Tài liệu Chuyên đề Diện tích và thể tích của hình cầu

tai lieu, document1 of 66 DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CẦU A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Hình cầu - Khi quay nửa hình trịn tâm O, bán kính R vịng quanh đường kính AB cố điịnh ta thu hình cầu - Nửa đường trịn phép quay nói tạo thành mặt cầu - Điểm O gọi tâm, R bán kính hình cầu hay mặt cầu Cắt hình cầu mặt phẳng - Khi cắt hình cầu mặt phẳng ta hình trịn - Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng ta đường trịn, đó: + Đường trịn có bán kính R mặt phẳng qua tâm (gọi đường trịn lớn) Diện tích, thể tích Cho hình cầu bán kính R - Diện tích mặt cầu: S  4 R - Thể tích hình cầu: V   R II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu đại lượng liên quan Phương pháp giải: Áp dụng công thức S  4 R V   R để tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu đại lượng liên quan 1.1 Điền vào trơng bảng sau: Bán kính hình cầu 0,4 mm 6dm Diện tích mặt cầu luan 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   0,2 m 100 km 6hm 50 dam tai lieu, Thểdocument2 tích hình of 66 cầu 1.2 Dụng cụ thể thao loại bóng cho bảng có dạng hình cầu Hãy điền vào ô trông bảng sau (làm trịn kết đến chữ sơ' thập phân thứ hai): Quả Loại bóng bóng gơn Đường Quả Quả khúc cầu ten-nít Quả bóng bàn 42,7mm kính Độ dài đường trịn lớn Quả bia 6,1 cm 23 cm Diện tích 1697  cm2 Thể tích 36 nem3 2.1 Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính cm2) số đo thể tích (tính cm3) Tính bán kính hình cầu 2.1 Một hình cầu có diện tích bề mặt 1007  m2 Tính thể tích hình cầu Dạng Bài tập tổng hợp Phương pháp giải: Vận dụng công thức kiến thức học để tính đại lượng chưa biết từ tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu 3.1 Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax By hai tiếp tuyến với nửa đường tròn A B Lấy tia Ax điểm M vẽ tiếp tuyến MP cắt By N a) Chứng minh MON APB hai tam giác vuông đồng dạng b) Chứng minh AM.BN = R2 c) Tính tỉ số S MON R AM  S APB d) Tính thể tích hình nửa hình trịn APB quay quan AB sinh 3.2 Cho tam giác ABC vng cân A có cạnh góc vng a Tính diện tích mặt cầu tạo thành quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vòng quanh cạnh BC III BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ NHÀ luan 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, Mộtdocument3 hình cầu cóof bán66 kính 3cm Một hình nón có bán kính đáy 3cm có diện tích tồn phần diện tích mặt cầu Tính chiều cao hình nón Cho hình cầu hình trụ ngoại tiếp (đường kính đáy chiều cao hình trụ đường kính hình cầu) Tính tỉ số giữa: a) Diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình trụ; b) Thể tích hình cầu thể tích hình trụ Cho hình câu hình lập phương ngoại tiếp Tính tỉ số phần trăm giữa: a) Diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình lập phương; b) Thể tích hình cầu thể tích hình lập phương a) Tìm diện tích mặt cầu thể tích hình cầu, biết bán kính hình cầu 4cm b) Thể tích hình cầu 512  cm2 Tính diện tích mặt cầu HƯỚNG DẪN 1.1 Ta thu kết bảng sau: Bán kính hình 0,4mm cầu Diện