cac chuyen de boi duong hoc sinh gioi lop 7

Tailieumontoan.com  Trịnh Bình CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN LỚP Thanh Hóa, ngày 04 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com TUYỂN TẬP 15 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề tốn THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn lớp Chúng tơi kham khảo qua nhiều tài liệu để làm 15 chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng tuyển tập chun đề để giúp em học tập Hy vọng 15 chuyên đề lớp giúp ích nhiều cho học sinh lớp phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian để sưu tầm tổng hợp song tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Mục Lục Trang Lời nói đầu Chủ đề Thực phép tính Chủ đề Các toán lũy thừa số tự nhiên 50 Chủ đề Tìm ẩn chưa biết 69 Chủ đề Các dạng toán phương pháp chứng minh chia hết 133 Chủ đề Số nguyên tố, hợp số 179 Chủ đề Các toán số phương 207 Chủ đề Các dạng tốn phân số 226 Chủ đề Chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN 248 Chủ đề Tỷ lệ thức dãy tỉ số 272 Chủ đề 10 Các toán trị tuyệt đối 318 Chủ đề 11 Các toán đa thức 352 Chủ đề 12 Đồng dư thức 380 Chủ đề 13 Nguyên lý Dirichlet 407 Chủ đề 14 Các chuyên đề hình học nâng cao 434 Chủ đề 15 Các tốn nâng cao hình học từ đề học sinh giỏi 513 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: 1) Một số tính chất lũy thừa: • Nhân, chia hai lũy thừa số = a m a n a m + n ( m, n ∈  ) a m= : a n a m − n (m, n ∈ ; m ≥ n) m am a =   bm b ( b ≠ 0) • Lũy thừa lũy thừa: = ( a m ) a m.n • Lũy thừa tích:= ( a.b ) a n bn • Lũy thừa tầng: = am a n n n ( m, n ∈  ) (n ∈ ) ( m ) m, n ∈  ( ) n 2) Một số công thức đặt thừa số chung • a.b + a.c + a.d + + a.k= a ( b + c + d + + k ) 1 a a a  + + + = a  + + +  x1 x xn xn   x1 x2 • DẠNG 1: LŨY THỪA, PHỐI HỢP CÁC PHÉP TÍNH Bài 1: Thực phép tính: a, A = 11 + 21 39.25 11 11 b, B = 75.5 + 175.5 20.25.125 − 625.75 4 ( 3.4.2 ) 16 c, C = 11.213.411 − 169 ; Hướng dẫn giải a, Ta có: A = 11 + 21 (11 + 21) 311.32 32 = = = = 39.25 32 39.25 = B b, Ta có: 75.54 + 175.54 3.52.54 + 52.7.54 3.56 + 7.56 56.10 = = = = 10 20.25.125 − 625.75 5.52.53 − 54.3.52 22.56 − 3.56 56 11 11 ( 3.4.2 = ) 16 = C c, Ta có: 11 11.213.411 − 169 32.236 32.236 32.236 = = = 11.235 − 236 235 (11 − ) 235.9 Bài 2: Thực phép tính: Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 5.415.99 − 4.320.89 a, A = 5.29.619 − 7.229.27 b, B = 510 73 − 255 492 (125.7 ) + 59 143 3.4.2  16 c, C  11.213.411  49.218 Hướng dẫn giải a, Ta có: 229.318 (10 − ) 229.318 5.415.99 − 4.320.89 5.230.318 − 22.320.227 = = = = 5.29.619 − 7.229.276 5.228.319 − 7.229.318 228.318 (15 − 14 ) 228.318 510 73 (1 − ) ( −6 ) −10 510 73 − 255 492 510 73 − 510 B = = = = ⋅ b, Ta có:= 3 (125.7 ) + 59 143 + 59 73 (1 + 23 ) 3.4.2  16 c, Ta có: C  11.213.411  49.218  32.236 235 11  