Chuyên đề đề cương về phương trình

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng năm 2021 Website: tailieumontoan.com BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I – LÝ THUYẾT A– KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH Phương trình ẩn Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f  x   g  x  1 f  x  g  x  biểu thức x Ta gọi f  x  vế trái, g  x  vế phải phương trình 1 Nếu có số thực x cho f  x   g  x  mệnh đề x gọi nghiệm phương trình 1 Giải phương trình 1 tìm tất nghiệm (nghĩa tìm tập nghiệm) Nếu phương trình khơng có nghiệm ta nói phương trình vơ nghiệm (hoặc nói tập nghiệm rỗng) Điều kiện phương trình Khi giải phương trình 1 , ta cần lưu ý với điều kiện ẩn số x để f  x  g  x  có nghĩa (tức phép tốn thực được) Ta nói điều kiện xác định phương trình (hay gọi tắt điều kiện phương trình) Phương trình nhiều ẩn Ngồi phương trình ẩn, ta cịn gặp phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn x  y  x  xy  8, 2  2 x  xy  z  z  xz  y 3 Phương trình 2 phương trình hai ẩn ( x y ), cịn 3 phương trình ba ẩn ( x , y z ) Khi x  2, y  hai vế phương trình 2 có giá trị nhau, ta nói cặp  x ; y   2;1 nghiệm phương trình 2 Tương tự, ba số  x ; y; z   1;1;2 nghiệm phương trình 3 Phương trình chứa tham số Trong phương trình (một nhiều ẩn), ngồi chữ đóng vai trị ẩn số cịn có chữ khác xem số gọi tham số B – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Phương trình tương đương Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Phép biến đổi tương đương Định lí Nếu thực phép biển đổi sau phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện ta phương trình tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với số biểu thức; b) Nhân chia hai vế với số khác với biểu thức ln có giá trị khác Chú ý: Chuyển vế đổi dấu biểu thức thực chất thực phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức Phương trình hệ Nếu nghiệm phương trình f  x   g  x  nghiệm phương trình f  x   g1  x  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com phương trình f  x   g1  x  gọi phương trình hệ phương trình f  x   g  x  Ta viết f  x   g  x   f  x   g1  x  Phương trình hệ có thêm nghiệm khơng phải nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi nghiệm ngoại lai Khi giải phương trình, khơng phải lúc ta áp dụng phép biến đổi tương đương nhiều trường hợp ta phải thực phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế phương trình với đa thức Lúc để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại nghiệm tìm II – DẠNG TOÁN Dạng 1: ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải -Điều kiện xác định phương trình bao gồm điều kiện để giá trị f  x , g  x  xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) - Điều kiện để biểu thức    f  x  xác định f  x   xác định f  x   f x  f x  xác định f  x   A VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Điều kiện xác định phương trình x  x ≠ A   x ≠ −2 B x   là: x2  C x   D x ≠ Lời giải Chọn A  x  Cách 1: Điều kiện xác định phương trình x    x     x  2  Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm Cách 3: (Giải theo Casio có) Ví dụ 2: Điều kiện xác định phương trình  A  x  B  x   x  x  là: C x  Lời giải D x  Chọn B 3 − x ≥ x ≤ Cách 1: Điều kiện xác định phương trình  ⇔ ⇔2≤ x≤3 x − ≥ x ≥ Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm Cách 3: (Giải theo Casio có) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com Ví dụ 3: Điều kiện xác định phương trình + x − 3= A  x  B x  3 x − là: C x  D x  Lời giải Chọn D   x ≥ − ≥ x  Cách 1: Điều kiện xác định phương trình  ⇔ 3 x − ≥ x ≥  Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm Cách 3: (Giải theo Casio có) x +1 là: − 2x = x − 3x + Ví dụ 4: Điều kiện xác định phương trình  x  A   x 1   3 ⇔ x≥ 2  x  B   x 1   C x  D x  Lời giải Chọn B x≤2   − 2x ≥ Cách 1: Điều kiện xác định phương trình  ⇔  x − 3x + ≠ ( x − 1) x + x − ≠ ( ) x ≤ x≤2 x <   ⇔ ⇔ x ≠ ⇔  x ≠1 ( x − 1) ( x − ) ≠ x ≠  Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm Cách 3: (Giải theo Casio có) B BÀI TẬP TỰ LUYỆN(có chia mức độ) NHẬN BIẾT Câu Tập xác định phương trình A  \ {−2;2;1} Câu C ( 2;+∞ ) 2x là: − =2 x +1 x +1 x ≠ B   x ≠ −1 C x ≠ Tập xác định phương trình x + A  \ {4} Câu B [ 2;+∞ ) Điều kiện xác định phương trình A x ≠ −1 Câu x +1 x −1 2x +1 + = là: x + x − x +1 A [ 2;+∞ ) D x ∈  5 là: =+ 12 x−4 x−4 B [ 4;+∞ ) Tập xác định phương trình D  \ {±2; −1} C ( 4;+∞ ) D  x−2 − = là: x + x x( x − 2) B ( 2;+∞ ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C  \ {−2;0;2} D  \ {2;0} TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Câu A  Câu 4x − 5x 9x +1 là: − = x − x + x − x + x − x + 12 B ( 4;+∞ ) C  \ {2;3; 4} D  \ {4} Tập xác định phương trình Điều kiện xác định phương trình A x ∈  là: − = x+2 x−2 x −4 x ≠ x ≠ −  B  C x ≥ D x > C x ≤ D x ≥ THÔNG HIỂU Câu Câu Điều kiện phương trình − x = 2− x A x < B x > Tập xác định phương trình 4  A = D  ; +∞  5  Câu 2x +1 + x − = x − là: − 5x 4 5 B D =  −∞;  5  C D =  \   Điều kiện xác định phương trình x − + x − 2= A ( 3;+∞ ) x − là: C [ 2;+∞ ) B [3; +∞ ) D D =  −∞;  5  D [1; +∞ ) Câu 10 Điều kiện xác định phương trình x − + − x = là: 2 4 3 3 A  ;  4 3   2 4 3 3 B  ; +∞  C  \  ;  2 4 D  ;  3 3 Câu 11 Điều kiện xác định phương trình x − = x + là: A [3; +∞ ) 1  B  ; +∞  2  C [ 2;+∞ ) D ( 3;+∞ ) x−2 C x ≠ D x ≥ VẬN DỤNG Câu 12 Điều kiện xác định phương trình A x < x2 = x−2 B x > x2 − = x−2 A x > x < −2 B x > x ≤ −2 C x  x < −2 D x ≥ x ≤ −2 Câu 13 Điều kiện xác định phương trình Câu 14 Điều kiện xác định phương trình A x ≥ − B x ≥ − 2x +1 = x + 3x 1 x ≠ −3 C x ≥ − x ≠ D x ≠ −3 x ≠ 2 Câu 15 Điều kiện xác định phương trình x + Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 − 2x = x 2x + TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com A x > −2, x ≠ x ≤ C x > −2 x < B x > −2 x ≠ D x ≠ −2 x ≠ + x2 −1 = là: x Câu 16 Điều kiện xác định phương trình A x ≥ x − > B x > C x ≥ Câu 17 Điều kiện xác định phương trình x + − A x > −2 x < C x ≥ −2 x ≤ = x −4 x−2 + B x < Câu 20: Điều kiện phương trình: x − + A x > −1 , x ≠ x ≤ x + là:  x ≥ −3 C  x ≠  x ≠ −2  x ≠ B   x ≠ −2 Câu 19 Điều kiện xác định phương trình A x ≥ − 3x = x +1 x+2 B −2 < x ≤ x ≠ −1 D x ≠ −2 x ≠ −1 Câu 18 Điều kiện xác định phương trình A x ≥ −3 D x > x − ≥ x2 + = là: 7−x C  x  D x > −3 x ≠ ±2 D  x  5− x + = x −1 x +1 B x > -1 x ≠ C – < x ≤5 Câu 21: Tìm điều kiện xác định phương trình D x ≤ x ≠ = 3x + 3x − x > C  x ≠ x ≥ A  B x ≠ x ≠ Câu 22: Giá trị x ≥ điều kiện phương trình nào? 1 A x + + x − = B x + = x x−2 1 =x − C x + D x + = 2x −1 4− x x−2 Câu 23: Tìm điều kiện xác định phương trình = x + x −4 A x ≥ −1 x ≠ B x ≠ x ≠ −2 C x ≥ −1 D x ≥ −1 x ≠  x ≥ −3 D  x ≠ VẬN DỤNG CAO (NẾU CÓ) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com Câu 24: Tìm m phương trình A m > x = có điều kiện xác định  x − 2x + m B m = C m < D m < x + m − + 2x − m = Tìm m để phương trình xác định với x > Câu 25: Cho hàm số A m ≥ B ≤ m ≤ C m ≤ D ≤ m ≤1 C ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 10 D D A C C B A D B D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B B C A D B C C A 21 22 23 24 25 A A A A B D HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Phương pháp giải - Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm - Nếu nghiệm phương trình f  x   g  x  nghiệm phương trình f  x   g1  x  phương trình f  x   g1  x  gọi phương trình hệ phương trình f  x   g  x  - Để giải phương trình ta thực phép biến đổi để đưa phương trình tương đương với phương trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thường sử dụng  Cộng (trừ) hai vế phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương phương trình cho  Nhân (chia) vào hai vế với biểu thức khác không không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho  Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho  Bình phương hai vế phương trình(hai vế ln dấu) ta thu phương trình tương đương với phương trình cho A VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho phương trình x − x = (1) Trong phương trình sau đây, phương trình khơng phải hệ phương trình (1) ? A x − x = 1− x ( C x − x ) = B x3 − x = D x − x + =0 Lời giải Chọn D Cách 1: Ta có: * x − x = ⇒ x2 − x = 1− x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com  x =  x = ⇔ * 4x − x = ⇔ x =    x − =0  x = −  ( * 2x − x ) x = = ⇔ 2x − x = 0⇔ x =  * x − x + =0 ⇔ x = Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm Cách 3: (Giải theo Casio có) Ví dụ 2: Phương trình x = x tương đương với phương trình: A x + x − =3 x + x − C x x −= 3x x − B x + 1 = 3x + x−3 x−3 D x + x + =3 x + x + Lời giải Chọn D Cách 1: Vì hai phương trình có tập nghiệm T = {0;3} Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm Cách 3: (Giải theo Casio có) Ví dụ 3: Khẳng định sau sai? A 1⇒ x−2= x−2 = B C x − = x − ⇒ x − x − = x ( x − 1) =1 ⇔ x = ( x − 1) D x−3= − x ⇒ x − 12 = Lời giải Chọn B Cách 1: Vì phương trình x ( x − 1) = 1có điều kiện xác định x ≠ ( x − 1) Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm Cách 3: (Giải theo Casio có) Ví dụ 4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương mx  m  1 x  m   (1) m  2 x2  3x  m2  15  A m  (2) B m  C m  Lời giải D m  Chọn B Cách 1:Giả sử hai phương trình (1) (2) tương đương  x 1 Ta có     x   mx  m       mx  m   Do hai phương trình tương đương nên x  nghiệm phương trình (2) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Thay x  vào phương trình (2) ta  m     m  15   m  m  20    m 4   m  5  x    Với m  5 : Phương trình (1) trở thành 5x  12x     x    x 1  Phương trình (2) trở thành 7x  3x  10     x   10  Suy hai phương trình khơng tương đương  x   Với m  : Phương trình (1) trở thành 4x  6x     x   x   Phương trình (2) trở thành 2x  3x     x   Suy hai phương trình tương đương Vậy m  hai phương trình tương đương Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm Cách 3: (Giải theo Casio có) Ví dụ 5: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương x  mx   (1) x  m  4 x  m  1 x   (2) A m  B m  C m  Chọn D Cách 1:Giả sử hai phương trình (3) (4) tương đương D m  Ta có x  m  4 x  m  1 x     x  22 x  mx  2   x  2   x  mx    Do hai phương trình tương đương nên x  2 nghiệm phương trình (3) Thay x  2 vào phương trình (3) ta 2  m 2    m   x  2   Với m  phương trình (3) trở thành x  x      x  2 Phương trình (4) trở thành x  x  x     x  2 2 x  1   x  2    x  Suy phương trình (3) tương đương với phương trình (4) Vậy m  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm Cách 3: (Giải theo Casio có) B BÀI TẬP TỰ LUYỆN(có chia mức độ) NHẬN BIẾT Câu Cho phương trình ( x + 1) ( x –1)( x + 1) = Phương trình sau tương đương với phương trình cho ? A x − =0 Câu Câu D ( x –1)( x + 1) = C x + =0 B x + = Hai phương trình gọi tương đương A Có tập xác định B Cả A, B, C C Có dạng phương trình D Có tập hợp nghiệm THƠNG HIỂU Khi giải phương trình x − = − x (1) , học sinh tiến hành theo bước sau: Bước : Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: x − = (2 − x)  2 ( ) Bước : Khai triển rút gọn ( ) ta được: x = Bước : ( ) ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm là: x = Cách giải hay sai? Nếu sai sai bước nào? A Đúng B Sai bước C Sai bước Câu Câu D Sai bước Phương trình x = x tương đương với phương trình: A x x −= 3x x − B x + x + =3 x + x + C x + x − =3 x + x − D x + Cho hai phương trình: x ( x − ) = ( x − ) (1) 1 3x + = x−3 x−3 x ( x − 2) x−2 =3 ( ) Khẳng định sau đúng? A Phương trình 1 2 hai phương trình tương đương B Phương trình 2 hệ phương trình 1 C Phương trình 1 hệ phương trình 2 D Cả A, B, C sai Câu 0? Phương trình sau tương đương với phương trình x − = A ( + x ) ( − x + x + 1) = B C ( x − ) ( x + x + ) = D x − x + = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 x2 − = TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 10 Câu Cho phương trình x − x = (1) Trong phương trình sau đây, phương trình khơng phải hệ phương trình (1) ? ( A x3 − x = Câu B x − x Khi giải phương trình Bước : (1) ⇔ Bước : ⇔ ) = C x − x D x − x + =0 = 1− x ( x − 3)( x − ) = ( ) , học sinh tiến hành theo bước sau: x −2 ( x − 3) x −2  2 ( x − 4) = ( ) ( x − 3) = ∪ x − = x −2 Bước : ⇔ x = ∪ x = Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là: T = {3; 4} Cách giải sai từ bước nào? B Sai bước A Sai bước Câu Khi giải phương trình Bước : (1) ⇔ Bước : ⇔ C Sai bước D Sai bước ( x − 5)( x − ) = ( ) , học sinh tiến hành theo bước sau: x −3 ( x − 5) x −3  2 ( x − 4) = ( ) ( x − 5) = ∪ x − = x −3 Bước : ⇔ x = ∪ x = Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là: T = {5; 4} Cách giải sai từ bước nào? A Sai bước B Sai bước C Sai bước D Sai bước Câu 10 Khẳng định sau sai? A x − = x − ⇒ x − x − = C x ( x − 2) ( x − 2) =2⇔ x= B x −3 = ⇒ x −3 = D x+3 = − x ⇒ 3x − = Câu 11 Phép biến đổi sau A x + x − = x ⇔ x − x = x −3 C x + x − = x + x − ⇔ x = x x + = x ⇔ x + = x2 x+3 2− x D += ⇔ x + 2= x x( x − 1) x x − B Câu 12 Khi giải phương trình x − = x − (1) , học sinh tiến hành theo bước sau: Bước : Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: x − x + 4= x − 12 x +  2 ( ) Bước : Khai triển rút gọn ( ) ta được: x − x + = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 11 Bước : ( ) ⇔ x =1 ∪ x = Bước :Vậy phương trình có nghiệm là: x = x = Cách giải sai từ bước nào? A Sai bước B Sai bước x = − x là: x B T = {−1} C Sai bước D Sai bước C T = ∅ D T = {0} Câu 13 Tậpnghiệm phương trình A T = {1} Câu 14 Khi giải phương trình x + 2x + = − (1) , học sinh tiến hành theo bước sau: x+2 x+2 Bước : đk: x ≠ −2 Bước :với điều kiện (1) ⇔ x ( x + ) + =− ( x + 3) ( ) −2 Bước : ( ) ⇔ x + x + = ⇔x= Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là: T = Cách giải sai từ bước nào? A Sai bước B Sai bước {−2} C Sai bước D Sai bước Trong phương trình sau đây, phương trình khơng phải Câu 15 Cho phương trình x − x = hệ phương trình cho? x B ( x − x ) + ( x − ) = A x − = 1− x C x + x − x = Câu 16 Khi giải phương trình D x − x = x + = x + (1) , ta tiến hành theo bước sau: Bước : Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: 3x + = ( ) ( x + 1)  2 Bước : Khai triển rút gọn ( ) ta được: x + x = 0 0 ⇔ x = hay x = –4 Bước : Khi x = , ta có x + > Khi x = −4 , ta có x + > Vậy tập nghiệm phương trình là: {0; –4} Cách giải hay sai? Nếu sai sai bước nào? B Đúng C Sai bước A Sai bước VẬN DỤNG Câu 17 Phương trình sau khơng tương đương với phương trình x + A + x − =−18 B x − + x + = C x x − = D Sai bước = 1? x D x + x = −1 3x − 2x − = Với điều kiện x ≠ −1, phương trình cho tương đương x +1 x +1 với phương trình sau đây? Câu 18 Cho phương trình Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 12 x A x − − ( x + 1) = B x − − =2 x C x − − x + =2 x x D x − = Câu 19 Chọn cặp phương trình khơng tương đương cặp phương trình sau: A x − x + x = x + x x − x = x .C x + = x − x x + = ( x − 1) B x x + 1= − x x x += 16 − x D x + = x x = 0? Câu 20 Phương trình sau tương đương với phương trình x − x = 1 A x + B x + x − =3 x + x − 3x + = x −3 x −3 C x x −= 3 x x − D x + x + =3 x + x + Câu 21 Khẳng định sau sai? x −1 = A x + = ⇔ x −1 B x =1 ⇔ x =1 C x − = x + ⇔ ( x − ) = ( x + 1) 2 D x − 1= − x ⇔ x − = Câu 22 Khẳng định sau đúng? A x + x − = x + x − ⇔ x = x B C x + x − = x ⇔ x = x − x − D 2x − = x −1 x −1 ⇔ 2x − = ( x − 1) x − = x ⇔ x − 1= x Câu 23 Chọn cặp phương trình tương đương cặp phương trình sau: A x + x − =1 + x − x = x x + = B x ( x + ) = C x + x − =+ x − x = D x ( x + ) =x x + = Câu 24 Chọn cặp phương trình tương đương cặp phương trình sau: A 2x + x − =+ x − x = C x + = − x x + = (2 − x) B x x +1 = x = x +1 D x + x − =+ x − x = VẬN DỤNG CAO Câu 25 Tìm tất giá trị thực tham số m để cặp phương trình sau tương đương: mx − ( m − 1) x + m − = 1 ( m − ) x − x + m − 15 = 2  −5; m = B m = A m = −5 D m = C m = Câu 26 Tìm giá trị thực tham số m để cặp phương trình sau tương đương: x + mx − = 1 x3 + ( m + ) x + ( m − 1) x − = 2  A m = B m = D m = C m = −2 C ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 10 D D D B C B D B B C 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 13 A C C D B D 21 22 23 24 25 26 B C A B C B C A D D D HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN Câu : Chọn D Vì phương trình ( ) phương trình hệ nên ta cần thay nghiệm x = (1) vào phương trình để thử lại Câu : Chọn B Vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiên Câu : Chọn B Vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiên Câu 12 : Chọn D Vì phương trình ( ) phương trình hệ nên ta cần thay nghiệm vào phương trình (1) để thử lại Câu 14 : Chọn D Vì khơng kiểm tra với điều kiện Câu 16 : Chọn D Vì phương trình ( ) phương trình hệ nên ta cần thay nghiệm x = ; x = −4 vào phương trình (1) để thử lại Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải - Để giải phương trình ta thực phép biến đổi để đưa phương trình tương đương với phương trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thường sử dụng  Cộng (trừ) hai vế phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương phương trình cho  Nhân (chia) vào hai vế với biểu thức khác không không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho  Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho  Bình phương hai vế phương trình(hai vế ln dấu) ta thu phương trình tương đương với phương trình cho A VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tập nghiệm phương trình x − x − = A S = ∅ B S = {3} − x + C S= [3; +∞ ) D S =  Lời giải Chọn B x − ≥ x ≥ Cách 1: Điều kiện  ⇔ ⇔x= 3 − x ≥ x ≤ Thử x=3 vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x=3 Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm Cách 3: (Giải theo Casio có) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 14 Ví dụ 2: Tập nghiệm phương trình x + x = x − A S = ∅ B S = {−1} C S = {0} D S =  Lời giải Chọn A Cách 1: Điều kiện x ≥ Ta có: x + x = x − ⇔ x =−1 ( loại ) Vậy phương trình vơ nghiệm Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm Cách 3: (Giải theo Casio có) ( ) Ví dụ 3: Tập nghiệm phương trình x − x − x + = B S = {1} A S = ∅ C S = {2} D S = {1; 2} Lời giải Chọn C Cách 1: Điều kiện x ≥ Ta có:  x = (tm) x − =  x − 2( x − x + 2) = 0⇔ ⇔   x = (l)   x − 3x + =   x = (tm) Vậy phương trình có nghiêmx=2 Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm Cách 3: (Giải theo Casio có) Ví dụ 4: Phương trình x + = −2 x − có nghiệm : 5 A x = B x = − 2 2 C x = − D x = 5 Lời giải Chọn B Cách 1: Điều kiện x ≥ ⇔x= Ta có: x + = −2 x − ⇔ x + = − Vậy phương trình có nghiêm x = Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm Cách 3: (Giải theo Casio có) ⇔x= x + = −2 x − ⇔ x + = − B BÀI TẬP TỰ LUYỆN(có chia mức độ) NHẬN BIẾT Ta có: Câu Cặp số ( x; y ) nghiệm phương trình x − y − = 0? A ( x, y ) = (2;1) Câu Phương trình x + x − = B ( x, y ) = (1; 2) C ( x, y= ) (3; −2) D ( x, y= ) (1; −2) − x có nghiệm? Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 15 A Câu Câu Số nghiệm phương trình x + Câu B Tập nghiệm phương trình A Câu B Số nghiệm phương trình: x + A Câu C Số nghiệm phương trình x + x − − 1= A B A Câu B D x − là: C D 1 9+ , là: = x −3 x −3 C D 1 là: = 4+ x +1 x +1 C D ( x − 3) ( x − 1) x = có phần tử? B C D Giả sử a nghiệm phương trình x − x − = 16 − x − Khi ( 2a − a − ) bằng: A 59 B C -3 D -59 Cặp số ( x; y ) sau nghiệm phương trình x − y = A (1; −2) B (1; 2) C (−1; −2) D (−2;1) 2 C S =   13   2 D S = −   13  THÔNG HIỂU Câu Tập nghiệm phương trình:  13  A S = −   2 2x + = là: 13  B S =   2 3x + là: − = 2x − x − B {−4} C {−4;1} D {1} x + 2x + = x 2x − B x = − 3 D x = Câu 10 Tập nghiệm phương trình: A {∅} Câu 11 Nghiệm phương trình A x = − Câu 12 Phương trình x + A