Toán rời rạc chương 3 phương pháp đếm

Chương PHƯƠNG PHÁP ĐẾM Phần I Hướng dẫn sử dụng Maple Để thực việc tính tốn toán liên quan tới tổ hợp sử dụng gói lệnh combinat Để gọi gói lệnh ta dùng > with(combinat); Chi, bell, binomial, cartprod, character, choose, composition, conjpart, decodepart, encodepart, fibonacci, firstpart, graycode, inttovec, lastpart, multinomial, nextpart, numbcomb, numbcomp, numbpart, numbperm, partition, permute, powerset, prevpart, randcomb, randpart, randperm, setpartition, stirling1, stirling2, subsets, vectoint 3.1 Tính tốn cơng thức tổ hợp • n! hay factorial(n): Tính n! • numbperm(n, k): Số chỉnh hợp chập k n • binomial(n, k): Số tổ hợp chập k n • multinomial(n, k1, k2, , km): Số hoán vị lặp n vật từ k1 vật loại 1, , km vật loại m n! hay k1 !k2 ! km ! > 6!; 720 > numbperm(6, 4); 360 > binomial(20, 6); 38760 >multinomial(10, 2, 3, 5); 2520 > expand(binomial(n, 3)); #expand(exp) : Khai triển biểu thức exp n − n + n 3.2 Liệt kê hoán vị, chỉnh hợp • permute(n): Danh sách hốn vị [1, 2, , n] • permute(S): Danh sách hốn vị S, S danh sách hay tập hợp • permute(n, k): Danh sách chỉnh hợp chập k [1, 2, , n] • permute(S, k): Danh sách chỉnh hợp chập k S, S danh sách hay tập hợp CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt • randperm(n): Một hoán vị ngẫu nhiên [1, 2, , n] • randperm(S): Một hốn vị ngẫu nhiên S > permute(3); [[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]] > permute([1, 1, 2]); [[1, 1, 2], [1, 2, 1], [2, 1, 1]] > permute({a, b, c}); [[a, b, c], [a, c, b], [b, a, c], [b, c, a], [c, a, b], [c, b, a]] > permute(3, 2); [[1, 2], [1, 3], [2, 1], [2, 3], [3, 1], [3, 2]] > permute([1, 1, 2], 2); [[1, 1], [1, 2], [2, 1]] > permute({a, b, c},2); [[a, b], [a, c], [b, a], [b, c], [c, a], [c, b]] Ta dùng hàm permute để giải toán liên quan tới liệt kê hoán vị lặp, chỉnh hợp lặp Ví dụ Có hai chữ số 1, chữ số ba chữ số 8, a) Liệt kê tất số có chữ số tạo từ chữ số trên; b) Liệt kê tất hoán vị chữ số > S:=[1, 1, 5, 8, 8, 8]: > permute(S, 2); [[1, 1], [1, 5], [1, 8], [5, 1], [5, 8], [8, 1], [8, 5], [8, 8]] > L:=permute(S); [1, 1, 5, 8, 8, 8], [1, 1, 8, 5, 8, 8], [1, 1, 8, 8, 5, 8], [1, 1, 8, 8, 8, 5], [1, 5, 1, 8, 8, 8], , > nops(L); 60 Ví dụ Liệt kê tất số có ba chữ số tạo từ chữ số 1, 2, 3, (có thể lặp lại) > S:=[1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4]: > L:=permute(S, 3); [1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 1, 3], [1, 1, 4], [1, 2, 1], [1, 2, 2], [1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 3, 1], > nops(L); 64 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3.3 Liệt kê tổ hợp • choose(n): Danh sách tổ hợp [1, 2, , n] • choose(S): Danh sách (tập hợp) tổ hợp S, S danh sách (tập hợp) • choose(n, k): Danh sách tổ hợp chập k [1, 2, , n] • choose(S, k): Danh sách (tập hợp) tổ hợp chập k S, S danh sách (tập hợp) • randcomb(n, k): Một tổ hợp ngẫu nhiên chập k {1, 2, , n} • randcomb(S, k): Một tổ hợp ngẫu nhiên chập k S > choose(3); [[], [1], [2], [3], [1, 2], [1, 3], [2, 3], [1, 2, 3]] > choose([a, a, b]); [[], [a], [b], [a, b], [a, a], [a, a, b]] > choose({1, 2, 3}); {{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} > choose(4, 2); [[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]] > choose([a, a, b], 2); [[a, a], [a, b]] > choose({1, 2, 3}, 