2 2 Bài 3: Thực phép tính: a, A  5.711  712 79.52 13.79 a, Ta có: A  b, B = 215.7 − 216 5.415.99 − 4.320.89 C = c, 5.215 5.29.619 − 7.229 27 Hướng dẫn giải 5.711  712 711 (5  7) 711.12     49 9 9 13.7 5 13 12 15 215.7 − 216 ( − ) = = = b, Ta có: B= 5.215 5.215 229.318 ( 5.2 − 32 ) 2.1.1 5.415.99 − 4.320.89 5.230.318 − 22.320.227 A = = = = c, Ta có:= 5.29.619 − 7.229 27 5.29.219.319 − 7.229.318 228.318 ( 5.3 − 7.2 ) 1.1.1 Bài Tính: 13 19  23 8 ⋅ ( 0,5 ) ⋅ +  −  :1 15 60  24  15 Hướng dẫn giải Ta có: 13 19  23 28 8  79  24 = − =1 ⋅ ( 0,5 ) ⋅ +  −  :1 = +  −  5 15 60  24 15  15  15 60  47  151515 179   1500 176  Bài 5: Tính biêu thức: B =  + 10  −  −   161616 17   1600 187  Hướng dẫn giải Ta có:  151515 179   1500 176  15 15 16 + − + = =  + 10  −  − B =  161616 17   1600 187  16 17 16 17 Bài 6: Thực phép tính: A = − 131 − (13 − )  Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có : A = 24.5 − 131 − (13 − )  = 16.5 − (131 − 92 ) = 80 − (131 − 81) = 80 − 50 = 30 Bài 7: Thực phép tính: { } a) ( −8 ) : 25 − 18 : ( 52 + 22 ) :11 − 20180  b) (11.37.97 − 915 ) : ( 2.314 ) Hướng dẫn giải { } a) ( −8 ) : 25 − 18 : ( 52 + 22 ) :11 − 20180  b) (11.37.911 − 915 ) : ( 2.314 ) = 64 : {25 − 18 : [33 :11 − 1]} (11.3 = = 64 : {25 − 18 : 2} = (11.3 22 29 − 330 ) : ( 22.328 ) − 330 ) : ( 22.328 ) = 329.8 : ( 22.328 ) = 64 = :16 = 329.23 : ( 22.328= = ) 3.2 1  −2 Bài 8: Thực phép tính: + ( −2 ) :  − + ( −2 ) 2  Hướng dẫn giải   1 Ta có : 24 + ( −2 ) :  − 2−2.4 + ( −2 ) = 16 + 8.1 − + = 27 Bài 9: Rút gọn : B = 2  255 + 257 + 259 511 + 513 + 515 + 517 + 519 + 521 Hướng dẫn giải Ta có: B 255 + 257 + 259 = 511 + 513 + 515 + 517 + 519 + 521 = 510 + 514 + 518 = ( 511 + 515 + 519 ) + ( 513 + 517 + 521 ) 510 (1 + 54 + 58 ) (1 + + 58 )( 511 + 513 ) 510 1 = = 11 13 +5 + 125 130 2 1   − 0,25 +  0,4 − + 11  : 2013 = − Bài 10: Thực phép tính: A   7  1,4 − + − 0,875 + 0,7  2014 11   Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 1   − + − + 0,4 0,25  11 −  : 2013 A   7  1,4 − + − 0,875 + 0,7  2014 11   2 2  − + 11 =  −  − +  11 1  − +  : 2013  7  2014 − +  10   1 1  1  − +   − + 11   2013 2  2013      : = − = =  −  :   1   1   2014  7  2014   − + 11   − +     DẠNG : TÍNH ĐƠN GIẢN 2 4 + − 4− + − 19 43 1943 : 19 41 2941 Bài 1: Rút gọn : A = 3 5 3− + − 5− + − 19 43 1943 19 41 2941 2− Hướng dẫn giải Ta có : 1   1   1 − + −  1 − + −  19 43 1943   19 41 2941   A= : 1   1   1 − + −  1 − + −   19 43 1943   19 41 2941  5 : = = = 2 1   − 0,25 +  0,4 − + 11  : 2014 = − Bài 2: Thực phép tính: M   7  1,4 − + − 0,875 + 0,7  2015 11   Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 1   − + − + 0,4 0,25  11 −  : 2014 = M   7  1,4 − + − 0,875 + 0,7  2015 11   2 2  − + 11 = 7 7 −  − +  11  1 1  1  1  2 − +  − +  − +   2014 11   : 2014 =  : − 7  2015   1   1   2015 − +   − + 11   − +   