MO DAU 1 Ly do chon dé tai
Những nghiên cứu về vật lý chất rắn đã được bắt đầu rất sớm ngay từ những năm đầu của thế ki XX, sau phát hiện về hiện tượng nhiễu xạ tia X bởi tỉnh thể (1912) và sau hàng loạt những công bố về phép tính đơn giản và những tiên đốn khá thành cơng về các tính chất của tinh thể Tuy nhiên chỉ khi dựa trên lý thuyết lượng tử (1925) ra đời vật lý chất rắn mới có cơ sở vững chắc và đã thu được những kết quả hết sức quan trọng về mặt lý thuyết cũng như về mặt ứng dụng
Vật lý chất rắn ngày càng trở thành một ngành khoa học đóng một vai
trị đặc biệt quan trọng trong cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện
nay
Hầu hết những tính chất quan trọng của chất rắn đều liên quan đến dao động mạng tinh thế Trong tỉnh thể các lõi nguyên tử hay các ion nằm ở các nút mạng luôn luôn dao động quanh vị trí cân bằng của nó Các dao động này được lan truyền đi khắp tinh thê tạo thành sóng đàn hồi Sóng này phụ thuộc
vào hai yếu tố chính: Các loại lực liên kết và cấu trúc mạng tinh thể
Các tính chất nhiệt của tinh thể như nhiệt dung, độ dẫn nhiệt, hệ số dãn
nở vì nhiệt của vật rắn chỉ có thể giải thích được nếu biết những đặc trưng của dao động mạng tỉnh thê Nhiều hiện tượng vật lý trong vật rắn như hấp thụ photon hồng ngoại, nơtron siêu dẫn, hiệu ứng nhiệt điện Đều liên quan chặt
chẽ đến dao động mạng và sự tương tác giữa êlectrôn và mạng tinh thể Vấn
đề ở đây, chúng ta sẽ khảo sát các mơ hình dao động mạng đơn giản, sự truyền sóng trong mạng, sự lượng tử hóa năng lượng dao động mạng và khái niém phonon trong tinh thé
Trang 2“Tìm hiểu lý thuyết dao động mạng tỉnh thể”
2 Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu lý thuyết về dao động mạng tinh thể theo lý thuyết cô điển và lượng tử
- Áp đụng lý thuyết để giải một số bài toán về đao động mạng 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết đao động của mạng tỉnh thé 4 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nêu cơ sở lý thuyết đao động mạng - Xét các bài toán đao động điển hình 5 Phương pháp nghiên cứu
- Đọc và sử dụng tài liệu tham khảo
- Vận dụng để giải một số bài toán về dao động mạng của tỉnh thé - Trên cơ sở các kết quả thu được đoán nhận các tính chất vật lý của
mạng tỉnh thê
Trang 3NỘI DUNG
CHUONG 1: LY THUYET CO DIEN VE DAO DONG MANG TINH THE
1.1 Năng lượng dao động
Trong tinh thể, các nguyên tử và phân tử khơng nằm có định ở các nút
mạng hoặc ở các vị trí xác định, mà luôn thực hiện các dao động nhỏ xung
quanh vị trí cân bằng
Xét tỉnh thể gồm N ô sơ cấp, mỗi ô sơ cấp có một nguyên tử có khối lượng M, năng lượng dao động của tất cả các nguyên tử trong mang tinh thé:
E=K+U (1.1)
Động năng của nguyên tử dao động:
1, SX:
K=—M)Y 2M, fr? (1.2) 1.2
Thế năng của hệ được tạo nên do tương tác (đẩy và hút) giữa các nguyên tử và tinh thể Thế năng là hàm của tọa độ của từng nguyên tử ở từng
thời điểm
U=U(1,1,1, 1,} (1.3)
Hình 1.1 Biểu diễn vectơ vị trí của nguyên tử n
Trang 4
=R, +3, (14)
với f, là độ chênh lệch của nguyên tử khỏi nút thứ n
R, vecto xac dinh vi tri cua nut mang thir n
T là vectơ vị trí của nguyên tử thứ n
Khi đó U=U(R, +, R„ +1, Đ, +#, R, +1.) (1.5)
Vì T7, là độ chênh lệch nhỏ quanh vị trí cân bằng R„ nên ta có thể khai
triển U thành chuỗi Taylor theo r, Trong hệ tọa độ Descartes, ta có:
3 3 OU
or ten 1.6
Ex ôI_ ,ôI i ply (1.6)
với T có hình chiêu trên các trục là r,.,, œ = 1, 2, 3 ứng với x, y, Z
U, =U(R,,R,, R,) là giá trị thế năng khi mọi hạt đều ở vị trí cân bằng, chỉ số 0 kí hiệu các đại lượng ở vị trí cân bằng Do vậy, ta khai triển ở hệ số bậc 2 tức là xét ở phép gần đúng điều hoà tại vị trí cân bằng, thế năng khai
la] ° Ole 0
Chọn gốc thế năng là giá tri Up, co thể bỏ qua số hạng không đổi đó triển Vậy biểu thức (1.6) trở thành: 3D ou aoa ft mp (1.7) Im=la=l 1 N Vane
Vì F = - grad U nên lực do các nguyên tử của nút mạng tác dụng lên nguyên tử m là:
Trang 5US U FE.=-—=-=- 1.8 mi Bp 3C al Ì» (1.8) a na mp
Lực này phụ thuộc vào hệ số [ và vào hệ số dịch chuyển của
0
nguyên tử khác Ty Hệ số này đặc trưng cho lực tương tác giữa 2 nguyên tử thứ n và m Nó không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của từng nguyên tử mà vào
khoảng cách giữa hai hạt khi chúng ở vị trí cân bằng tức là vào (R, -R,,)
^ r Ask ou D vD-
như vậy ta có thê việt: Al =U,,(R, -R,,) (1.9)
nơ “ mB Jo
Khi đó Fap = YY, R, x Rau
n=l a=1
Theo biểu thức của định luật II Newton: Fig = Mrs
ar ,
VOI fag = = gọi là gia tôc của nguyên tử thứ m
N 3 _ _
Do d6 Mi’, =F,, =->) U,)(R, —Ra tna (1.10)
=la=
Hệ các phương trình vi phân liên hệ với nhau gồm 3N phương trình biểu diễn sự đao động của mọi nguyên tử trong tinh thé
1.2 Dao động của mạng tỉnh thể 1 chiều đơn giản
Trang 6m-2 m-l m m+1 m+2 (a) O `xZ O `⁄ © O A C = a cm Ầ b) cy | — — : (b) r | O-€ ị » Ệ m-2 m¬I m Tmại Tm+2
Hình 1.2 Dao động của mạng tỉnh thể một chiều
(a) Các nguyên tử ở vị trí cân bằng
(b) Các nguyên tử lệch khỏi vị trí do dao động
Phương trình dao động của nguyên tử thứ m:
N
Mi, =F, =-) UR, -R,,)t, (1.11)
n=!
