118 ð thi h c sinh gi i toán l p 12 c p tru ng huy n t nh qu c gia 2017,2018,2019,2020 compressed

MỤC LỤC 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Đề HSG Toán cấp trường lần năm 2019 – 2020 trường Tiên Du – Bắc Ninh Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Đồng Nai Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hưng Yên Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT mơn Tốn năm học 2019 – 2020 Đề thi HSG tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Lâm Đồng Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Thái Bình Đề thi HSG Tốn 12 THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Bình Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Gia Lai Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Lạng Sơn Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Ngãi Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 sở GD&ĐT Quảng Ninh Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hà Tĩnh Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2020 mơn Tốn sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Bình Định Đề thi HSG Toán 12 lần năm 2019 – 2020 trường THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc Đề thi chọn HSG Tốn năm 2019 – 2020 trường THPT Ngơ Gia Tự – Phú Yên Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Yên Lạc – Vĩnh Phúc Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Yên Bái Đề thi thử HSG lần Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Lý Thái Tổ – Bắc Ninh Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Đồng Đậu – Vĩnh Phúc Đề thi HSG Toán 12 THPT chuyên năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Trị Đề chọn học sinh giỏi MTCT 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế Đề thi chọn HSG thành phố Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hà Nội Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế Tồn cảnh đề thi HSG mơn Toán tỉnh thành năm học 2018 – 2019 Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2020 sở GD&ĐT Cao Bằng Đề chọn HSG thành phố Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hải Phòng Đề thi chọn HSG Toán 12 năm 2019 – 2020 trường chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 sở GD&ĐT Bình Phước Đề chọn đội tuyển HSG Tốn năm 2020 sở GD&ĐT Khánh Hòa (vòng 1) Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Ninh Bình Đề chọn đội tuyển HSG Tốn 12 năm 2019 – 2020 trường Lê Quý Đôn – Hà Nội Đề chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Bến Tre Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Quảng Bình Đề thi học sinh giỏi Tốn 12 năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Nam Định Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bắc Giang Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hà Nam Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Cần Thơ Đề thi chọn HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT thành phố Đà Nẵng 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bến Tre Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh Đề thi HSG Tốn 12 cấp trường năm 2018 – 2019 trường Thuận Thành – Bắc Ninh Đề thi HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 cụm trường THPT huyện Yên Dũng – Bắc Giang Đề thi chọn HSG Toán 12 chuyên năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Đồng Nai Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hưng Yên Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Lào Cai Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Đồng Nai Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Lâm Đồng Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT 2019 mơn Tốn (ngày thi thứ nhất) Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh THPT năm 2018 sở GD ĐT Quảng Ninh (Bảng B) Đề thi giao lưu HSG Tốn năm 2018 – 2019 cụm Gia Bình – Lương Tài – Bắc Ninh Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Bình Thuận (Vịng 2) Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Bình Thuận (Vịng 1) Đề thi chọn HSG Tốn 12 cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Gia Lai Đề thi thử chọn HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 cụm Tân Yên – Bắc Giang Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp tỉnh năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Ninh Bình Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp sở năm học 2018 – 2019 sở GD ĐT Điện Biên Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Thái Bình Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh THPT năm 2018 sở GD ĐT Quảng Ninh (Bảng A) Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Hà Tĩnh Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD ĐT Vĩnh Phúc Đề thi chọn HSG thành phố mơn Tốn năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Hải Phòng Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Thừa Thiên Huế Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Cao Bằng Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 trường Yên Lạc – Vĩnh Phúc Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Thái Nguyên Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Quảng Ngãi Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Hải Dương Đề thi chọn HSG Tốn cấp tỉnh vịng năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Long An Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2018 – 2019 sở GD ĐT TP HCM Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Ninh Bình Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia năm 2018 – 2019 môn Toán sở GD ĐT Hà Tĩnh Đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Phú Thọ Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia năm 2018 – 2019 mơn Tốn sở GD ĐT KonTum Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD ĐT Bến Tre Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2019 sở GD ĐT Lạng Sơn Đề Toán chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi Quốc gia 2019 sở GD ĐT Đồng Tháp Đề chọn đội tuyển dự HSG Quốc gia 2019 mơn Tốn sở GD ĐT Quảng Bình Đề thi chọn đội tuyển mơn Tốn năm 2018 – 2019 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD ĐT Hà Nội Đề thi giải toán 12 máy tính cầm tay cấp tỉnh năm 2017 – 2018 sở GD&ĐT An Giang Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2017 – 2018 sở GD&ĐT Quảng Bình Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 