Dao động mạng tinh thể theo quan điểm cổ điển và lượng tử

Tr-ờng đại học vinh Khoa Vật lý - ` Luận văn tốt nghiệp Đề tài Dao động mạng tinh thể Theo quan điểm cổ điển l-ợng tử Ngành học: Cử nhân khoa học Vật lý Chuyên ngành: Vật lý chất rắn Giáo viên h-íng dÉn : Ths.Ngun ViÕt Lan Sinh viªn thùc hiƯn : L-ơng Đức L-u Lớp : 45B - Vật lý Vinh, năm 2008 Mục lục Trang Mở đầu: Ch-ơng I: Dao động mạng tinh thể theo quan điểm cổ điển I.1 Thiết lập ph-ơng trình dao động mạng tổng quát I.2 Các tr-ờng hợp riêng toán dao động mạng I.2.1 Dao động mạng chiều nguyên tử I.2.2 Dao động mạng chiều nguyên tử 10 I.2.3 Dao động mạng chiều nguyên tử 11 I.2.4 Dao động mạng chiều nguyên tử 14 I.3 Dao động mạng thực I.4 Tiểu kết ch-ơng I 15 19 Ch-ơng II: Dao động mạng tinh thể theo quan điểm l-ợng tử 20 II.1 L-ợng tử hoá dao động mạng Phonon 20 II.2 Toán tử độ dịch chuyển mạng 24 II.3 T-ơng tác phonon phonon 25 II.4 Mật độ trạng thái 27 II.5 Tiểu kết ch-ơng II 29 Ch-ơng III áp dụng để tính nhiệt dung vật rắn III.1 Nhiệt dung mạng tinh thể 31 III.1.1 Quan ®iĨm cỉ ®iĨn …………………………………………… 31 III.1.2 Quan ®iĨm l-ợng tử 31 Kết luận. 35 Tài liệu tham khảo 36 31 Mở đầu Việc nghiên cứu khoa học nói chung vật lý nói riêng đ-ợc tiến hành lý thuyết lẫn thực nghiệm Lý thuyết tiên đoán t-ợng khoa học mà sở để giải thích kết thực nghiệm Vật lý chất rắn lĩnh vực rộng lớn có vai trò quan trọng thực tiễn Đối t-ợng nghiên cứu VLCR chất rắn Trong số loại chất rắn tinh thể loại đặc biệt quan trọng Do đó, ta phải nghiên cứu để biết sử dụng vật rắn vào phát triển khoa học - kỹ thuật Chúng chọn đề tài "Dao động mạng tinh thể theo quan điểm cổ điển l-ợng tử" với trình tự từ thấp đến cao, từ quan điểm cổ điển l-ợng tử với mục đích tìm hiểu nắm bắt tính chất vật rắn để áp dụng vào đời sống thực tiễn Cấu trúc luận văn gồm ch-ơng: Ch-ơng I: Dao động mạng tinh thể theo quan điểm cổ điển Ch-ơng II: Dao động mạng tinh thể theo quan điểm l-ợng tử Ch-ơng III: áp dụng tính nhiệt dung vật rắn Do hạn chế kiến thức, kinh nghiệm thời gian nghiên cứu nên chắn khoá luận nhiều thiếu sót Tôi mong đ-ợc bảo, góp ý thầy cô bạn SV để luận văn đ-ợc hoàn chỉnh Cuối cùng, với lòng biết ơn sâu sắc, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo,Ths Nguyễn Viết Lan - ng-ời tận tình h-ớng dẫn tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ suốt thời gian nghiên cứu hoàn thành khoá luận Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, Ths L-u Tiến H-ng thầy giáo khoa Vật Lý Tr-ờng Đại Học Vinh đà tận tình giảng dạy, dẫn đóng góp nhiều ý kiến trình học nh- thời gian làm khoá luận Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè,đà giúp đỡ, động viên nh- có ý kiến đóng góp để hoàn thành khoá luận Vinh, tháng năm 2008 L-ơng Đức L-u Ch-ơng I - Dao động mạng tinh thể theo quan điểm cổ điển Trong tinh thể, nhiệt độ khác 00K có chuyển động nhiệt nên nguyên tử (phân tử hay ion) không nằm cố định nút mạng mà dao động xung quanh vị trí Ngoài tác nhân lý hoá khác gây dao động nh- Hiện t-ợng đ-ợc gọi dao động mạng tinh thể Khi nguyên tử tinh thể dịch chuyển khỏi vị trí cân t-ơng tác nguyên tử tinh thể với nên nguyên tử khác bị dịch chuyển theo (phản ứng dây chuyền) Do coi dao động mạng tinh thể loại sóng đàn hồi lan truyền tinh thể Các tính chất gián đoạn tuần hoàn mạng tinh thể ảnh h-ởng mạnh đến tính chất lan truyền sóng đàn hồi tinh thể Các tính chất ảnh h-ởng lớn đến tính chất vật liệu Do đó, ta phải xét dao động mạng