Do dao động nên nguyên tir 6 cdc vi tri m, (m - 1), (m + 1) sé dich
chuyên một khoảng lần lượt là Tạ m-1? Tn+1* T
Đề đơn giản, ta đưa ra giả thiết rằng giữa các nguyên tử tồn tại các lực liên kết có tính chất như lực đàn hồi, tuân theo định luật Hooke Nghĩa là lực tương tác giữa các nguyên tử là lực đàn hồi tý lệ với độ rời khỏi vị trí cân bằng
Khi xét chuyên động của nguyên tử thứ m ta chỉ tính đến lực tương tác giữa các nguyên tử thứ (m - 1) và (m + 1) Các lực này có dạng:
Fy im = -a(r,, —t,-) Fn¿1m — a(t, Ts)
Lực tác dụng lên nguyên tử m gồm lực tương tác cho nguyên tử (m -]),
(m+ I1) nên ta có:
Trang 7
F, =-œ(Œ„ —T„.¡)— ŒŒ,„ —T„„_¡)
= F, =—-a(2r, Tae Tn) m— (1.12)
với œ là hằng số lực hay hệ số đàn hồi
N
Khiđó Mĩ,=-3_U(R,—R„)r,=~0(21„—T„,¡ —T„_¡)
n=l
©MI, =-d(2r,T—r,.¡ Tạ ¡) (1.13)
Nghiệm của các phương trình này là một hàm sóng mơ tả sự dao động của nguyên tử và sự lan truyền của dao động dọc tinh thể
1, = Aci Rae) (1.14)
trong đó A là biên độ dao động, q là vectơ sóng, R,, là vectơ mạng
Ta có thê chọn gốc 0 sao cho R,, =am thi r, = Ae'=s (1.15) Thay (1.15) vào (1.13) Từ (1.15) có:
i = ~(@)Ae'm-e0
m
Í(gma~@t) _ _ (n2
Ÿ„ =—@œ Ae " Ta có sau khi giản ước 2 về của phương trình là:
—Moœ” =-œ(2—e “ ~e) (1.16)
Sử dụng công thức: e =cosqa —isinga e =cosqa+isinga Do đó từ (1.16) c6: Ma = 2a(1—cosqa) (1.17) 2_ 20 4a .qGa => =——(l-cosqa)=——sinˆ— Mì qa) M 2 (1.18) 1.18
Trang 8
Sp
“2m a
Hình 1.3 Đô thị biểu dién @ theo q
* Nhận xét:
+ @ là hàm tuần hoàn của q với chu kỳ 2z Thật vậy: q =q+ 2 thì a
rl = Aeiaamod = Ae?2*Meiaam-ot) =e"y
Vi em =]
Nhu vay, q và q' là 2 vectơ sóng mơ tả cùng một trạng thái dao động của mạng tinh thể ứng với một giá trị @ của tần số dao động, nghĩa là q và q/ tương đương nhau về mặt tính chất vật lý Do tính chất tuần hồn ta chỉ xét
2 số ,
trong khoảng = trên trục q, thường chọn khoảng đôi xứng qua gôc 0: a
7 7T ; 5 , Se et ge
——<q<-—, khoang này chứa mọi giá trị khả dĩ của œ
a a
Vì q có thứ nguyên nghịch đảo chiều dài nên nó chính là đại lượng được xét trong khoảng không gian mạng đảo Mạng thuận có chu kỳ a thì
2 chow ` ^
mạng đảo có chu kỳ coal mạng đảo của mạng một chiêu cũng là mạng một
a
chiêu
Trang 9
Khoảng giá trị -*< q< = trong mạng đảo được gọi là vùng Briloanh
a a
thứ nhất
Xét tại một thời điểm thì trạng thái dao động của tinh thể lặp lại một cách tuần hoàn trong không gian, chu kỳ là bước sóng 2 Ta có:
Ageia Rn-ed = Aeilsa+^)=ed
ee =legh=Ineq=— (1.19)
+ Ở gần tâm vùng Briloanh thứ nhất; qa << I thì sin ~ > Do do:
aqa fa
=2,]- 98 [& 1.20
emu 2 VM" (1-20)
Ta tính vận tốc nhóm của sóng tức là vận tốc truyền năng lượng dao động trong môi trường
" [Es = const (1.21)
Như vậy, giá trị q nhỏ tức là dao động có bước sóng i lớn, vận tốc
truyền năng lượng dao động là hằng số Kết quả này cũng giống như đối với sóng đàn hồi truyền trong môi trường liên tục
Với giá trị q lớn thì vận tốc truyền sóng âm khơng cịn là hằng số
v92 [eo (1.22)
© dq M 2
Với giá trị q= q„„ =— =>v, =0 Điêu đó ứng với sự tạo thành sóng đứng a g
Và ta cũng có r,„ =2a Lúc này tần số có giá trị cực đại là:
Oy = Onna = 2 M (1.23)
Trang 10
Tit (1.18) 3 ©, = Op
sin # (1.24)
Trong thực tế không có tỉnh thé lớn vơ hạn mà chỉ có tinh thé lớn chứa rất nhiều nguyên tử Nếu tinh thể là hữu hạn thì các tính chất của tinh thể vô han bị vi phạm ở biên Ở trong tỉnh thê một chiều đó là điểm đầu và điểm cuối của nguyên tử Tuy nhiên nếu mạng tỉnh thể đủ lớn thì ảnh hưởng của biên là rất nhỏ và ta có tính chất của tinh thế hữu hạn khi ấy gần giống với tinh thể vô
hạn