tích mặt cầu 16  25 6dm 0,2m 144   25 dm2 mm2 Thể tích hình cầu 32 375 mm 6hm 50dam 40000  144  10000  km2 hm2 dam2 4000000  288  500000  m2 288  dm3 1.2 Ta thu kết bảng sau: luan 100km 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66    375 m km hm2 dam3 tai lieu, document4 of 66 Quả bóng Loại bóng gơn Quả khúc cầu Đường kính 42,7mm Độ dài đường trịn lớn 134,08 Diện tích 5728,03 Quả ten-nít Quả bóng Quả bia 7,32cm 13cm 6cm 61cm 23cm 13   cm 61  mm 168,33 cm2 169  36  cm2 3721  mm mm2 Thể tích cm2 40764,51 205,36 mm3 cm3 2197  cm3 cm2 36  cm3 226981  mm3 2.1 Tính R = 3cm 2.2 Tính V  500  m3 3.1 a), b) HS tự chứng minh c) AM  S 25 R  MON  S APB 16 d) V   R 3 3.2 Tính S = 2a2 4.1 Tính h  2cm a) Tính S 1 S xq a) Tính V S  78,5% b) Tính hc  52, 4% Vhlp S xq a) Tính S  64 cm V  b) Tính Vhc  Vht 256 cm3 b) Tính S  211,32 cm B.NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY • Tính diện tích Mặt cắt chứa trục hình nón tam giác Chứng minh diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu có đường kính chiều cao hình nón Cắt hình cầu tâm O mặt phẳng ta hình trịn tâm K, đường kính AB Biết OK = 9cm diện tích hình trịn tâm K 16% diện tích mặt cầu Tính diện tích mặt cầu luan 4. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document5 Người ta cắt of 66 địa cầu cũ mặt phẳng theo vĩ tuyến phần có dạng hình chảo, đường kính miệng chảo 24cm độ sâu chảo 8cm Tính diện tích bể mặt địa cầu • Tính thể tích Một hình cầu nội tiếp hình lập phương cạnh 12cm Tính thể tích phần khơng gian bên ngồi hình cầu bên hình lập phương Một hình cầu có bán kính bán kính đáy hình nón Biết đường sinh hình nón 12cm diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu Tính thể tích hình cầu Một hình cầu nội tiếp hình trụ Biết diện tích tồn phần hình trụ 384π cm2 Tính thể tích hình cầu Một thuyền thúng có dạng nửa hình cầu, có khối lượng 45kg, người chèo thuyền khối lượng 65kg Biết đường kính thuyền l,2m thuyền có thêm 2,4 tạ cá, hỏi nước có ngập đến mép thuyền khơng? • Tính độ dài, tính tỉ số Cho hình cầu tâm O, bán kính OA  10 cm Cắt mặt cầu mặt phẳng vuông góc với OA trung điểm M OA ta đường trịn Tính độ dài đường trịn Một hình cầu có số đo thể tích (tính m3) số đo diện tích mặt cầu (tính m2) Tính độ dài đường trịn lớn 10 Một bình thuỷ tinh hình trụ chứa nước Trong bình có vật rắn hình cầu ngập hồn tồn nước Khi người ta lấy vật rắn khỏi bình mực nước bình giảm 48,6mm Biết đường kính bên đáy bình 50mm, tính bán kính vật hình cầu 11 Vĩ độ Thanh Hố 20° Bắc Tính độ dài vĩ tuyến qua Thanh Hố biết bán kính Trái Đất 6370km HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ Vì mặt cắt chứa trục hình nón tam giác nên gọi bán kính đáy hình nón R độ dài đường sinh l = 2R chiều cao hình nón h  2R R Diện tích tồn phần hình nón là: Stp  R  l  R   R  2R  R   3R  Diện tích mặt cầu là: S  d   R   3R Vậy diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu có đường kính chiều cao hình nón luan 5. