Chuyên đề cấp số cộng, cấp số nhân

Tailieumontoan.com  Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng năm 2020 Website: tailieumontoan.com DẠNG TOÁN 2: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN PHẦN I: I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Cấp số cộng  Định nghĩa: un + d với n ∈ * • Nếu ( un ) cấp số cộng với công sai d , ta có: un +=  Số hạng tổng qt: • Nếu cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức: un = u1 + ( n − 1) d với n ≥  Tính chất: • Trong cấp số cộng, số hạng (trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số đứng kề với nó, nghĩa uk = uk −1 + uk +1 với k ≥ 2  Tổng n số hạng cấp số cộng: Cho cấp số cộng ( un ) Đặt S n = u1 + u2 + + un Khi đó: S n = n ( u1 + un ) n  2u1 + ( n − 1) d  =  2 Cấp số nhân  Định nghĩa: • Nếu ( un ) cấp số nhân với cơng bội q , ta có: un +1 = un q với n ∈ *  Số hạng tổng quát: • Nếu cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức: un = u1.q n −1 với n ≥  Tính chất: • Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu cuối) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa uk = uk −1.uk +1 với k ≥  Tổng n số hạng cấp số nhân: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com • Cho cấp số nhân ( un ) với công bội q ≠ Đặt S n = u1 + u2 + + un Khi đó: S n = u1 (1 − q n ) 1− q  Cấp số nhân lùi vơ hạn: • Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân vơ hạn có cơng bội q cho q < • Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Cho ( un ) cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q Khi tổng cấp số nhân lùi vơ hạn tính theo cơng thức S = u1 + u2 + + un + = u1 1− q II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Nhận dạng, khai triển CSC  Xác định U1 , d , n,U n , Sn CSC (cụ thể)  Xác định U n , Sn CSC (tổng quát)  Bài toán khác liên quan tổng CSC  Điều kiện để dãy số thành CSC  Điều kiện để nghiệm phương trình lập thành CSC  Tốn đố, tốn thực tế, liên mơn CSC  Nhận dạng, khai triển CSN  Xác định U1 , q, n,U n , Sn CSN (cụ thể)  Xác định U n , Sn CSN (tổng quát)  Bài toán khác liên quan tổng CSN  Điều kiện để dãy số thành CSN  Điều kiện để nghiệm pt lập thành CSN  Toán đố, toán thực tế, liên mơn CSN  Bài tốn liên quan đến CSN lùi vơ hạn  Tốn tập hợp CSC CSN … Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com BÀI TẬP MẪU u1 3,= u2 Công sai cấp (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho cấp số cộng ( un ) biết= số cộng A B D −6 C 12 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm công sai cấp số cộng HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định công thức un +1 theo un B2: Kết hiệu un +1 − un Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A u1 3,= u2 nên d = u2 − u1 = − = Ta có:= Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Dãy số sau cấp số cộng: A −1,3, 7,11,13 B 0, 2, 6,8,10 C 11,14,17, 20, 24 D 7,3, −1, −5, −9 Lời giải Chọn D Dãy số 7,3, −1, −5, −9 cấp số cộng với u1 = 7; d = −4 Câu Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −5; u8 = 44 Công sai cấp số cộng A B C D Lời giải Chọn C Ta có u = 44 ⇔ u1 + d = 44 ⇔ −5 + d= 44 ⇔ d= Câu Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 28 công sai d = −5 Số hạng thứ 10 cấp số cộng : A u10 = −22 B u10 = −7 