Bài viết giới thiệu một số mô hình rủi ro của bảo hiểm tài chính và một số hướng nghiên cứu mở của chủ đề này. Để hiểu rõ hơn, mời các ban tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 13 MỘT SỐ MƠ HÌNH RỦI RO TRONG BẢO HIỂM TÀI CHÍNH TS Nguyễn Huy Hồng* Tóm tắt Các hoạt động kinh tế muốn thu lợi nhuận cần phải tiến hành đầu tư tài chính, nhiên, hoạt động gặp rủi ro, dẫn đến thua lỗ phá sản Các cơng ty bảo hiểm thành lập nhằm mục đích chịu trách nhiệm chia sẻ phần cho chủ thể gặp rủi ro, hoạt động bảo hiểm hoạt động đầu tư tài nên thân chứa đựng rủi ro Hiện nay, chủ đề nhà toán học bảo hiểm dành nhiều quan tâm với mơ hình phù hợp thực tế Bài viết giới thiệu số mơ hình rủi ro bảo hiểm tài số hướng nghiên cứu mở chủ đề Từ khóa: Mơ hình rủi ro (Risk model), xác suất thiệt hại (Ruin probability), dãy biến ngẫu nhiên độc lập (Independent random variables), mơ hình Cramer - Lundberg Giới thiệu số nội dung rủi ro bảo hiểm Trong năm gần đây, ngành Bảo hiểm Tài thực trở thành ngành kinh tế giữ vai trị trọng yếu, có tác dụng điều chỉnh thúc đẩy hoạt động ngành kinh tế khác, trở thành nơi tập trung ý tưởng xuất phát từ lĩnh vực tri thức ứng dụng thực tế khác Hiện nay, chứng kiến cộng tác chặt chẽ nhà toán học, nhà kinh tế nhà tài việc ứng dụng thành tựu toán học đại vào việc nghiên cứu mơ hình kinh tế, phân tích tìm hiểu quy luật chi phối hoạt động kinh tế, từ có đề xuất giải pháp phù hợp với quy luật Đặc biệt thập kỷ gần đây, vấn đề bảo hiểm, tài thu hút ý nhà toán học lĩnh vực Lý thuyết xác suất thống kê toán học Đầu tiên, viết giới thiệu số kiến thức rủi ro bảo hiểm tài xác suất thiệt hại cơng ty bảo hiểm 1.1 Bài tốn rủi ro công ty bảo hiểm Giả sử công ty bảo hiểm phát hành loại chứng từ bảo hiểm dịch vụ tài Khách hàng người mua chứng từ Cơng ty bảo hiểm với số vốn ban đầu * Bộ mơn Tốn - Thống kê, Khoa Kinh tế - Luật, Trường Đại học Tài - Marketing 102 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN u > , thu khách hàng số tiền mua bảo hiểm với phí suất c > Tại thời điểm t, công ty phải trả số tiền bảo hiểm tổng cộng S(t) cho khách hàng có nhu cầu địi trả bảo hiểm Quỹ vốn cơng ty bảo hiểm xác định bởi: U(t) = u + c.t − S(t) (1) Quỹ vốn phải dương cơng ty có lãi, ngược lại U(t) < xảy cố “rủi ro” hay “thiệt hại” Thơng thường, mơ hình tốn rủi ro, người ta có giả thiết sau đây: a Các số tiền đòi trả bảo hiểm {Xi ,i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối F với kỳ vọng hữu hạn µ b Khoảng thời gian hai lần đòi trả liên tiếp {t i ,i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối G với kỳ vọng hữu hạn độc lập với dãy {Xi ,i ≥ 1} c Số yêu cầu đòi trả bảo hiểm khoảng thời gian (0, t] , (quá trình đến yêu cầu) định nghĩa bởi: n N(t) = sup {n ≥ 1,Tn ≤ t} , t ≥ Tn = ∑ t i thời điểm xảy yêu cầu đòi trả bảo hiểm, với quy ước: Sup ∅ = Khi đó: S( t ) = i =1 N( t ) ∑ Xi (2) i =1 biểu diễn tổng số tiền đòi trả bảo hiểm thời điểm t 1.2 Xác suất thiệt hại (Ruin probability) Trong mơ hình (1), xác suất thiệt hại với thời gian hữu hạn vô hạn định nghĩa sau: a Xác suất thiệt hại với thời gian hữu hạn ký hiệu ψ (u,T) định nghĩa bởi: ψ ( u,T ) = P {U(t) < với t ≤ T} , < T < ∞ Ở đây, u số vốn ban đầu, T thời điểm hữu hạn định trước b Xác suất thiệt hại với