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document6 Xét ∆AOB cân Oof có 66 KA = KB nên OK  AB Gọi R bán kính hình cầu, r bán kính hình trịn (K) Xét ∆KOA vng K ta có: r  R  OK  R  81   Diện tích hình trịn (K) là: S1  r   R  81 Diện tích mặt cầu là: S2  4R2   Vì S1 = 16%S2 nên  R  81  16 4R 100 Thu gọn phương trình ta 36R  8100 Suy R  225   Do diện tích mặt cầu S  4R  900 cm Mặt cắt qua tâm hình trịn tâm O với AB đường kính miệng chảo Vẽ bán kính OC  AB K Ta có KA = KB = 24: = 12 (cm) Gọi R bán kính địa cầu Xét ∆KOA vng K ta có: OA  OK  AK  R   R  8  122  R  R  16R  64  144  16R  208  R  13(cm)   Diện tích bề mặt địa cầu là: S  4R  4..132  676 cm Vì độ dài cạnh hình lập phương 12cm nên bán kính hình cầu nội tiếp 6cm Thể tích hình lập phương là:   V1  123  1728 cm Thể tích hình cầu là: V2  .63  288 cm   Thể tích phần khơng gian bên ngồi hình cầu bên hình lập phương là:   V  V1  V2  1728  288  824 cm luan 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document7V of 66 Nhận xét: Ta có V2  288   1728 Tổng quát, ta chứng minh hình cầu nội tiếp  hình lập phương tỉ số thể tích chúng Gọi bán kính hình cầu bán kính đáy hình nón R Diện tích xung quanh hình nón là: Rl  12R Diện tích mặt cầu là: 4R Vì diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu nên 12R  4R  R   cm  Thể tích hình cầu là: V  4 R  .3  36 cm 3   Gọi bán kính hình cầu R bán kính đáy hình trụ R chiều cao hình trụ 2R Vì diện tích tồn phần hình trụ 384π cm2 nên ta có: 2R  2R  R   384   R  384   R   cm  Thể tích hình cầu là: V  4 2048 cm R  .8  3   Bán kính thuyền thúng là: 1,2: = 0,6 (m) = (dm) 4 Thể tích thuyền là: V  R  .63  144 dm  452dm 3   Tổng Khối lượng thuyền, người cá là: 45 + 65 + 240 = 350 (kg) Khối lượng riêng thuyền là: 350: 452 = 0,8 (kg/dm3) Khối lượng riêng nước là: kg/dm3 Vậy khối lượng riêng thuyền nhỏ khối lượng riêng nước nên nước không ngập đến mép thuyền Xét ∆OBC có OB = OC OM  BC nên MB = MC  Ta có: MC2  OC2  OM  10 luan   5  2 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66    225 tai lieu, of 66 Suy document8 MC = 15(cm) Độ dài đường tròn (M) là: 2π.15 = 30π (cm) Gọi bán kính hình cầu R Vì số đo tích số đo diện tích mặt cầu nên ta có: R  4R  R   m  Độ dài đường tròn lớn là: C  2R  2.3  6  m  10 Gọi r bán kính vật hình cầu Thể tích vật hình cầu là: V1  r   Thể tích khối nước rút xuống là: V2  .502.48,6  121500 mm Ta có phương trình: r  121500  r  91125 Do r  91125  45  mm  11 Gọi R bán kính Trái Đất, gọi r bán kính vĩ tuyến 20° qua Thanh Hố   AOB   20 Ta có HBO Xét ∆HBO vng H có: r = HB = OB cos20° = Rcos20° Do độ dài vĩ tuyến 20° là: 2r  2Rcos20  .6370.cos20  37610  km  C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ Câu Cho hình cầu có đường kính d = 6cm Diện tích mặt cầu A 36p (cm ) B 9p(cm ) C 12p(cm ) D 36p (cm ) Câu Cho mặt cầu tích V = 288p(cm ) Tính đường kính mặt cầu luan 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, ofB.66 12cm A 6cmdocument9 C 8cm D 16cm Câu Cho mặt cầu tích V = 972p(cm ) Tính đường kính mặt cầu A 18cm B 12cm C 9cm D 16cm Câu Cho mặt cầu có số đo diện tích với số đo thể tích Tính bán kính mặt cầu A B C D 12 Câu Cho mặt cầu có số đo diện tích hai lần với số đo thể tích Tính bán kính mặt cầu