1 mơc lơc Trang ChØ dÉn ký hiƯu Lêi nói đầu Đ1 Nửa nhóm tự hệ thức xác định Đ2 Nhóm tự Sự biểu diƠn Dick 11 §3 Nhãm cđa nhãm tù Định lý Nielsen - Schreier 16 Đ4 DÃy trung tâm hoán tập Định lý Magnus 20 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 Chỉ dẫn ký hiệu Ký hiƯu X ý nghÜa Lùc l-ỵng cđa tËp hỵp X Nhãm sinh bëi tËp S AB TËp A hỵp víi tËp B AB TËp A giao víi tËp B [u] A Lớp t-ơng đ-ơng chứa từ u B [G, G] Nhóm A đẳng cấu với nhóm B Hoán tập G Lời nói đầu Cấu trúc tự cấu trúc đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc đại số nói chung Đặc biệt, nhóm tự nửa nhóm tự cấu trúc có nhiều ứng dụng toán học tin học Tuy nhiên tài liệu l-u hành kiến thức nhóm tự nửa nhóm tự đ-ợc trình bày rải rác Vì vậy, đà hệ thống hoá kiến thức trình bày khoá luận "Nhóm tự Định lý Nielsen Schreier" Khoá luận đ-ợc trình bày thành phần Đ Xây dựng khái niệm nửa nhóm tự hệ thức xác định (Định nghĩa 1.1) Nêu điều kiện cần ®đ ®Ĩ nưa nhãm lµ mét nưa nhãm tù (Định lý 1.5; Định lý 1.6) Điều kiện để nửa nhãm cđa mét nưa nhãm tù lµ mét nửa nhóm tự (Hệ 1.7; Mệnh đề 1.8) § §-a c¸c phÐp dùng nhãm thõa nhËn hệ thức không tầm th-ờng tập sinh chứng tỏ chúng nhóm tự phạm trù nhóm (Định lý 2.2 ; Định nghĩa 2.3) Từ xét tính chÊt quan träng cđa nhãm tù (HƯ qu¶ 2.5; Hệ 2.7; Định lý 2.8) mô tả Dick nhóm Đ Nghiên cứu nhóm nhóm tự Định lý Nielsen Schreier Với kết đáng quan tâm việc chứng tỏ nhãm cđa nhãm tù lµ mét nhãm tù (Định lý3.2) mô tả tập sinh chúng (Định lý 3.4.) Đ Trình bày dÃy trung tâm hoán tập (Định nghĩa 4.1) nội dung Định lý Magnus (Định lý 4.2) Khoá luận đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn thầy giáo PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc thầy giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo góp ý thiết thực cho trình hoàn thành khoá luận Chúng xin cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Đại số bạn sinh viên, giúp đỡ hoàn thành khoá luận Vì thời gian có hạn nên khoá luận chắn nhiều thiếu sót mong nhận đ-ợc đóng góp ý kiến bạn đọc để khoá luận đ-ợc hoàn thiện Tác giả Đ Nửa nhóm tự hệ thức xác định Tiết ta xây dựng khái niệm nửa nhóm tự nêu tính chất đặc tr-ng 1.1 Định nghĩa Giả sử X tập tuỳ ý Jx gồm tất dÃy hữu hạn phần tử thuộc X Nếu (x1,, xm); (y1,, yn) phần tử thuộc Jx ta định nghĩa tích chúng phép ghép chúng lại: (x1,…, xm) (y1,…, yn) = (x1,…, xm , y1,…, yn) Khi Jx trở thành nửa nhóm mà ta gọi nửa nhóm tự tập X, phần tử thuộc Jx ta gọi từ Nếu ta đồng phần tử x X với dÃy (x) độ dài 1, theo định nghĩa tích Jx ta đ-ợc: (x1,, xm) = (x1)(xm) = x1xm Vậy X tập sinh nửa nhóm Jx, tập sinh không chứa phần tử thừa Th-ờng làm việc với J1x tiện Jx Đơn vị ghép vào xem từ "rỗng" Khi J1x th-ờng đ-ợc ký hiệu X* từ "rỗng" đ-ợc ký hiệu Bây giả thiết ta muốn đặt số "hệ thức xác định" lên phần tử thuộc X, chẳng hạn: x1x2 = x3 x 24 , x13 = x4 x1x2 Giả sử hệ thức u = v ( ), đốivới thuộc tập số u v phần tử thuộc Jx Giả sử = {(u, v) } t-ơng đẳng Jx sinh quan hệ 0, đồng cấu tự nhiên từ Jx lên Jx/ (u) = (v) víi Ta gäi J x lµ nưa nhãm sinh bëi tËp X vµ cho hệ thức xác định u = v ( ) (thùc nã sinh bëi tËp (X)) ệnh đề Giả sử Jx nửa nhóm tự tập X Giả sử S nửa nhóm tuỳ ý ánh xạ từ X vào S Khi mở rộng cách tới đồng cấu tõ Jx vµo S Chøng minh NÕu lµ mét ®ång cÊu bÊt kú tõ nưa nhãm Jx vµo S trùng với X, phần tö tuú ý x1, x2, , xn X ta có: (x1x2xn) = 0(x1).0(x2) 0(xn) Do tồn không đồng cấu nh- Nh-ng đẳng thức cuối lấy làm định nghĩa cho ánh xạ từ Jx vào S mà rõ ràng đồng cấu trùng với X 1.3 Định lý Giả sử Jx nửa nhóm tự tập X , quan hệ Jx t-ơng đẳng Jx sinh Giả sử d đồng cấu tự nhiên từ Jx lên Jx Nếu S nửa nhóm đồng cÊu tõ Jx vµo S cho (u) = (v) (u, v) , tồn đồng cấu từ Jx vào S cho d = Chøng minh Tr-íc hÕt ta chứng tỏ w w' phần tử thuộc Jx mà ww' (w) = (w') Thật vậy, t-ơng đẳng sinh nên ww' ta từ w tới w' dÃy hữu hạn - bắc cầu Do cần chứng tỏ (w) = (w') nÕu ta cã thĨ ®i tõ w tíi w' - bắc cầu Nh-ng điều cuối có nghĩa w = w 1uw2 w' = w1vw2, w1, w2 Jx (u,v) Trong tr-ờng hợp, theo giả thiết ta có (u) = (v) (w) = (w1).(u) (w2) = (w1) (v) (w2) = w1vw2) = (w') Bây ta định nghĩa ánh xạ từ Jx vào S cách đặt (d(w))= (w), với w Jx ta đà chứng tỏ d(w) =d(w') (w,w' Jx) tøc lµ ww' kÐo theo (w) = (w') Từ suy tính đơn trị Còn miền xác định toàn tập Jx suy từ chỗ phần tử thuộc tập Jx có dạng d(w) với w thuộc Jx Vì đẳng thức d = hiển nhiên, nên ta phải chứng minh đồng cấu Giả sử w w' hai phần tử tuỳ ý thuộc Jx Khi ®ã (d(w)d(w')) = (d(ww')) = (w.w') = (w) (w') = (d(w)).d(w')) Do đồng cÊu 1.4 C¸c vÝ dơ 1) Nhãm tù Gx tập X Giả sử X' X'=X Giả sử x tập không giao với X cho x' ánh xạ - cố định từ X lên X' J1 nửa nhóm tự tập X X' Đặt: = {(xx', 1)x X} {(xx', 1) x X} Gi¶ sư t-ơng đẳng J1 sinh Khi đặt Gx = J Rõ ràng Gx mét nhãm vµ X sinh Gx theo nghÜa lý thuyết tập Giả sử G nhóm tuỳ ý, ánh xạ tuỳ ý từ X vào G ánh xạ từ X X' vào G thu đ-ợc từ nh- sau: 1(x) = 0(x) 0(x') = 1(x)-1 x X Khi ®ã theo MƯnh ®Ị 1.2, 0 cã thĨ më réng tíi ®ång cÊu tõ J1 = JX X' vào G Khi với x X ta cã (xx') = (x) (x') = (x) (x)-1 = = (1) t-ơng tự có (x'x) = (1) Do (u) = (v) (u, v) áp dụng Định lý 1.3 ta có kết luận tồn đồng cấu từ nhãm J = Gx vµo G cho d = Vậy ta đà chứng tỏ ánh xạ tuỳ ý từ X vào G mở rộng thành đồng cấu từ nhóm Gx vào G Tính chất giải thích cho thuật ngữ "Nhóm tự X" Gx 2) Nửa nhãm byxyclic Nưa nhãm byxyclic C lµ nưa nhãm víi đơn vị sinh hai phần tử X = {x1, x2} cho hệ thức xác định gồm cặp (x1x2, 1) Nếu nh- trên, t-ơng đẳng nửa nhóm J1x sinh quan hƯ th× C = J1x Nưa nhãm C thùc sinh bëi líp p = x1 d q = x2 d thoả mÃn đẳng thức pq = vµ ta sÏ dïng ký hiƯu C = C(p,q) 1.5 Định lý Nửa nhóm S nửa nhóm tự tập X