điểm C cho AB AC Lời giải Cách Đường thẳng d m có phương trình y m x qua điểm A 2;2 P Hình chiếu vng góc C lên Oy O 0;0 , A lên Oy A ' 0;2 , � b2 � � b2 � B� b; �lên Oy B ' � 0; � � 2� � 2� Theo định lí Thales có : 3 AB A ' B ' � A ' B ' A 'O AC A ' O Suy A’B’ = � OB’ = � � b �4 b2 8 Nếu b = 4, vào d m tìm m = 3; Nếu b = -4, vào d m tìm m = -1 Cách Phương trình đường thẳng d m y mx 2m � tọa độ điểm C �2m � C� ;0 � � m � Phương trình hồnh độ giao điểm d m P : x 2mx 4m (1) Vì A 2;2 thuộc P d m nên (1) có nghiệm x A � B 2m 2;2m 4m AB m m 1 , AC 2 = m 1 2 m 1 m từ AB = 3AC � m m 1 m2 � m m � m m �3 � m = -1 m = Kết luận Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y (d): y x đường thẳng x Gọi A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) (với x A x B ) giao điểm (P) (d), C(x C ; y C ) điểm thuộc (P) cho x A x C x B Tìm giá trị lớn diện tích tam giác ABC Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): x x � x 2, x 2 � 9� A( 2;2) B� 3; Các giao điểm � � � � x � , B� , C� Gọi C �x C ; C �với 2 x C Gọi A� � � theo thứ tự hình chiếu A, B, C trục hồnh Ta có � � � x C2 � �9 x C2 � SABC SABB�� S S � � (x 2) (3 x C ) � � C � � A ACC�� A BCC�� B � � 2� 2� 2� � �2 � 5 15 x C2 x C 4 2 125 � � 125 S x C �� Ta có ABC 16 � � 16 � 125 x C Vậy diện tích tam giác ABC lớn 16 2 Bài 9: Cho parabol P : y 2ax a đường thẳng d : y x 2a Tìm a để d cắt P hai điểm phân biệt M , N có hồnh độ xM , xN cho K đạt giá xM xN xM xN trị nhỏ Lời giải Phương trình hồnh độ P d là: 2ax x 2a � 2ax x 2a * Để d cắt P hai điểm phân biệt M , N * phải có hai nghiệm phân biệt , nghĩa � 4 4.2a.2a � 16 16a � a3 � 1 a a a2 � � � 3� � 1 a � a � � � � � 4� � � a 1 Ngồi ra, ta có: xM 16 16a a 2.2a a 16 16a a 2.2a a a a3 xM xN a a a a a3 xM xN 2a a a 8 1 BĐT Cô si K 4a � 4a 2 Mà xM xN xM xN 2a 2a 2a a Do K đạt giá trị nhỏ nhất, ngĩa 4a 2 � 8a 2a � a 2a Vậy a thỏa mãn yêu cầu đề xN Bài 10: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: y = (m + 1)x – m, m tham số Tìm m để đường thẳng d cắt parabol (P): y = x2 hai điểm phân biệt A, B cho OA vng góc với OB Giải: Phương trình hoành độ hai đồ thị x2 – (m + 1)x +m = (*) Hai đồ thị cắt điểm phân biệt A B PT (*) có nghiệm phân biệt V> (m + 1)2 – 4m > (m – 1)2 > m �1 Xét PT hoành độ, có a + b + c = – m – + m = => x1 = ; x2 = m => y1 = ; y2 = m2 => A( 1;1); B(m ; m2) Phương trình đường thẳng qua O A y = x Phương trình đường thẳng qua O B y = mx Đường thẳng OA vng góc với đường thẳng OB m = -1 m = -1 Vậy với m = -1 đường thẳng parabol cắt điểm phân biệt A B cho OA vng góc với OB Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : y ( x 1) m đường m m 3m x m2 (m tham số thực khác 0) 2 a) Chứng minh với giá trị m khác hai đường thẳng d1 d2 cắt điểm b) Gọi M(x;y) giao điểm d1 d2 Tìm m để biểu thức P x y xy 2n y đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d1)và (d2) là: thẳng d : y m 3m ( x 1) m x m2 3 m 2 m 3m x( ) m m 1 m 2 m 4m m m 8m x 2m 2m (4 m ) x (2m 1)(4 m ) x 2m y ( x 1) m m m Vậy hai đường thẳng cắt điểm M(2m-1;3-m) ∀ m b) Theo câu a ta có x = 2m – 1; y = – m Thay vào P, ta có: P x y xy x y (2m 1) (3 m) (2m 1)(3 m) 2(2m 1) 3(3 m) (4m 4m 1) (m 6m 9) ( 2m 7m 3) 4m 3m m 10m (m 5) 29 �29 Dấu xảy ⇔ m = –5 Vậy GTNN P –29 ⇔ m = –5 Bài 12: Cho parabal ( P ) :y x đường thẳng (d ) y 2( m 2) x 4m 13 a) Với m = 4, hệ tọa độ Oxy , vẽ (P) (d) Xác định tọa độ giao điểm A B b)Tìm m để (d) cắt (p) hai điểm có hồnh độ x1 , x2 cho biểu thức S x12 x22 x1 x2 2018 đạt giá trị nhỏ Giải: a) Với m=4 phương trình đường thẳng (d) là: y=4x-3 *Vẽ đồ thị: - Vẽ (P): y=x2 Ta có bảng giá trị x y -3 Parabol (P) qua hai điểm (0;-3) (1;1) - Vẽ (d): y=4x-3 Ta có bảng giá trị x -2 -1 y 1 Đường thẳng (d) qua điểm (-2;4), (-1;1), (0;0), (2;4), (1;1) * Tìm giao điểm hai đồ thị: - Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x x � x x (1) Vì a+b+c=1-4+3=0 nên phương trình (1) có hai nghiệm x x Nếu x � y Nếu x � y Vậy (P) giao (d) A(1;1) B(3;9) c 3 a 12 y 10 y=x2 y=4x-3 -12 -10 -8 -6 -4 -2 x 10 -2 -4 -6 -8 -10 Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): m – 1 x y 3m – � 300 (d’): x m – 1 y m Tìm m để (d ) cắt (d’) điểm M cho MOx Lời giải Tọa độ giao điểm có (d ) (d ') nghiệm hệ phương trình �x = m - (m - 1) y � (m - 1) x + y = 3m - � (*) � � � � � � m(m - 2) y = (m - 2) (1) �x +( m - 1) y = m � � m �0 Để (d ) cắt (d ') � Hệ (*) có nghiệm � (1) có nghiệm � � � � m �2 � � 3m - � �x = m m �0 � � Với � hệ phương trình có nghiệm � � � � m �2 m- � � y= � � m � � 3m - m - � � o � ; Lúc M � � � � Từ giả thiết MOx = 30 � M có hồnh độ dương � � m m � m- � = m = m- tan MOx 3m - 3m - m � 3m - = ( m - 2) m- m- 2 � = �� � m =� � 3m - 3 3m - � 3m - =- ( m - 2) � 3 Vậy m = ; m =3 � tan 30o = Bài 14: Cho hai đường thẳng d1 : mx (m 2) y m d1 : mx (m 2) y m a)Tìm điểm cố định mà d1 qua điểm cố định mà d qua với m b)Chứng minh hai đường thẳng d1 d cắt điểm I m thay đổi điểm I thuộc đường tròn cố định Lời giải mx (m 2) y m a) Vậy d1 �x y �x 2 � ( x y 1)m y � � �� 2 y � �y qua điểm cố định A 2;1 (2 m) x my m Vậy d 2x � �x � x ( x y 1)m � � �� x y 1 � �y qua điểm cố định B 1; b) Với m d1 : 2 y d : x , suy d1 d ln vng góc cắt điểm I1 1;1 Với m d1 : x d : y , suy suy d1 d vuông góc cắt điểm I 2; m m2 m2 m2 x d : y x 2m m2 m m m m2 � 1 Suy d1 d Ta có tích hai hệ số góc a1a2 2m m Vậy với giá trị m d1 d cắt vng góc với điểm I Với m �0; m �2 d1 : y Mặt khác d1 d qua điểm cố định A B nên I thuộc đường trịn đường kính AB Bài 15: Cho hàm số y m 4m x 3m có đồ thị d Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt trục hoành trục tung hai điểm A B cho OAB có diện tích 1cm (O gốc tọa độ, đơn vị đo trục cm) Lời giải Vì ba điểm O, A, b tạo thành tam giác nên m 4m �0 3m �0 3m � 3m � ;0 �� OA Tọa độ giao điểm A d Ox A � m 4m �m 4m � Tọa độ giao điểm B d Oy B 0;3m � OB 3m 1 3m 3m Do ABO vuông O nên SOAB OA.OB 2 m 4m 2 9m 12m m 4m 3m � � � Do � m 4m 9m 12m 2 m 4m � m2 � � 7m 4m 12 �� � � 2 (thỏa mãn) � m 11m 20m � � 11 Bài 16: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm B 6;0 , C 0;3 đường thẳng d m có phương trình y mx 2m , với m tham số, m �0, m a) Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng d m BC b) Tìm tất giá trị tham số m cho đường thẳng d m chia tam giác OBC thành hai phần có diện tích ( O gốc tọa độ) Lời giải � 3b a) Phương trình BC có dạng y ax b qua B C nên có hệ phương trình � 6a b � 1 a b phương trình đường thẳng BC y x 2 Phương trình hồnh