thời gian vô hạn ký hiệu ψ (u) định nghĩa là: ψ ( u ) = ψ ( u, ∞ ) = lim ψ ( u,T ) T →∞ (3) c Thời điểm xảy thiệt hại τ(t) thời điểm dừng ngẫu nhiên định nghĩa bởi: với quy ước: inf ∅ τ ( T ) = inf {t :0 ≤ t ≤ T, U(t) < 0} (4) = ∞ 1.3 Phân loại bảo hiểm Người ta quy ước phân loại trường hợp bảo hiểm dẫn tới việc phải trả tiền bảo hiểm thành ba loại: (i) loại bình thường; (ii) loại đặc biệt; (iii) loại tai họa 103 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Ký hiệu: F = F(x) hàm phân phối số tiền đòi trả bảo hiểm hàm F(x) = − F(x) đuôi phân phối F Để mô tả biến cố thuộc loại bình thường, người ta dùng phân phối có nhẹ, chẳng hạn phân phối mũ: Người ta mô tả biến cố bảo hiểm phải bồi thường lớn (loại đặc biệt tai họa) phân phối với đuôi nặng, chẳng hạn: (các phân phối Pareto) Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên độc lập 2.1 Mô hình rủi ro thời gian liên tục (Mơ hình đổi mơ hình Cramer - Lundberg) Xét mơ hình rủi ro (1) với giả thiết: (i) Dãy biến ngẫu nhiên khoảng thời gian hai lần đòi trả {t i ,i ≥ 1} giả thiết dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối với kỳ vọng chung hữu hạn (ii) Dãy số tiền đòi trả bảo hiểm {Xi ,i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối với hàm phân phối xác suất F ( x ) = P ( X1 < x ) cho F(0) = kỳ vọng chung hữu hạn µ (iii) Hai dãy biến ngẫu nhiên {t i ,i ≥ 1} {Xi ,i ≥ 1} độc lập với Khi đó, mơ hình (1) gọi mơ hình đổi Đối với mơ hình này, thu kết quả: EU ( t ) = u + c.t − µ.EN ( t ) (5) EU ( t ) = u + c.t − λ.µ.t (6) Nếu giả thiết (i), dãy biến ngẫu nhiên khoảng thời gian hai lần đòi trả {t i ,i ≥ 1} giả thiết dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối mũ với kỳ vọng chung hữu hạn Et1 = , mơ hình gọi mơ hình Cramer - Lundberg, đó, λ có: Đối với mơ hình Cramer - Lundberg, có kết tiếng ước lượng xác suất thiệt hại Định lý Cramer - Lundberg Giả sử giả thiết mơ hình Cramer - Lundberg cho Khi đó, tồn số r = R > thỏa mãn phương trình: ∞ λ rx e (1 − F ( x ) ) dx = c ∫0 Xác suất thiệt hại thời gian hữu hạn xác suất thiệt hại thời gian vô hạn ước lượng sau: 104 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ψ ( u,T ) ≤ e − Ru (7) và: ψ ( u ) = lim ψ ( u,T ) ≤ e − Ru T →∞ (8) 2.2 Mơ hình rủi ro với thời gian rời rạc Trong mơ hình rủi ro với thời gian rời rạc, thời kỳ số tiền thu bảo hiểm {X n , n ≥ 1} đòi trả bảo hiểm {Yn , n ≥ 1} giả thiết dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập phân phối hai dãy biến ngẫu nhiên độc lập với Khi đó, tài sản hãng bảo hiểm thời kỳ thứ n biến ngẫu nhiên sau: Un n = u + ∑ ( Xi − Yi ) , (9) i =1 Trong đó: U = u > , u số vốn ban đầu hãng bảo hiểm Ta ký hiệu: Sn nghĩa bởi: = n ∑ ( Yi − Xi ), đó, xác suất thiệt hại đến thời kỳ thứ n định i =1 Ψn (u ) n n = P ( U k < ) = P ( Sk > u ) k =1 k =1 xác suất thiệt hại (với thời gian vô hạn) là: Ψ (u) = ∞ ∞ lim Ψ n ( u ) = P ( U n < ) = P ( Sn > u ) n →∞ n =1 n =1 R Y −X Giả sử tồn số R > thoả mãn E e ( 1 ) (10) = , đó, xác suất thiệt hại thỏa mãn bất đẳng thức Lundberg: Ψ ( u ) ≤ e − R u Có thể xem chi tiết kết tài liệu [30], Định lý (1.3) 2.3 Mơ hình rủi ro với thời gian rời rạc có tác động lãi suất Bây xét mơ hình (9), với giả thiết số tiền thu bảo hiểm {X n , n ≥ 1} đòi trả bảo hiểm {Yn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập phân phối hai dãy biến ngẫu nhiên độc lập với Ngồi ra, cịn có tác động yếu tố lãi suất Gọi U n thặng dư công ty bảo hiểm thời điểm n , r ≥ lãi suất, đây, giả thiết r lãi gộp số Ta có: Un n = u (1 + r ) + ∑ Xi (1 + r ) n i =1 n −i +1 n − ∑ Yi (1 + r ) n −i (11) i =1 105 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Đối với mơ hình này, xác suất thiệt hại định nghĩa sau: ψ ( u ) = P {U n < 0} n n n −i n −i +1 n = P ∑ Yi (1 + r ) − ∑ Xi (1 + r ) > u (1 + r ) i =1 i=1 n n −i − i +1 = P ∑ Yi (1 + r ) − ∑ Xi (1 + r ) > u , với n i =1 i=1 (12) Định lý (xem [30]) Với giả thiết mô hình (11), giả sử tồn số R > thỏa mãn: { E e R[Y(1+ r) −1 ] } E{e } xác suất thiệt hại ước lượng bởi: − RX = 1, ψ u ≤ e − Ru ( ) Một số hướng nghiên cứu mở (13) (14) 3.1 Nghiên cứu mơ hình rủi ro với biến cố bảo hiểm phải bồi thường lớn (loại đặc biệt tai họa) Trong kết cổ điển, chủ yếu nghiên cứu trường hợp đền bù nhỏ, số tiền đòi trả bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với phân phối đuôi nhẹ mũ, gamma… Nhu cầu thực tế (như động đất, sóng thần, khơ hạn…) địi hỏi phải nghiên cứu biến cố bảo hiểm phải bồi thường lớn (loại đặc biệt tai họa), số tiền đòi trả bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với phân phối nặng Có thể tham khảo tài liệu: [14] Kluppelberg, C and Stadtmuller, U (1998), Ruin Probabilities in the presence of heavy - tails and interest rates, Scandinavian Actuarial Journal, pp 49 - 58 [26] Tang Q (2004), The ruin probabilities of a discrete time risk model under constant interest rate with heavy tails, Scandinavian Actuarial Journal 2, pp 229 - 240 3.2 Nghiên cứu mơ hình rủi ro với dãy biến ngẫu nhiên độc lập không phân phối Thông thường, hãng bảo hiểm có nhiều sản phẩm bảo hiểm khác nên mơ hình rủi ro với dãy biến ngẫu nhiên độc lập không phân phối nhu cầu nghiên cứu cần thiết thực tế (xem Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng [1]) 3.3 Nghiên cứu mơ hình rủi ro với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Trong thực tế, độ phức tạp ngày tăng sản phẩm bảo hiểm tái bảo hiểm, số đối tượng tham gia bảo hiểm ngày lớn nên địi hỏi mơ hình rủi ro có cấu 106 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN trúc phụ thuộc Do đó, để phù hợp hướng nghiên cứu dành nhiều quan tâm nhà tốn học, mơ hình rủi ro với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Có thể kể kết có giá trị nhà tốn học, xét mơ hình với giả thiết dãy số tiền thu, địi trả bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc, dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa tự hồi quy cấp một, xích Markov như: Albrecher, H [1]; Cai, J [9], [11]; Dickson, D C M [11]; Muller, A [18]; Pfug, G [18]; Valdez, E A [29]; Mo, K [29]; Xu, L [30]; Wang, R [30]; Yang, H [32]; Zhang, L H [32]… mơ hình rủi ro bảo hiểm, thời gian liên tục rời rạc với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc, theo nghĩa m - phụ thuộc Ngồi ra, mơ hình xét tới tác động yếu tố lãi suất, với lãi suất số lãi suất dãy biến ngẫu nhiên (xem Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng [4], [5], [18]) 3.4 Ước lượng cận cho xác suất thiệt hại dạng hàm mũ Thông thường, ước lượng cận cho xác suất