để biết tính chất nh- khả ứng dụng thực tiễn I.1 - Thiết lập ph-ơng trình dao động mạng tổng quát Nh- đà biết, vật rắn kết liên kết nguyên tử hay phân tử lại với lực định.Các nguyên tử dao động quanh vị trí cân Gọi x độ dịch chuyển nguyên tử dao động Do dao động nhỏ nên ta khai triển t-ơng tác nguyên tử thành chuỗi Taylor theo ukn - độ dịch chuyển nguyên tử k ô mạng n; , ,j = x,y,z:         kn  u kn     2     u kn        u kn u k 'n'   2! kk ',nn',  u kn k 'n '  0 (1)       3   u kn u k 'n ' u k "n"      3! kk 'k ",nn'n",  u kn u k 'n ' u k "n" (Chỉ số đạo hàm ký hiệu đại l-ợng vị trí cân bằng) Ta sử dụng ph-ơng pháp Lagrange để xây dựng ph-ơng trình chuyển động dao động mạng tinh thể: d L L -  =0 (2)  dt u kn u kn Trong đó: L=T- Xét vị trí c©n b»ng: (3)    +    =0  u kn  + ChØ xÐt gần với đạo hàm bậc 2, bỏ qua số hạng gần bậc cao (vì chúng mô tả dao động phi điều hoà) Từ (1), (2) (3) ta suy ra: L=  M k u kn - kn   2       u   u kn u k 'n' + Φ0 (4) kk ',nn',  u kn k 'n '  (Mk: Khèi l-ỵng nguyªn tư k)   2   kn 0 Thay (4) vào (2) ta đ-ợc : M k ukn = -      u k'n ' (5) u u k 'n '  k 'n ' (5) hệ ph-ơng trình chuyển động gồm vô số ph-ơng trình vi phân Đặt:     ≡ G  kn , k 'n ' Hệ số đàn hồi dao động u kn k 'n ' nguyên tử k ô mạng n k' ô mạng n' (5)=> M k ukn =-  Gkn,k ' n 'uk ' n ' (6) k 'n ' Ph-ơng trình (6) đ-ợc giải thích nh- sau: Mỗi số hạng tổng phía bên phải lực tác dụng lên nguyên tử k nằm ô mạng n, đ-ợc tạo nên nguyên tử k' ô mạng n' dịch chuyển vị trí đoạn u k 'n ' Ta giả thiết t-ơng tác mạng lực cặp nguyên tử tạo nên Các lực không phụ thuộc vào vị trí tuyệt đối ô mạng n n', mà phụ thuộc vào khoảng cách chúng là: h = R n' - R n =>Gkn,k'n' = Gkk'( h ) (6) =>Mk ukn = -  Gkk ' (h )uk ', Rn h (7) k 'h Theo định lý Bloch ph-ơng trình phải có dạng bất biến chuyển dịch tịnh tiến, nghĩa chuyển từ số n sang n' ta lại nhận đ-ợc hệ số Tức tồn vectơ sóng q cho: ukn (t) = e i q Rn uk,o(t) (8) Trong đó: uk,o (t) độ dịch chuyển ô mạng mà có gốc tọa độ vectơ mạng R n Cần l-u ý tất ô mạng nguyên tử chuyển động h-ớng biên độ, có pha thay đổi chuyển từ ô mạng sang ô mạng khác Đặt (8) vào (7) ta đ-ợc: M k uk ,o =-  Gkk ' (h )uk ',o ei qh (9) k 'h Vì gốc tọa độ đ-ợc chọn cách tuỳ ý xét nghiệm với giá trị xác định q nên ta viết: u k,0= U k ,q (10)  Thay (10) vµo (9): M kUk ,q =-   Gkk ' h ei q h U k',q= -  Gkk ' q U k',q (11)   k' Trong ®ã: Gkk (q ) ≡ ' G kk '    h k' (h )eiqh (12) h XÐt tinh thÓ cã N ô mạng, ô mạng có S nguyên tử ta có 3SN ph-ơng trình theo thành phần toạ độ Decarter Sử dụng tính bất biến đối xứng tịnh tiến ta cần xét chuyển động ô mạng từ suy toàn tinh thể Do hệ ph-ơng trình (11) chứa 3S ph-ơng trình Theo lý thuyết dao động: Uk'q(t) = Uk'q(0) e it (13) ( tần số dao động) Thay (13) vào (11) ta nhận đ-ợc hệ 3S ph-ơng trình thành phần U kq:  G  q   kk '   M k  kk '  U k'q = (14)  Gkk' q   M k  kk '   =0 (15) k' Tõ (15) ta tìm đ-ợc nghiệm ph-ơng trình Các nghiệm có giá trị thực ta có 3S nghiÖm  j :  ω=  j q , (j= 1,2,,3S) (16) - gọi hệ thức tán sắc tìm đ-ợc U k'q t Sử dụng giá trị tìm đ-ợc U k'q Vậy thực chất cách giải ta tìm 3S dao động chuẩn S nguyên tử ô mạng sở Ta khảo sát rõ tính chất vectơ sóng q : q đ-ợc gọi vectơ sóng dao động mạng tinh thể (sóng đàn hồi).Véctơ sóng q đặc tr-ng cho trạng thái (kiểu) dao động mạng tinh thể Vì tính chất quan trọng này, ta xét cụ thể tính chất Tính đảo q XuÊt ph¸t tõ (8): ukn(t)= e i q R uk,0(t)= e i R u k ,0 t  ë trªn