C u10 = −17 D u10 = −12 Lời giải Chọn C u1 + 9d = 28 + ( −5 ) = −17 Ta có un = u1 + ( n − 1) d ⇔ u10 = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Câu Cho cấp số cộng ( un ) có cơng sai d = −2 số hạng thứ Số hạng thứ cấp số cộng bằng: A 15 B 17 C 19 D 21 Lời giải Chọn B Ta có un = u1 + ( n − 1) d ⇔ u5 = u1 + 4d ⇔ u1 + ( −2 ) = ⇔ u1 = 17 Câu Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 28 công sai d = −6 Hỏi −32 số hạng thứ cấp số cộng? A B 10 C 11 D 12 Lời giải Chọn C Ta có un = u1 + ( n − 1) d ⇔ −32 = 28 + ( n − 1) ( −6 ) ⇔ n = 11 Câu Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −32 công sai d = Tổng 10 số hạng cấp số cộng là: A S10 = 20 C S10 = 60 B S10 = 80 D S10 = 40 Lời giải Chọn D = Ta có S10 Câu 10 ( 2u1 + 9d ) = 40 Cho cấp số cộng có u1 = un += un + Số hạng thứ 15 cấp số cộng bằng: A u15 = 42 B u15 = 44 C u15 = 24 D u15 = 31 Lời giải Chọn B Gọi d công sai cấp số cộng Ta có: un +1 = un + ⇔ un +1 − un = ⇔ d = Suy ra: u15 = u1 + 14d =+ 14.3 = 44 Câu Cho cấp số cộng ( un ) có công sai d S n tổng n số hạng đầu cấp số cộng Công thức sau đúng: A S n = u1 + un B un= u1 + nd C u4 = u3 + u5 D un = u1 + un +1 Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Chọn C Ta có: uk = Câu uk −1 + uk +1 u3 + u5 ⇒ u4 = 2 Dãy số sau cấp số nhân: A 2; 4;6;8;10 B 5;10;15; 20; 25 C 3;9; 27;81; 243 D 2; −4;8; −16; −32 Lời giải Chọn C u1 3;= q Dãy số 3;9; 27;81; 243 cấp số nhân với = Câu 10 Cho cấp số nhân ( un ) biết un= 2n , ∀n ∈ N * Tìm số hạng đầu u1 công bội q cấp số nhân A u1 = ; q = −2 B u1 = −2 ; q = C u1 = ; q = D u1 = ; q = Lời giải Chọn D Ta có : un = 2n = 2.2n −1 = u1.q n −1 , ∀n ∈ N * Nên u1 = ; q = Câu 11 Cho cấp số nhân ( un ) , biết u1 = −2; u2 = 10 Lựa chọn đáp án A q = 10 B q = −5 C q = D q = 12 Lời giải Chọn B u 10 u1.q ⇒ q = = ⇒ q = −5 Ta có: u2 = u1 −2 Câu 12 Cho cấp số nhân ( un ) , biết u1 = 3; q = −2 Tìm u3 A u3 = 11 B u3 = 12 C u3 = 16 D u3 = 14 Lời giải Chọn B Áp dụng công thức: un = u1.q n −1 ⇒ u3 = ( −2 ) = 12 Câu 13 Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = cơng bội q = −2 Tính S6 A S6 = − 155 B S6 = −105 C S6 = −315 D S6 = 315 Lời giải Chọn B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com ( −2 ) − = −105 q6 −1 = Ta có S6 = u1 q −1 −2 − Câu 14 Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = − ; u7 = −32 Tìm q ? B q = ± A q = ±1 C q = ±2 D q = ±4 Lời giải Chọn C Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có: q = un = u1q n −1 ⇒ u7 = u1.q ⇒ q = 64 ⇒   q = −2 Câu 15 Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 , công bội q Với giá trị n ≥ , n ∈  Khẳng định sau đúng? A un = u1 + ( n − 1) q B un = u1.q n −1 C un − un −1 = q D S n = u1 (1 − q n ) q −1 Lời giải Chọn B Câu 16 Trong dãy số cho đây, dãy số cấp số nhân lùi vô hạn? n A 2 , , , ,   , 27 3 B n 27 3 C , , , ,   , 2 1 1 , , , , n , 27 1 1  1 D 1, − , , − , , ,  −  16  2 n−1 , Lời giải Chọn C n Chọn đáp án 3 27 3 >1 , , , ,   , cấp số nhân có cơng bội q= 2 2 Câu 17 Cho cấp số nhân ( un ) , biết = u1 3;= q un = 192 Tìm n A n = B n = C n = D n = Lời giải Chọn C un u1.q n −1 ⇒ 192 = 3.2n −1 ⇒= n Áp dụng cơng thức: = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com  Mức độ Câu Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −2 