A B C D Câu Cho mặt cầu có bán kính 3cm Một hình nón có bán kính đáy 3cm có diện tích tồn phần diện tích mặt cầu Tính chiều cao hình nón A B C 72 D Câu Cho hình cầu hình trụ ngoại tiếp (đường kính đáy chiều cao hình trụ đường kính hình cầu) Tính tỉ số diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình trụ A B C D Câu Cho hình cầu hình trụ ngoại tiếp (đường kính đáy chiều cao hình trụ đường kính hình cầu) Tính tỉ số diện tích mặt cầu diện tích tồn phần hình trụ luan 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document10 of 66 A B C D Câu Cho hình cầu hình trụ ngoại tiếp (đường kính đáy chiều cao hình trụ đường kính hình cầu) Tính tỉ số thể tích hình cầu thể tích hình trụ A B C D Câu 10 Cho hình cầu nội tiếp hình trụ Biết chiều cao hình trụ ba lần bán kính đáy bán kính đáy hình trụ bán kính hình cầu Tính tỉ số thể tích hình cầu thể tích hình trụ A B C D Câu 11 Cho hình cầu hình lập phương ngoại tiếp Tính tỉ số diện tích mặt cầu diện tích tồn phần hình lập phương A p B C p D Câu 12 Cho hình cầu hình lập phương ngoại tiếp Nếu diện tích tồn phần hình lập phương 24cm diện tích mặt cầu là: luan 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 10 of 66   tai lieu, document17 Độ dài đường of 66 tròn lớn 23 cm Diện tích Thể tích Bài Một hình cầu có diện tích mặt cầu 100pcm Tính thể tích hình cầu Bài Một hình cầu tích 228p(dm ) Tính diện tích mặt cầu Bài Hai hình cầu có bán kính tương ứng a 3a (cm) Tính tỉ số thể tích hai hình 2d (m) d (m) cầu Bài Một hình cầu đường kính d (m) đặt hình trụ có chiều cao 2d (m) Tính tỉ số Vcau Vtru Bài Hai hình cầu có hiệu bán kính 3cm hiệu thể tích 1332 cm Tính hiệu diện tích hai mặt cầu Bài Một hình cầu nội tiếp hình nón bán kính đáy cm đường sinh 10cm Chứng minh diện tích đáy hình nón diện tích mặt cầu Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn đường kính AD Gọi H giao điểm AD BC Quay hình vẽ vịng quanh đường kính AD cố định ta hai hình nón nội tiếp hình cầu Biết AH  24 cm ; DH  cm , tính: a) Thể tích hình cầu tạo thành; b) Thể tích hình nón đỉnh A đáy hình trịn đường kính BC Bài 10 Cho hình cầu nội tiếp hình trụ Chứng minh rằng: a) Thể tích hình cầu thể tích hình trụ; b) Diện tích mặt cầu diện tích tồn phần hình trụ Bài 11 Cho đoạn thẳng AB  24 cm Lấy điểm C nằm A B Vẽ phía AB ba nửa đường trịn đường kính AB, AC BC Quay tồn hình vẽ vịng quanh đường kính AB cố định ta ba hình cầu Tìm thể tích lớn phần không gian giới hạn ba hình cầu luan 17. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 17 of 66   tai lieu, of 66 Bài 12.document18 Một thuyền thúng có dạng nửa hình cầu, có khối lượng 45 kg , người chèo thuyền khối lượng 65kg Biết đường kính thuyền 1,2 m thuyền có thêm 2,4 tạ cá, hỏi nước có ngập đến mép thuyền không? Biết khối lượng riêng nước kg/dm3 HƯỚNG DẪN Bài Bán kính hình 0,4 0,2 100 50 cầu mm dm m km hm dam Diện tích mặt 16  25 144  25 40000 144 10000 km2 hm dam  375 4000000  288 500000  m3 km3 cầu dm2 mm2 Thể tích hình cầu m2 288 32 375 mm3 mm3 hm3 dam3 Bài Loại bóng Đường kính Độ dài đường trịn lớn Diện tích Thể tích Quả bóng Quả khúc