ta đà đặt: Rn qRn n n  (8)' lµ hµm thùc phơ thc R n   Cịng tõ biĨu thøc: e i R    R n lµ gãc pha vµ lµ đại l-ợng thứ nguyên: n RR   L1 Tõ (8)' => q  n cã thứ nguyên nghịch đảo thứ nguyên độ dài => q n nằm không gian đảo (mạng đảo) TÝnh thùc cña q Tõ (8): ukn(t) = e i q R u k ,0 t  NÕu q đại l-ợng phức hay ảo ta thấy ukn(t) có n thể tiến đến vô R n tiến đến vô Điều trái giả thiết biên độ dịch chuyển nguyên tử giới nội => q có tính thực Những tần số dao động ứng q ảo q phức tần số cấm (bị tắt dần nhanh mạng tinh thể) Tính tuần hoàn q Xuất phát từ: ukn(t) = e i q R u k ,0 t  NÕu ta thay: n q -> q ' = q + g => uq'(t) ≡ uq(t) ( g : vectơ mạng đảo) Thật vậy: uq'(t) = e u t  = k ,0 i Rn q  g uk ,0 t ei q Rn  Do e i g R  => uq'(t) = uk,0(t) eiqR ≡ uq(t) n n => vectơ sóng q q ' t-ơng đ-ơng phuơng diện vật lý + q đ-ợc xác định sai vectơ mạng đảo g Hay trạng thái: trạng thái dao động ứng q trạng thái dao động ứng ( q g ) t-ơng ứng ph-¬ng diƯn vËt lý: u q  u q  g t + Không phải tất giá trị q độc lập mà ta cần xét giá trị q nằm vùng không gian đảo có đầy đủ tất giá trị độc lập q XÐt: ukn(t)=uk,0(t) e i q R = uk,0(t) e i q n a n a n a  n 1 2 3 NhËn thÊy ukn(t) lµ hàm tuần hoàn ta cần xét giá trị q khoảng: - q a i (i=1,2,3) Đối với tinh thể lập ph-ơng:    qx  a a   =>  qy  a a    qz  a a   ≤ qα ≤ (α=x,y,z) a a Đây vùng Brillouin thứ Do ta cần xét giá trị q nằm vùng Brillouin thứ đủ tất giá trị độc lập q Hai vectơ sóng q q liên hệ với bng biểu thức: q - q = g không phân biệt đ-ợc ph-ơng diện vật lý Nghĩa vectơ sóng tới q vectơ sóng phản xạ q tho mn định luật Bragg chúng tương đương phương diện vật lý Tính gián đoạn q Các tinh thể thực hữu hạn Do ta cần phải kể đến điều kiện biên Nghĩa phải tính đến ảnh h-ởng nguyên tử biên nguyên tử mạng Nh-ng việc tính đến điều kiện biên toán trở nên phức tạp Vì vậy, ta th-ờng bỏ qua điều kiện biên coi tinh thể vô hạn Tuy nhiên, bỏ qua điều kiện biên số kết tính toán từ lý thuyết dẫn đến số đại l-ợng vật lý trở nên vô hạn Để giải mâu thuẫn này, ta dùng điều kiện tuần hoàn Born - Karman: Ta t-ởng t-ợng uốn chuỗi vô hạn nguyên tử thành vòng tròn có bán kính vô lớn nguyên tử thứ n trùng với nguyên tử (n+N) (đối với mạng chiều) Còn tinh thể chiều làm t-ơng tự Xét tinh thể có kích th-ớc hữu hạn: N1 a1 , N a , N a Dựa vào điều kiện tuần hoàn Born - Karman ta có: u R  u R  N i a i mµ: u R  Ni  ei qN a u R  => ei qN a  => q a i  i i 2 ni ( ni  Z ) Ni mµ:    qa i      N N 2 ni     i  ni  i Ni 2 i i Tõ q a i  2 2 ni  q  ni Râ rµng q phụ thuộc ni Ni Ni => q gián đoạn q nhận N=N1N2N3 giá trị gián đoạn (N - số ô sở mạng tinh thể) Ta đà xây dựng ph-ơng trình dao động mạng cách tổng quát, ta xét tr-ờng hợp riêng toán dao động mạng I.2 Các tr-ờng hợp riêng toán dao động mạng I.2.1 Dao động mạng chiều, nguyên tử Đây tr-ờng hợp đơn giản toán dao động mạng Xét chuỗi nguyên tử hệ chiều mà ô mạng chứa nguyên tử (1 mạng Bravais) với khối l-ợng M, chúng cách khoảng a t-ơng tác với nguyên tư gÇn nhÊt un-2 un-1 ← a → un un+1 un+2 Theo (1) t-ơng tác tr-ờng hợp là: u n  u n1  (17) (β - h»ng sè lùc - hệ số đàn hồi) n Gọi u n , u n1 , u n1 lần l-ợt độ dịch chuyển nguyên tử vị trí n, n-1 n+1 dao động Theo (6), ph-ơng trình chuyển ®éng cđa nguyªn tư n: Mun   u n  u n1    u n  u n1   Mun   2u n  u n1  u n1  (18)  NghiÖm (18) cã d¹ng: u n  U e i q R  t   U q e i t (19) U q  U e i q R n q q n Với q tần số dao động mạng q vectơ sóng Thay (19) vào (18) ta đ-ợc: q2 MU q e