Câu 13 C x = 2x −1 = có nghiệm? x −1 x −1 B C D Số nghiệm phương trình: ( x − ) + x = A B C Câu 14 Phương trình x − = có tập nghiệm −14 17 A S={ } B S={ } 3 ( )( C S={ D 14 } D S={ 22 } ) Câu 15 Số nghiệm phương trình x + 10 x − 31x + 24 = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 16 A B C D x +1 − = là: 2x − x − 3  B 1; 2;  C {1} 2  Câu 16 Tập nghiệm phương trình:  8 A 1;   7 Câu 17 Nghiệm phương trình x+1+ A -3 8  D   7  x+6 = x+3 x + B -1 C -3 D Câu 18 Tập nghiệm phương trình: x + 3x + = x − là: 2x + C S = −  B S = {1} A S = ∅ Câu 19 Tập nghiệm phương trình x + 3 A S =   2  2 D S = − 23   16  3x = là: x −1 x −1 B Kết khác C S = {1} 4? Câu 20 Tim số nghiệm phương trình x + = A B C  3 D S = 1;   2 D x −1 Câu 21 Nghiệm phương trình x + = là: x−2 A  x = x−2 C  x = B x = x = x = Câu 22 Số nghiệm phương trình: ( x − 3) x − 1= A Câu 23 Phương trình A B x2 + = x+2 A 15 D 10 có nghiệm? x+2 B C B − Câu 25 Nghiệm phương trình A x − là: C Câu 24 Tổng nghiệm phương trình: D x = D Vô nghiệm = x − là: 3x + C − D x − 3x − x + − =2 là: x+2 x−2 4− x B C − 15 D −5 Tính tổng tất nghiệm phương trình Câu 26: Cho phương trình + x = A −6 B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C − D − TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 17 VẬN DỤNG Câu 27 Tập nghiệm phương trình A S = x − 2( x − x + 2) = B S= {1} {−2; 2} C S= {1; 2} D S= {2} Câu 28 Phương trình sau có nghiệm ngun x + 3x + = x+4 x+4 3x + C = x +1 x +1 x2 +1 −4 = 2− x 2− x 3x − x − D = 3x − 3x − B A Câu 29 Tập nghiệm phương trình x2 − 2x = x − x là: B S = {0} A S = ∅ ( Câu 30 Số nghiệm phương trình A C S = {0; 2} D S = {2} ) x − x − 3x + = B C D Câu 31 Số nghiệm phương trình ( x − x + 4) x − = là: A B C D vơ số nghiệm Câu 32 Phương trình A x + x − = − x + có nghiệm? B C D Câu 33 Phương trình A − x + x − + x3 = 27 có nghiệm? B C D Câu 34 Số nghiệm phương trình: ( ) là: x − x − 3x + = A Có nghiệm B Có ba nghiệm C Có hai nghiệm D Vô nghiệm Câu 35 Nghiệm phương trình x   là:  x=0 B  x = −   x =1 A  x = C x = x =0 D  x =  Câu 36 Phương trình x ( x − 1) x − = có nghiệm? A B C ( Câu 37 Tập nghiệm S phương trình x − x + B S = {2,3} A S = {1, 2,3} Câu 38 Phương trình ( x − 3) ( − 3x ) + x= A Câu 39 Giải phương trình x−3 = C S = {3} D S = {1, 2} x − + có nghiệm? B x2 − = x +1 ) D C D x+3 + x +1 x +1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 18 A x = –2 V x = B x = –2 C x = D x = Câu 40 Phương trình ( x − x − ) x + = có nghiệm? A B C D Câu 41 Tập nghiệm cuả phương trình ( x − x + 3) x − = là: A {4} B {1;3; 4} C {1;3} D {3; 4} Câu 42 Phương trình x ( x − ) x − = có nghiệm? B A D C Câu 43: Cho phương trình ( x − ) x + = x − Tính tích tất nghiệm phương trình A 30 B 15 C D VẬN DỤNG CAO Câu 44 Cho phương trình x 1  m x   x  Kết luận đúng? A Phương trình có nghiệm m B Phương trình có nghiệm m  C Phương trình có nghiệm phân biệt m  D Phương trình vơ nghiệm m Câu 45 Phương trình A m ≤ x + m −1 = có nghiệm m thỏa x +1 +1 B m < C m ≥ D m > Câu 46 Cho phương trình x − 3mx + mx + m − + −m = −m Phương trình có nghiệm x = khi: A m ∈∅ B m = C m = −1 D m = −1 ; m = C ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 10 D C C A A B B A B C 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B A D C B A D D A A 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 D A A B A A D C C A 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C A D A B B C A C C 41 42 43 44 45 46 A D A A A C D HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN III – ĐỀ KIỂM TRA CUỐI BÀI ĐỀ KIỂM TRA 01 Câu 1: Số nghiệm phương trình: x x − = A B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 − x là: C D TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 19 x −1 = − x x+2 B x ≠ −2 C x ≠ 1; x ≠ −2 D x ≠ x = là: x x −1 B x ≥ 0, x ≠ C x > D x ≥ Câu 2: Điều kiện phương trình A x ≠ 1; x ≠ −2; x ≠ Câu 3: Điều kiện phương trình: A x > 0, x ≠ x −1 + Câu 4: Cho phương