Quả ten Quả bóng gơn cầu nít bàn 42,7 mm 7,32 cm 6,5 cm 40 mm 61 mm 67,07 mm 23 cm 10,21 cm 62,83 mm 95,82 mm 5728,03 168,33 132,73 5026,55 11689,87 mm2 cm cm2 mm2 mm2 40764,51 205,36 143,79 33510,32 118846,97 mm3 cm cm3 mm3 mm3 Bài S = 4pR 4pR = 100p  R = 25  R = 5(cm ) Thể tích hình cầu: V = 500p pR = (cm ) 3 Bài V = luan pR 3 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 18 of 66   Quả bia tai lieu, document19 of 66 pR = 228p R = 216 R = 216 R = 6(cm ) Diện tích mặt cầu S = 4pR = 4p62 = 144p(cm ) Bài Thể tích V1,V2 hai hình cầu V1 = 4 pa ,V2 = p(3a )3 = 36pa 3 pa = 3 = Do đó: V2 27 36pa V1 Nhận xét: Nếu R1 R2 = k V1 = k3 V2 Bài Thể tích hình cầu là: Vcau = pR = pd (m ) Thể tích hình trụ là: Vtru Do đó: Vcau Vtru = ỉd = pr h = p ỗỗỗ ữữữ 2d = pd (m ) è ø÷ Bài Gọi bán kính hình cầu lớn R bán kính hình cầu nhỏ r Ta có R – r  hay R  r  4 Thể tích hình cầu lớn là: V1   R Thể tích hình cầu nhỏ là: V2   r 3 Vì V1 – V2  1332 ( cm ) nên  R  r  1332  R  r  999   Do  r  3 – r  999  r  3r – 108  Giải r1  –12 (loại); r2  (chọn) luan 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 19 of 66   tai lieu, document20 ofnhỏ 66 Vậy bán kính hình cầu 9cm Bán kính hình cầu lớn 12cm Diện tích mặt cầu lớn là: S1  4 R  4. 122  576 ( cm ) Diện tích mặt cầu nhỏ là: S2  4 r  4. 92  324 ( cm ) Hiệu diện tích hai mặt cầu là: S  S1 – S2  576 – 324  252 ( cm ) A Bài Vì hình cầu nội tiếp hình nón nên OH  BC , OD  AB Ta có AH  AB  BH  102  62  8(cm) Gọi bán kính đáy hình nón R bán kính hình cầu r E D O B C H Ta có BH  BD  R  cm; OH  OD  r AD  AB  BD  10   cm AOD ∽ ABH  g.g   Do OD AD  BH AH r r   r  3(cm)   r  3(cm) 8 Diện tích đáy hình nón là: S1   R   62  36 ( cm ) Diện tích mặt cầu là: S2  4 r  4. 32  36 ( cm ) Vậy diện tích đáy hình nón diện tích mặt cầu Bài a) Tam giác ABC cân A , AD đường kính nên AD  BC A ABD  90 (vì AD đường kính) Ta có  Xét ABD vng B ta có: O BH  HA.HD  24.6  144 Suy BH  13  cm  Bán kính đường trịn ngoại tiếp  ABC R   24   :  15  cm  B H D 4 Thể tích hình cầu tạo thành là: V1   R   153  4500  cm3  3 1 b) Thể tích hình nón đỉnh A là: V2   r h   12 2.24  1152  cm3  3 Bài 10 luan 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 20 of 66   C tai lieu, document21 R bán kính đáy hình trụ R chiều cao hình trụ R Gọi bán kính hình cầuoflà 66 a) Thể tích hình cầu là: V1   R 3 Thể tích hình trụ là: V2   R h  2 R3  R3 V1 Ta có   V2 2 R 3 b) Diện tích mặt cầu là: S1  4 R Diện tích hình trụ là: S2  2 R  h  R   2 R  R  R   6 R3 Ta có S1 4 R 2   S 6 R Bài 11 Đặt AC  x BC  24  x Bán kính nửa đường trịn đường kính AB 12 cm Bán kính nửa đường trịn đường kính AC x Bán kính nửa đường trịn đường kính BC 12  x Thể tích ba hình cầu đường kính AB, AC BC là: 4  123 ;  x  (12  x)3 3 Thể tích phần khơng gian giới hạn ba hình cầu là: V  2304    x  (12  x)3   2304    x  1728  432x  36x  x   2304  48  x  12x  48  Vmax   x – 12 x  48    x –   12  x = Khi max V  1728 cm3 AC = 12cm hay C trung điểm AB Bài 12 Bán kính thuyền thúng là: 1,2 : = 0,6 (m) = ( dm ) Thể tích thuyền là: V  4   R     63  144 ( dm3 )  425 dm3 3 Tổng khối