i t   2  e iqa  e iqa U q e i t (20) q Trong ®ã, ta sư dơng un 1  U q ei (t  qa) q (21) vµ un  q2U q e i t (22) q Sư dơng c«ng thøc: : e iqa  cos qa  i sin qa Thay vµo (20):  q2 MU q  2 1  cos qa U q    q2 M  4 sin  qa  U q  (23) (23) ph-ơng trình dao động dao động tử điều hoà đơn giản Từ (23) =>  q2 M  4 sin  qa qa (24) sin => Tần số dao động: q  2 M BiÓu thøc (24) cho biết phụ thuộc tần số dao động vào số sóng q Đây biểu thức tán sắc Các nhận xét: Biểu thức (24) => q (25) Đây vùng Brillouin thø nhÊt ωq Vïng Brillouin I  max    a  a  M q Do giá trị q nằm vùng thông qua vectơ mạng đảo g đ-ợc đ-a vùng Brillouin thø nhÊt: => u n  Uei q g R Uei q R n n Điều cho phép ta xác định tất vectơ sóng nằm vùng Brillouin thứ Tần số q xác định theo (24) hàm tuần hoàn q tất giá trị q đ-ợc đ-a vỊ cïng ®iĨm vïng Brillouin thø nhÊt sÏ øng cïng tÇn sè Khi q rÊt nhá (qa  q   qa M a  M q~q Khi ®ã: + VËn tèc pha (Vp): VËn tèc truyền pha đơn sắc: Vp q q a  M   1 i Pq  a q   Qq  2 M q  Khi (73) đ-a dạng: (76)  i   1  a q   Qq  M Pq  q    (74) có dạng: Qq aq aq ; Pq  M q a i q  a q (77) Các toạ độ Qq Pq toạ độ chuẩn Việc chuyển sang toạ độ chuẩn nghĩa chuyển từ toạ độ th-ờng nguyên tử liên kết chuỗi tuyến tính thành toạ độ tập thể độc lập mà chúng mô tả dao động không liên kết Những dao động độc lập dao động tử điều hoà có tần số q Khi ta l-ợng tử hoá đại l-ợng Qq Pq chúng phải trở thành toán tử Q q Pq Chúng thoả mÃn biĨu thøc giao ho¸n: Qˆ , Qˆ   Pˆ , Pˆ   ; Qˆ , Pˆ   i q q' q q' q q' qq' (78) Nh- vËy, tõ H  Hˆ ; aq  aˆ q ; aq  aˆq     Tõ biểu thức (76) (78)=> a q , a q '   aˆ q , aˆ q'   ; aq , aq  Thùc hiÖn biÕn ®æi: ˆ q      2M q   aˆ q ; ˆ q  2M q  '   ' (79) 2Mq qq aˆ q (80)   ˆ q , aˆ q '  ˆ q , ˆ q'  ; ˆ q , ˆ q'   qq' (81) Tõ (77) vµ (80) ta nhận đ-ợc: Q q  2M q    M q     ˆ q  ˆ q ; Pˆq  i   ˆ q  ˆ q  (82)      Thay (82) vào (75) ta đ-ợc toán tử Hamilton: Hˆ    q ˆ qˆ q  (83) q Nếu thay gốc toạ độ (83) đ-ợc viết lại: H q q q (84) q Các biểu thức (78), (83) (84) ta đà chuyển hệ dao động tử điều hoà tinh thể thành hệ dao động tử điều hoà l-ợng tử (các phonon) Năng l-ợng phonon q 22 Ta tìm hiểu ý nghĩa đại l-ợng (84) + q : Toán tử huỷ phonon: Nghĩa d-ới tác động q phonon có l-ợng q đà bị huỷ; q phụ thuộc thời gian theo thõa sè e i t q + ˆ q : Toán tử sinh phonon: Nghĩa d-ới tác động q phonon có l-ợng q ®-ỵc sinh ra; ˆ q phơ thc thêi gian theo thõa sè e i t q + ˆ q ˆ q : Toán tử biểu diễn số hạt Trên thực tế ta hạt thật mà có trạng thái dao động khác mạng tinh thể đ-ợc biểu nh- hệ nhiều hạt Do đó, phonon hạt thật mà chuẩn hạt (vì tồn tinh thể) Ta mở rộng kết mạng gồm nguyên tử có khối l-ợng M nh- cho tr-ờng hợp ô mạng sở chứa loại nguyên tử với khối l-ợng M1 M2 Việc l-ợng tử hoá hoàn toàn t-ơng tự, ta thu đ-ợc toán tử sinh q0 vµ hủ ˆ q0  cđa phonon quang cịng nh- toán tử sinh q( A) toán tử hủy q( A) phônon âm mà chúng thoả mÃn biểu thức giao hoán A A ˆ   ,ˆ   ˆ   ,ˆ     , ˆ q ,ˆ q'    qq' A q A ( A) q' q A q' ˆ   ,ˆ     ˆ   ,ˆ     , ˆ   ,ˆ      q q' 0 q 0 q' q q' qq' (85) Và ta nhận đ-ợc toán tử Hamilton cho chuỗi gồm loại nguyên tử kh¸c nhau: Hˆ   q Aˆ q Aˆ q A  q0 ˆ q0 ˆ q0   (86) q Víi c¸c biĨu thøc giao ho¸n cđa c¸c to¸n tử sinh toán tử huỷ ,     ˆ   ,ˆ     ; ˆ   ,ˆ       i q j q' i  q j  q' i q j  q' ij qq' (87) Tóm lại: Trạng thái dao động l-ợng tử mạng tinh thể đ-ợc biểu diễn nh- hệ nhiều hạt gồm chuẩn hạt thuộc loại khác với l-ợng q A q0 mà tần số đặc tr-ng cho l-ợng