2); {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} Ta dùng hàm choose để giải toán liên quan tới liệt kê tổ hợp lặp Ví dụ An mua nón từ cửa hàng có loại nón A, B, C Hãy liệt kê tất khả mua An > S:=[A, A, B, B, C, C]: > choose(S, 2); [[A, A], [A, B], [A, C], [B, B], [B, C], [C, C]] 3.4 Tìm hệ số đơn thức khai triển lũy thừa đa thức • coeff(f, xˆk): Tính hệ số xk đa thức f • coeff(coeff(f, xˆk), yˆt): Tính hệ số xk y t đa thức f • coeffs(f): Dãy hệ số đa thức f (chỉ áp dụng f khai triển) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt > f := (2*xˆ3-2*y+3*zˆ2+4*t)ˆ10; f := x3 − y + z + t > coeff(f, yˆ9); 10 #Tính hệ số y −10240 x3 − 15360 z − 20480 t > coeff(coeff(coeff(coeff(f, xˆ6), yˆ4), zˆ2), tˆ3); #Tính hệ số x6 y z t3 154828800 > h:=expand(f): #h dạng khai triển f > L := coeffs(h); #L dãy hệ số đa thức h L := −46448640, 65318400, −82575360, −25194240, 737280, −30965760, > nops([L]); 286 10 Như đa thức f := (2 x3 − y + z + t) có • hệ số đơn thức x6 y z t3 154828800; • số đơn thức f 286 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phần II Bài tập Bài 3.1 Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác mà có chữ số 0? Bài 3.2 Có chuỗi bit có độ dài 12 mà có a) xác bit 1? c) tối thiểu bit 0? b) tối đa bit 1? d) bit bit 1? Bài 3.3 Có hốn vị chuỗi ký tự ABCDEFGH chứa a) ED? c) BA FGH? e) CAB BED? b) CDE? d) AB, DE, GH? f) BCA ABF? Bài 3.4 Từ 15 nam 10 nữ, hỏi có cách chọn đội gồm 12 người a) chọn tùy ý d) có nam nữ b) có nam e) có nam nữ c) có nam f) có số nam chẵn Bài 3.5 Cho S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Hỏi có tập hợp A S có phần tử mà a) chứa phần tử 3; d) A ≥ 4; b) A = 3; e) max A = 8; c) A ≤ 3; f) A = max A = Bài 3.6 Cho S = {1, 2, 3, , 14, 15} Hỏi có tập hợp A ⊂ S mà a) A có tồn số lẻ c) |A| = A có số lẻ b) A có số lẻ d) A có số lẻ số chẵn Bài 3.7 Cho n số nguyên dương S = {1, 2, , n} Hỏi có tập A ⊂ S cho A có số chẵn? (xét n chẵn, lẻ) Bài 3.8 Tìm số tự nhiên n ≥ biết có phần tư số tập gồm phần tử S = {1, 2, , n} có chứa số Bài 3.9 Cho số nguyên n ≥ Có cách chia n sinh viên thành đội mà a) đội học tiếng Anh đội học tiếng Pháp? b) hai đội làm công tác xã hội nhau? (xét trường hợp n chẵn lẻ ) Bài 3.10 Có cách chia 12 bút khác cho đứa trẻ a) đứa cây; b) hai đứa lớn đứa hai đứa nhỏ đứa CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài 3.11 Cho số nguyên n ≥ Xét tất tam giác tạo từ đỉnh khác đa giác có n cạnh Hỏi a) có tất tam giác vậy? b) có tam giác có chung cạnh với đa giác trên? c) có tam giác có chung cạnh với đa giác trên? d) có tam giác khơng có chung cạnh với đa giác trên? Bài 3.12 Có cách xếp a) nam nữ xen kẽ thành hàng dọc? Câu hỏi tương tự cho trường hợp nam nữ b) nam nữ thành hàng dọc cho nam đứng gần nhau? c) nam nữ thành hàng dọc cho nữ đứng gần nhau? d) nam nữ thành hàng dọc cho nam đứng gần nữ đứng gần nhau? e) nam nữ thành hàng dọc cho nam đứng gần hay nữ đứng gần nhau? f) bác sĩ kỹ sư luật sư thành hàng ngang cho đồng nghiệp đứng gần nhau? Bài 3.13 Có cách xếp cặp vợ chồng ngồi vào bàn tròn có 10 ghế (các ghế đánh số thứ tự) a) xếp tùy ý? b) người chồng ngồi gần nhau? c) vợ chồng ngồi gần nhau? Bài 3.14 Với chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; lập số tự nhiên có 10 chữ số mà số chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số khác chữ số có mặt lần Bài 3.15 Tìm hệ số đơn