Đề đảm bảo tính tuần hoàn của tỉnh thể người ta đưa vào điều kiện biên tuần hoàn Born - Karman như sau: Dao động của các nguyên tử ở cuối dãy (nguyên tử N) giống hệt như dao động của nguyên tử ở dao động của nguyên tử ở đầu dãy (nguyên tử n)
Ta có:
TT & Aeitama=ø0 =Aelaen+N)a~al
S Aciama-od = Aeiđ'? Agiama-od
eel =] 2nr â qNa = 2nt © q =— (neZ) (1.25) Na 2 N N Vì -2<q< = nén 2 << *® SS <n<= (1.26) a a a Na a 2 2
Các giá trị này của n cho N giá trị khác nhau của q Như vậy điều kiện biên tuần hoàn đưa đến sự gián đoạn của các giá trị vectơ sóng q các giá trị này cách nhau =
1.3 Dao động của mạng tỉnh thể một chiều chứa hai loại nguyên tử
Xét mạng một chiều chứa hai loại nguyên tử khác nhau về khối lượng, cùng hằng số lực Để đơn giản ta giả thiết các nguyên tử có khối lượng M,,
Trang 11
M; đặt xen kẽ nhau, cách đều nhau một khoảng a Như vậy, ô sơ cấp có kích thước 2a và mỗi ô chứa hai loại nguyên tử
M M Me My Ma M
m (ml)
M: My
(m-1)
Hình 1.4 Dao động của mạng một chiều chứa hai loại nguyên tử
Ta cũng giả thiết chỉ xét tương tác giữa hai nguyên tử cạnh nhau và bỏ qua tương tác xa hơn và chỉ xét sóng ngang
Gọi độ lệch của các nguyên tử ở ô thứ m là n,„ Và r; „
Hệ phương trình dao động viết cho hai nguyên tử ở ô thứ m là: Miu =-a(r,,, = F591) (Ty =m) w Mob n= —a(r, Tìm ) _ a(t, Tost )
Nghiệm của phương trình được tìm dưới dạng sóng chạy với biên độ sóng cho 2 loại nguyên tử là A, và A;
I, in = Aes?am=e0
Tacó { ` — i(q2am—at) dD
1, m Aze
Thay hệ (II) vào hệ (1), giản ước 2 về, ta được hệ phương trình:
~@”M:A, =~20A, +0A;(I+e 5%) -@’M,A, =—2aA, +aA,(1+e"*)
2a œ i
(a -—)A, +—(1+ e"*)A, =0
M, ' M, : (ID
-“=(+e*?)A, +(@°— SA; =0
Trang 12
Đề hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường thì định thức các hệ
số A, và A, phải bằng 0 Nên ta có: le -2) (xe) 1 xứ + es) le — 22) > =0 (1.27)
Đây là phương trình trùng phương đối với œ
M,+M, , 207
œŒ——————(@Y +
MM, MM,
wo’ —2 (1—cos2qa) =0 (1.28)
Giải phương trình ta cé hai nghiém @’
(1.29) 3 (1.30) oO_ G3 Hình 1.5 Sự phụ thuộc
của œ theo q trong trường hợp
mạng tỉnh thể một chiều chứa
hai loại nguyên tử với giả thiết
M,>M, được biểu diễn như
sau :
q
Trang 13
Nhận thấy œ là hàm của q một cách tuần hoàn với chu kỳ = vi thé ta
a
chỉ xét các giá trị của q trong vùng Briloanh thứ nhất: 7 <q< x (1.31)
a a
với hằng số mạng là 2a
* Đồ thị œ(q) gồm 2 nhánh
- Nhánh dưới ứng với œ_ có dạng giống như ở trường hợp mạng tinh thể chứa một loại nguyên tử
Khi q=0 thì œ_=0
Khi q nhé thi sin? ga > (qa)? =q?a? Từ (1.30) có ø_=,|——“=—aq nên M,+M,
ở gần tâm vùng Briloanh @_ tỷ lệ với q
Khi q=#— thì sin” qa =1 Từ (1.30) có @_= |“—
a 1
Như vậy ở gần tâm vùng Briloanh, vận tốc truyền năng lượng đao động là hằng số bằng vận tốc truyền âm Nhánh ứng với œ_ gọi là nhánh âm học
- Nhánh trên ứng với 0,
q — 0> On max = 2a OM, 7M)
MM,
q=+2“=@ = 2a
Trang 14
Hình 1.6 Sự dịch chuyển của các nguyên tử khi truyễn sóng ngang trong chuỗi nguyên tử hai loại
Hình 1.6a Dao động kiểu âm học
Hình 1.6b
Dao động kiểu quang học
Xét nghiệm n„ và r,„ trong hệ (ID khi q = 0 + Đối với đao động âm khi q = 0 thì @_= 0
Thay vào hệ phương trình (HT) ta có:
(œ ”— TOÁN + val +e)A,=0
1 1 ©c-“A.+ 2A, =0 M, 1 Ằ©œ22A,=2#A, Atay (1.32) M, M, 2 Mặt khác r =A ei(a2am-at) 1,m 1 => Tìm _AL (1.33) Tin =A,ets2m-e0 Dyin A,
A ` x Lim A,
Nên tir (1.32) va (1.33) => “=< 4 =1 (1.34)
2,m 2
Trang 15
Vậy dao động âm các nguyên tử dao động gần như củng phương với nhau giống như dao động âm học có bước sóng ^ lớn
+ Đối với đao động quang
Khi q =0 thì (1.29) c6 @, =, 2g E+ M2)
MM,
Thay vào hệ phương trình (HI) ta được:
> 2a a -ig2
@,ˆ—==—)A,+=—(I+e *^)A,=0