q A ứng - (nhánh âm), q0 ứng + (nhánh quang) Các chuẩn hạt ứng toán tử q A , q A phonon âm, chuẩn hạt ứng toán tử q0 , q0 phonon quang Nghĩa là, dao động l-ợng tử chuỗi gồm loại nguyên tử khác đ-ợc diễn tả nh- hệ nhiều phonon, loại phonon âm loại khác phonon quang Hệ nhiều phonon tuân theo thống kê Bose - Einstein 23 II.2 Toán tử độ dịch chuyển mạng Theo (64), ta có biên độ dịch chuyÓn: u n   a e G q iqan   a q e iqan (88 ) q Mặt khác, toán tử a q a q lại phụ thuộc thời gian theo q q ë   aˆ t  0e  G (80) Tõ ®ã suy ra: uˆ n  i qanq t q   aˆ q t  0e  i qanq t   (89) q NghÜa lµ số n cố định điểm mạng xác định ta có chồng chất nhiều sóng víi c¸c q kh¸c Ta t¸c dơng to¸n tư lên trạng thái với chó ý ˆ q   ta nhËn ®-ỵc: uˆ n    aˆ 0e G  q  i qanq t   Theo (80): ˆ q  2M q  q  uˆ n      2 i qanq t   ˆ q 0e 0    2MG  q  q aˆ q (90) Nh- vậy, ứng với q toán tử q sinh phonon mà truyền toàn tinh thể d-ới dạng sóng Ta tổng quát hoá công thức (88) (90) cho tinh thể với N ô mạng sở với S nguyên tử ô mạng sở: u kn     NM k  2 i q a  t  i q a  t    ekj q ˆ q e n q  ˆ q e n q  (91)    qj  j q   Trong vectơ phân cực ekj q vectơ đơn vị dọc theo h-ớng dịch chuyển Tổng lấy theo tất q vùng Brillouin theo tất h-ớng dao động j từ -> 3S Do ®ã, ta thay tỉng  q b»ng tỉng  Ta cã sè qj nhËn xÐt: + Giữa phonon có mối t-ơng đ-ơng chặt chẽ P (giữa q ) + Do phonon chuẩn hạt, nên mối quan hệ p q không tồn hệ đ-ợc bảo toàn chuyển từ q sang q g Xung l-ợng tinh thể đ-ợc xác định: p M u n (92) n Ta chuyển đại l-ợng cổ điển P sang toán tử xung l-ợng P Sử dụng (89) tác động P lên trạng thái q với ý (92) 24    M  iq'  aˆ q'ei q'anq 't   aˆ q'e i q'anq 't  q Pˆ q   G nq'    i t i t  Pˆ q  M G   iq  aˆ q e q  q ,0  aˆ q e q  0,q q (93) q Tõ (93) ta nhËn thÊy víi q ta nhận đ-ợc trị riêng xung l-ợng 0, nghĩa tinh thể trạng thái với phonon có xung l-ợng tổng Nếu q , tất nguyên tử chuyển ®éng víi cïng tèc ®é theo cïng h-íng (tịnh tiến theo toàn tinh thể) Khi ta có xung l-ợng khác đ-ợc xác định qua tích khối l-ợng tốc độ toàn tinh thể II.3 T-ơng tác phonon - Phonon Trong gần điều hoà t-ơng tác nguyên tử ta míi chØ giíi h¹n ë sè h¹ng bËc Bây ta xét đến số hạng bậc cao để thấy đ-ợc tranh t-ơng tác phonon Xét thành phần đạo hàm bậc 3:  k k ' k " n    k k ' k "   3      Trong ®ã:      u u u   kn k ' n ' k " n "    n n' n"  u  u  u   n n ' n " 3! kk 'k "      kn k 'n ' k "n":  nn' n" đây: + , , tọa độ x, y, z + n, n, n: cc ô mng sở có gi trị từ 1-> N + k, k’, k”: c²c nguyªn tư ô mng sở có gi trị từ -> S Khi l-ợng tử hoá độ dịch chuyển un thành toán tử t-ơng ứng, ta nhận đ-ợc biểu thức gồm số hạng Trong tổng ta sÏ cã c¸c thõa sè ei  q a n  q 'an '  q"a n ''  (DÊu (-) øng to¸n tư hủ; dÊu (+) øng to¸n tư sinh) Thùc hiƯn phÐp biÕn ®ỉi:   qjq' j 'q " j " k n    k k ' k " i  q a n  q 'a 'n  q"a"n  e    k"  n n' n"  k' n ' n"     e qjq' j 'q " j " k n  k ' k" n n ' n"    i  q  q '  q" a n  k k ' k " i  q 'a n ' a n  q"a n " a n  e    n n ' n "    Do tÝnh bất biến dịch chuyển tịnh tiến 25 k' k"  k' k"   k k ' k "  k k                 n n' n"  n  n n'n n"n   n'n n"n  Ta chØ xÐt nh÷ng sè hạng mà ta quan tâm bỏ qua đại l-ợng không đáng kể ei  q  q ' q"an     q  q' q" g  n  (95) g Từ rút định luật bảo toàn xung l-ợng ®èi víi q : q  q'q"  g (96) (L-u ý: DÊu (-) øng ˆ q ; cßn dÊu (+) øng ˆ q ) + Tr-êng hỵp g  Khi (96) có dạng: q q'q" (97) Nghĩa tổng không khỏi vùng Brillouin Các trình đ-ợc gọi trình N (Normal) - trình bình