cơng sai d = Số hạng tổng quát un B u= 3n − n A u= 3n − n C un = −2n + D un = −3n + Lời giải Chọn A Ta có un = u1 + ( n − 1) d = −2 + ( n − 1) = 3n − Câu Cho cấp số cộng ( un ) biết u27 = −76 u83 = −244 Khi số hạng đầu u1 cấp số cộng cho A −3 C B D Lời giải Chọn D Gọi d công sai cấp số cộng cho −76 u = −76 u + 26d = u = Áp dụng công thức un = u1 + ( n − 1) d , ta có:  27 ⇔ ⇔ −244 −244  d = −3 u1 + 82d = u83 = Câu Cho cấp số cộng (un ) có số hạng, biết u1 = − A u2 = ; u3 = 2 C u2 = 1; u3 = u4 = Tìm số hạng cịn lại? 2 B u2 = 1; u3 = D u2 = ; u3 = Lời giải Chọn A Ta có: u4 = 5 ⇔ u1 + 3d =⇔ − + 3d = ⇔ d = 2 2 1 Vậy u2 =u1 + d =− + = , u3 = u2 + d = + = 2 2 Câu Cho cấp số cộng có u1 = −1 S 23 = 483 Công sai cấp số cộng là: A d = B d = C d = −2 D d = Lời giải Chọn D Gọi d công sai cấp số cộng Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com n ( u1 + un ) n u1 + u1 + ( n − 1) d  n  2u1 + ( n − 1) d  = = 2 Ta có: S n = Vậy: S 23 = Câu 23 ( 2u1 + 22d ) 23 ( −2 + 22d ) = ⇔ 483 = ⇔ d 2 Cho cấp số cộng ( un ) có u27 + u2 = 83 Khi tổng 28 số hạng cấp số cộng ( un ) A S 28 = 1162 B S 28 = 1612 C S 28 = 2611 D S 28 = 1261 Lời giải Chọn A Gọi d u1 công sai số hạng đầu cấp số cộng ( un ) S 28 Ta có:= Câu 28 ( u1 + u28 ) 28 ( u2 − d + u27 + d ) 28 ( u2 + u27 ) 28.83 = = = = 1162 2 2 u = −2020 Cho dãy cấp số cộng ( un ) thoả mãn  ( ∀n ∈ , n ≥ 1) Tìm cơng thức số hạng un + un += tổng quát dãy số? Lời giải Chọn D Công sai: d = Số hạng u1 = −2020 u1 + ( n − 1) = −2025 + 5n Số hạng tổng quát un = Câu Cho cấp số cộng có u1 = u2 = Tổng n số hạng đầu cấp số nhân là: A n ( 2n − 1) B n ( 3n + 1) C 2n ( 3n − 1) D n ( 3n − 1) Lời giải Chọn D Cấp số cộng có u1 = u2 = nên d = Ta có: S n = Câu n  2u1 + ( n − 1) d  n  2.2 + ( n − 1)  = n ( 3n − 1) = 2 Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng A un = n B un = ( −1)n n C un = n 3n D un = 2n Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Ta có: un +1 − un = ( n + 1) − 2n = 2; ∀n ∈  ⇒ un = 2n cấp số cộng Câu −17 2u3 − u6 = Cho cấp số cộng (un ) biết  Tìm số hạng đầu u1 công sai d ?  S10 = 105 A u1 = −5; d = −12 B u1 = −12; d = C u1 = 5; d = −12 D u1 = −12; d = −5 Lời giải Chọn B Ta có: −17 −17 −17 2u3 − u6 = u −d = 2 ( u + 2d ) − ( u1 + 5d ) = ⇔ ⇔  ( 2u1 + 9d ) = 105 21  S10 = 105 2u1 + 9d =  u1= d − 17 u = −12  ⇔ ⇔ 21  d =5 2 ( d − 17 ) + 9d = u20 = 8u17 Câu 10 Cấp số nhân ( un ) có  Tìm số hạng u1 biết u1 ≤ 100 272 u1 + u5 = A u1 = 16 B u1 = C u1 = −16 D u1 = −2 Lời giải Chọn A Ta có  16 (1) u1q19 = 8u1q16 u20 = 8u17 u1q ( q − ) = ⇔ ⇔    4 272 272 272 ( ) u1 + u1q = u1 + u5 = u1 (1 + q ) = q = Từ (2) suy u1 ≠ , (1) ⇔  q = 272 không thỏa điều kiện u1 ≤ 100 Nếu q = ( ) ⇔ u1 = 16 thỏa điều kiện u1 ≤ 100 Nếu q = ( ) ⇔ u1 = 13 u1 + u2 + u3 = Câu 11 Cho cấp số nhân ( un ) thỏa  Tổng số hạng đầu cấp số nhân ( un ) là: 26 u4 − u1 = A S8 = 3280 B S8 = 9841 C S8 = 3820 D S8 = 1093 Lời giải Chọn A Ta có Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com HƯỚNG GIẢI: B1: Sử dụng cơng thức d= u2 − u1 tính d Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A Ta có:= u1 3,= u2 nên d = u2 − u1 = − = Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Công thức sau với cấp số cộng có số hạng đầu u1 công