phần tử thuộc S biểu diễn d-ới dạng tích phần tử thuộc X Chứng minh Nếu S = Jx theo định nghĩa nửa nhóm tự do, phần tử thuộc S biểu diễn đ-ợc cách d-ới dạng tích phần tử thuộc X Đảo lại, giả thiết phần tử thuộc S biểu diễn cách d-ới dạng tích phần tử thuộc mét tËp X cđa nã Khi ®ã theo mƯnh đề 1.2 ánh xạ đồng từ tập X vào S cã thĨ më réng tíi ®ång cÊu tõ nửa nhóm Jx lên S Còn ánh xạ - đẳng cấu thực chất cách phát biểu xác điều kiện nói phần tử thuộc S biểu diễn đ-ợc cách d-ới dạng tích phần tử thuộc X Định lý 1.5 đ-ợc chứng minh Nếu S nửa nhóm tự X ta định nghĩa độ dài phần tử w = x1x2…xn (xi X) thuéc S lµ sè n phần tử X tham gia cách viết Ký hiệu w= n 1.6 Định lý S nửa nhóm tử thoả mÃn điều kiện sau đây: S thoả mÃn luật giản -ớc trái phải S không chứa đơn vị hai phía Nếu ax = by đối víi a, b, x, y S th× a = b phần tử a, b -ớc bên trái phần tử Mỗi phần tử thuộc S có số hữu hạn -ớc bên trái Chứng minh Theo Định lý 1.5 ta suy điều kiện cần định lý Giả thiết điều kiện Định lý 1.6 đ-ợc thoả m·n Ký hiƯu X lµ tËp S\S2, tøc lµ tËp tất phần tử thuộc S -ớc nµo Ta chøng minh r»ng S lµ nưa nhãm tù X Tr-ớc hết X sinh S Thật vậy, giả sử a phần tư t ý thc S NÕu a kh«ng cã -íc th× a X NÕu a cã -íc th× a = bc b, c X a = xyz, Hoặc trình kết thúc ta thu đ-ợc biểu diễn a d-ới dạng tích phần tử thuộc X với số tự nhiên n lớn tuỳ ý tồn phần tử a1, a2,…, an S cho a = a1 a2…an NÕu a = a1 a2 …an th× a 1, a1 a2,, a1 a2an -1 -ớc bên trái a Chúng khác x = xy S xy = xy2 giản -ớc bên trái (theo 1) ta đ-ợc y = y2 Nh-ng lũy đẳng tuỳ ý nửa nhóm thoả mÃn luật giản -ớc phải đơn vị cđa nưa nhãm ®ã Theo ®iỊu kiƯn 2) S lũy đẳng Vậy a1, a1a2,, a1a2 an -1 -ớc bên trái khác phần tử a Nh-ng n cã thĨ chän lín t ý, tr¸i với điều kiện 4) Vậy X sinh S Giả thiÕt r»ng x1x2x3…xr = x1' x2' x3'…xS' ®ã xi, xj' thuộc X Giả sử x2xi = x x2'xs' = x' Thế x1x = x1'x' Do theo điều kiện 3): x1 = x1' phần tử x1, x1' có -ớc Khả cuối xẩy định nghĩa X Nh- x1 = x1' theo điều kiện 1) x = x' Bây t-ơng tự ta thu đ-ợc x2 = x2' tiếp tục trình b-ớc cuối tới r = s xi = xi' với i = 1,2,,r Nh- phần tử thuộc S biểu diễn đ-ợc cách d-ới dạng tích phần tử thuộc X, theo Định lý 1.5 S nửa nhãm tù trªn X Nãi chung nưa nhãm nửa nhóm tự nửa nhóm tự Chẳng hạn, T = lµ nưa nhãm cđa nưa nhãm tù 10 J{a, b}, nh-ng T nửa nhóm tù v× ab T Tb, ba T bT nªn T Tb , T bT nh-ng b T (xem MƯnh ®Ị 1.8) 1.7 HƯ qu¶ Nưa nhãm T cđa nưa nhãm tù lµ mét nưa nhãm tù từ đẳng thức ax = by (a, b, x, y T) suy hc a = b từ phần tử a, b -ớc phần tử T Hệ đ-ợc suy trực tiếp từ Định lý 1.6 Cả Định lý 1.6 Hệ 1.7 không đ-ợc đối xứng Kết sau Suytxenbecje cho ta đặc tr-ng đối xứng nửa nhóm cđa mét nưa nhãm tù 1.8 MƯnh ®Ị Nưa nhãm T cđa mét nưa nhãm tù S lµ mét nưa nhãm tù vµ chØ với phần tử x S, từ điều kiƯn Tx T vµ xT T suy x T Chøng minh Gi¶ thiÕt r»ng T lµ mét nưa