(œ, M, 1 Mộ )A,
| 2g Mi +My) 201 4 9 2A <9
MM, M, M,
©“A,+ 2A, =oe Ar-—M; (1.35)
M, M, A, M,
Từ (1.35) và (1.33) 3 Ae = Ma _ fm (1.36)
A, M, Din
Vậy đao động quang các nguyên tử dao động ngược pha khối tâm của ô cơ sở vật rắn không đổi nghĩa là: Min „ + Mặr, „ =0 (1.37)
Từ hình vẽ phổ có một khoảng giá trị từ œ = |“ đến o, = [2%
M, M,
không ứng với nghiệm nào của phương trình sóng truyền trong mạng tỉnh thẻ Hay trong mạng tỉnh thê khơng có dao động ứng với tần số trong khoảng đó Đây là đặc điểm của mạng tỉnh thế có nhiều nguyên tử trong một ô sơ cấp 1.4 Dao động của mạng 3 chiều
Xét tỉnh thế cấu tạo từ N ô cơ sở, mỗi ô cơ sở chứa một nguyên tử Tinh thể có Đ,,N;.,N, ngun tử lần lượt theo các phương x, y, z nên tỉnh
thể sẽ chứa N=N,N,N; nguyên tử
Trang 16
—›" —Ñ„)1„ n=l œ=l (1.38)
được tìm dưới dạng sóng là tổ hợp các sóng có œ, A khác nhau
1 =) yy [Rt]
Tạ ==== _©;()A()e XNM4 (1.39)
trong đó e;(q): Các hệ số thực
> : Tổng lấy theo tất ca các giá trị của q trong vùng Briloanh thứ ũ
nhất
1 AK Ả r
——: Hệ sơ chn hố
VNM
Từ (1.39) tính được ï„ “"JNM2 » @Ÿ(đ)e,(đ)A(đ)e aR, ~œ(8)t]
Thay vào (1.38) ta được:
{aR -o@r] _
Mee de (Ge,(MA@e
YLUHR, Ry) Fae e,(GA@)e Tốc ân n=l œ=l
>| Mor (Ge, (@) - TUR, —Đ„)e„(q)e8» ® » pape =0
gq n=l œ=l
Vì A(đ)e “%1 z0 nên:
N 3 ¬
[Mo @ey(@) -Y SMU, RR, - " a =0 (1.40)
n=l ơ=l
Dat G,,(q)=— Mà UatĐ, —R„)e 8i Ro) (1.41)
Khi đó —œ(đ)e,(đ)+ Ð ”G,„„(4)e,„(đ) =0 (142)
Trang 17
Giải (1.42) với nghiệm e„,(q) với B = 1, 2, 3
Đề phương trình (1.42) có nghiệm khơng tầm thường thì định thức sau phải bằng 0
-0'(G)+G,, (4) G„ (4) G,, (4)
G,, (4) -o’ (q)+G,, (a) G,, (4) =0 (1.43)
G,,(4) G,(4) — -œ(4)+G„(q)
Đa thức này là phương trình bậc ba đối với œ(đ) nên có 3 nghiệm
@œ(), @, (4), œ,ˆ(đ) ứng với các tần số œ=@œ (đ) (với s = I, 2, 3)
* Chứng minh: œ”(đ) là hàm thực
(s)
Thật vậy, nhân cả 2 về của phương trình (1.42) với e*),(q), lấy tổng 2 về theo B
©, @LE%@e@= YG, (Mle"»@"e e4) (1.44)
=1 œ=l
Liên hợp phức (1.44) thay chỉ số s © s”, chú ý ma trận G„„(q) là ma trận tự liên hợp thì ta được:
3 3 3
(0° @) Le», Me.) = YG, Pe, G@e @) (145)
p=l B=I œ=l
Thay các chỉ số lấy tổng œ thành ở về phải của phương trình (1.45)
Trang 18
Khi s=s' thì œ “(q)=(@,“())” nghĩa là œ ˆ(q) là hàm thực do đó chỉ
lấy giá trị dương và sẽ có 3 nghiệm «(q) Khi szs” thì @ ”(đ)—(@„ˆ(đ)) <0
=> _e,(8)@"?,(8)) =0
B
Seyi) pent ge JO (s#s')
Dear ;(8) =8, =[ Gos) (1.48)
Đây là các điều kiện trực giao của các hàm riêng e*,(q) cla ma tran
G()
Các vectơ e`,(q) xác định sự phân cực sóng Mỗi vectơ đó cho biết ứng với giá trị vectơ sóng đ và ứng với tần số o(q) thì nguyên tử dao động theo phương đấy
+ Số dao động âm và dao động quang trong mạng ba chiều Cac dao động khi q—>0 thì œ(q —>0) gọi là dao động âm
Các dao động khi q z0 thì œ(q #Ø) gọi là dao động quang
3
Từ (1.42) khi q—>0 thì @?(0)e,(0)= 3`G„„(0)e,„(0) (1.49)
œ=l ` - _ Xét yếu tố ma trận G,,(0) = mm -R,) (1.50) n=l ®U SY OU Ma E„=——==- a mp On, se he ( 1.51 )
Ta thấy mọi nguyên tử đều địch đi một khoảng b như nhau theo củng một phương Chắng hạn theo phương œ thì I, =b
N =
= Fay =U p(R, -R,,)b n=! (1.52)
Trang 19
Như vậy có nghĩa là tồn bộ tỉnh thể đều dịch đi một đoạn b theo phương œ và do đó khơng có lực tác dụng lên nguyên tử thứ m Vì thế từ (1.52) ta có: N b3 U„(,—R„)=0 n=l oe DUAR, -R,,)=0G,,(0) =0 (1.53) n=l
Kết hop (1.42) và (1.53) khi q—>0 thì œ (đ)—>0 Đây là đặc trưng
của sóng âm truyền trong mơi trường đẳng hướng
a :I 0 T a Hình 1.7 Nhánh âm học trong phổ ø(3)
Trang 20
Tp Tu} 98A0 [Ree] q s=l (1.54)