10        2  2014 = =  − :  7  2015     −1,2 : 1 1,25  1,08 −  : 25   + + 0,6.0,5 : Bài 3: Thực phép tính: M =   36 0,64 − −   25   17 Hướng dẫn giải     −1,2 : 1 1,25  1,08 −  : 25   + + 0,6.0,5 : Ta có : M =   36 0,64 − −   25   17 −1,2 : = + + 0,75 = −1 + + = 119 36 0,6 4 36 17 Bài 4: Thực phép tính:   193 33   11  1931  A=  193 − 386  17 + 34  :  1931 + 3862  25 +        Hướng dẫn giải Ta có :  193 33  193 193 33 2 33  a )  − + = − + = − + =1  193 386 17 34 193 17 386 17 34 17 34 34     11  1931  1931 11 1931 11  1931 + 3862  25 +  = 1931 25 + 3862 25 + = 25 + 50 + = =    ⇒ A = 1: = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 1   − + − + 0,4 0,25  11 −  : 2014 = Bài 5: Thực phép tính: M   7  1,4 − + − 0,875 + 0,7  2015 11   Hướng dẫn giải 2 1   0,4 − + − 0,25 +  11 −  : 2014 = 1) M   7  1,4 − + − 0,875 + 0,7  2015 11   2 2  − + 11 = 7 7 −  − +  11  1 1  1  1  2 − +  − +  − +   11   : 2014 =  : 2014  − 7  2015   1   1   2015 − +    − + 11   − +   10        2  2014 = =  − :  7  2015 3 + 11 12 + 1,5 + − 0,75 Bài 6: Thực phép tính: 5 −0,265 + 0,5 − − 2,5 + − 1,25 11 12 0,375 − 0,3 + Hướng dẫn giải 3 3 3 − + + + − 10 11 12 a) A + 53 5 5 5 − + − − + − 100 10 11 12 1 1  1 1  165 − 132 + 120 + 110  3 − + +   + −  3.  10 11 12  4 1320    + = + = −53  1  −53  −66 + 60 + 55  1 1 − 5 − + +  5 + −  − 5  100 660  10 11 12    100   263 263 3 3 3945 −1881 1320 += 1320 = += += −53 49 −1749 − 1225 −5948 29740 − 100 660 3300 Bài 7: Tính biểu thức: B = 3 1 0,5 − + − 0, + 17 37 + 5 7 − + − + − 3,5 17 37 0,5 − Hướng dẫn giải Ta có: Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 3 1 3 1 1 0,5 − + 0,5 − + − 0, − + − + − 17 37 17 37 B= + = + 5 7 5 7 7 − + − + − 3,5 − + − + − 17 37 17 37 1 1  1 1 3 − +  − + − 16 17 37  =  + = − = ⋅ 1 1   1 1  35  − +  −7  − + −   17 37   5 1 1 1 (1 + + + + 100)  − − −  (63.1, − 21.3, 6) 2 9 Bài 8: Thực phép tính: − + − + + 99 − 100 Hướng dẫn giải 1 1 1 (1 + + + + 100)  − − −  (63.1, − 21.3, 6) 2 9 = 0⇒ Ta có: 63.1, − 21.3, = − + − + + 99 − 100 DẠNG : TÍNH TỔNG CÁC SỐ TỰ NHIÊN ĐƯỢC LẬP TỪ MỘT CHỮ SỐ Tính tổng: S = a + aa + aaa + + aaa a  n Phương pháp: Ta có: ( ) S = a + aa + aaa + + aaa a = a + 11 + 111 + + 111   n n   ⇒ S= a  + 99 + 999 + + 999   n   Đặt A = + 99 + 999 + + 999  Ta có: A = = (10 − 1) + (10 (10 + 10 n − 1) + (103 − 1) + + (10n − 1) + 103 + + 10n ) − n = 111 10  − n n   a 111 10 n −   n   ⇒S= Bài 1: Tính tổng tự nhiên a, A = + 99 + 999 + + 999  b, B =1 + 11 + 111 + + 111  10 10 Hướng dẫn giải a, Ta có: A = (10 − 1) + (10 − 1) + (103 − 1) + + (1010 − 1) = (10 + 102 + 103 + + 1010 ) − 10 = 111 10  − 10 = 111 100  10 b, Ta có: B =9 + 99 + 999 + + 9999 99 ( 10 số 9) A = (10 − 1) + (102 − 1) + (103 − 1) + + (1010 − 1) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 551 Website:tailieumontoan.com   ABC = 800 nên