nhãm tù vµ giả sử aw wb thuộc T phần tử a, b T w S Thế a (wb) = (aw) b T, theo hệ a = aw, hc a = (aw)u, hc av = aw, u, v T Vì đẳng thức xảy nửa nhóm tự S nên theo Định lý 1.6 ta có av = aw, tức v = w Nh- vËy w T vµ ta đà chứng minh điều kiện cần cuả hệ Đảo lại, giả thiết với w S từ điều kiện Tw T wT T suy w T Gi¶ sử ax = by phần tử a, b, x, y T Vì a, b, x, y S nên a = b a = bu b = av, u, v S Gi¶ thiÕt r»ng a = bu ThÕ ax = bux = by giản -ớc bên trái ta đ-ợc ux = y T, ®ã ux uT T vµ bu Tu T Từ theo giả thiết ta có u T T-ơng tự b = av v T Theo Hệ 1.7, T nửa nhóm tù 11 § Nhãm tù Sù mô tả Dick Các phần tử tập sinh M cđa mäi nhãm G cho tr-íc cã thĨ liªn hệ với hệ thức G, chẳng h¹n xx-1 = e, x-1x = e víi mäi x M, e đơn vị G Những hệ thức xảy nhóm tuỳ ý nên đ-ợc gọi hệ thức tầm th-ờng Tuy nhiên, tồn nhóm thừa nhận hệ thức khác không tầm th-ờng tập sinh ®ã cđa nã Mơc ®Ých cđa tiÕt nµy lµ ®-a phép dựng nhóm nh- chứng tỏ chúng nhóm tự phạm trù nhóm 2.1 Định nghĩa ký hiệu Giả sử I tập hợp số Nhóm G đ-ợc sinh phần tử xi, i I, phần tử G đ-ợc biểu diễn d-íi d¹ng x i1i1 x i2i2 x imim ®ã ij = 1, j = 1,m phép nhân G viết liên tiếp từ từ Điều gợi cho ta ý t-ởng kiến thiết phải gạch bỏ từ d¹ng xi xi víi = chúng xuất liền phép nhân Chính xác hơn, cố định hai bảng chữ X = {xi i I} vµ X-1 = x i1 i I Các từ bảng chữ X từ rỗng (ký hiệu 1) dÃy (hữu hạn) ký hiệu thuộc X X-1 Số hiệu dÃy đ-ợc gọi độ dài từ Từ đ-ợc gọi rút gọn đ-ợc, chứa ký hiệu liên dạng x i , x i Chẳng hạn, từ x2.x1.x1 x12 x không rút gọn đ-ợc, từ x1.x2 x 21.x3 rút gọn đ-ợc Ng-ời ta nói hai từ u v t-ơng đ-ơng (ký hiệu u ~ v), v nhận đ-ợc từ u qua số hữu hạn lần đặt vào rút gọn từ dạng xi xi với = Rõ ràng ~ quan hệ t-ơng đ-ơng Ký hiệu lớp t-ơng đ-ơng chứa từ u [u] 12 2.2 Định lý Giả sử X = {xii I} Trên tập hợp từ t-ơng đ-ơng F (X) bảng chữ X xác định phép nhân cách đặt [u] [v] = [uv] Định nghĩa không phụ thuộc vào cách chọn ngẫu nhiên đại diện lớp đó.Tập hợp F (X) nhóm phép nhân xác định nh- Chứng minh Tr-ớc hết, ta nhận xét lớp từ t-ơng đ-ơng chứa từ không rút gọn đ-ợc Thật vậy, giả sử (u) ký hiệu từ không rút gọn đ-ợc, nhận đ-ợc từ u sau gạch bỏ từ xi xi Hàm có tÝnh chÊt sau: + (u) ~ u (1) + (u) u, u không rút gọn đ-ợc (2) + (uv) = (u(v)) (3) + ( xi xi u) (u) víi = (4) + (u xi xi v) (uv) víi = (5) +(uv) ((u)(v)) (6) C¸c tÝnh chÊt (1), (2), (3) suy trực tiếp từ định nghĩa Tính chất (4) đ-ợc suy từ (3); tính chất (5) đ-ợc suy từ (3) (4), tính chất (6) đ-ợc suy từ tính chất (3), (4), (5) cách quy nạp theo độ dài từ u Bây giả sử u ~ v, u v từ không rút gọn đ-ợc Từ định nghĩa suy tồn dÃy từ u1 u, u2,,um v, từ nhận đ-ợc từ từ khác dÃy cách gắn vào hay gạch bỏ từ dạng xi xi víi = Do tÝnh chÊt kh«ng rót gọn đ-ợc u v, ta có u v Tích [u].