Chuyên đề Mũ – Logarit

ThS. Lê Văn Đoàn 07/2013 Chuyên đề Mũ – Logarit (Dùng cho ôn luyện TNPT và Đại học – Cao đẳng) E m a i l : v a n d o a n _ a u t o m o b i l e @ y a h o o . c o m . v n MỤC LỤC Trang A – Công thức mũ & logarit cần nhớ 1 B – Phương trình & Bất phương trình mũ 3 Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa 3 Các thí dụ 3 Bài tập tương tự 16 Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn phụ 25 Các thí dụ 25 Bài tập tương tự 67 Dạng toán 3. Giải bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số 77 Các thí dụ 77 Bài tập tương tự 88 C – Phương trình & Bất phương trình logarit 92 Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số 92 Các thí dụ 93 Bài tập tương tự 124 Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn phụ 138 Các thí dụ 138 Bài tập tương tự 154 Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức 164 Các thí dụ 165 Bài tập tương tự 175 D – Hệ phương trình & Hệ bất phương trình mũ – logarit 180 Dạng toán 1. Giải hệ bằng phép biến đổi tương đương 180 Các thí dụ 180 Bài tập tương tự 192 Dạng toán 2. Giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ 197 Các thí dụ 197 Bài tập tương tự 206 Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức 216 Các thí dụ 216 Bài tập tương tự 226 E – Bài toán chứa tham số mũ – logarit 230 Các thí dụ 231 Bài tập tương tự 250 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Page - 1 - A – CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ     Công thức mũ và lũy thừa: a và b là các số thực dương, x và y là những số thực tùy ý.  n a a.a.a a=   x x x a a b b      =         x y x y a a .a + =  x y x y a a=  x x y n y n a 1 a a a a − − = ⇒ =  ( ) ( ) 0 0 u x u x 1 x 1, x 0   ∀     = ⇒ =       ≠     ( ) ( ) y x x.y x y a a a= =  n n n a. b ab=  ( ) x x x a .b a.b=  ( ) m m n n m n a a a= =    Công thức logarit : Cho 0 a 1< ≠ và b, c 0> .  x a log b x b a= ⇔ =  a a a b log log b log c c = −  10 lg b log b log b= = (logarit thập phân)  a a a log b khi log b log b khi α   α α   =   α α     e ln b log b= ( ) , e 2, 718 = (logarit tự nhiên hay log nepe)  a a 1 log b log b α = α  a a log 1 0, log a 1= =  b a b log a=  ( ) a a a log b.c log b log c= +  a log b b a= Công thức đổi cơ số  c a c log b log b log a =  log c log a b b a c=  a b 1 log b , log a = a ln b log b ln a =  ab a b 1 log c 1 1 log c log c = +    Hàm số mũ – logarit và đạo hàm a/ Hàm số mũ ( ) x y a , a 0, a 1= > ≠ .  Tập xác định: D =  . n số a lẻ chẳn www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Page - 2 -  Tập giá trị: ( ) T 0,= +∞ .  Tính đơn điệu  Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.  Dạng đồ thị: b/ Hàm số logarit ( ) a y log x , a 0, a 1= > ≠ .  T ậ p xác đị nh: ( ) D 0,= +∞ .  T ậ p giá tr ị : T =  .  Tính đơ n đ i ệ u  Nh ậ n tr ụ c tung làm ti ệ m c ậ n đứ ng.  D ạ ng đồ th ị c/ Đạo hàm của hàm mũ và logarit Đạ o hàm hàm s ố s ơ c ấ p Đạ o hàm hàm s ố h ợ p  ( ) ( ) ' 1 x .x , x 0 α α− = α > ( ) . ' 1 u .u u ' α α− ⇒ = α  ( ) ' x x a a .ln a= ( ) ' u u a a .u '.ln u⇒ =  ( ) ' x x e e= ( ) ' u u e e .u '⇒ =  ( ) ' a 1 log x x ln a = ( ) ' a u ' log u u ln a ⇒ =  ( ) ( ) ' 1 ln x , x 0 x = > ( ) ' u ' ln u u ⇒ = ● Khi hàm số đồng biến. ● Khi : hàm số nghịch biến. ● Khi : hàm số đồng biến. ● Khi : hàm số nghịch biến. 1 1 O O O 1 O 1 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Page - 3 - B – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ        I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN II – CÁC THÍ DỤ Thí dụ 1. Giải phương trình: ( ) 2x 3 x 8 4 x 8 x 2 1 3.243 .9 9 + + + + = ∗ Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x 8 x 2   ≠ −    ≠ −   . ● Ta có: 1 4 5 2 2 4 1 3 3 ; 243 3 ; 9 3 ; 3 9 − = = = = nên: ( ) 2x 3 x 8 1 5 2 x 8 x 2 2 4 3 .3 3 .3     + +                   + +   −   ∗ ⇔ = 1 2x 3 x 8 5 2 2 4 x 8 x 2 3 3     + +        + − +           + +     ⇔ = 1 2x 3 x 8 5 2 2 4 x 8 x 2     + +       ⇔ + = − +           + +     Dạng 1. Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa    Đưa về cùng cơ số: Phương trình mũ:  Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng . Với thì .  Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì: . Bất phương trình mũ:  Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng . Nếu thì . Nếu thì .  Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì .    Logarit hóa: .  Lưu ý : Khi giải phương trình , bất phương trình cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Sau khi giải xong cần so sánh nghiệm (tập nghiệm) với điều kiện để nhận nghiệm (tập nghiệm) thích hợp. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Page - 4 - 2 41x 102x 248 0 ⇔ + − = 62 x 4 x 41 ⇔ = − ∨ = . ● Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: 62 x 4 x 41 = − ∨ = . Thí dụ 2. Giải phương trình: ( ) 3x 1 6x 7 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 9 27 − +            = ∗                Bài giải tham khảo ● Ta có: 1 1 2 1 3 3x 1 1 16 2 3 3 3 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3.3 3 −                                   = =                                          và 1 1 2 6x 7 3 23 3 3 4 2 4 24 3 9 27 3 3 .3 3 +                     = =                           . ( ) ( ) ( ) 16 23 3x 1 6x 7 9 24 3 3 − + ∗ ⇔ = ( ) ( ) 16 23 3x 1 6x 7 9 24 ⇔ − = + 611 x 30 ⇔ = − . ● Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 611 x 30 = − . Thí dụ 3. Giải phương trình: ( ) 2 2x 1 4x 3 2x 3x 78 4 .5 5.10 + + + − = ∗ Bài gi ả i tham kh ả o ● T ậ p xác đị nh: D =  . ( ) 2 4x 2 4x 2 2x 3x 78 2 .5.5 5.10 + + + − ∗ ⇔ = 2 4x 2 2x 3x 78 5.10 5.10 + + − ⇔ = 2 4x 2 2x 3x 78 ⇔ + = + − 1 641 x 4 ± ⇔ = . ● V ậ y ph ươ ng trình có hai nghi ệ m 1 641 x 4 ± = . Thí dụ 4. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) x x x x 5.3 3.2 7.2 4.3 + = − ∗ Bài gi ả i tham kh ả o ● T ậ p xác đị nh: D =  . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Page - 5 - ( ) x x x x 5.3 4.3 7.2 3.2 ∗ ⇔ + = − x x 3 .9 2 .4 ⇔ = x 2 3 3 2 2 −           ⇔ =               . x 2 ⇔ = − . ● V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m duy nh ấ t x 2 = − . Thí dụ 5. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) x x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 5 5 5 3 3 3 − − + − − + + = + + ∗ Bài gi ả i tham kh ả o ● T ậ p xác đị nh: D =  . ( ) x x x x x x 2 2 5 5 3 3 5 3.3 5 3 5 3 ∗ ⇔ + + = + + x x 1 1 1 1 5 1 3 3 5 25 3 9           ⇔ + + = + +               x x 31 31 .5 .3 25 9 ⇔ = x 2 5 25 5 3 9 2           ⇔ = =               x 2 ⇔ = . ● V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m duy nh ấ t x 2 = . Thí dụ 6. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) ( ) ( ) 2x 1 x 1 3x x 1 17 4 17 4 − − + + = − ∗ Bài gi ả i tham kh ả o ● Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 17 4 17 4 1 17 4 17 4 17 4 − + − = ⇒ − = = + + . ( ) ( ) ( ) 2x 1 x 1 3x x 1 17 4 17 4 − − − + ∗ ⇔ + = + 2x 1 x 1 3x x 1 − − ⇔ = − + 2 1 5 5x 2x 1 0 x 6 ± ⇔ − − = ⇔ = . ● V ậ y ph ươ ng trình có hai nghi ệ m: 1 5 1 5 x x 6 6 − + = ∨ = .    Nhận xét : D ạ ng t ổ ng quát c ủ a bài toán là ( ) ( ) f x g x a b = v ớ i a.b 1 = . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x 1 1 a.b 1 b a a a f x g x a − − = ⇒ = = ⇒ ∗ ⇔ = ⇔ = − . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Page - 6 - Thí dụ 7. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) x 2 x 1 x 1 2 2 1 2 1 + + + − − = + ∗ Bài gi ả i tham kh ả o ● T ậ p xác đị nh: D =  . ( ) x x x 4.2 2.2 1 2.2 1 ∗ ⇔ − − = + x x 2.2 1 2.2 1 ⇔ − = − x x x x x 2.2 1 0 2.2 1 2.2 1 2.2 1 2.2 1  − ≥     − = − ⇔       − = − +      x 1 x 1 2 2 2 4.2 2 −    ≥ =   ⇔    =    x 1 x 1 1 2 2 2 −   ≥ −    ⇔   = =     x 1 ⇔ = − . ● V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là x 1 = − . Thí dụ 8. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) ( ) ( ) x 1 x 3 x 2 x 2 − − + = + ∗ Bài gi ả i tham kh ả o ● Đ i ề u ki ệ n: x 1 0 x 1 − ≥ ⇔ ≥ . ( ) ( ) ( ) x 2 1 x 1 x 3 0     ∗ ⇔ + − − − − =         x 1 0 x 1 x 3  + =  ⇔  − = −   2 x 1 x 3 0 x 1 x 6x 9  = −     − ≥ ⇔       − = − +      x 1 x 3 x 5 x 2  = −     ≥ ⇔      = ∨ =     x 1 x 5  = −  ⇔  =   . ● K ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n, nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là x 5 = . Thí dụ 9. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) ( ) ( ) 2 x 5x 4 x 4 2 2 x 3 x 3 − + + + = + ∗ www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Page - 7 - Bài gi ả i tham kh ả o ● T ậ p xác đị nh: D =  . ( ) ( ) ( ) 2 2 x 3 1 x 5x 4 x 4 0     ∗ ⇔ + − − + − + =         ( ) 2 2 x 3 1 0 VN x 5x 4 x 4  + − =  ⇔  − + = +   ( ) 2 2 x 4 0 x 5x 4 x 4 x 5x 4 x 4 VN   + ≥      − + = + ⇔      − + = − −      x 4 x 0 x 6   ≥ −  ⇔   = ∨ =   x 0 x 6 ⇔ = ∨ = . ● V ậ y ph ươ ng trình đ ã cho có hai nghi ệ m: x 0 x 6 = ∨ = . Thí dụ 10. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) 2 x 3 x 5x 6 2 3 − − + = ∗ Bài gi ả i tham kh ả o ● T ậ p xác đị nh: D =  . ● L ấ y logarit c ơ s ố 2 hai v ế , ta đượ c: ( ) 2 x 3 x 5x 6 2 3 log 2 log 3 − − + ∗ ⇔ = ( ) ( ) 2 2 2 x 3 log 2 x 5x 6 log 3 ⇔ − = − + ( ) ( ) ( ) 2 x 3 x 2 x 3 log 3 0 ⇔ − − − − = ( ) ( ) 2 x 3 . 1 x 2 log 3 0   ⇔ − − − =     ( ) 2 x 3 0 1 x 2 log 3  − =  ⇔  − −   3 3 x 3 x log 2 2 log 18  =  ⇔  = + =   . ● V ậ y ph ươ ng trình có hai nghi ệ m là 3 x 3 x log 18 = ∨ = . Thí dụ 11. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) 2 4 2 3 x 2x 5x 3 2 5 7 0 − − + − = ∗ Bài gi ả i tham kh ả o ● T ậ p xác đị nh: D =  . ● L ấ y logarit c ơ s ố 5 hai v ế , ta đượ c: ( ) 2 4 2 3 x 2x 5x 3 2 5 5 log 5 log 7 0 − − + ∗ ⇔ − = www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Page - 8 - ( ) 4 2 2 5 5 3 2x 5x 3 log 5 x log 7 0 2      ⇔ − + − − =        ( ) 2 2 2 5 3 3 2 x 1 x x log 7 0 2 2           ⇔ − − − − =               ( ) 2 2 5 3 x . 2 x 1 log 7 0 2        ⇔ − − − =           ( ) 2 2 2 2 5 5 5 3 6 3 x x x 0 2 2 2 log 7 1 2 x 1 log 7 0 x 1 x 2 log 175 2 2      = = ±  − =    ⇔ ⇔ ⇔      − − =  = + = ±       . ● V ậ y ph ươ ng trình có các nghi ệ m là 5 6 1 x x 2 log 175 2 2 = ± ∨ = ± . Thí dụ 12. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) 2 x 4 2 x 2 .5 1 − − = ∗ Bài gi ả i tham kh ả o ● T ậ p xác đị nh: D =  . ● L ấ y logarit c ơ s ố 2 hai v ế , ta đượ c: ( ) ( ) 2 x 4 2 x 2 2 log 2 .5 log 1 − − ∗ ⇔ = 2 x 4 2 x 2 2 log 2 log 5 0 − − ⇔ + = ( ) 2 2 x 4 2 x log 5 0 ⇔ − + − = ( ) ( ) ( ) 2 x 2 x 2 x 2 log 5 0 ⇔ − + − − = ( ) ( ) 2 x 2 x 2 log 5 0 ⇔ − + − = 2 x 2 x 2 log 5  =  ⇔  = − +   . ● V ậ y ph ươ ng trình đ ã cho có hai nghi ệ m: 2 x 2 x 2 log 5 = ∨ = − + . Thí dụ 13. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) 2 x 2x 3 2 2 − = ∗ Bài gi ả i tham kh ả o ● T ậ p xác đị nh: D =  . ● L ấ y logarit c ơ s ố 2 hai v ế , ta đượ c: ( ) 2 x 2x 2 2 3 log 2 log 2 − ∗ ⇔ = 2 2 2 2 x 2x.log 2 log 3 log 2 ⇔ − = − ( ) 2 2 x 2x 1 log 3 0 1 ⇔ − + − = www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com [...]... ( ĐS: x ∈ − 2; −1 ∪ www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 23 - ) 2; 3 www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 15 Giải bất phương trình: 4x2 + 3 x x + 31+ Bài tập 16 Ths Lê Văn Đoàn Giải bất phương trình: 3x −4 + x2 − 4 3x−2 ≥ 1 ≤ 2x 2 3 x + 2x + 6 Đề thi thử Đại học năm 2013 khối B, D – THPT Sầm Sơn – Thanh Hóa 3   ĐS: x ∈  0; log2 2 ∪  ; +∞  3      2 2 ( x )... www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths Lê Văn Đoàn Dạng 2 Giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN Loại 1: Loại 2: Chia hai vế cho Loại 3: rồi đặt ẩn phụ với (chia cơ số lớn hoặc nhỏ nhất) Đặt Loại 4: Lưu ý: Một số trường hợp ta đặt ẩn phụ không hoàn toàn Nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ t vẫn còn x Ta giải phương trình theo t với x được xem như là hằng số II – CÁC... www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ t3 = Ths Lê Văn Đoàn 103 27 ⇔ t = 3x + 1 10 = >2 x 3 3 y = 3x > 0   ⇔ 2 ⇔ 3y − 10y + 3 = 0    (N )  y = 3x = 3   ⇔ x = ±1  y = 3x = 1 3  ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ∨ x = 1 Thí dụ 48   3   Giải phương trình: 27 x − 271−x − 16 3x − x  + 6 = 0  3    (∗) Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Trần Phú – Hà Tĩnh... www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 27 - 2 (∗) www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths Lê Văn Đoàn ● Vậy phương trình có ba nghiệm là x = −2 ∨ x = 0 ∨ x = 1 n ( ( ) ) Nhận xét: Vấn đề của bài toán là nhận ra 1 + 2 , (n ∈ Z) với n = 1 ⇒ 1 + 2 , ( ) ( ) với n = 2 ⇒ 3 + 2 2 , với n = 3 ⇒ 7 + 5 2 Theo kinh nghiệm của tôi, nếu chúng ta gặp phương trình mũ có nhiều cơ số dạng số vô tỉ (chứa căn)... 49.2x > 16.7 x (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » 2 x x (∗) ⇔ 2 4 > 7 2 2 7 2 ⇔ 2x −4 > 7 x−2 (1) ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: (1) ⇔ log 2 2 2x −4 > log2 7 x−2 ⇔ x2 − 4 > (x − 2) log2 7 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 15 - www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ x 2 − (log2 7 ).x + 2 log2 7 − 4 > 0 Ths Lê Văn Đoàn (2) 2 2 Ta có: ∆ = log22 7 − 8 log2 7 + 16 = (log2... điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x = 3 ∨ x = − log5 2 Thí dụ 15 2 Giải phương trình: 3x −2.4 2x−3 x = 18 (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 9 - Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ 0 ● Lấy logarit cơ số 3 hai vế, ta được: 2x−3   2   ∗) ⇔ log 3 3x −2.4 x  = log 3 18 (       2 ⇔ log 3 3x −2 + log 3 4 ( ) ⇔ x 2 − 2 + log 3 2 2x−3... trình: 8 x+2 = 4.34−x (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ −2 3x x +2 (∗) ⇔ 222 = 34−x ⇔2 3x −2 x +2 = 34−x x −4 ⇔ 2 x +2 = 3 4 −x (1) ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 10 - Ths Lê Văn Đoàn Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn x−4 (1) ⇔ log2 2 x+2 = log2 34−x ⇔ x−4 = (4 − x ) log2 3 x +2 ⇔ x−4 + (x − 4) log2 3 = 0 x +2  1  ... 0   ⇔ ⇔ 3t2 −... x ∈ (−∞; −1) ∪ − ; 0 ∪  ; +∞    2   2   Thí dụ 25 Giải bất phương trình: 52x−1 < 7 3−x (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 14 - Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » ● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 5 52x−1 < log5 7 3−x ⇔ 2x − 1 < (3 − x ) log5 7 ⇔ 2x + x log5 7 < 3 log5 7 + 1 ⇔ x (2 + log5 7