lượng thuyền, người cá : 45 + 65 + 240 = 350 ( kg ) luan 21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 21 of 66   tai lieu, document22 of 66 Khối lượng riêng thuyền : 350 : 452 = 0,8 ( kg / dm3 ) Khối lượng riêng nước : kg / dm3 Vậy khối lượng riêng thuyền nhỏ khối lượng riêng nước nên nước không ngập đến mép thuyền Nhận xét: Học sinh cần ghi nhớ công thức d  m ( d khối lượng riêng, m khối lượng, V thể tích) V PHIẾU SỐ Dạng 1: Tính Diện tích, thể tích bán kính hình cầu 22 Bài 1: Cho thể tích mơt hình cầu 113 cm3 Khi tính bán kính hình cầu (cho số   7 ) Bài 2: Hãy điền vào ô trống bảng sau: Bán kính hình cầu 0, mm 6, 21 dm 0, 283 m 100 km hm 50 dam Thể tích hình cầu Diện tích mặt cầu Bài 3: Một hình cầu tích 3052, 08 cm3 Tính diện tích mặt cầu Bài 4: Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (Tính cm ) số đo thể tích Tính bán kính hình cầu Bài 5: Một hình cầu có diện tích bề mặt 100 m Tính thể tích hình cầu Bài 6: Một hình nón có đường sinh đường kính Một hình cầu có đường kính chiều cao hình nón Chứng minh diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu Dạng 2: Tính diện tích, thể tích hình hỗn hợp bao gồm nhiều hình Bài 7: Cho hình vẽ có bán kính đường trịn đáy R , chiều cao 2R Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu hình vẽ bên Hãy tính diện tích bề mặt khối gỗ cịn lại luan 22. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 22 of 66   tai lieu, document23 of 66 Bài 8: Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu hình trụ Hãy tính diện tích bồn chứa theo kích thức cho hình vẽ Bài 9: Một cốc nước có dạng hình trụ có đường kính đáy cm , chiều cao 12 cm chứa lượng nước cao 10 cm Người ta thả từ từ viên bi làm thép đặc (khơng thấm nước) có đường kính cm vào cốc nước Hỏi mực nước cốc lúc cao bao nhiêu? A Bài 10: C M r Cho hình chữ nhật MNDC nội tiếp nửa đường trịn tâm O , R đường kính AB ( M , N thuộc đoạn thẳng AB C , D nửa đường trịn) Khi cho nửa hình trịn đường kính AB hình chữ O nhật MNDC quay vịng quanh đường kính AB cố định, ta hình trụ đặt khít vào hình cầu đường kính AB Biết hình cầu có tâm O , bán kính R  10cm hình trụ có bán kính đáy D N B luan 23. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 23 of 66   tai lieu, document24 66 đặt khít vào of hình cầu Tính thể tích phần hình cầu nằm ngồi hình trụ cho (Trích đề r  cm thi vào 10 tỉnh Thừa Thiên Huế) Bài 11: Người ta gắn hình nón có bán kính đáy R  cm , độ dài đường cao A cm O B h  20 cm vào nửa hình cầu có bán kính bán kính hình nón (theo hình bên dưới) Tính giá trị gần thể tích hình tạo thành (kết 20 cm làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) S HƯỚNG DẪN Dạng 1: Tính Diện tích, thể tích bán kính hình cầu 22 Bài 1: Cho thể tích mơt hình cầu 113 cm3 Khi tính bán kính hình cầu (cho số   7 Giải: Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu ta có: 3V  cm V   R3  R  3 4 Bài 2: Hãy điền vào ô trống bảng sau: 0, mm Bán kính hình cầu 6, 21dm 0, 283 m 100 km hm 50 dam Thể tích hình cầu Diện tích mặt cầu Giải: Áp dụng công thức: + Diện tích hình cầu: S  4 R + Thể tích hình