độ giao điểm d m BC là: mx 2m x � 2m 1 x 2m 1 � x m � nên giao điểm K 2; 1 b) Ta có SOBC OC.OB 3.6 (đvdt) 2 d Nếu m cắt cạnh OC D d m chia thành hai phần tam giác CDK tứ giác DOBK mà: S SCDK �SCOK xK OC OBC nên nhận 2 Khi d m cắt cạnh OB E ta có: yE xE đồng m thời thỏa: 2 m 1 � S KEB y K EB xB xE 2 d m chia tam giác OBC thành hai phần có dện tích khi: S KEB � m (thỏa điều kiện) m Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d có phương trình y mx m ( m tham số thực) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d tạo với trục tọa độ Ox; Oy tam giác có diện tích Lời giải y mx m d d cắt hai trục tọa độ Ox, Oy nên hệ số góc khác hay m �0 y 0 � x 1 m 1 m �1 m � Ta điểm A � ; �thuộc trục Ox � OA m m �m � x � y m Ta điểm B ; m 1 thuộc trục Oy � OB m Diện tích tam giác tạo đường thẳng d với trục tọa độ Ox, Oy là: 1 m m 1 m 1 OA.OB m m 2 SOAB Theo ta có: SOAB � (m 1) 4m (m 1) � 4 � � m ( m ) 4m � � m 32 2 TH1: (m 1) 4m � m 6m � m � � (Thỏa mãn m �0 ) m 32 � TH2: (m 1) 4m � m 2m � m 1 � m 1 (Thỏa mãn m �0 ) Vậy m � 1; 2 ; 2 Bài 18: Cho Parabol P : y x đường thẳng d : y mx (m tham số thực) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB 10 Lời giải Hoành độ giao điểm (P) (d) x mx � x mx Ta có m ( m2 ) nên đồ thị hàm số (P) (d) cắt hai điểm phân biệt) �x1 x2 m Theo hệ thức Viète ta có � x2 1 �x1 � Gọi A (x1; y1) B (x2; y2) giao điểm (P) (d) ta có: AB x1 x2 y1 y2 10 � x1 x2 x12 x2 2 10 � x1 x2 x1 x2 x1 x2 � x1 x2 10 2 2 2 � � x1 x2 x1 x2 x1 x2 � 10 x1 x2 x1 x2 � � � � m m �m 10 � m 5m � m m 6m � m �m � m2 � m �1 Bài 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2 a �0 đường thẳng (d): y = bx + 1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Lời giải 1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) M (P) … a = y = 2x2 M (d) … b = y = x + 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Xét pt hoành độ gđ: 2x2 = x + 2x2 - x - = � x 1� y � 1� � � M 1;2 ;N � ; � 1 � 2� x �y � � 2 SMON Sthang S1 S2 0,75 (� vdt) Bài 20: Trong hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – parabol (P): y = - x2 Gọi A B giao điểm d (P) 1) Tính độ dài AB 2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) hai điểm C D cho CD = AB Lời giải 1) Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình x2 + x -2=0 => x = x = Vậy A(1,-1) B(-2;-4) A(-2;-4) vàB(1;-1) AB2 = (x2 – x1)2 + (y2 - y1)2 = 18 AB = 2)Để (d’) cắt (P) điểm phân biệt phương trình x2-x+m=0 (1) có hai nghiệm phân biệt D > m < Ta có CD2 = (x1-x2)2+(y1-y2)2 mà y y1 x m x1 m x1 x nên: y y1 � x m x1 m � � � x1 x 2 Ta có AB2 =18 nên CD = AB CD2 = AB2 (x2-x1)2+(y2-y1)2=18 (*) 2(x1-x2)2 = 18 (x1-x2)2 = (x1+x2)2 - 4x1x2 = 1-4m-9 = (Theo Viet) m = - (TM) ... x � x 2 016 � x 2 016 2 11 11 18 11 Lời giải A 11 11 18 11 11 11 11 2 11 49 11 18 11 �x2 x � x ? ?1 Bài 19 : Cho biểu thức A � �x x... 1? ?? n n 1? ?? 1 1? ?? n n 1? ?? n n 1? ?? n n 1? ?? n n 1? ?? Vậy: X 1? ?? 1? ?? 1 1 1 1 2 2 3 2 017 2 018 2 1 1 ? ?1? ?? ? ?1? ?? 1. 2 2.3 3.4 2 017 .2 018 2 017 số 1 1... = 1 1 2 017 + + + + 2 018 So sánh A với 2 018 Lời giải 1 1 1 1 + + + + 2 018 < + + + + 1. 2 2.3 3.4 2 017 .2 018 1 1 1 1 1 Mà + + + + = 1- + - + - + + 1. 2 2.3 3.4 2 017 .2 018 2 3 2 017 2 018 Ta