BAC = BCA = 500 ∆ABC cân B,     20  40 Vì IAC , ICA 300 nên , ICB 200 = = = IAB = Vẽ tam giác AKC (K B thuộc nửa mặt phẳng bờ AC)   Ta có: BAK = BCK = 100 = = ∆ABK = ∆CKB(c.g c) ⇒ BAK BCK 300 ∆ABK = ∆AIC ( g c.g ) ⇒ AB = AI ∆ABI cân A ⇒  AIB = 700  < 900 B  = 2C  Kẻ đường cao AH Trên tia đối tia Câu 45 Cho tam giác ABC có B BA lấy điểm E cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC D = 1) Chứng minh BEH ACB DH , DC DA 3) Lấy B ' cho H trung điểm BB ' Tam giác AB ' C tam giác ? Vì ? 2) So sánh độ dài ba đoạn thẳng : 4) Chứng minh: Nếu tam giác ABC vng A DE = BC − AB 2 Lời giải A D B H B' C E =H  mà 2C  = +H  =2 E  1) Tam giác BEH cân B nên E ABC =E 1 = Vậy BEH ACB 2) Chứng tỏ ∆DHC cân D nên DC = DH (1)     , DAH Chứng minh được: DAH = 900 − H = 900 − C  Suy DAH =  AHD ⇒ ∆DAH cân D nên DA = DH (2) Từ (1) (2) ta có: DC = DH = DA   mà  3) ∆ABB ' cân A nên  AB ' B=  A1 + C AB = 'B  ABB =' 2C =  ⇒  ⇒ ∆AB ' C cân B ' Vậy 2C A1 + C A1= C Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 552 Website:tailieumontoan.com  4) Chứng minh được: ∆ABC vuông A = ABC 60 = , ACB 30 0 Chứng minh được: ∆AHC = ∆DAE ⇒ DE = AC Do AC = BC − AB từ DE = BC − AB 2 Câu 46 Cho tam giác 2 2 ABC , M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB, AC / / BE b) Gọi I điểm AC , K điểm EB cho AI = EK Chứng minh I , M , K thẳng hàng   50  BME  c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết = HBE = , MEB 250 Tính HEM Lời giải A I H B C M K E  (đối đỉnh); a) Xét ∆AMC ∆EMB có: AM EM = = ( gt );  AMC EMB BM = MC ( gt ) nên ∆AMC = ∆EMB(c.g c) ⇒ AC = EB =  , mà góc vị trí so le \ b) Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC MEB Suy AC / / BE =  (∆AMC = Xét ∆AMI ∆EMK có: AM = EM ( gt ); MAI MEK ∆EMB) =  mà  Nên  AMI + IME 1800 (kề bù) AMI = EMK  + IME  =1800 ⇒ I , M , K thẳng hàng ⇒ EMK ( ) =  = 500 900 có HBE c) Trong ∆BHE H  = 900 − HEB  = 900 − 500 = 400 ⇒ HBE  = HEB  − MEB  = 400 − 250 = 150 ⇒ HEM Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 553 Website:tailieumontoan.com  góc ngồi đỉnh M ∆HEM BME  + MHE  =150 + 900 =1050  = HEM Nên BME (định lý góc tam giác) Câu 47 Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = AB Gọi I giao điểm đường trung trực BC AD a) Chứng minh ∆AIB = ∆DIC b) Chứng minh c) Kẻ  AI tia phân giác BAC IE vng góc với AB, chứng minh AE = AD Lời giải A P C B E I D = IB a) Vì I giao điểm đường trung trực BC AD nên IC = , IA ID Lại có AB = CD ( gt ) , ∆AIB = ∆DIC (c.c.c) =D  b) ∆AID cân I, suy DAI =  , đó: DAI  = BAI  D ∆AIC = ∆DIC (câu a) ⇒ BAI  Vậy AI tia phân giác BAC IP ⊥ AD, ta có: ∆AIE = ∆AIP (cạnh huyền – góc nhọn) AD (vì P trung điểm AD ) ⇒ AE = AP mà AP = Suy AE = AD c) Kẻ Câu 48  < 900 Trên nửa mặt phẳng có chứa A bờ Cho tam giác ABC có B vng góc với BC , vẽ tia Bx BC , tia lấy điểm D cho BD = BC Trên nửa mặt