thiệt hại thường có dạng hàm mũ, hướng đặt sử dụng dạng hàm khác để ước lượng không? Nếu có khác biệt gì? Có thể tham khảo tài liệu: [30] Yang, H (1999), Non-exponetial bounds for ruin probability with interest effect included, Scandinavian Actuarial Journal 1, pp 66 - 79 3.5 Xây dựng ví dụ số mơ cho mơ hình lý thuyết, tính xác, xác suất thiệt hại Để bước đưa mơ hình lý thuyết vào thực tế, cần xây dựng ví dụ số mơ cho mơ hình lý thuyết (xem Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng [5]; Nguyễn Thị Thúy Hồng [19]) Trong số trường hợp cụ thể, tính xác, xác suất thiệt hại, việc bổ ích mang tính thực tế (xem De Vylder, F E [32]; Nguyễn Thị Thúy Hồng [19]; [20]) TÀI LIỆU THAM KHẢO Albrecher, H (1998), Dependent risks and Ruin Probabilities in Insurance IIASA Interim Report, IR-98-072 Asmussen, S (2000), Ruin probabilities, World Scientific, Singapore Bui Khoi Dam and Nguyen Huy Hoang (2010), Ruin Probabilities for sequences of dependent random variables with interest (submitted to Insurance: Mathematics and Economics) Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng (2008), “Đánh giá xác suất thiệt hại trình rủi ro với gia số phụ thuộc”, Tạp chí Ứng dụng Tốn học, Tập VI, số1, tr 93 - 104 Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng (2008), “Ước lượng xác suất thiệt hại số mô hình rủi ro, thời gian rời rạc với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc”, Tạp chí Ứng dụng Tốn học, Tập VI, số 2, tr 49 - 64 107 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Buhlman, H (1970), Mathematical Methods in Risk Theory, Berlin - Heidelberg - New York Springer Cai, J (2002), Discrete time risk models under rates of interest, Probability in the Engineering and Informational Sciences 16, pp 309 - 324 Cai, J (2002), Ruin Probabilities with Dependent Rates of Interest, Journal of Applied Probability, 39, N0 2, pp 312 - 323 Cai, J and Dickson, D C M (2003), Upper bounds for Ultimate Ruin Probabilities in the Sparre Andersen Model with Interest, Insurance: Mathematics and Economics 32, pp 61 - 71 10 Cai, J and Dickson, D C M (2004), Ruin Probabilities with a Markov chain interest model, Insurance: Mathematics and Economics 35, pp 513 - 525 11 Cramér, H (1930), On the Mathematical Theory of Risk, Skandia Jubilee Volume, Stockholm 12 De Vylder, F E.(1999), “Numerical finite - time ruin probabilities by the Picard - Lefevre formula”, Scandinavian Actuarial Journal 2, pp 375 - 386 13 Hipp, C and Schmidli, H (2004), “Asymptotics of ruin probabilities for controlled risk processes in the small claim case”, Scandinavian Actuarial Journal, pp 321 - 335 14 Kluppelberg, C and Stadtmuller, U (1998), “Ruin Probabilities in the presence of heavy - tails and interest rates”, Scandinavian Actuarial Journal, pp 49 - 58 15 Konstantinides, D G., Tang, Q H and Tsitsiashvili, G S (2002), “Two - sided bounds for ruin probability under constant interest force”, Journal of Mathematical Sciences, Vol 123, N0 1, pp 3824 - 3833 16 Ma, J and Sun, X (2003), “Ruin probabilities for insurance models involving investments”, Scandinavian Actuarial Journal, pp 217 - 237 17 Muller, A and Pfug, G (2001), Asymptotic ruin probabilities for risk processes with dependent