sai d ? A u= u1 + d n B u= u1 + nd n C un = u1 + ( n − ) d D un = u1 + ( n + ) d Lời giải Chọn C Ta có: un = u1 + ( n − ) d Câu Công thức sau với cấp số cộng có số hạng đầu u1 công sai d ? A u11= u1 + u10 B u11= u1 + u11 C u11 = u10 + u12 D u11 = u10 − u12 Lời giải Chọn C Ta có : u11 = Câu u10 + u12 Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng? A −1;0;1; 2;3 1 B − ;0; ;1; 2 C −3;3; −3;3; −3 D 1;3;9; 27; Lời giải Chọn A Dựa vào định nghĩa cấp số cộng Câu Hãy chọn khẳng định A Dãy số tăng cấp số cộng Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 27 Website: tailieumontoan.com B Dãy số có tất số hạng cấp số cộng với công sai C Một cấp số cộng có cơng sai dương dãy số tăng D Một cấp số cộng có cơng sai dương dãy số dương Lời giải Chọn C Dựa vào định nghĩa cấp số cộng Câu Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 công sai d Tổng n số hạng đầu A S n = u1 + un B S n = n ( u1 + un ) C S n = n ( 2u1 + un ) u + ( n − 1) d D S n = 2 Lời giải: Chọn B Dựa vào tổng n số hạng Câu 6: Trong dãy số hữu hạn đây, dãy số cấp số nhân? A 1; −3; −7; −11; −15 B 1;0;1;0;1 C 2; 4;8;16;32 D 1;3;5;7;9 Lời giải Chọn C Áp dụng định nghĩa cấp số nhân Câu 7: Cho cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 = công bội q = −2 Số hạng thứ cấp số nhân (un ) ? A u5 = −7 C u5 = −32 B u5 = 16 D u5 = −9 Lời giải Chọn B u5 =u1.q =1.(−2) =16 Câu 8: Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức : A un = u1 + (n − 1)q với n ≥ B un = u1.q n với n ≥ C un = u1.q n +1 với n ≥ D un = u1.q n −1 với n ≥ Lời giải Chọn D Áp dụng định nghĩa cấp số nhân Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 28 Website: tailieumontoan.com Câu 9: Cho cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 = cơng bội q = Số hạng thứ 75 cấp số nhân (un ) ? A u7 = C u7 =   3 B u7 = D u7 = Lời giải Chọn B Khi u1 = tất số hạng cấp số nhân Câu 10: Cho cấp số nhân (un ) có u1 = u2 = Hãy tìm cơng bội q cấp số nhân cho A q = B q = −5 C q = D q = Lời giải Chọn D = q u2 = u1  Mức độ Câu Cho cấp số cộng có u1 = −1; d = −2 Hãy chọn kết A Dạng khai triển −1;0;1; 2;3 B Dạng khai triển −1;0; 2;3; C Dạng khai triển −1; −3; −5; −7 D Dạng khai triển −1;1;3;5 Lời giải Chọn C Ta có u1 = −1; d = −2 u2 =u1 + d =−1 + ( −2 ) =−3 u3 =u2 + d =−3 + ( −2 ) =−5 u4 =u3 + d =−5 + ( −2 ) =−7 Dạng khai triển −1; −3; −5; −7 Câu Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −0,1; d = 0,1 Tìm số hạng thứ cấp số cộng A 1, B C 0,5 D 0, Lời giải: Chọn C Sử dụng công thức un = u1 + ( n − ) d Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 29 Website: tailieumontoan.com ⇒ u7 = u1 + 6d = −0,1 + ( 0,1 ) = 0,5 Câu Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 2; d = −0,1 Tìm số hạng thứ 100 cấp số cộng A −7,9 B −100 C 7,9 D 99 Lời giải Chọn A Ta có: u100 = u1 + 99d = + 99 ( −0,1 ) = −7,9 Câu Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −3; u6 = 27 Tìm d ? A B C D Lời giải Chọn C Sử dụng công thức un = u1 + ( n − ) d u6 =+ u1 5d ⇔ 27 = −3 + 5d ⇔ d = Câu Cho cấp số cộng ( un ) có= u1 A 11 B = ;u 26 Tìm d ? 11 C 10 D 10 Lời giải Chọn A Sử dụng công thức un = u1 + ( n − ) d 11 ⇒ u8 =u1 + d ⇔ 26 = + d ⇔ d = 3 Câu Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 3; q = −2 Số 192 số hạng thứ dãy? A Số hạng thứ B Số hạng thứ B Số hạng thứ C Số hạng thứ Lời giải Chọn B Ta có: u1 = 3; q = 192 −2; un = un = u1.q n −1 ⇔ 192 =− 3.