th-ờng Đây trình sóng bị tinh thể dao động tán xạ bình th-ờng Quá trình trình bảo toàn xung l-ợng mà không cần cộng thêm g + Tr-êng hỵp g  ( g  g0 ).Khi ®ã (96) viÕt l¹i: q  q ' q '' g0 (98) Nghĩa tổng dẫn đến với vectơ vùng Brillouin Đây đ-ợc gọi trình U ( Umklapp) Đây thực trình nhiễu xạ có thêm phonon tham gia - trình hạt bị tán xạ theo kiểu: hạt vừa va chạm với nút mạng tinh thể làm sinh (hoặc đi) phonon vừa kèm theo việc đồng thời hạt bị phản xạ Bragg (bị nhiễu xạ) mạng tinh thể, làm cho phần xung l-ợng hạt bị truyền qua mạng tinh thể Đây trình bảo toàn xung l-ợng đ-ợc thực cộng thêm vectơ mạng đảo g qy qy q1 q q2 qx q2 q G q1 qx x (Quá trình N) (Quá trình U) 26 q1 q Về nguyên tắc t-ơng tác phonon - phonon xảy bậc cao hơn: n phonon bị huỷ, n phonon sinh Cc qu trình ny liên quan đến thành phần bậc (n+n) phân tích cc thnh phần bậc cao lý thuyết nhiễu loạn II.4 Mật độ trạng thái Năng l-ợng toàn tinh thể tổng l-ợng tất phonon đánh số theo j phonon ứng vectơ sóng q   j q 3S     (99) (0 - Năng l-ợng điểm không tinh thÓ)  j q j 1 q e 1 kT Ta giới hạn gần dao động điều hoà dao động tử không t-ơng tác với Giả thiết q xếp dày đặc với mật độ W q nên tổng theo vectơ sãng cã thĨ chun sang tÝch ph©n: 3S   0   j 1 BZ  q  j kT e   j q 3S   0    j 1   j q    j q e kT W q d 3q (100) Ta chuyển tích phân theo q sang tần số: D d (101) (D() hàm mật độ trạng thái) Xét vùng Brillouin khoảng với độ dài với số sóng q khác Ta cã: L    G  ;   q   2 2 a a  (102) W q    a     0, q   a ; a   Sè tr¹ng thái khoảng tần số d D d  2W q  dq 2W q  d  d (103) d d dq Thõa sè xt hiƯn lµ do:  j q    j q nên ta xét hai Từ biểu thức tán sắc: max sin qa 27 ta có G trạng thái a cos  max 2  qa qa qa M víi  max    sin   cos   max   2 2 M 2   max   2 d  qa d a max   Tõ V  (104) a cos   dq M dq Mật độ trạng thái D() số trạng thái khoảng tần số có độ dài đơn vị Do đó, từ biểu thức trªn, ta suy ra: D   L 2G  (105) 2 2 a  max   max 2 2 D  D  2G max max D() chuỗi tuyến tính D() chuỗi gồm loại nguyên tử loại nguyên tử Ta mở rộng cho không gian q chiều: Từ (102) mật độ W q vïng  L V Brillouin cã d¹ng: W q     (106)  D d  8  2   W q d    d q (107) Trong kh«ng gian q chiỊu ta lÊy tÝch ph©n theo lớp vỏ đ-ợc tạo mặt = const vµ (ω+dω) = const vµ ký hiƯu u tè thĨ tích mặt dS Ta coi yếu tè thĨ tÝch v« cïng bÐ kh«ng gian q hình trụ với mặt đáy dS chiều cao dq1 vuông góc với mặt = const Khi ®ã d  dq q   q dq1 Vì Gradient q lẫn dq1 vuông góc với mỈt ω = const dq  D d   D   dS d V (108) Nh-ng v× q giá trị tốc độ nhóm Vn  8  const  q dS dS V V   (109)  8  const  q 8  const Vn 28 II.5 TiÓu kÕt ch-ơng II Theo quan điểm l-ợng tử, ta biểu diễn dao động mạng phonon Khi đó, ta coi trạng thái kích thích tinh thể nh- trạng th¸i cđa khèi khÝ (lý t-ëng) gåm c¸c kÝch thÝch sơ cấp không t-ơng tác với Các kích thích mô tả chuyển động tập thể nguyên tử chuyển động nguyên tử riêng lẻ + Các phonon hạt thật mà chuẩn hạt (vì tồn tinh thể) + Năng l-ợng phonon gián đoạn (đi số nguyên lần qj ) + Các phonon dao động với tần số qj khác + Biên độ dao động phonon thay đổi cách gián đoạn =>Số phonon cố định mà thay đổi + Trong tinh thể có 3NS loại phonon khác đ-ợc chia thành nhóm - Phonon âm dọc (LA): N - Phonon ©m ngang (TA): 2N - Phonon quang däc (LO): (S - 1)N -Phonon quang ngang (TO): 2(S - 1)N Vậy với cách biểu diễn dao động mạng phonon l-ợng mà tinh thể thu nhận làm sinh phonon Khi số phonon không lớn phonon độc lập, không t-ơng tác víi