increments, Insurance: Mathematics and Economics, 728, pp - 12 18 Nguyen Huy Hoang (2019), Ruin probabilities for risk models with constant interest, Укр мат журн., т 71, № 10, pp.1430 - 1434 19 Nguyễn Thị Thúy Hồng (2012), “Ứng dụng phương pháp Monte Carlo để tính xác suất phá sản bảo hiểm”, Tạp chí Ứng dụng Tốn học, Tập X, số 1, năm 2012, tr 35 - 52 20 Nguyen Thi Thuy Hong (2013), “On finite - time ruin probabilities for general risk models”, East - West Journal of Mathematics, Vol.15, N0 1, pp 86 - 101 21 Paulsel, J (2002), On Cramer - like asymptotics for risk processes with stochastic return on investment, The Annals of Applied Probability, Vol.12, N0 4, pp 1247 - 1260 108 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 22 Promislow, S D (1991), “The Probability of ruin in a process with dependent increments”, Insurance: Mathematics and Economics 10, pp 99 - 107 23 Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., and Teugels, J.L (1999), Stochastic Processes for Insurance and Finance, John Wiley, Chichester 24 Schmidli, H (2004), Asymptotics of ruin probabilities for risk processes under optimal reinsurance and investmen policies: The large claim case, Queueing Systems 46, pp 149 - 157 25 Sundt, B and Teugels, J.L (1995), “Ruin estimates under interest force”, Insurance: Mathematics and Economics 16, pp - 22 26 Tang Q (2004), “The ruin probabilities of a discrete time risk model under constant interest rate with heavy tails”, Scandinavian Actuarial Journal 2, pp 229 - 240 27 Trần Hùng Thao (2004), Nhập mơn Tốn học tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 28 Valdez, E A and Mo, K (2002), Ruin probabilities with Dependent Claims, working paper, The University of New South Wales 29 Xu, L and Wang, R (2006), “Upper bounds for ruin probabilities in an autoregressive risk model with Markov chain interest rate”, Journal of Industrial and Management optimization, Vol N0 2, pp 165 - 175 30 Yang, H (1999), “Non-exponetial bounds for ruin probability with interest effect included”, Scandinavian Actuarial Journal 1, pp 66 - 79 31 Yang, H and Zhang, L H (2003), Martinganle method for ruin probability in an autoregressive model with constant interest rate, Probability in the Engineering and Informational Sciences 17, pp 183 - 198 32 Yang, H and Zhang, L H (2006), “Ruin problems for a discrete time risk model with random interest rate”, Mathematical Method of Operations Research 63, pp 287 - 299 33 Yuen, K C., Wang, G.(2005), “Some Ruin problems for a risk processes with stochastic interest”, North American Actuarial Journal, 9, pp 129 - 142 109 ... cứu mơ hình rủi ro với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Trong thực tế, độ phức tạp ngày tăng sản phẩm bảo hiểm tái bảo hiểm, số đối tượng tham gia bảo hiểm ngày lớn nên đòi hỏi mơ hình rủi ro có... u,T ) ≤ e − Ru T →∞ (8) 2.2 Mơ hình rủi ro với thời gian rời rạc Trong mơ hình rủi ro với thời gian rời rạc, thời kỳ số tiền thu bảo hiểm {X n , n ≥ 1} đòi trả bảo hiểm {Yn , n ≥ 1} giả thiết dãy... phân phối mũ: Người ta mô tả biến cố bảo hiểm phải bồi thường lớn (loại đặc biệt tai họa) phân phối với đuôi nặng, chẳng hạn: (các phân phối Pareto) Một số mô hình rủi ro bảo hiểm với dãy biến ngẫu