Nếu ô cơ sở chứa p nguyên tử thì dao động của nguyên tử thứ j ở ô thứ m theo phương được viết đưới dạng:
i[4R,,-0, @t | (1.55) Timp = Ir x3 ø(g)A,(q)e
trong đó M, là khối lượng nguyên tử thứ j, s chỉ lấy các giá trị từ l—> 3p j J
=|@?)Š,,ồ,, — G„,'”(4)|=0 (1.56)
Biểu thức trong dấu định thức có 3p hàng, 3p cột chính là phương trình bậc 3 đối với œ” Nó có 3p nghiệm đương trong đó các nghiệm có 3 nghiệm ứng với œ@(q) >0 khi q—>0 Chúng ứng với các dao động âm học còn 3(p - I) tần số còn lại ứng với dao động quang học
Phổ dao động của tỉnh thể gồm 3 nhánh âm học và 3(p - I) nhánh
quang học
Trang 21
CHƯƠNG 2: LÝ THUYÉT LƯỢNG TU VE DAO DONG MẠNG TINH THẺ
2.1 Dao động chuẩn của mạng tỉnh thế
Ở chương I, khi xét chuyển động của các nguyên tử trong mạng tỉnh thé ta biểu điễn độ dịch chuyển của nguyên tử đưới dạng một sóng phẳng đơn sắc Một cách tổng quát hơn, độ dịch chuyên của nguyên tử được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các sóng phẳng đơn sắc Ở đây giả thiết chuỗi có G nguyên tử khối lượng M và chỉ xét tương tác giữa các nguyên tử lân cận Coi thế năng tương tác là thế năng đàn hồi:
-P q4 Tụ =5, u,_) (2.1) n=l Động năng của hệ: M<¬.; T=—)u 2.2 sư” -
Năng lượng toàn phần cua dao d6ng la: H=T + (2.3) Thay (2.1), (2.2) vào (2.3) ta có:
I< +2 2 ` P./ 2
H=>Ð | Mũ, +j(u,-u,¡) I-Š|š sô, —u„¡) | (2.4)
n=l n=l
Viết phương trình chuyên động đưới đạng Hamilton chính tắc:
¡= HT, (2.5)
6P, M
, _ OH P
R=-5 = ~B[(u,—u,,)—(u,„,—u,)|=Mũ, — (2.6) => Mũ, =-(2u, T~u, ,—u,.,) (2.7)
Đây là phương trình chuyên động của nguyên tử thứ n
Trang 22
Nghiệm này có thể viết đưới dạng hệ đủ của các hàm cơ sở:
u, = YA@ele oon (2.9)
q
với A(đ) là hệ số các hàm cơ sở
Theo điều kiện tuần hoàn Born - Karman Ta có:
igaG 2mm
u,,¿=u, ©e”” =l<© qaG = 2m ©q= aG
(me2)
Trong vùng Briloanh thứ nhất có _- q< = Ta co thé biểu diễn
a a
nghiệm u, dudi dang bằng cách cộng liên hợp phức của (2.9) lay một nửa giá
trị được: u, >t, +u,)
u, =F D[A@elnen sa q Đặt
a, =G 2 A(q)e 5
=ýG SA '(q)e”e!
Khi đó ta có: u„ =e Lee +a e8") (2.10)
j
Thay (2.10) vào (2.2) và (2.1) được:
T=— Sy E> À (4, ean + Ke) ELA + ae")
đ
TS, em +a e —iqan a, eia= Dy Gaia
+a ee Daye" + a yew —ay e1 fa(n— "a", ead]
Sử dụng biểu thức Cronecker:
Trang 23
Gia
Ta tính được:
M * * *
=5 >,ø')la dầu +44 4,4 —a a gl
q 2 * * x —>œ (q)a qầ„ † 4,4 +4,a_, +4 4a ¬ Khi đó hàm Hamilton trở thành: H=T+$=M) o(q)la’a, +,4 4] (2.11) G Dat a, = AQ(q) + BP(q) a, =A Qq)+BP(q)
với Q(q), P(q) lần lượt là tọa độ và xung lượng
Trang 24
Biểu thức (2.14) là biểu thức chuyên từ tọa độ thường sang tọa độ chuẩn * Nhận xét:
Đối với tọa độ thường các nguyên tử liên kết với nhau trong chuỗi tuyến tính, sang tọa độ chuẩn thì nó chuyền thành tọa độ độc lập mà chúng mô tả các dao động không liên kết Những dao động độc lập này là những dao
động tử điều hịa có tần số œ(q) Các dao động như thế gọi là dao động
chuẩn
Qua đó, ta có thể quan niệm năng lượng dao động của tỉnh thê theo hai cách:
+ Gồm tổng năng lượng dao động của các nguyên tử liên kết trong tỉnh thê và năng lượng này phụ thuộc vào tọa độ r„; và đạo hàm ï,„ B B
+ Gồm tổng năng lượng dao động của các dao động tử điều hòa độc lập với nhau và năng lượng này phụ thuộc vào tọa độ chuẩn Q(q), P(q)
2.2 Lượng tử hóa dao động mạng
Điều hòa là đạng chuyên động của hệ quanh vị trí cân bằng của lực đàn hồi F.=-kx Nhiều hệ trong vật lý, nguyên tử được xem như tập hợp các dao
động tử điều hòa
Trong cơ học cơ điển, phương trình chuyên động của dao động tử điều hòa là: m& =—kx © Ä + @?x =0 với œˆ =<
Năng lượng toàn phần của dao động tử là tống của động năng và thế năng
E=K+U=1m# + Ìkx?