trình − x + x − m − = x − Tìm tất giá trị tham số m để tập xác định phương trình có dạng [ a; b ] A m ≤ −1 B m ≥ −1 ( )( C m < −1 ) D m > −1 Câu 5: Số nghiệm phương trình x + 10 x − 31x + 24 = A B {−1} C x − 4x = x −3 B S = {5} Câu 6: Tập nghiệm phương trình A S = 2 là: x −3 C S = ∅ D D S = {−1;5} Câu 7: Cho phương trình x − 3mx + mx + m − + −m = −m Phương trình có nghiệm x = khi: A m = −1 B m = C m ∈∅ D m = −1 ; m = Câu 8: Để giải phương trình x − = x − (1) Một học sinh trình bày theo bước sau: B1 : Bình phương hai vế (1) ⇒ x − x + 4= x − 12 x + B2 : (2) ⇔ x − x + = B3 : (3) ⇔ x  x = B4 : Vậy (1) có hai nghiệm x1 = x2 = Cách giải sai từ bước nào? A B2 B B3 Câu 9: Phương trình A x 2x + = x2 C x + =x D B1 2x + = x tương đương với phương trình sau đây? B x + + 2x + = x + x + D ( x + 3) = x2 Câu 10: Điều kiện phương trình A x > −1 C B4 x 3  B x ≤ x  là: x 1 C x ≠ −1 D x ≥ Câu 11: Số nghiệm phương trình x + − x + − = x + − x + là: A B C D Câu 12: Phương trình sau tương đương với phương trình 2x  ? 1 = 1− A x = B x − 2x −1 2x −1 C x + x + = D x + x − =+ 1+ x + x−2 Câu 13: Tìm điều kiện xác định phương trình Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 x 3x − = − x −1 4− x TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 20 A ≤ x < 4, x ≠ C ≤ x ≤ 4, x ≠ B ≤ x < D x > Câu 14: Phương trình x + 3x + = tương đương với phương trình sau đây? A x + 4x + = B ( x + 3x + )( x + 3) = 0 C x + 3x + =0 x+2 D ( x + 3x + ) x + = x − ( x − 3x ) = bằng: Câu 15: Tích nghiệm phương trình A B C Câu 16: Điều kiện xác định phương trình A (1 + ∞ ) B ( −3; +∞ ) \ {±1} = x −1 D x + là: C [ −3 ; + ∞ ) D [ −3 ; +∞ ) \ {±1} Câu 17: Điều kiện xác định phương trình − x = − x A x ≤ B x ≥ C x ≠ D x > − 2x = là: x x+2 B −2 < x ≤ x ≠ D −2 < x ≤ Câu 18: Điều kiện xác định phương trình x + A x ≠ −2 x ≠ C x > −2 x ≠ Câu 19: Tìm điều kiện xác định phương trình: B [1; +∞ ) A [3; +∞ ) x − + x − 2= C ( 3; +∞ ) x −3 D (1; +∞ ) Câu 20: Trong phép biến đổi sau, biến đổi sai? A Nếu x > −1 ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) ⇔ x − = x − B x − = x − ⇔ ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) C Nếu x < −1 ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) ⇔ x − = x − D x − = x − ⇒ ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) x2 = x −1 B S = {−2; 2} Câu 21: Tập nghiệm phương trình A S = {2} Câu 22: Phương trình A m > x −1 C S = {−2} x + m −1 = có nghiệm m thỏa x +1 +1 B m < C m ≥ Câu 23: Với giá trị x sau thỏa mãn phương trình x    x A x  B x  C x  D S = ∅ D m ≤ D x  Câu 24: Tìm giá trị tham số m để cặp phương trình sau tương đương? x+2= m( x + x + 2) + m x + = A m = -1 B m = 1; m = -1 Câu 25: Tập nghiệm phương trình x − x = A S = {0} B S = φ C m =1 D m = 2 x − x là: C S = {2} D S = {0 ; 2} - Hết Bảng đáp án đề kiểm tra Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 21 ĐÁP ÁN ĐỀ 01 10 C D C C D B A C B D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A C A B B D A B A B 21 22 23 24 25 A D B C D Hướng dẫn giải câu VD – VDC ĐỀ KIỂM TRA 02 2x : − =2 x +1 x +1 x ≠ B x ≠ −1 C   x ≠ −1 Câu 1:Điều kiện xác định phương trình A x ≠ 1 = x + là: x −1 C (1; +∞ ) B [ −3 ; +∞ ) \ {±1} Câu 2:Điều kiện xác định phương trình A Cả B, C, D sai 2 x2 + = Câu 3:Điều kiện xác định phương trình x − + 7−x A x < B ≤ x < C ≤ x ≤ Câu 4:Điều kiện xác định phương trình A  x ≥ x ≠ D x ∈  2x + B x ≠ Câu 5:Điều kiện xác định phương trình x + 3+ x = x − x−2 C  x <  x ≠ −2 D [ −3 ; + ∞ ) D x ≥ D  x > x ≠ − 2x = x 2x + A x > −2 x ≠ C x > −2 x < Câu 6:Hai phương trình gọi tương đương khi: A Có dạng phương trình C Cả A, B, D B x > −2, x ≠ x ≤ D x ≠ −2 x ≠ B Có tập xác định D Có tập hợp nghiệm Câu 7:Phương trình x = x tương đương với phương trình: A x + x − =3 x + x − C x x −= 3x x − Câu 8:Khẳng định sau sai? Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 B x + 1 = 3x + x−3 x−3 D x + x + =3 x + x + TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 22 A x−2 = 1⇒ x−2= B C x − = x − ⇒ x − x − = D x ( x − 1) =1 ⇔ x = ( x − 1) x −3 = − x ⇒ 3x − 12 = Câu 9:Phương trình x + x + = tương đương với phương trình sau đây? x + 3x + =0 B x+2 A ( x + x + ) x + = C ( x + x + )( x + 3) = D x + x + = Câu 10:Trong khẳng định sau, phép biến đổi tương đương: B Cả A, C, D sai A x + x − = x + x − ⇔ x = x C D x + x − = x ⇔ x = x − x − x − = x ⇔ x − 1= x Câu 11:Phương trình sau phương trình hệ phương trình x2 − 2x − = 0? B ( x + 1) ( x − 3) = C ( x − 1) ( x − 3) = D ( x − 3) ( x + 1) = A ( x + 3) ( x − 1) = Câu 12:Để giải phương trình x − = x − (1) Một học sinh trình bày theo bước sau: B1 Bình phương hai vế (1) ⇒ x − x + 4= x − 12 x + B2 :(2) ⇔ x − x + = B3 :(3) ⇔ x = x = B4 :Vậy (1) có hai nghiệm x1 = x2 = Cách giải sai từ bước nào? A B2 B B3 C B4 D B1 Câu 13:Cho phương trình x − x = Tìm phương trình khơng phải phương trình hệ phương trình cho x A x − x + =0 B ( x − x ) = C x3 − x = D x − 0 = 1− x Câu 14:Cho phương trình: x −1 = (1) ( x −1 ) = ( −3) (2) Chọn khẳng định đúng: A Phương trình (1) phương trình (2) hai phương trình tương đương B Phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) C Phương trình (2) vơ nghiệm D Phương trình (1) phương trình hệ phương trình (2) Câu 15:Phương trình − x + = x + 10 − x − tương đương với phương trình sau đây? A ( − x + ) = ( x + 10 ) C − x + = x + Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 B ( x − ) =( x + ) 2 D x − = x + TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 23 Câu 16:Phương trình tương đương với phương trình x − = A x2 = x −1 x −1 C x + x − = B x = D − x + x = + − x Câu 17:Tìm điều kiện phương trình A [ 6; +∞ ) 15 + x = ( x − 1) x −  −15  ; +∞  \ {±1} C ( 6; +∞ ) B     −15  ; +∞  \ {6} D    Câu 18:Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A 2x + x − =1 + x − ⇔ x =1 B C x − x + = ⇔ x + = x − x2 D = ⇔ x 2= x −1 x −1 Câu 19:Cách viết sau sai A x ( x − 1) = ⇔ x = 0; x = x = C x ( x − 1) = ⇔  x = x − = x ⇔ x − 1= x có hai nghiệm x = x = B x ( x − 1) = x = D x ( x − 1) = ⇔  x = Câu 20:Phép biến đổi sau phép biến đổi tương đương? A x + x − = x ⇔ x = 3x − 15 ⇔ x = −15 B x = C x + x − = + x − ⇔ x = 1 D x x + 2= +2⇔= x −1 x −1 Câu 21:Trong phép biến đổi sau, biến đổi sai? A x − = x − ⇒ ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) B x − = x − ⇔ ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3)  x − 1= x − C ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) ⇔  x +1 = D Nếu x  1 ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) ⇔ x − = x − Câu 22:Hãy khẳng định sai : A x − 1= − x ⇔ x − = C x − = x + ⇔ ( x − ) = ( x + 1) B x + = ⇔ x −1 = x −1 D x =1 ⇔ x =1, x > Câu 23`:Cho phương trình − x + x − m − = x − Tìm tất giá trị tham số m để tập xác định phương trình có dạng [ a; b ] A m < −1 B m ≤ −1 C m ≥ −1 D m > −1 Câu 24:Tìm giá trị tham số m để cặp phương trình sau tương đương? x+2= m( x + x + 2) + m x + = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 24 A m = B m = −1 C m = ; m = −1 D m = Câu 25:Tìm tất giá trị tham số m để hai phương trình x + = x − x + m = tương đương A m ≤ C m ≥ B m < D m > - Hết Bảng đáp án đề kiểm tra ĐÁP ÁN ĐỀ 02 1-D 2-B 3-B 4-A 5-B 6-D 7-D 8-B 9-C 10-D 11-C 12-C 13-A 14-A 15-C 16-A 17-A 18-C 19-C 20-A 21-B 22-C 23-A 24-C 25-B Hướng dẫn giải câu VD – VDC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... A Phương trình (1) phương trình (2) hai phương trình tương đương B Phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) C Phương trình (2) vơ nghiệm D Phương trình (1) phương trình hệ phương trình. .. kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho  Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho  Bình phương hai vế phương trình( hai vế... kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho  Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho  Bình phương hai vế phương trình( hai vế