thức a) xy z t khai triển (x + 2y − z + 4t − 5u)7 b) x3 y z t3 khai triển (2x − y − 3z + 4t3 )9 Bài 3.16 Có cách treo áo đỏ, áo trắng áo xanh thành hàng dọc (các áo khác nhau) a) treo tùy ý b) áo màu treo gần c) áo màu trắng treo gần d) áo màu đỏ treo gần áo màu xanh treo gần e) áo đầu hàng có màu xanh CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt f) áo đầu hàng có màu đỏ áo cuối hàng có màu trắng Bài 3.17 Làm lại Bài 3.15 với giả thiết áo màu xem giống Bài 3.18 Tìm số nghiệm nguyên phương trình x + y + z + t = 32 (hay bất phương trình x + y + z + t ≤ 32) a) x, y, z, t ≥ c) x > −1, y ≥ −4, z > 4, t ≥ b) x ≥ 2, y ≥ 3, z ≥ 1, t > d) x, y, z > ≤ t < 25 Bài 3.19 Có cách chọn 20 tờ giấy bạc từ loại tiền đồng, đồng, đồng, 10 đồng 20 đồng? Nếu u cầu thêm có tờ đồng khơng q tờ 20 đồng có cách chọn? Bài 3.20 Có cách chia 18 viên kẹo giống cho đứa trẻ a) chia tùy ý b) đứa có kẹo c) đứa lớn có viên d) đứa nhỏ nhất viên e) đứa lớn nhận không viên Bài 3.21 Khi khai triển (x + y + z + t)10 ta đơn thức khác nhau? Trong số có đơn thức xm y n z u tv (khơng kể hệ số phía trước) thỏa m ≥ 2, n ≤ v ≥ 1? Bài 3.22 Có cách chia 15 viên kẹo chanh (giống nhau) 10 viên kẹo dừa (giống nhau) cho đứa trẻ cho đứa có hai thứ kẹo? Bài 3.23 Có cách mua 20 hộp sơn với màu số 10 màu mà cửa hàng có? Bài 3.24 Xét chuỗi ký tự bao gồm phần chữ đứng trước phần chữ số đứng sau Phần chữ có chữ α, α, β, β, β, γ, γ, γ, γ xếp tùy ý (α, β, γ chữ khác lấy tùy ý từ A, E, H, P, Y ) Phần chữ số chữ số xyzuvw (x, y, z, u, v, w lấy tùy ý từ 0, 1, 2, , 8, 9) thỏa ≤ x + y + z + u + v + w ≤ Hỏi có tất chuỗi ký tự vậy? Bài 3.25 Cần chọn số từ tập {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} để đảm bảo có hai số có tổng 16? Bài 3.26 Cho A tập hợp S = {1, 2, , 25} thỏa |A| ≥ 14 Chứng minh tồn hai phần tử a, b ∈ A thỏa a = b a + b = 26 Bài 3.27 Cho S = {1, 2, √ , 100} A ⊂ S thỏa |A| ≥ 11 Chứng minh tồn hai phần √ tử x, y ∈ A cho √ < | x − y| < Tổng quát hóa kết theo hướng khác nhau: √ theo |S| theo ( n x n y) Bài 3.28 Lấy 10 điểm khác tùy ý tam giác có cạnh 3cm Chứng minh số có điểm có khoảng cách không 1cm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài 3.29 Từ thứ hai đến thứ bảy tuần có 12 buổi (sáng chiều) Có 782 sinh viên đăng ký học đàn theo buổi nói tuần: sinh viên chọn từ đến buổi Chứng minh có sinh viên có lịch học tuần hoàn toàn giống Bài 3.30 Xếp số 1, 2, , 25 cách tùy ý đường tròn Chứng minh có số gần đường trịn có tổng ≥ 41 có số gần đường trịn có tổng ≤ 37 Bài 3.31 Cho S = {1, 2, , 14} A ⊂ S thỏa |A| ≥ Chứng minh có H, K ⊂ A (mà ∅ = H = K = ∅ ) thỏa |H| ≤ 5, |K| ≤ h= k h∈H k∈K CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... choose (3) ; [[], [1], [2], [3] , [1, 2], [1, 3] , [2, 3] , [1, 2, 3] ] > choose([a, a, b]); [[], [a], [b], [a, b], [a, a], [a, a, b]] > choose({1, 2, 3} ); {{}, {1}, {2}, {3} , {1, 2}, {1, 3} , {2, 3} ,... số 1, 2, 3, (có thể lặp lại) > S:=[1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4]: > L:=permute(S, 3) ; [1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 1, 3] , [1, 1, 4], [1, 2, 1], [1, 2, 2], [1, 2, 3] , [1, 2, 4], [1, 3, 1], ... 2, 3} } > choose(4, 2); [[1, 2], [1, 3] , [1, 4], [2, 3] , [2, 4], [3, 4]] > choose([a, a, b], 2); [[a, a], [a, b]] > choose({1, 2, 3} , 2); {{1, 2}, {1, 3} , {2, 3} } Ta dùng hàm choose để giải toán