2 2
Ta có thể biểu điễn qua tọa độ x, xung lượng p và được hàm Hamilton của dao động tử là:
Trang 25
2m_ 2
Trong cơ học lượng tử, việc xét chuyển động của các dao động tử được thực hiện bằng cách chuyên các biến số tọa độ và xung lượng thành các toán tử tương ứng &, Ê Khi đó, tốn tử năng lượng tồn phần hay tốn tử Hamilton của dao động tử điều hòa là:
Ề? „ moi ^2 —— Xx 2m 2 = = in dx
Ta chuyền sang biến số không thứ nguyên š = x =dx= - | b
H=
Pp =-ih d =-i moh
|” ae mo 2 P =-moht, dg Po he dc 2m 2 d7 và — E hat 2 ma
Toán tử Hamilton của dao động tử điều hịa có đạng:
ñ- "€ ree +P2) (2.15)
~ d
B =i (2.16)
Trang 26
Để tìm hàm sóng mô tả dao động tử điều hòa ta giải phương trình Schrodinger, hạt chuyển quanh vị trí cân bằng đưới tác dụng của lực đàn hồi
F, =—kx Thế năng của lực đàn hồi là:
U= _[Fax
0
k Ke > x yA K r 2, ^
trong do w= |— với m là khôi lượng của hạt, œ là tân sơ góc của dao động m
Phương trình Schrodinger của hạt chuyên động với thế năng U có dạng:
2 2 —E)w(x)=0 (2.17) m Dat 6=x ,€= * thì phương trình (2.17) có dạng là: hod 1 > ho ———+†-~ÏøɈ—— FZ de? 0Š —-—£)w(E) =0 đ © ae +(É!=e)W(6 =0 (2.18)
Trang 27
Các trị riêng và hàm riêng của toán tử Hamilton E, = hon +h, w„(é) được xác định bởi một số lượng tử n (với n= 0, I, 2 ) Đặt các toán
tử tọa độ Ê=£, Ê =-i_ bằng các toán tử khác â, â”
ï=ử [£tE ]= (6x)
Ta có hệ thức giao hoán [â.â' ] =aa* -a*a=1
(2.21)
That vay:
l&:}» =;c(êw) =ự ta [1s cov
Trang 28
Ta có:
›
A A 2 A A A A A ^^ ^^ ALA
(â-â') =(â-â*)(â—â`)=ââ ~ââ” —aa*+a‘a*
=f = on aaa’ +24°a] = Lái" +â'â]
H= Tai +1+ â'â | = ho a + 3] (2.22)
* Nhận xét:
Tất ca các toán tử khác xét trong dao động tử điều hoà là hàm của hệ và ig do đó có thê biểu diễn toạ độ và xung lượng qua toán tử â, â”
Ta có thể biểu diễn năng lượng dao động của nguyên tử trong tinh thé thông qua các toạ độ chuân Q P
Khi lượng tử hoá đại lượng Q P, » a, va a’, trở thành các toán tử
Ộ, P, a, va aj
Các toán tử này thoả mãn hệ thức giao hốn:
lơ,ơ,]=[8,8,]=n
[ơ„.B,|=i (2.23)
Khi đó tốn tử a, ay thoa man:
[4,49 | =[ 43,45 | =0
Trang 29[â,›â‡ ]= 5 = Soe (2.24) Wy ¬ 2Mo, 2Mo, , Dat a, = 5 ay, Oy 5 a,
Do đó ta được hệ thức giao hốn:
L&„ê„ |=[âz.ơ¿ |=0 Lâ„„ôê¿ ]=ð„ (2.25) Tính được Ơ,= [m] (4, +6;) (2.26) h 1 ô, [V4 -ô;) (2.27) Thay (2.26), (2.27) vào (2.12) Ta có: ì ^ n+)? ^ ^+\f đ=3đo,|(6, - 4) +(4, +4) | q A=Sho,| => ®, yay +5 6.60 +2 (2.28) 2.28
Nhận thấy rằng khi chuyển các dao động tử điều hoà trong tỉnh thé thành hệ các dao động tử điều hoà lượng tử thì năng lượng của từng đao động
tử được lượng tử hoá va coi mỗi lượng tử của dao động mạng là một phonon
ứng với năng lượng E= ño, 2.3 Phonon
Mỗi photon mang một năng lượng và động lượng xác định là:
c
e=ho=h— x (2.29) 2.29
Trang 30trong đó œ là tần số góc, k là vectơ sóng của sóng điện từ
Tương tự, ta có thể coi mang tinh thé dao động ngoài tính chất sóng
cịn có tính chất hạt Những hạt đó gọi là phonon Mỗi phonon mang một năng lượng và xung lượng lần lượt là:
e(q) =ho(q) (2.30)
P=fg
trong đó œ là tần số góc, q là vectơ sóng của dao động mạng
Trong phép tính gần đúng dao động tử điều hoà, các phonon coi như chuyền động tự do tạo thành khí phonon lý tưởng
Trong mạng tỉnh thê có thê có nhiều phonon ở cùng trạng thái lượng tử (cùng q)
Khí phonon tuân theo phân bố Bose - Anhstanh, tức là số phonon trung bình có năng lượng trung bình ho(q) ở điều kiện cân bằng
đ=—— q đo(đ) (2.31)
kg?
e”® -]
Năng lượng dao động mạng là tổng năng lượng của các phonon ta có:
E=> ñø(q)n(4) (2.32)
voi n(q) là số phonon có vectơ sóng { và năng lượng ho(3)
Khác với các êlectrôn và nguyên tử, các phonon không tổn tại ngoài
tinh thể mà liên hệ chặt chẽ với cấu trúc tỉnh thẻ
2.4 Toán tử sinh hạt và toán tử huỷ hạt phonon Toán tử Â là toán tử tuyến tính nếu có:
A(Cw, + C,w,)=C,Ay, +C, Ay, (2.33)
Toán tử Â* gọi là toán tử liên hợp với toán tử Â nếu thoả mãn điều
Trang 31
kiện:
Jv @OA*e@dx =f (Ayoo) ọ(x)dx (2.34)
Viết gọn (ự,Â"o) =(Âu,o)
Néu At = Â(w.Â*@) = Toán tử Â là ecmit
Nếu Â*ự = Aw => vw goi la ham riéng, A gọi là trị riêng của A
Điều kiện chuẩn hoá ham song w, yéu tố ma trận của toán tử Â, trị trung bình A của đại lượng A
(wow) = Jv COyOodx =1
(W.Ao)= [WÌ@&)Ão(x)dx A =(w,Au)= [w'Œœ)Âw(x)dx
Khi nghiên cứu bài toán hệ các hạt đồng nhất thường dùng biến của hàm sóng là số hạt ở cùng trạng thái đơn hạt và toán tử của các đại lượng vật lý được biểu diễn qua toán tử sinh hạt và toán tử huỷ hạt phonon