( 2) n −1 ⇔ (−2) n −1 =⇔ 64 (−2) n −1 = (−2)6 ⇔ n = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 30 Website: tailieumontoan.com Vậy n = Câu Một cấp số nhân có số hạng, số hạng đầu số hạng thứ sáu 486 Gọi q công bội cấp số nhân Giá trị q ? A q = B q = −3 C q = D q = −2 Lời giải Chọn A Ta có:= u1 2;= u6 486 u6 = u1.q ⇔ 486 = 2.q ⇔ q = 243 ⇔ q = 35 ⇔ q = Vậy q = Câu 8: Cho cấp số nhân (un ) biết công bội q = A u1 = B u1 = số hạng thứ tư u4 = Tìm số hạng đầu u1 21 27 14 C u1 = − 34 21 D u1 = − 16 Lời giải Chọn A u4 = u1.q ⇔ u1 = u4 = q3 Câu 9: Cho cấp số nhân (un ) với un = 3n Tìm số hạng đầu u1 cơng bội q A = u1 3;= q B = u1 0;= q C u1 = 3; q = −3 D.= u1 0;= q Lời giải Chọn A  u1 = Ta có  ⇒q=  u2 = Vậy = u1 3;= q Câu 10: Rút gọn biểu thức A = + + + 16 + + 2n ; n ∈ N * A A = 2n + B.= A 2(2n − 1) C A 2(2n + 1) = D A = 2(2n + 1) Lời giải Chọn B Ta có: số hạng tổng A lập thành cấp số nhân với = u1 2;= q Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 31 Website: tailieumontoan.com Vậy = A S= u1 n − qn − 2n = = ( 2n − ) 1− q 1−  Mức độ Câu n +1 Cho dãy số ( un ) xác định u1 = un +1 = u 3n n Tổng S = u1 + u2 u3 u + +  + 10 10 29524 59049 B A 243 C 3280 6561 D 29542 59049 Lời giải: Chọn A un +1= n +1 u u un ⇔ n +1 = n ( ) 3n n +1 n Đặt = un Từ ( ) suy +1 = n Khi dãy số ( ) cấp số nhân với số hạng đầu v= u= n 1 , công bội q = 3 10 1 −   10 u u u 1− q   = 29524 = ⋅ S =u1 + + +  + 10 =v1 + v2 + v3 +  + v10 =v1 ⋅ 10 1− q 59049 1− Câu Gọi S n tổng n số hạng cấp số nhân ( un ) Biết A S9 = 0,325 S12 B S9 = 0, 485 S12 C S9 = 0, 246 S12 S S6 = , tính S12 S3 D S9 = 0, 675 S12 Lời giải Chọn A Ta có S = u1 ⋅ n Do qn − , với q công bội cấp số nhân q −1 S6 q − = = S3 q − ( q3 − )( q3 + ) = q3 − q3 + = ⇔ q3 = S9 q − 33 − Do vậy= = = 0,325 S12 q12 − 34 − Câu Tìm số hạng đầu u1 cấp số nhân ( un ) biết u1 + u2 + u3 = 168 u4 + u5 + u6 = 21 A u1 = 24 B u1 = 1344 11 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C u1 = 96 D u1 = 217 Trang 32 Website: tailieumontoan.com Lời giải Chọn C Ta gọi q công bội cấp số nhân, ta có 168  u1 + u1q + u1q = ⇔  21  u1q + u1q + u1q = Câu 168  u1 + u1q + u1q = ⇔  21  q ( u1 + u1q + u1q ) =  q3 =  ⇔   u1 + u1q + u1q = 168 q =    u1 = 96 Cho tứ giác ABCD có bốn góc tạo thành cấp số nhân có cơng bội q = Góc có số đo nhỏ bốn góc A 1° B 30° C 12° D 24° Lời giải Chọn D Gọi số đo bốn góc tứ giác ABCD x, x, x,8 x Ta có: x + x + x + x = 360° ⇔ 15 x = 360° ⇔ x = 24° Câu Cho số x + 2, x + 14, x + 50 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Khi x3 + 2018 bằng: A 2019 B 2017 C 2027 D 2082 Lời giải: Chọn D Yêu cầu toán tương đương ( x + )( x + 50 ) =( x + 14 )2 ⇔ x + 52 x + 100 =x + 28 x + 196 ⇔ x =4 2082 Khi x3 + 2018 = Câu Cho ba số x, 5, y theo thứ tự lập thành cấp số cộng ba số x, 4, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân x − y A 10 B C D Lời giải: Chọn C x = x + y  2y x + y 10 = 5 = =  Theo giả thiết ta có:  ⇔ ⇒ x − 2y = ⇔ = x y 16 = x     x.2 y =   2y = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 33 Website: tailieumontoan.com Câu Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = biểu