[v] không phụ thuộc vào cách chọn ngẫu nhiên đại diện u v đ-ợc suy từ lập luận từ tính chất (6) Phép nhân có tính kết hợp đ-ợc suy từ định nghĩa Lớp chứa từ rỗng đơn vị nghịch đảo [u] [u-1] Định lý 2.2 đ-ợc chứng minh 2.3 Định nghĩa Nhóm F(X) xây dựng Định lý 2.2 đ-ợc gọi nhóm tự với tập sinh X, lực l-ợng X đ-ợc gọi h¹ng cđa F(X) 13 2.4 Ký hiƯu i) NÕu X có n phần tử, X = {x1, x2,,xn} ta sÏ dïng ký hiÖu Fn(X) thay cho F(X) NÕu X = {x1, x2,,xn,} có lực l-ợng đếm đ-ợc ta sÏ dïng ký hiÖu F(X) thay cho F(X) ii) Từ sau, cách viết phần tử nhóm tự ta dùng đại diện lớp đó, nghĩa ta viết u = v thay cho [u] = [v], uv = w thay cho [u].[v] Theo lập luận chứng minh Định lý 2.2, ta cịng cã thĨ nãi vỊ c¸ch viÕt cđa c¸c từ không rút gọn đ-ợc thuộc lớp đó, hiểu ngầm cách viết không rút gọn đ-ợc (u) đại diện u 2.5 Hệ Mọi nhóm tự hạng nhãm Aben Chøng minh Suy trùc tiÕp tõ c¸ch xây dựng nhóm tự 2.6 Định lý Giả sử nhãm G sinh bëi tËp M = {gi i I} Chọn bảng chữ X = {xi i I} Khi ánh xạ f: X M theo quy t¾c xi gi, i I mở rộng đ-ợc cách tới đồng cấu, : F(X) G Chøng minh Râ ràng ảnh lớp [ x i i1 x i im ] phải g i1i1 g imim Tính đắn (của ánh xạ f) tính đồng cấu (của ánh xạ ) đ-ợc suy từ định nghĩa nhóm tự F(X) Định lý đ-ợc chứng minh 2.7 Hệ Mọi nhóm G đẳng cấu với nhóm th-ơng nhóm Aben tự Chứng minh Vì G = F(X) = nên toàn cấu Im() = G Theo định lý đồng cấu nhóm, có G F X H F X ker H = ker() 2.8 Định lý Giả sử m số nguyên, m Nhóm sinh Im hay 14 1 m 0 t12(m) = , t 21 m 0 m 1 SL (2, ) tự do, nghĩa đ-ợc mô tả tập rỗng hệ thức Chứng minh Ký hiƯu a: = t12(m), b: = t21(m) Gi¶ sư w tích xen kẽ luỹ thừa khác không phần tử a, b nhóm SL (2, ) Ta cần chứng minh w e Nếu w bắt đầu với luỹ thừa b, thay w phần tử wa: = a-1wa xét phần tử vừa nhận đ-ợc, wa e w e Bëi vËy, ta cã thĨ gi¶ thiÕt tõ w có dạng w = a b2 cr c = a hc c = b; i Giả sử Zi dòng ma trận a 1 b2 cr NÕu: Z2k - = (x2k - 1, x2k) th× Z2k = Z2k - b2 k = (x2k+1, x2k); Z2k + = Z2k a 2k 1 = ( x2k+1, x2k + 2), ®ã x2k+1 = x2k-1 + m2k x2k, x2k + = m 2k + x2k+1 + x2k Tõ hai công thức cuối cùng, ta nhận đ-ợc: xi + = xi + m i +1 xi+1 víi i = 1,2,, r - Chúng ta cần phải chứng minh i tăng từ đến r + xi tăng Đối với i = 1, ®iỊu ®ã cã thĨ thư trùc tiÕp Víi i tiÕp theo ta chøng minh quy n¹p xi + 2 m i + 1 xi + 1 - xi 2xi + 1- xixi + 1+1 Định lý đ-ợc chứng minh 2.9 Sự mô tả Dick Hệ thức xác định Các phần tử hạt nhân đồng cấu : F(X) G xác định Định lý 2.6 đ-ợc gọi hệ thức nhóm G- bảng chữ X Nếu tập hợp H' hệ thức thoả mÃn điều kiện: -ớc chuẩn tối tiểu G chứa H' trùng với H, H' đ-ợc gọi tập hợp hệ thức xác định 15 nhóm G bảng chữ X Vì G F X H ,nên việc cho bảng chữ X tập hợp từ H' đà đủ xác định nhóm G Chúng ta gọi cặp (X// H') mô tả nhóm G thuật ngữ hệ thức, hay ngắn gọn hơn: Sự mô tả Dick cuả nhóm G (Dick tác giả phép dựng tiếng nµy) Ta sÏ dïng ký hiƯu G (X//H') Râ rµng, nhóm thừa nhận nhiều mô tả Dick khác lợi ích