Khi sè phonon lín ta chØ cÇn xÐt thêm t-ơng tác phonon với đủ Tức xét đ-ợc dao động không điều hoà (xét đ-ợc dao động có biên độ lớn) Đây -u viƯt lín nhÊt cđa biĨu diƠn dao ®éng b»ng phonon so với biểu diễn dao động mạng dao động tử điều hoà 29 Sơ đồ tiến trình xét dao động mạng tinh thể Mạng tinh thể Các điểm có khối l-ợng xếp có trật tự Dao động thực (Của nguyên tử t-ơng tác với nhau) un(t) - thực Hệ dao động tử điều hoà (hoàn toàn độc lập với nhau) Uqj - phức E qj  nqj   qj   2   qjPhonon  qj Phonon Nqj - Sè phonon thuộc loại qj 30 Ch-ơng III áp dụng để tính nhiệt dung vật rắn III.1 Nhiệt dung mạng tinh thể Một hệ chủ yếu việc tồn dao động mạng tinh thể khả kích thích dao động nhiệt, dao động mạng tinh thể biểu tr-ớc hết đóng góp chúng vào nhiệt dung tinh thể Tuy nhiên, có nhiều loại chuyển động đóng góp vào nhiệt dung, tinh thể điển hình dao động mạng tinh thể chuyển động điện tử D-ới ta xét đến đóng góp dao động mạng tinh thể vào nhiệt dung tinh thể III.1.1 Quan điểm cổ điển: Xét tr-ờng hợp đơn giản coi nguyên tử tinh thể dao động tử điều hoà có bậc tự bậc tự có động kT kT trung bình Do đó, l-ợng trung bình 2 kT kT ứng bậc tù cđa dao ®éng tư:   kT 2 trung bình => Năng l-ợng trung bình nguyªn tư: 3kT (k: h»ng sè Boltzmann) NÕu tinh thể có N ô sở, ô có S nguyên tử số nguyên tử tinh thể NS Do đó, nội trung bình tinh thể nhiệt độ T là: T 3NSkT C   T T  3NSk NÕu xÐt ®èi với phân tử gam chất rắn : NS = NA - Sè Avogadro C  3N Ak  3R (calo/mol.độ) (110) Công thức (110) nội dung định luật Dulong - Petit cổ điển: Đối với phân tử gam chất rắn nhiệt dung đại l-ợng không phụ thuộc vào nhiệt độ có giá trị (calo/mol.độ) tất chắt rắn Song thực tế ta nhận thấy định luật T đủ cao Khi nhiệt độ giảm xuống đến giá trị nhiệt dung bắt đầu giảm mạnh III.1.2 Quan điểm l-ợng tử Ta đà biết trạng thái dao động mạng tinh thể đ-ợc diễn tả nh- trạng thái hệ phonon, mà phonon có q (xung l-ợng phonon) mang theo l-ợng j q (j = 1,2,,3S) Hệ phonon đóng góp vào nhiệt dung cđa tinh thĨ 31 Theo vËt lý thèng kª, hƯ nhiều phonon tuân theo thống kê Bose - Einstein: nj q (111) - số hạt trung bình trạng thái j q kT e => Năng l-ợng dao động toàn phần m¹ng tinh thĨ:  lat   j q   (112)   q   1 exp   j q j  kT    V× q lớn nên ta chuyển tổng giá trị q gián đoạn thành tích phân theo q liên tơc vïng Brillouin víi thĨ tÝch Ω   lat  V  2 3 j      d q (V - thÓ tÝch vËt thÓ)   q   1 exp   j q j  kT    NhiÖt dung m¹ng tinh thĨ: Clat  d lat V  dT 2  kT  q e  j   j  q    kT j   e   j  q    kT   1  dq Nếu N số ô mạng sở (tức số giá trị q vùng Brillouin 1), S số nguyên tử ô mạng tổng số 3NS trạng thái dao động,số có tần số nằm khoảng d D d Theo định nghĩa này: D d vµ  2  d q  3NSD d V j Khi ®ã: Clat    e kT D d (113)  3SN kT    kT  e    a Đóng góp Phonon âm (lý thuyết Debye) NÕu ta thay thĨ tÝch Ω cđa vïng Brillouin hình cầu không gian q có thể tích - hình cầu Debye Bán kính qD hình cầu gọi số sóng Debye đ-ợc xác ®Þnh tõ:   4 qD 32   Ta cã:  (q )  q (χ lµ hệ số tỷ lệ) Do tần số ứng qD là: D q D đ-ợc gọi tần số Debye nên số Mỗi q øng thĨ tÝch lµ: N  2 3  V 2 3  V q vïng Brillouin lµ: q D3 N 4 4 (114) q  qD   D V 2 3 3 6 V 2 3 V Gäi N lµ số ô mạng tinh thể nên thể tích ô m¹ng: Vc   6   Tõ (114) vµ (115) suy ra: qD    Vc V (115) N (116) Thay ô sở Wigner - Seitz hình cầu có thể tích Vc - hình cầu  Wigner - Seitz víi b¸n kÝnh rS NghÜa lµ: Vc  rS => q D    (117)   rS 2  2.6rS (118) qD B-íc sãng øng qD b»ng:  D  Vậy