thức 20u1 − 10u2 + u3 đạt giá trị nhỏ Tìm số hạng thứ bảy cấp số nhân ( un ) A 2000000 B 136250 C 31250 D 39062 Lời giải: Chọn C Sử dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân un = u1q n −1 Gọi q công bội cấp số nhân cho, ta có: 20u1 − 10u2 + u= 20u1 − 10u1q + u1q 2= 40 − 20q + 2q 2= ( q − 10q + 25 ) − 10= ( q − ) − 10 ≥ −10 Dấu xảy q = Suy u7 = 31250 Câu Người ta thiết kế tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt tầng nửa diện tích mặt tầng bên diện tích mặt tầng nửa diện tích đế tháp (có diện tích 12288 m2) Tính diện tích mặt A B 10 C 12 D Lời giải: Chọn D Diện tích bề mặt tầng (kể từ tầng 1) lập thành cấp số nhân có công bội q = = u1 12288 = 6144 10 Khi diện tích tầng là: u11 =u1 ⋅ q10 =6144 ⋅   =6 2 Câu Cho ba số a, b, c ba số liên tiếp cấp số cộng có cơng sai Nếu tăng số thứ thêm 1, số thứ thêm 1, số thứ thêm ba số ba số liên tiếp cấp số nhân Tính a + b + c A 12 B C D 18 Lời giải: Chọn B a 2, c =+ a Do a, b, c ba số liên tiếp cấp số cộng có cơng sai nên b =+ a + 1, a + 3, a + ba số liên tiếp cấp ⇔ ( a + 1)( a + ) = ( a + 3) ⇔ a = b = Với a = ⇒  c = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 34 Website: tailieumontoan.com Suy a + b + c = Câu 10 Xác định a để ba số + 2a, 2a − 1, − 2a theo thứ tự lập thành cấp số cộng A ± 3 B ± C ±3 D ± Lời giải: Chọn D 3 Theo công thức cấp số cộng ta có: ( 2a − ) =( + 2a ) + ( −2a ) ⇔ a = ⇔ a =±  Mức độ Câu Cho tam giác ABC cân ( AB = AC ), có cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tính cơng bội q cấp số nhân đó? A 2( + 1) B 2( + 1) C 2( + 1) D 3( + 1) Lời giải Chọn B A B C H Theo giả thiết: AB = AC BC , AH , AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có hệ: HC  BC = = = cot C  AH  q AH ⇒ cot C = sin C  AH  = = sin = B sin C   q AB hay: cos C = sin C = − cos C ⇔ cos C + cos C − = ⇔ cos C =−1 + ( < C < 90 ) Do C góc nhọn nên= sin C 2( − 1) = q Cho nên công bội cấp số nhân là: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 = sin C 2( = 2( + 1) − 1) Trang 35 Website: tailieumontoan.com Câu Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tan A, tan B, tan C theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị nhỏ góc B A π B π C π D π Lời giải Chọn A Theo giả thiết: tan A, tan B, tan C lập thành cấp số cộng ta có: tan A + tan C = tan B = C tan A + tan sin( A + C ) sin B 2sin B sin B = ⇒ = cos A.cos C cos A.cos C cos B cos A.cos C = ⇔ cos A.cos C= cos B ⇔ cos( A + C ) + cos( A − C = ) cos B cos B cos A.cos C 1 ⇔ − cos B + cos ( A − C )= cos B ⇔ cos B= cos ( A − C ) ≤ (2)(vì < cos ( A − C ) ≤ 1) 2 ⇔ Do < B < π ⇒ Giá trị nhỏ B = Câu π , AC b= , AB c a, BC a= Cho tam giác ABC có A= 90° , = b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Độ dài đường cao AH ( H ∈ BC ) A a B b C b D a Lời giải Chọn C 2  b2 + c2 b2 + c2 A = 900  a=  a=    Theo giả thiết ta có hệ:  ⇔ 2 ⇔ b, c  CSN : a,  b = ac  b = ac  Từ suy ra: a2 = ac + c ⇔ 2a = 3ac + 2c ⇔ ( 2a + c )( a − 2c ) = ⇒ a = 2c , ( 2a + c > ) Mà: cos B = c  = 600 , C  = 300 = ⇒B a Xét tam giác AHC vng H ta có:= AH AC.sin = C b.sin = 30° Câu b có bốn Tổng tất giá trị tham số m để phương trình x − ( 3m + ) x + ( m + ) = nghiệm lập thành cấp số cộng Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 