cầu: V   R 3 Thay Bán kính trường hợp để điền vào trống Bán kính hình 0, mm 6, 21dm 0, 283 m cầu luan 24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 24 of 66   100 km hm 50 dam tai lieu, document25 of 66 Thể tích hình 0,36 mm 154, 26 dm 0,32 m 40000 km 144 hm 10000 dam cầu Diện tích mặt 0, 036 mm3 319,31 dm3 0, 03 m3 1333333 km3 288 hm3 166667 dam3 cầu Bài 3: Một hình cầu tích 3052, 08 cm3 Tính diện tích mặt cầu Giải: Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu: 3V 3.3052, 08 V   R3  R  3   cm  4 4.3,14 Vậy diện tích mặt cầu là: S  4 R  4  324  cm  Bài 4: Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính cm ) số đo thể tích (tính cm ) Tính bán kính hình cầu Giải: Vì số đo diện tích mặt cầu số đo thể tích hình cầu nên: 4 R   R   R  R   cm  3 Bài 5: Một hình cầu có diện tích bề mặt 100 m Tính thể tích hình cầu Giải: Áp dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu: S  4 R  R  4 4.   m 100 S Từ thể tích hình cầu là: 4 1   m3  V   R3      3   375 luan 25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 25 of 66   tai lieu, of đường 66 sinh đường kính Một hình cầu có đường kính chiều cao Bài 6: document26 Một hình nón có hình nón Chứng minh diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu Giải: Diện tích tồn phần hình nón :  rl   r   r.2r   r  3 r 1 l2  r2 h Diện tích mặt cầu : 4 R  4    4    4r  r   3 r   2 Từ 1   suy diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu luan 26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 26 of 66   tai lieu, document27 of 66 Dạng 2: Tính diện tích, thể tích hình hỗn hợp bao gồm nhiều hình Bài 7: Cho hình vẽ có bán kính đường trịn đáy R , chiều cao 2R Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu hình vẽ bên Hãy tính diện tích bề mặt khối gỗ cịn lại Giải: Diện tích bề mặt khối gỗ cịn lại bao gồm: - Diện tích ngồi diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h  R có diện tích S1  2 R R - Diện tích diện tích hai nửa mặt cầu bán kính R Vây diện tích cần tìm là: S  2 R  R  4 R  8 R  cm  Bài 8: Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu hình trụ Hãy tính diện tích bồn chứa theo kích thức cho hình vẽ Giải: Thể tích bồn chứa xăng gồm thể tích hai nửa hình cầu có bán kính 0,9m nên tích V1   0.93 thể tích hình trụ có bán kính đáy R  0,9m chiều cao h  3, 62m nên tích V2   (0,9)  3, 62 Vậy thể tích bồn chứa là: V  V1  V2   0.92  3, 62   0.93  12.26 (cm3) Bài 9: Một cốc nước có dạng hình trụ có đường kính đáy cm , chiều cao 12 cm chứa lượng nước cao 10 cm Người ta thả từ từ viên bi làm thép đặc (khơng thấm nước) có đường kính cm vào cốc nước Hỏi mực nước cốc lúc cao bao nhiêu? luan 27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 27 of 66   tai lieu, document28 of 66 Giải: Bán kính viên bi là: R  d   1cm 2 4 Thể tích viên bi là: V1   R   13    cm3  3 Do ba viên bi có đường kính nên tổng thể tích viên bi là: V  3.V1    4  cm3  Diện tích đáy cốc nước (hình trịn r = 3cm): S   r   32  9  cm  Chiều cao phần cốc mà không chứa nước: h  12  10  2cm Thể tích phần cốc khơng chứa nước (cốc hình trụ, diện