phẳng có chứa Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 554 Website:tailieumontoan.com C bờ AB, vẽ tia By vuông góc với BA, lấy điểm E cho BE = BA Chứng minh rằng: a) DA = BC b) DA ⊥ EC Lời giải D A H C K B E  (cùng 900 −  a) Xét ∆ABC ∆EBC có: AB BE ABC ) = = ; ABD EBC BD = BC ⇒ ∆ABD = ∆EBC (c.g c) ⇒ DA = EC b) Gọi giao điểm DA với BC EC theo thứ tự H K  ⇒ BDH =  Ta có: ∆ABD = ∆EBC (cmt ) ⇒  ADB = ECB KCH  = KCH  , DHB  = CHK  ⇒ DBH  = CKH  ∆DBH ∆CKH có: BDH  = 900 nên CKH  = 900 Vậy DA ⊥ EC Do DBH Câu 49 Cho tam giác ABC có  A = 1200 Các đường phân giác góc AD BE , tính số đo BED Lời giải x A E 2 B C D   Gọi Ax tia đối tia AB ta có: BAD = DAC = 600 Xét ∆ABD có AE tia phân giác góc ngồi đỉnh A Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 555 Website:tailieumontoan.com BE phân giác góc B chúng cắt E nên DE phân giác góc ngồi D,    =D −B  = ADC − ABC = BAD = 300 đó: BED 1 2 Câu 50 Cho tam giác ABC cân A, BH vng góc với AC H Trên cạnh BC lấy điểm M (khác B C) Gọi D, E , F chân đường vng góc hạ từ M đến AB, AC , BH a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB b) Chứng minh M chạy cạnh BC tổng MD + ME có giá trị không đổi c) Trên tia đối tia CA lấy điểm K cho CK = EH Chứng minh BC qua trung điểm DK Hướng dẫn giải A H D E F Q B M P I C K a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB(ch − gn) b) Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB(ch − gn) ⇒ MD = BF (1) Chứng minh ∆MFH = ∆HEM ⇒ ME = FH (2) Từ (1) (2) suy MD + ME = BF + FH = BH BH không đổi ⇒ MD + ME không đổi (đpcm) c) Vẽ DP ⊥ BC P, KQ ⊥ BC Q, gọi I giao điểm DK BC +Chứng minh : BD = FM = EH = CK Chứng minh ∆BDP = ∆CKQ(ch − gn) ⇒ DP = KQ (hai cạnh tương ứng)  = IKQ  ⇒ ∆DPI = ∆KQI (c.g c) ⇒ ID = IK (dfcm) Chứng minh IDP Câu 51 Cho tam giác ABC vuông A, tia phân giác  ABC cắt AC D Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA Chứng minh rằng: a) DA = DE b) DA < DC c) DB + DC = DE + EB + EC 2 2 Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 556 Website:tailieumontoan.com A D B E C a) Chứng minh ∆ABE = ∆EBD(c.g c) ⇒ DA = DE = b) ∆ABE = ∆EBD(cmt ) ⇒  A= E 900 Trong ∆EDC có DE < DC hay AD < DC ( c) DB + DC = FB + ED 2 2 ) + ( ED + EC ) =EB + EC + ED   6C  Câu 52 Cho tam giác ABC có = A 3= B a) Tính số đo góc ∆ABC b) Kẻ AD ⊥ BC ( D ∈ BC ) Chứng minh : AD < BD < CD Hướng dẫn giải A B C D   C    +C  1800 A B A+ B    a) Từ A = 3B = 6C ⇒ = = = = = 200 6 + +1   400 ,=  200 ⇒= A 1200 ,= B C    Vậy = = = A 120 , B 40 , C 200 b) Trong ∆ACD có:   = 200 ⇒  ADC = 900 , C A2 = 700 ⇒  A1 = 500  = 200 ⇒ AB < AC ⇒ AB < AC (*)  = 400 > C Xét ∆ABD có B Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vng ADB, ADC có: 2 = AD + CD AB = AD + BD AC Do đó, từ (*) ⇒ AD + BD < AD + CD ⇒ BD < CD ⇒ BD < CD 2 Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 2 2 (2) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 557 Website:tailieumontoan.com Từ (1) (2) ⇒ AD < BD < CD Bài 53 Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M , tia đối tia CA lấy điểm N cho AM + AN = AB a) Chứng minh rằng: BM = CN b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN  cắt K Chứng minh c) Đường trung trực MN tia phân giác BAC KC ⊥ AC Hướng dẫn giải A M I B C E K N a) Theo giả thiết, ta có: 2AB = AB + AB = AB + AM + BM AM + AN = AM + AC + CN , ∆ABC cân A ⇒ AB = AC Do đó, từ AM + AN = AB ⇒ BM = CN b) Qua M kẻ ME / / AC ( E ∈ BC ) ∆ABC cân A ⇒ ∆BME cân M ⇒ EM = BM = CN ⇒ ∆MEI = ∆NCI ( g c.g ) ⇒ IM = IN Vậy BC qua trung điểm MN c) K thuộc đường trung trực MN ⇒ KM = KN (1)  ∆ABK = ∆ACK (c.g c) ⇒ KB = KC (2);  ABK = ACK (*) Kết chứng minh câu a: BM = CN (3)  (**) Từ (1) , ( ) , ( 3) ⇒ ∆BMK = ∆CNK (c − c − c) ⇒  ABK = NCK  = 180 = 900 ⇒ KC ⊥ AN Từ (*) (**) ⇒  ACK = NCK Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 558 Website:tailieumontoan.com Câu 54 Cho ∆ABC nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vng góc với AB AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vng góc với AC AE = AC 1) Chứng minh rằng: BE = CD 2) Gọi M trung điểm DE , tia MA cắt BC H Chứng minh MA ⊥ BC AB c= , AC b= , BC a tính độ dài đoạn HC theo a, b, c 3) Nếu= Hướng dẫn giải N E M D F A I K B H C   + BAC  (vì tia AB nằm hai tia AD, AC ) 1) Ta có: DAC = DAB   (1)  = 900 (Vì AB ⊥ AD A) nên DAC Mà BAD = 900 + BAC   (vì tia AC nằm hai tia AB, AE )  + BAC Ta có: BAE = CAE   (2)  = 900 (Vì AE ⊥ AC A) nên BAE Mà CAE = 900 + BAC  = DAC  Từ (1) (2) suy BAE  DAC  Xét ∆ABE ∆= = ( gt ); BAE = (cmt ); AE AC ( gt ) ADC có: AB AD Do ∆ABE = ∆ADC (c.g c) ⇒ BE = CD (hai cạnh tương ứng) 2) Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho M trung điểm AN Từ D kẻ DF vng góc với MA F  Xét ∆MAE ∆MDN có: MN = MA(= vẽ thêm);  AME DMN = ( cmt ) ; ME MD( gt ) ⇒ ∆MAE = ∆MND(c.g c) Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 559 Website:tailieumontoan.com  = MEA  Suy AE = DN NDM =  MEA  vị trí so le nên AE / / DN ⇒  Mà NDM ADN + DAE 1800 ( phía) (3) =  + DAB  + BAC  + EAC Ta lại có : DAE 3600  + BAC  = 1800 (do DAB  = EAC  = 900 ) (4) Hay DAE  Từ (3) (4) ⇒  ADN = BAC Ta có: AE DN = = (cmt ); AE AC ( gt ) nên AC = DN  Xét ∆ABC ∆= = ( gt );  ADN BAC = (cmt ); AC DN (cmt ) DAN có: AB AD =  = ⇒ ∆ABC = ∆DAN (c.g c) ⇒ DNA ACB hay DNF ACB  + BAD  + BAH = Ta có: DAF 1800 ( F , A, H thẳng hàng) ( ) =  900 Do=  900 (5) + BAH BAD Hay DAF Trong  + DAF = 900 ( hai góc phụ nhau) (6) ∆ADF vng F có FDA =  Từ (5), (6) ⇒ FDA BAH  + FDA  (vì tia Ta có:  ADN = NDF DF nằm hia tia DA, DN)   + BAH  (vì tia AH nằm hai tia AB, AC ) BAC = HAC   BAH  (cmt ) nên NDF  = HAC  Mà  = ADN BAC = ; FDA  HAC    Xét ∆AHC ∆DFN có: NDF = = (cmt ); AC DN = (cmt ); DNF ACB(cmt ) =  = 900 (vì DE ⊥ MA F) ⇒ ∆AHC = ∆DFN ( g c.g ) ⇒ DFN AHC mà DFN Nên  AHC = 900 ⇒ MA ⊥ BC H ( dfcm) 3) MA ⊥ BC H nên ∆AHB, ∆AHC vuông H Đặt HC =⇒ x HB =− a x (vì H nằm B C) Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng AHB, AHC ta có: 2 = AC − CH AH = AB − BH AH ⇒ AB − BH = AC − CH ⇒ c − ( a − x ) = b − x 2 a + b2 − c2 Từ tìm được: HC= x= 2a Câu 55 Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM , BI cắt cạnh AC D a) Chứng minh AC = AD Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 560 Website:tailieumontoan.com b) Chứng minh: ID = BD Hướng dẫn giải A D I E B M C a) Gọi E trung điểm CD tam giác BCD nên ME đường trung bình ⇒ ME / / BD Trong tam giác MAE có I trung điểm cạnh AM ( gt ) mà ID / / ME ( gt ) D trung điểm AE ⇒ AD = DE (1) Vì E trung điểm DC ⇒ DE = EC (2) Nên So sánh (1) ( ) ⇒ AD = DE = EC ⇒ AC = AD MAE , ID đường trung bình (theo a) ⇒ ID = ME (1) BD(2) Trong ∆BCD, ME đường trung bình ⇒ ME = Từ (1) (2) ⇒ ID = BD AB = BC = 15cm Tia phân giác góc C Câu 56 Cho tam giác ABC vuông A với AC cắt AB D Kẻ DE ⊥ BC ( E ∈ BC ) b) Trong tam giác a) Chứng minh AC = CE b) Tính độ dài AB, AC c) Trên tia AB lấy điểm F cho AF = AC Kẻ tia Fx ⊥ FA cắt tia DE M Tính  DCM Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 561 Website:tailieumontoan.com A D C B E F M K a) Chứng minh ∆ACD = ∆ECD(ch − gn) ⇒ AC = CE AB AB AC = ( gt ) ⇒ = AC 4 2 AB AC AB + AC BC 152 ⇔ = = = = =9 16 + 16 25 25 ⇒ AB =9.9 =81 ⇒ AB =9cm b) AC = 9.16 = 144 ⇒ AC = 12cm c) Kẻ Cy ⊥ Fx cắt K Ta thấy AC ACK = 900 = AF = FK = CK = CE  =  (2 góc tương ứng) Chứng minh ∆CEM = ∆CKM (ch − cgv) ⇒ ECM KCM  =DCE  + ECM  =1  Mà DCM ACK = 900 =450 2 Câu 57 Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D thuộc cạnh BC H I thứ tự hình chiếu B C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) BH = AI b) BH + CI có giá trị khơng đổi 2 c) Đường thẳng DN vng góc với AC  d) IM phân giác HIC Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 562 Website:tailieumontoan.com B H D M I N A C a) ∆AIC = ∆BHA ⇒ BH = AI b) BH + CI = BH + AH = AB 2 2 AM , CI hai đường cao cắt N ⇒ N trực tâm ⇒ DN ⊥ AC  = IMA  d) ∆BHM = ∆AIM ⇒ HM = MI BHM  + BMI  =900 ⇒ BMH  + BMI  =900 Mà IMA c) = 450 ⇒ ∆HMI vuông cân ⇒ HIM = = =  Mà : HIC 900 ⇒ HIM MIC 450 ⇒ IM phân giác HIC  < 90o ), đường cao AH Gọi E; F điểm đối xứng Câu 58 Cho tam giác ABC ( BAC H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC M N Chứng minh rằng: a AE = AF; ; b HA phân giác MHN c CM // EH; BN // FH Hướng dẫn giải F A N M E B C H Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 563 Website:tailieumontoan.com a) Vì AB trung trực EH nên ta có: AE = AH (1) Vì AC trung trực HF nên ta có: AH = AF (2) Từ (1) (2) suy ra: AE = AF b) Vì M  ∈ AB nên MB phân giác EMH ⇒ MB phân giác ngồi góc M tam giác MNH Vì N  ∈ AC nên NC phân giác