với bé sóng âm lớn đ-ờng kính ô mạng sở chút Mật ®é phỉ dao ®éng D(ω): D d  Sư dơng  D d  víi chó ý D  qD nên: D d D (113) trở thành: C 3Nk D lat Đặt z 4q dq 3q dq (119)  4q D3 q D3  kT  e e  kT   1 kT 3 d  D3 Khi d D3 D D nhiệt độ Debye ta đ-ợc: kT k D  T  T z 4e z D Clat  3Nk    dz (120) z  D  e 1  Clat  3Nk - NhiƯt ®é cao: T » θD => z rÊt nhá 33 T e ez z    e z 4e z 1 D  T z 1 z 1  z  1 D dz   1 T   z2   z dz   D  3 T   z 4e z 4 12 T D dz   Clat ~ - NhiƯt ®é thÊp(T Nk ( )3   =>  z (e  1) 15 D T D Thay vµo (120) ta đ-ợc: ClatD 3Nk định luật Dulong - Petit cổ điển b Đóng góp phonon quang (lý thuyết Einstein) Đối với nhánh quang tần số không phụ thuộc vào q nên Einstein đà giả thiết dao động có tần số E Khi ®ã, mËt ®é dao ®éng phæ:   E  e E kT  kT    3Nk  E kT  e      E D      E (113) suy ra: Clat (121) Đặt k E E gọi E nhiệt độ Einstein ta nhận đ-ợc: E e E T  T  (122)  3Nk  E  T   e  1   E Clat 34 KÕt ln Qua ®Ị t¯i: “Dao ®éng mng tinh thể theo quan điểm cổ điển v lượng tử, ta đà xét theo trình tự từ quan điểm cổ điển quan điểm l-ợng tử nh- c¸c øng dơng Ta rót c¸c kÕt ln sau: - Khi xét dao động mạng theo quan điểm cổ điển, tức biểu diễn dao động mạng dao động tử điều hoà ta gặp nhiều khó khăn phải giải số lớn ph-ơng trình xác định chuyển động hạt (nguyên tử, phân tử) t-ơng tác với Việc giải khó ta xét với dao động có biên độ lớn tính điều hoà dao động không nữa; lúc dao động tử không độc lập - Để giải khó khăn trên, ng-ời ta biểu diễn dao động mạng tinh thể phonon Khi đó, ta coi kích thích tinh thể nh- trạng thái khối khí (lý t-ởng) gồm kích thích sơ cấp không t-ơng tác với Các kích thích mô tả chuyển động tập thể chuyển động nguyên tử riêng lẻ Tuy nhiên, phonon chuẩn hạt (vì tồn tinh thể mà không tồn tinh thể) Với cách biểu diễn ta xét dao động với biên độ lớn; tức xét đ-ợc dao động không điều hoà Nói cách khác, việc biểu diễn dao động mạng tinh thể theo quan điểm l-ợng tử tổng quát hơn, bao gồm việc biểu diễn dao động mạng tinh thể theo quan điểm cổ điển nh- tr-ờng hợp riêng - Trong cách biểu diễn (cổ điển l-ợng tử) tinh thể tồn 3NS kiểu (mode) dao động khác ứng nhánh âm học quang học Các kiểu (mode) dao động theo quan điểm khác (cổ điển l-ợng tử) khác - Cuối cùng, ta dựa vào tính chất mạng tinh thể để tính nhiệt dung vật rắn Khả ứng dụng có vai trò vị trí quan trọng thực tiễn đời sống ng-ời 35 Tài liệu tham khảo Nguyễn Thị Bảo Ngọc, Nguyễn Văn Nh: Gio trình vật lý chất rắn Nhà xuất ĐHQGHN - 1997 Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình: Vật lý chất rắn, NXBGD Hà Nội - 1992 Nguyễn Văn Hùng Lý thuyết chất rắn, NXB ĐH QGHN - 1999 4.Vũ Đình Cự: Vật lý chất rắn, NXB KH & KT, HN - 1997 Nguyễn Văn Hiệu, Gio trình vật lý chất rắn cương, HN - 1996 Charles Kittel: Sơ yếu vật lý chất rắn - NXB KH & KT - 1970 7.Đào Trần Cao: "Cơ sở vật lý chất rắn"- NXB ĐHQGHN - 2004 36 ... riêng Đó quan điểm l-ợng tử Ta khảo sát biểu diễn dao động mạng tinh thể theo quan điểm l-ợng tử 19 Ch-ơng II Dao động mạng tinh thể theo quan điểm l-ợng tử II.1 L-ợng tử hoá dao động mạng Phonon... chuyển động đóng góp vào nhiệt dung, tinh thể điển hình dao động mạng tinh thể chuyển động điện tử D-ới ta xét đến đóng góp dao động mạng tinh thể vào nhiƯt dung cđa tinh thĨ III.1.1 Quan ®iĨm... tiễn Cấu trúc luận văn gồm ch-ơng: Ch-ơng I: Dao động mạng tinh thể theo quan điểm cổ điển Ch-ơng II: Dao động mạng tinh thể theo quan điểm l-ợng tử Ch-ơng III: áp dụng tính nhiệt dung vật rắn