tích phần đáy diện tích phần mặt phân cách phần có nước phần khơng có nước) V '  S h  9  18  cm3  Do: V’ > V nên thả viên bi vào li nước nước khơng bị tràn ngồi Gọi x chiều cao mực nước dâng lên sau thả viên bi vào cốc, thể tích viên bi thể tích phần nước dâng lên nên ta có phương trình: V  S x  9 x  4  x  cm Vậy: Chiều cao mực nước ống sau thả viên bi là: 10  luan 28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 28 of 66   94  cm 9 tai lieu, document29 of 66 Bài 10: A Cho hình chữ nhật MNDC nội tiếp nửa đường tròn tâm O , C M r đường kính AB ( M , N thuộc đoạn thẳng AB C , D nửa R đường trịn) Khi cho nửa hình trịn đường kính AB hình chữ nhật MNDC quay vịng quanh đường kính AB cố định, ta O hình trụ đặt khít vào hình cầu đường kính AB Biết hình cầu có tâm O , bán kính R  10cm hình trụ có bán kính đáy r  cm đặt khít vào hình cầu Tính thể tích phần hình cầu D N nằm ngồi hình trụ cho ( Trích đề thi vào 10 tỉnh Thừa Thiên B Huế) Giải: Từ O ta vẽ OI vng góc với dây CD I  I trung điểm dây CD (tính chất đường kính vng góc với dây)  OI / / MC / / ND (quan hệ vng góc, song song) Do OI đường trung bình hình chữ nhật MNDC  O trung điểm MN Khi cho nửa hình trịn đường kính AB hình chữ nhật MNDC quay vịng quanh đường kính AB ta hình trụ đặt khít hình cầu Bán kính hình cầu là: R  AB  OC  10cm A C M r R Hình trụ có bán kính đáy: r  MC  8cm chiều cao I h  2OM Xét tam giác vuông OMC , vuông M , áp dụng định OI lý pitago, ta có: OM  OC  MC  10  82  100  64  36  OM  cm D  h  2OM  2.6  12 cm B Thể tích hình cầu là: 4 4000 V1   R   103  3 luan N  cm  29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 29 of 66   tai lieu, document30 of 66 Thể tích hình trụ đặt khít hình cầu là: V2   r h   82.12  768  cm  Vậy thể tích phần hình cầu ngồi hình trụ đặt vừa khít là: V  V1  V2  4000 1696  768   1776, 047  cm3  3 Bài 11: Người ta gắn hình nón có bán kính đáy R  cm , độ dài đường cao h  20 cm vào nửa hình cầu có bán kính bán kính hình nón (theo A O cm hình bên dưới) Tính giá trị gần thể tích hình tạo thành (kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) 20 cm Giải: Thể tích nửa hình cầu là: 1024 V1   R   83   3 S  cm3  Thể tích hình nón là: 1 1280 V2  Sh   R h   82.20   3 3  cm  Thể tích hình tạo thành là: V  V1  V2  1024 1280    768  2413  cm3  3 HẾT luan 30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 30 of 66   B tai lieu, document31 of 66 luan 31. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 31 of 66   ... Diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình lập phương; b) Thể tích hình cầu thể tích hình lập phương a) Tìm diện tích mặt cầu thể tích hình cầu, biết bán kính hình cầu 4cm b) Thể tích hình cầu. .. hình cầu có diện tích mặt cầu 100pcm Tính thể tích hình cầu Bài Một hình cầu tích 228p(dm ) Tính diện tích mặt cầu Bài Hai hình cầu có bán kính tương ứng a 3a (cm) Tính tỉ số thể tích hai hình. .. hình trụ đường kính hình cầu nên h = 2R với R bán kính hình cầu bán kính đáy hình trụ Thể tích hình cầu Vc = pR ; thể tích khối trụ Vt = pR 2R = 2pR 3 pR Vc Tỉ số thể tích hình cầu thể tích hình