36 Website: tailieumontoan.com A −70 19 B C −25 19 D 70 19 Lời giải Chọn D Giả sử bốn nghiệm phân biệt phương trình: x1 , x2 , x3 , x4 (1) Đặt y = x , ta phương trình: y − ( 3m + ) y + ( m + ) = Ta phải tìm m cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt: < y1 < y2 Khi phương trình cho có bốn nghiệm là: x1 = − y2 , x2 = − y1 , x3 = y1 , x4 = y2 Theo đề bốn nghiệm lập thành cấp số công, nên: x1 + x3 = x2 ⇔ y1 − y2 = −2 y1 ⇔ y1 =y2 ⇔ y1 = y2 = ∆ ( 3m + ) − 4(m + 1) >  Áp dụng Vi-et cho phương trình (1) ta có hệ:  S = y1 + y2 = 10 y1 = 3m + ⇔ = (m + 1) 2  P y1 y= m =   25  m = − 19 25 70 Vậy tổng cần tìm là: +  −  =  19  19 Câu Cho dãy số có số hạng 1,8, 22, 43, Hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số lập thành cấp số cộng: 7,14, 21, , 7n Số 35351 số hạng thứ cấp số cho? A 100 B 101 C 102 D 103 Lời giải: Chọn B  u2 − u1 = u − u = 14  Theo đề bải ta có  u4 − u3 = 21    un − un −1 = ( n − ) Công vế phương trình hệ ta được: ⇔ un − u1 = + 14 + 21 + + 7(n − 1) = Đặt: un = 35351 ⇒ (1) ⇔ 35351 − = n(n − 1) n(n − 1) ⇔ n − n − 10100 = → n = 101 Vậy số 35351 số hạng thứ 101 dãy số Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 37 Website: tailieumontoan.com Câu Hệ thức liên hệ m n để Cho phương trình: x3 + x − ( 24 + m ) x − 26 − n = phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng? A m = −n B m = n C m= − n D m= + n Lời giải: Chọn B Vì nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 phương trình lập thành cấp số cộng, nên ta đặt: x1 = x0 − d , x2 = x0 , x3 = x0 + d ; ( d ≠ ) Suy x3 + x − ( 24 + m ) x − 26 − n = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = ( x − x0 + d )( x − x0 )( x − x0 − d ) = x3 − x0 x + ( x02 − d ) x − x03 + x0 d ( ∀x ) Đồng hệ số hai vế phương trình ta có hệ phương trình:  −3 x0 =  2 − ( 24 + m ) ⇔  x0 − d =  − x3 + x d = −26 − n  0 −1  x0 =  −24 − m ⇔ 3 − d = 1 − d = −26 − n   x0 = −1  m = n Vậy với m = n nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng ? Câu Khi ký hợp đồng dài hạn 10 năm với công nhân tuyển dụng, công ty X , đề xuất phương án trả lương sau: Người lao động nhận triệu quý (một quí ba tháng), kể từ quí làm việc thứ hai mức lương tăng 500.000 đồng quí Như sau 10 năm làm việc, hết hạn hợp đồng, tổng số tiền lương người lao động nhận bao nhiêu? A 137,5 triệu B 670 triệu C 570 triệu D 610 triệu Lời giải: Chọn B Số tiền nhận hàng quý số hạn cấp số cộng hữu hạn với số hạng là: u1 = (triệu), công sai 0,5 (triệu) Trong 10 năm có 40 quý, nên cấp số cộng có 40 số hạng Từ ta có tổng số tiền lương người lao động nhận 40 40 S= ( 2u1 + ( 40 − ) d= ) ( 2.7 + ( 40 − ) 0,5= ) 670 (triệu) 40 2 Câu + mx , m ≠ Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m thuộc Cho hàm số f ( x ) = [ −2019; 2019 ] để phương trình f ( f ( x ) ) = x có nghiệm thực phân biệt A −2037171 B −2035153 C −2039190 D −2401210 Lời giải: Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 38 Website: tailieumontoan.com Phương trình tương đương với: + m ( + mx ) = x ⇔ m ( + mx ) + + mx = x + mx 2 2 ⇔ m  ( + mx ) − x  + ( + mx − x ) = ⇔ m ( + mx − x )( + mx + x ) + ( + mx − x ) = ⇔ ( + mx − x ) [ m ( + mx + x ) + ] = 0  + mx − x = ⇔ 2  m x + mx + m + = Để phương trình cho