mô tả phụ thuộc vào toán cụ thể mà quan tâm 2.10 Một số ví dụ mô tả Dick áp dụng Định lý 2.6, Hệ 2.7 Nhận xét 2.8, ta có kết sau a) phức (2) x (2) (2) = { x, yx, y2, x-1y-1 xy) tập hợp số = 1} nhóm nhân bậc hai đơn vị b) S3 (x, y x2,y3, x-1yxy), S3 nhóm nhân c¸c phÐp thÕ bËc ba x c) Nhãm nh©n ma trËn G = = ± 1, x n n vành số nguyên thu gọn theo môđun n thừa nhận mô tả Dick nh- sau G (x, y // xn, y2, xyxy-1) d) Nhãm Aben tù h¹ng n thõa nhËn mô tả Dick sau đây: (x1,, xn x i1.x j xi xj, i < j n) NÕu G lµ nhãm tù sinh bëi S = {x1,x2…, xn} vµ F lµ nhãm Aben tù sinh S thì: F G H , H hoán tập G, H = [G, G] vµ H lµ -íc chn tèi tiĨu cđa G sinh bëi H' = { x i1.x j xj = [xi, xj] i < j n} 16 § Nhãm cđa nhãm tù §Þnh lý Nielsen - Schreier Trong tiết này, chứng tá r»ng: nhãm bÊt kú cña nhãm tù nhóm tự trình bày ph-ơng pháp tìm hệ sinh nhóm dựa ý t-ởng J Nielsen Schreier 3.1 Hàm chọn Giả sư H lµ nhãm cđa G t ý Chóng ta cố định lớp ghép phải G theo H đại diện Đối với nhóm H, ta chọn đại diện Hàm, lấy lớp ghép giá trị - đại diện lớp ghép - đ-ợc gọi hàm chọn Trực tiếp kiểm tra đ-ợc tính chất sau hàm chọn u u, uv uv , uv G, u đại diện cố định lớp ghép phải Hu Hàm chọn cho phép xây dựng đ-ợc phần tử sinh nhóm H từ phần tử sinh nhóm G đà cho 3.2 Định lý Giả sử M tập sinh cđa nhãm G, H lµ nhãm cđa G, u u hàm chọn đại diện phải G theo H, S tập đại diện đ-ợc chọn Khi ®ã 1 H = Chứng minh Rõ ràng phần tử sx sx đ-ợc chứa nhóm H Chúng ta chøng tá r»ng mäi phÇn tư thc H cã thĨ viết đ-ợc d-ới dạng tích phần tử sx sx nghịch đảo chúng Trực tiếp kiểm tra đ-ợc (sx sx -1)-1 = s'x-1 s'x , s' = sx Bây giờ, giả sö u = x 11 x r r , (xi M, i = 1) phần tư thc H Chóng ta cÇn chøng tá r»ng u đ-ợc viết d-ới dạng tích phần tử dạng sx sx nghịch đảo chúng Ký hiÖu u1 = 1, ui + = x 11 x r r Khi cách viết cần tính lµ: 1 1 1 u = u1.x11 u1x11 u x 22 u x 22 … u r x r r u r x r n (1) 17 1 ThËt vËy: u i x ii ui1 1,i 1, ,r Bëi vËy vÕ tr¸i cđa hƯ thøc (1) sÏ lµ: u1u u r x r r 1.u.u 1.u.1 u Định lý 3.2 đ-ợc chứng minh 3.3 Tập Schreier Tập hợp tất phần tử nhóm tự do, đại diện từ không rút gọn đ-ợc gọi tập Schreier, thoả mÃn điều kiện Nếu từ chứa tập Schreier đoạn ban đầu từ thuộc tập Schreier 3.4 Định lý Nielsen - Schreier Giả sử X bảng chữ cái, H lµ mét nhãm t ý cđa nhãm tù F = F (X) Tån t¹i Ýt nhÊt mét hệ Schreier phần tử đại diện F theo H Nếu u u hàm chọn t-ơng ứng, H nhóm tự đ-ợc sinh phần tử khác đơn vị có dạng sx sx , s chạy khắp phần tử đại diện đà chọn, x chạy khắp X Chứng minh a) Tr-íc hÕt, chóng ta chøng tá r»ng tån t¹i hệ Schreier đại diện phải Gọi độ dài từ đại diện lớp ghép phải F theo H độ dài lớp ghép Xây dựng hệ Schreier ph-ơng pháp quy nạp theo độ dài lớp Chúng ta chọn từ rỗng làm đại diện cho H Nếu L lớp độ dài 1, ta chọn từ tuỳ ý độ dài làm đại diện cho L Giả sử lớp, độ dài bé r, phần