Gọi È„ là hàm riêng chuẩn hoá của H tướng ứng với trị riêng E,
lạ, =E,0, (2.35)
(o,.ó,) =1
Hàm ÿ„ cũng là hàm riêng của toán tử ñ=â'â
no, =nd, (2.36)
với n là trị riêng của toán tử ñ tương ứng với hàm riêng Q,
Ta có: n=(0,„n)ð, =(ð,,â'â, ) = (Â0,.â0,) =
=> n là một số không âm
ap, | = 0
Vi aa* —a°4 =1 Ta tìm được:
Trang 32
ñâ' -â*â =â'ââ' -â?â'â =âT
Đâ -âĐ =-¡ô
Bã' -â'Đ=đô*
Dễ dàng thấy rằng:
fa, = (4-4), =(n-1)a9,
Hap, = (4A - hoa), =(E, — ho) ad, đã'¿, =(4°H + hoa’), =(E, +ho)a",
Néu 6, 14 ham riéng cua 4 tuong img voi tri riéng n thi 46, va 4*6,
cũng là những hàm riêng của ñ tương ứng với các trị riêng (n - l) và (n + 1)
Các số n nằm cạnh nhau khác nhau một đơn vi
Gọi nạ là trị riêng bé nhất của tốn tử đ thì ta có N,, =Nod,,,
Khi đó na9,,, =(ny —1)ad,, (2.37)
Vì nụ là giá trị nhỏ nhất của n nên không tồn tại trị riêng cua n= ny —l Đăng thức (2.37) chỉ xảy ra khi 4, =0
Ta biét ny =(6,,.4°A4,, ) = (4, »4,, ) = 0 với n= 0, 1,2, 3,
đụ, =ho[n+2 là, = Ey
trong đó B, =lo| n+2 | (n=0,1,2, 3 )
Hàm â, và ,_, déu là hàm riêng của ñ tương ứng với trị riêng (n - 1) nên ta có:
ap, =ad,_, (2.38)
với œ là hệ sô được xác định từ điêu kiện chuân hoá
Trang 33
Ta biết n= (0,,â'â$,) = (6, 4, ) =|” (41-41) =)
Vay la| =^/n Khi đó DU =xhà,„ hay â|n) =Vn|n-1)
ky higu , =|n)
Hàm â'¿, và ¿,.„ đều là hàm riêng của ñ tương ứng với trị riêng (n +1) Ta co:
â'È, =B9, (239)
Ta biết 1+n =(0,,(L+â'â)¿,) = (6,,ââ'0,) = (Â'ó,,â'6,)
=lBÏ (®, $, ) =|BÏ
=l=vh+i
Suy ra 4°), =Vn+14,,, hay 4* |n) = vn+i\n +1)
Ta nhận được trị riêng E„ của dao động tử điều hồ này, khơng phải giải phương trình Schrodinger ma ding ham 9, trong biến số n cịn tốn tử ñ biểu diễn qua toán tử â", â
Nếu 6, 1a ham riêng của ñ tương ứng với trị riêng E, thì â$, là hàm
riêng của l tương ứng với trị riêng E, —@ và â*¿, là hàm riêng của Ñ
tương ứng với trị riêng E„ + ñ@
Suy ra ta nói tốn tử â đã huý một hạt có năng lượng bằng #œ và toán tử â” đã sinh ra một hạt có năng lượng bằng ñœ
Trong lý thuyết dao động mạng @;(q) thuộc vectơ sóng q và nhánh
dao động j nên â¿â„ eq, j
Toán tử â¿,â¿: Toán tử huỷ và toán tử sinh một hạt phonon có năng
Trang 34
Trạng thái $;(nụ =0) gọi là trạng thái chân không Đối với trạng thái
này, ta có: âỊ, =0 Hay â|0) =0 (2.40)
(0-40) =
â'$=¿, hay â|0) =|l)
Vì â '$,¡= Vno, Ta có: =e ! avd ~I Vn-1 n-2 1 At b,-2 = Jn-2- $,-3 "¬ (ay 0T )°4 hay |n)=
Hàm ¿„ được xác định qua ham 9)
0)
(2.41)
Do do phonon là chuẩn hạt khơng có spin và thuộc loại hạt Bozon
* Tống quát
Gọi â, là toán tử huỷ Bozon ở trạng thái k â,` là toán tử sinh Bozon ở trạng thái |
Giữa â,, 4,‘ ton tai hệ thức giao hoán sau: lâ â i= [â¿.â; ]=0 =
1 (k=1)
[ad J=5y -k (k=!)
Ky hiéu: [ A B|=AB-BA
Trang 35
CHƯƠNG 3: NHIET DUNG CUA MANG TINH THE
3.1 Lý thuyết cố dién vé nhiét dung cia mang tinh thé
Người ta quan niệm rằng trong tinh thể các nguyên tử ở các nút mạng có ba bậc tự đo Trong mạng tỉnh thể các nguyên tử ở các nút mạng luôn dao động nhiệt Tuy dao động của các nguyên tử có ảnh hưởng lẫn nhau nhưng ở nhiệt độ đủ cao, liên kết giữa các nguyên tử khơng cịn ảnh hưởng nhiều đến dao động của chúng và coi như các nguyên tử dao động độc lập với nhau
Theo nguyên lý phân bế đều năng lượng theo các bậc tự do Mỗi bậc tự
do của nguyên tử ứng với năng lượng trung bình của dao động, bao gồm động năng và thế năng
€=6,+€ =k,T (3.1)
với k; =1,38.10J/K (Hằng số Bônxơman), T là nhiệt độ tuyệt đối Do đó, nội năng của tinh thể có N nguyên tử là:
E=3Nk,T (3.2)
Nhiệt dung của vật rắn là độ biến thiên nội năng E của vật rắn khi nhiệt độ T của nó biến thiên một độ
Nhiệt dung đo trong điều kiện áp suất không đổi gọi là nhiệt dung đẳng áp C„ Nhiệt dung đo trong điều kiện thể tích khơng đổi được gọi là nhiệt dung đẳng tích Cụ
Thực nghiệm cho thấy C„ ~C, vì áp suất và thể tích của vật rắn không thay đôi đáng kê
_ .(‹ (3.3)
Cc =—
Ÿ dị dt
Xét với Ikmol vật rắn, trong đó có chứa số nguyên tử bằng số
Trang 36
C=3N,k, =3R = 6 (cal/mol.độ) (3.4) với R là hằng số khí, R = 8,31 (J/kmol)
Biểu thức (3.4) là nội đung của định luật Đuylông - Pơti Định luật cho thấy ở nhiệt độ đủ cao, nhiệt dung riêng của vật rắn không phụ thuộc vào nhiệt độ T và như nhau đối với mọi chất
Tuy nhiên ở những nhiệt độ thấp, những kết quả thực nghiệm khơng cịn phù hợp với định luật này nữa Khi T giảm nhiệt dung riêng cũng giảm và