có nghiệm thực phân biệt phương trình phải có hai nghiệm phân biệt nghiệm hai phương trình phải khác Điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt là: m ≠ 1 − 4m >  ⇔m Giả sử hai phương trình có nghiệm chung nghiệm chung nghiệm hệ phương trình 1 + mx − x = ⇔  2  m x + mx + m + =  mx − x + = ⇔ ⇔  2mx + =  mx − x + =   m ( mx − x + ) + 2mx + =  x 2mx + − x + = )  ( ⇔ 2  2mx + = x =   m = −  Vậy điều kiện nghiệm hai phương trình phải khác m ≠ − Vậy với m < − phương trình cho có nghiệm thực phân biệt Ta lại có m số nguyên thuộc [ −2019; 2019 ] suy m ∈ { −2019; −2018; ; −1} Vậy tổng tất giá trị nguyên tham số m là: −1 − − − − 2019 =− ( + + + + 2019 ) =− 2019.2020 =−2039190 Câu Ông Nam gửi 200 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7% /năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm từ năm thứ hai trở đi, năm ông gửi thêm vào tài khoản với số tiền 20 triệu đồng Hỏi sau 18 năm số tiền ông Nam nhận gốc lẫn lãi bao nhiêu? Giả định Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 39 Website: tailieumontoan.com suốt thời gian gửi, lãi suất không thay đổi ông Nam khơng rút tiền (kết làm trịn đến hàng nghìn) A 1.686.898.000 đồng B 743.585.000 đồng C 739.163.000 đồng D 1.335.967.000 đồng Lời giải: Chọn D Số tiền (triệu đồng) tài khoản ông Nam biến động sau: Sau năm: 200 ( + 7% ) Sau năm: ( 200 ( + 7% ) + 20 ) ( + 7% )= 200 ( + 7% ) + 20 ( + 7% ) Sau n năm: 200 ( + 7% ) + 20 ( + 7% ) n = 200 ( + 7% ) + 20 ( + 7% ) n n−1 + + 20 ( + 7% ) ( + 7% )n −1 − 7% Suy sau 18 năm số tiền ông Nam nhận gốc lẫn lài là: 200.(1 + 7%)18 + 20.(1 + 7%) (1 + 7%)17 − = 1.335,967 triệu đồng 7% Câu 10 Anh An vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0, 7% / tháng theo phương thức trả góp Cứ tháng anh An trả cho ngân hàng triệu đồng trả hết nợ Hỏi tháng anh An trả hết nợ ngân hàng? (Biết lãi suất ngân hàng không thay đổi) A 21 tháng C 22 tháng B 23 tháng D 20 tháng Lời giải: Chọn C Diễn biến số nợ anh An sau: Số tiền nợ sau tháng thứ T1 =100 ( + 0, 007 ) − Số tiền nợ sau tháng thứ T2 = T1 ( + 0, 007 ) − =[ 100 ( + 0, 007 ) − ] ( + 0, 007 ) − =100 ( + 0, 007 ) − ( + 0, 007 ) − … Số tiền nợ sau tháng thứ n = T 100 ( + 0, 007 ) −  ( + 0, 007 ) n n n −1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 + ( + 0, 007 ) n−2 + +  Trang 40 Website: tailieumontoan.com = 100 ( + 0, 007 ) − n ( + 0, 007 )n − 0, 007 Do đó: ⇔ 100 ( + 0, 007 ) − Tn = n ( + 0, 007 )n − ⇔ 4,3 ( + 0, 007 ) = ⇔ 1, 007 n = n 0, 007 = ⇔ n ≈ 21, 736 4,3 Vậy sau 22 tháng, anh An trả hết nợ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 41 ... 2: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN PHẦN I: I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Cấp số cộng  Định nghĩa: un + d với n ∈ * • Nếu ( un ) cấp số cộng với cơng sai d , ta có: un +=  Số hạng tổng quát: • Nếu cấp số. .. tailieumontoan.com • Cho cấp số nhân ( un ) với công bội q ≠ Đặt S n = u1 + u2 + + un Khi đó: S n = u1 (1 − q n ) 1− q  Cấp số nhân lùi vơ hạn: • Cấp số nhân lùi vơ hạn cấp số nhân vơ hạn có cơng... u1 = tất số hạng cấp số nhân Câu 10: Cho cấp số nhân (un ) có u1 = u2 = Hãy tìm cơng bội q cấp số nhân cho A q = B q = −5 C q = D q = Lời giải Chọn D = q u2 = u1  Mức độ Câu Cho cấp số cộng