tử đại diện đà đ-ợc chọn, nghĩa lớp đà xác định đ-ợc hàm chọn u u Giả sử L lớp tuỳ ý độ dài r Chọn lớp từ y1, y2,, yr với yi X X-1 công bố đại diện L lµ y1y y r 1.y r Râ rµng, hệ đại diện đ-ợc chọn nh- vật hệ Schreier b) Giả sử S hệ Schreier phần tử đại diện F theo H u u hàm chọn t-ơng ứng Chúng ta chứng tỏ phần tử khác đơn vị dạng sx sx 1 víi s S, x X (2) hệ sinh tự H Theo Định lý 3.2 hệ 18 sinh H Còn phải chøng minh nã lµ hƯ sinh tù do, nghÜa lµ phần tử không liên hệ với hệ thức tầm th-ờng Tr-ớc hết, từ (2) không rút gọn đ-ợc Thật vậy, rút gọn đ-ợc bắt đầu chỗ tiếp giáp với chữ x Nh-ng nÕu s s1 x-1 th× sx sx 1 = s1 s1 1 1 = 1, cßn nÕu sx x-1 s21 s1 = s2 sx sx = Hơn nữa, giả sử u, v phần tử khác đơn vị có dạng (2) hay nghịch đảo chúng Từ phép chứng minh Định lý 3.2 chóng ta thÊy r»ng: 1 1 u =sx sx , v = ty ty , ®ã s, t S; x, y X, = Do tính không rút gọn đ-ợc từ u v, trình rút gọn tích uv chỗ tiếp nối Nó tắt dần, từ x đến y từ trái sang phải Thật vậy, hệ Schreier đại diện, trình rút gọn bắt đầu chiếm lÊy x , th× t s1 x- w ®ã s1 sx Tõ ®ã: = s1 x s1x 1 1 = sx sx 1 Nh-ng điều xảy ra, ngoặc từ u Nếu trình rút gọn bắt đầu gặp y, s1 = t.y.w, s1 = sx Tõ ®ã t y ty 1 = Nh-ng điều xảy ra, từ bên trái v Cuối cùng, rút gọn đồng thời xảy với x, y uv Bây giờ, giả sử đà cho từ không rút gọn đ-ợc (khác từ rỗng) có dạng (2) Cần chứng tỏ rằng, xét chúng nh- từ bảng chữ X tiến hành cách rút gọn, từ lại khác từ rỗng Nh-ng thực rút gọn đà bắt đầu điểm tiếp nối từ dạng (2) chấm dứt, nên tới phần lõi x chúng Định lý Nielsen - Schereier đ-ợc chứng minh 3.5 Hệ Nhãm bÊt kú cđa mét nhãm tù lµ mét nhãm tù Chøng minh Suy trùc tiÕp từ định lý Nielsen - Schereier 19 Định lý sau cho phép tính hạng nhóm số hữu hạn nhóm tự hạng hữu hạn 3.6 Định lý Giả sử F = F (x1,, xn) nhóm tự hạng hữu hạn n, H nhóm F với số hữu hạn k Khi H nhóm tự hạng m = + (n -1)k Chøng minh Ta vÉn sư dơng c¸c ký hiệu đà dùng chứng minh định lý Nielsen - Schereier Giả sử M tập hợp n k cách viết dạng (2) Chúng ta cần biết cách viết dẫn tới đơn vị Với mục đích đó, ký hiệu S0 tập S thiếu đơn vị xác định ánh xạ : S0 M cách đặt s 'x.s 'x 1víis s'.x;x X S = 1 sx.sx víis s'.x -1 ;x X Trùc tiÕp thư đ-ợc rằng, ánh xạ - từ S0 lên cách viết thuộc M, mà biểu diễn đơn vị Vì hạng H số cách viết lại, nên m = nk - ( k - 1) = 1+ (n - 1)m Định lý 3.6 đ-ợc chứng minh Từ Định lý 3.6, trực tiếp suy hệ sau: 3.7 Hệ Giả sử G nhóm tự F1 F2 nhãm tù chuÈn t¾c cã cïng chØ sè hữu hạn G Khi F1 F2 3.8 Hệ Nhóm có số hữu hạn nhóm tự hạng vô hạn nhóm tự hạng vô hạn 20 Đ DÃy trung tâm hoán tập Định lý Magnus 4.1 Định nghĩa Giả sử G nhóm tuỳ ý Xác định G xích giảm nhóm 1(G) (G) (1) cách đặt 1(G) = G nhóm n (G) đà đ-ợc xác định n +1 (G)= [n(G); G]; [A, B] hoán tập t-ơng hỗ nhóm A B DÃy nhận đ-ợc gọi dÃy tâm d-ới, n(G) đ-ợc gọi tâm d-íi thø