khi T>0>C, 30
Cy
(cal/mol.K)
Hinh 3.1
Sự phân bố của Cụ theo nhiệt độ T
Như vậy, theo quan điểm cô điển thì mọi sự tăng lên của nhiệt dung khi nhiệt độ tăng có thể giải thích được (vì khi nhiệt độ tăng thì các dao động trở
thành phi điều hoà) Còn sự giảm nhiệt dung ở nhiệt độ thấp thì khơng thẻ giải thích được bằng thuyết cơ điển
Do đó, lý thuyết cổ điển chỉ phù hợp một cách thoả đáng với thực nghiệm, đối với các chất riêng biệt và trong khoảng nhiệt độ nhất định Khó khăn khi giải nhiệt dung của vật rắn ở nhiệt độ giảm nói lên nhược điểm của các quan điểm cổ điển Vấn đề trên chỉ có thể giải thích theo quan điểm lượng tử và ta sẽ thấy rằng giá trị nhiệt công thức tống quát về nhiệt dung dựa vào quan niệm lượng tử
3.2 Lý thuyết Anhstanh
Sau khi thuyết lượng tử của Plack ra đời, Anhstanh là người đầu tiên đã
Trang 37
áp dụng lý thuyết lượng tử để tính nhiệt dung Anhstanh đã đưa ra hai giả thuyết:
+ Tỉnh thể gồm N nguyên tử được coi như một hệ gồm 3N đao động tử
điều hoà một chiều va dao động với cùng một tần số œ, các dao động này độc lập nhau
+ Năng lượng dao động của các nguyên tử đều được lượng tử hoá tức là nhận các giá trị gián đoạn
s=nhy= nị 2" ]3my= não (n=0, 1, 2, 3 ) (3.5)
1U
Theo định luật phân bố Bônxơman ở trạng thái cân bằng nhiệt, năng lượng trung bình của dao động tử là:
(E)=" a (3.6)
she —2he
ho| ce" +2e 7 +
Œ) ~ =heo —2ho (3.7) [ +efnfr+elnf + + Đặt x= _ fo k,T
(E) = ho“ in(1+e" +e” + ) =ho In I he dx dx l-e* e*-l (3.8)
ho, ho
Thay x =-—— vao (3.8) Ta duge: (E)=—, (3.9)
&T ek]
Trang 38ho ho kẹT _ Ị E mol =3N,(E)=3N, e
Nhiệt dung đẳng tích của tinh thé:
ho
dE ho et
c, = =3n,k,| “2 | _S — dt k,T G 2 Đặt 0, _
B
với 9 là nhiệt độ đặc trưng Anhstanh
2
với 0, cỡ khoảng 300 K với đa số các vật rắn
+ Xét trường hợp nhiệt độ cao 'T >> Ô,
OE Ta có eT -I-[I+#]-=Št T T 2 =CŒ =3R( SE) D— =3R "GI
Biểu thức (3.13) trùng với Định luat Duylong — Poti + Xét trường hợp ở nhiệt độ thấp T <<0; 2 =>Cy -3R( Ị OE eT (3.10) (3.11) (3.12) (3.13) (3.14)
Trang 39
Từ (3.14) có thấy nhiệt dung giảm theo nhiệt độ và tiến tới khi T—>0
0 —1
nhung C,, giam theo quy luật ham số mũ Cy exo) Trong khi thực nghiệm cho ta thay nhiệt dung giảm theo luỹ thừa bậc 3 của nhiệt độ Cc, T’
Nguyên nhân của sự sai lệch nay là do trong mơ hình Anhstanh, ông đã giả thuyết tất cả các dao động tử chỉ thực hiện với cùng một tần số như nhau Điều kiện này khó được thoả mãn đối với các dao động nhánh âm
Tuy nhiên thành công của lý thuyết Anhstanh đã giải thích được sự giảm nhiệt dung của vật rắn thì nhiệt độ giảm, đặc biệt khi T—>0 thì nhiệt dung C„ giảm đến 0 Qua đó nói lên các dao động của dao động tử cơ học cũng phái được lượng tử hoá, giống như Plack đã lượng tử hoá các đao động
tử bức xạ
Lý thuyết Anhstanh đã mô tả khá tốt tính chất của các phonon quang (phonon có tần số dao động ứng với nhánh quang học), đo ở nhánh quang học tần số đao động phụ thuộc rất yếu vào vectơ sóng q và có thé coi gan ding 1a khơng đổi Vì vậy, có thể nói lý thuyết Anhstanh mô tả một cách gần đúng sự đóng góp của các phonon quang vào nhiệt dung cua mang tinh thé
3.3 Lý thuyết Debye
Debye cho rằng dao động của nguyên tử chịu ảnh hưởng của các
nguyên tử lân cận Nếu một tinh thể có N nguyên tử có thể được coi như một
hệ gồm 3N dao động tử điều hoà liên kết với nhau và có tần số khác nhau
nằm trong khoảng tir: ©,;, > Oma - min
Năng lượng trung bình của mỗi dao động tử được tính theo công thức:
Trang 40
Năng lượng trung bình cho cả tinh thể gồm N nguyên tử thể tích V có dạng:
E= Ỉ Vg(ø@)(E)do= V [ (E}s(e)do (3.16)
"mi
Xét một tỉnh thể ba chiều hình lập phương có cạnh chiều dài L Tương Qn)
tự như mạng một chiều đơn giản: Trong không gian q, thể tích (=) có một trạng thái dao động
Xét số trạng thái dao động trong một đơn vị thể tích của tinh thé cd vectơ sóng Œ nằm trong khoảng q—>q +dq (mặt cầu bán kính q, d6 day dq)
Thể tích không gian ta lấy trong một đơn vị thể tích HH,
3 Ta có (=) có | trang thai 4nq’dq 1L Số trạng thái là: có g(q) dq trạng thái 4na?d ?d g(q)dq=-_ 11-1 L(=) 27 (3.17) L
Tương tự xét trong không gian œ Ta có:
g(a)do = g(q)dq =g(4) tao (3.18)
trong d6 g(q), g(@) la mat d6 trang thai
Mặt khác, néu xét 6 cơ sở gồm một nguyên tử trong tinh thé ba chiều sẽ có ba trạng thái dao động: I sóng dọc và 2 sóng ngang
+ Xét với sóng âm dọc có tần số thấp