FNH ⇒ NC phân giác ngồi góc N tam giác MNH Do MB; NC cắt A nên HA phân giác góc H tam giác HMN hay  HA phân giác MHN  ⇒ HB phân giác ngồi góc H c) Ta có AH ⊥ BC (gt) mà HM phân giác MHN tam giác HMN MB phân giác ngồi góc M tam giác HMN (cmt) ⇒ NB phân giác góc N tam giác HMN ⇒ BN ⊥ AC ( Hai đường phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau) ⇒ BN // HF ( vng góc với AC) Chứng minh tương tự ta có: EH // CM  cắt AC D, phân giác Câu 59 Cho  ABC nhọn có góc A 600 Phân giác ABC  cắt AB E BD cắt CE I ACB a) Tính số đo góc BIC b) Trên cạnh BC lấy điểm F cho BF = BE Chứng minh  CID =  CIF c) Trên tia IF lấy điểm M cho IM = IB + IC Chứng minh  BCM tam giác Hướng dẫn giải A D E I B 2 C F N M Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 564 Website:tailieumontoan.com a) BD phân giác góc ABC nên B1 = B2 = CE phân giác góc ACB nên C1 = C2 = ABC ACB Mà tam giác ABC có A+B+C = 1800 suy 600 + ABC+ACB = 1800  ABC+ACB = 1200  B2+C1= 600  BIC = 1200 b)  BIE =  BIF (cgc)  BIE = BIF BIC = 1200  BIE = 600  BIE = BIF = 600 Mà BIE + BIF + CIF = 1800  CIF = 600 CID = BIE = 600 (đ.đ)  CIF = CID = 600   CID =  CIF (g.c.g) c) Trên đoạn IM lấy điểm N cho IB = IN  NM = IC   BIN  BN = BI BNM = 1200   BNM =  BIC (c.g.c)  BM = BC B2 = B4   BCM >C  Câu 60 Cho tam giác ABC, AD tia phân giác góc A B  −C  ADC −  ADB = B a) Chứng minh   −C =  biết B 400 b) Vẽ đường thẳng AH vng góc BC H Tính  ADB HAD c) Vẽ đường thẳng chứa tia phân giác góc đỉnh A, cắt đường thẳng BC  −C  B  E Chứng minh  AEB = HAD = Hướng dẫn giải A E B H D C a)   + BAD  ( góc ngồi ∆ABD) (1) ADC= B   + CAD  ( góc ngồi ∆ADC) (2) ADB= C  = DAC  (3) Mà AD phân giác góc BAD nên BAD Từ (1), (2) (3) suy đpcm Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 565 Website:tailieumontoan.com b) Ta có:   −C  = 400 ADC −  ADB = B  ADC +  ADB = 1800 1800 + 400  ⇒ ADC = = 1100 ;  ADB = 700  20 ⇒ AHD = c) Ta có AD, AE hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh A nên AD⊥AE Xét ∆AED AEB +  ADE = 900 (4) ta có:  Xét ∆AHD + ADE = 900 (5) ta có: HAD Mặt khác   =  + DAC  =  + A ADB C C  +B  +C  = A 180   +C  A B ⇒ = 90 − 2    =  + 90 − B + C ADB C  −B  C = + 90  −C  B  = 90 (6) + ADB Từ (4), (5) (6) suy đpcm Liên hệ tài liệu word toan zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 0, − + − + − 17 37 17 37 B= + = + 5 7 5 7 7 − + − + − 3,5 − + − + − 17 37 17 37 1 1  1 1 3 − +  − + − 16 17 37  =  + = − = ⋅ 1 1   1 1  35  − +  ? ?7  − + −   17 37   5 1 1 1... Website:tailieumontoan.com  171 7 17 171 7 171 171 7 171     B  40   303030 424242 565656   17. 10101 17. 10101 17. 10101   B  40     30.10101 42.10101 56.10101  17 17 17  B  40  ...  + +  +  + = 76 .78 77 .154  52 102   53 101   76 78  77 52.102 53.101   1     + + + B =  +  + +  +  52.102 102.52   53.101 101.53   76 .78 78 .76  77 .154 2 2 A 154 =