n cđa nhãm G Giao cđa tÊt c¶ nhóm dÃy (1) đ-ợc gọi - nhóm trung tâm nhóm G Các từ 1(x1) = x1 n +1 (x1,…, xn) = [(x1,…, xn), xn + 1] víi n = 1,2,…, xi G đ-ợc gọi hoán tử đơn số n đ-ợc gọi trọng l-ợng hoán tử n 4.2 §Þnh lý Magnus Trong nhãm tù bÊt kú F, - nhóm trung tâm đơn vị Chứng minh a) Tr-ớc hết giả sử F đếm đ-ợc Theo Định lý 2.8 nhúng đ-ợc vào nhóm nhãm (2, m) víi m 2, bëi vËy chØ cần kiểm tra - nhóm trung tâm (2, m) đơn vị Chúng ta lấy ma trận: g = e + mka (2, mk) vµ f = e + ml.t (2, ml) Gi¶ sư g-1 = e + mk a' vµ f-1 = e + mlb' Khi hoán tử: [g, f] = (e + mk a') (e + ml.b') (e + mk.a) (e + ml.b) = e + (mk a' + mk a +m2k.a'.a) + (ml.b' +mlb +m2l.b'.b) + …= e +… Trong ®ã dấu chấm ký hiệu tích hỗn hợp dạng m2k + l a'.a.b Rõ ràng, tích hỗn hợp nh- đồng d- với ma trận không theo mod mk + l vµ bëi vËy [g, f] (2, mk + l) Kiểm tra trực tiếp đ-ợc bao hµm thøc sau: [(2, mk), ml] (2,mk + l), bëi vËy i(m) (2, mi) bëi vËy: 2,mi = {e} nên nhóm đếm đ-ợc Định lý đ-ợc chứng minh i 21 b) Bây giả sử F nhóm tự tuỳ ý Giả sử ng-ợc lại, - nhóm trung tâm F chứa phần tử f khác đơn vị Chọn n = 1,2, phân tích f thành tích hoán tử đơn khối l-ợng n, thu thập hoán tử biểu diễn chúng qua phần tử sinh F Rõ ràng sử dụng đếm đ-ợc phần tử sinh Tập hợp sinh nhóm tự Bởi đếm đ-ợc không phụ thuộc vào Định lý Magnus nên đ-ợc mâu thuẫn Định lý đ-ợc chứng minh 22 Kết luận Khoá luận đà thu đ-ợc kết sau Trình bày khái niệm nưa nhãm tù vµ nhãm tù do, chøng minh tồn nửa nhóm tự nhóm tù sinh bëi mét tËp S cho tr-íc vµ cấu trúc chúng - Nêu tính chất đặc tr-ng cđa nưa nhãm tù vµ nhãm tù - Nêu điều kiện để nửa nhóm mét nưa nhãm tù lµ nưa nhãm tù (Định lý Suýtxenbecje) - Chứng tỏ nhóm cđa nhãm tù lµ mét nhãm tù vµ mô tả tập sinh chúng (Định lý Nielsen- Schreier) - Trình bày khái niệm dÃy trung tâm hoán tập Định lý Magnus Việc khảo sát lớp nhóm đặc biệt (tâm, hoán tập) nhóm tự nhóm th-ơng nhóm tự vấn đề hấp dẫn mà quan tâm nghiên cứu thời gian tới 23 Tài liệu tham khảo [1] A.H Cliphít - G.B.Prest¬n, Lý thut nưa nhãm, NXB Đại học THCN, 1978 [2] Lê Quốc Hán, Giáo trình lý thuyết nhóm, ĐHSP Vinh, 1997 [3] Sten Hu, Đại số đại, 1973 [4] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại c-ơng, NXBGD, 2001 ... luận "Nhóm tự Định lý Nielsen Schreier" Khoá luận đ-ợc trình bày thành phần Đ Xây dựng khái niệm nửa nhóm tự hệ thức xác định (Định nghĩa 1.1) Nêu điều kiện cần đủ để nửa nhóm nửa nhóm tự (Định. .. tự phạm trù nhóm (Định lý 2.2 ; Định nghĩa 2.3) Từ xét tính chất quan trọng nhóm tự (Hệ 2.5; Hệ 2.7; Định lý 2.8) mô tả Dick nhóm Đ Nghiên cứu nhóm nhóm tự Định lý Nielsen Schreier Với kết đáng... nhóm tự nhóm tự - Nêu điều kiện để mét nưa nhãm cđa mét nưa nhãm tù nửa nhóm tự (Định lý Suýtxenbecje) - Chứng tá r»ng mäi nhãm cđa nhãm tù lµ nhóm tự mô tả tập sinh chúng (Định lý Nielsen- Schreier)