THPT năm 2017 – 2018 sở GD ĐT Hà Tĩnh Đề thi HSG Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD ĐT Quảng Ninh (Bảng A) Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD ĐT Nam Định Đề thi chọn HSG THPT năm học 2017 – 2018 mơn Tốn 12 sở GD ĐT Hà Nam Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD ĐT Hưng Yên Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD ĐT Phú Thọ Lời giải bình luận đề thi VMO 2018 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh THPT năm học 2017 – 2018 sở GD ĐT Hịa Bình Đề thi học sinh giỏi Tốn 12 cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD ĐT Ninh Bình Đề thi chọn học sinh giỏi Tốn 12 THPT năm học 2017 – 2018 sở GD ĐT Thái Bình Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Tốn 12 năm học 2017 – 2018 sở GD ĐT Bình Phước Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 sở GD ĐT Vĩnh Phúc Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn 12 THPT học 2017 – 2018 sở GD ĐT Thừa Thiên Huế 99 Đề thi thử HSG Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 trường THPT Bình Xuyên – Vĩnh Phúc 100 Đề thi chọn học sinh giỏi vòng trường mơn Tốn trường THPT Chu Văn An – Gia Lai 101 Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD ĐT Hải Dương 102 Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD ĐT Quảng Ngãi (Ngày 2) 103 Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD ĐT Quảng Ngãi (Ngày 1) 104 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp trường năm 2017 – 2018 trường Lý Thái Tổ – Bắc Ninh 105 Đề thi chọn HSG Toán 12 năm học 2017 – 2018 trường THPT Lê Q Đơn – Thái Bình 106 Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia THPT 2018 mơn Tốn sở GD ĐT Bắc Ninh 107 Đề thi chọn đội dự tuyển thi HSG Quốc gia THPT 2018 mơn Tốn sở GD ĐT Đồng Nai 108 Đề thi chọn HSG thành phố Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD ĐT Hải Phòng (Không chuyên) 109 Đề thi chọn HSG lớp 12 cấp trường năm học 2017 – 2018 mơn Tốn trường Trần Hưng Đạo – Vĩnh Phúc 110 Đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018 mơn Tốn sở GD ĐT Cao Bằng 111 Đề minh họa kỳ thi chọn HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD ĐT Phú Thọ 112 Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn 12 năm học 2017 – 2018 trường THPT Đan Phượng – Hà Nội 113 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD ĐT Thái Nguyên 114 Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018 mơn Tốn sở GD ĐT Hải Dương 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 115 Đề thi thành lập đội tuyển HSG Toán 12 dự thi Quốc gia năm học 2016 – 2017 sở GD ĐT Bình Thuận 116 Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp tỉnh năm học 2016 – 2017 sở GD ĐT Bình Thuận 117 Đề thi chọn HSG văn hóa cấp cụm mơn Tốn 12 năm học 2016 – 2017 cụm THPT Lạng Giang – Bắc Giang 118 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2016 – 2017 sở GD ĐT Vĩnh Phúc 119 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2016 sở GD ĐT Quảng Ninh 120 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2016 – 2017 sở GD ĐT Ninh Bình SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH Trường THPT Tiên Du số *** ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC 2019 – 2020 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút (50 câu trắc nghiệm) Mã đề 132 Đề gồm 06 trang Họ tên thí sinh: ……………………………………………….…………… SBD: ……………… Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB a , AD a , mặt phẳng  ABC D  tạo với mặt phẳng đáy góc 45° Thể tích khối hộp chữ nhật 2a 2a 3 a B D a C A 3 Câu 2: Biết hàm số f  x   x  ax  bx  c đạt cực tiểu x  f 1  3 , đồng thời đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ Tính giá trị f  3 B f  3  29 A f  3  27 Câu 3: Cho hàm số f  x   A 1 ln  x  1 x B C f  3  29 D f  3  81  1 a ln  b với a, b   Giá trị a  b thỏa mãn f C D Câu 4: Có giá trị nguyên tham số thực m thuộc đoạn  2019; 2019 để phương trình      x  x  m   x  x  2m   x  x  có nghiệm thực? B 4032 C 4039 D 4033 A 2019 Câu 5: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có bảng biến thiên sau x ∞ + y' +∞ y + ∞ ∞ Số nghiệm thực phương trình f  x    A B C D Câu 6: Cho hàm số y  x  x  x  có đồ thị (C) điểm M thuộc đồ thị (C) có hồnh độ a Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên a     2020; 2020 để tiếp tuyến M (C) vng góc với tiếp tuyến khác (C) Tìm số phần tử S B 4040 C 4039 D 2020 A 4038 Câu 7: Cho hình chóp S ABC tích Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE  EC Tính thể tích V khối tứ diện SAEB 1 A V  B V  C V  D V  3 cos x  Câu 8: Gọi M , m tương ứng giá trị lớn nhỏ hàm số y  Khi ta có cos x  A M  m  B M  9m  C M  m  D M  m  0 0 Câu 9: Cho hai số thực a , b thỏa mãn  a  , b  Biết a  b , mệnh đề sau đúng? Trang Trang 1/6 - Mã đề thi 132 B   C   D    A   1  BC  a, AD  2a, SA  a Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông A B , AB SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  A a B a C 2a D a   Câu 11: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đạo hàm f   x  x  x   x  x  m với x  R Có số nguyên m thuộc đoạn  2019;2019 để hàm số g  x  f 1  x  nghịch biến khoảng  ; 1 ? A 2009 B 2010 C 2011 D 2012 Câu 12: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có diện tích tam giác ACD ' a Tính thể tích V khối lập phương A V  2a B V  a C V  8a D V  2a Câu 13: Cho hình trụ có diện tích xung quanh 50 độ dài đường sinh đường kính đường trịn đáy Tính bán kính r đường tròn đáy 2 B r  C r   D r  A r  2 3 Câu 14: Tính tổng tất nghiệm thuộc đoạn  0;50  phương trình e   sin  x    4  tan x ? 1853 2671 2105 2475 B C D 2 2 Câu 15: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên A  max f Đặt M    x2 ,  m f    x Tổng M  m A B C D Câu 16: Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,5% /tháng ông ta rút đặn tháng triệu đồng kể từ sau ngày gửi tháng hết tiền (tháng cuối khơng cịn đủ triệu đồng) Hỏi ơng ta rút hết tiền sau tháng? A 100 B 140 C 138 D 139   Câu 17: Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình x 1  m x   nghiệm với x   A m   0;    C m    ; 0 B m    ;0   1;    D m   0;1 Câu 18: Tìm số nghiệm phương trình sin  cos x    0; 2  A B C 12 D 10 Câu 19: Một khối cầu ngoại tiếp khối lập phương Tỉ số thể tích khối cầu khối lập phương 3 3  B C D A 8  Trang Trang 2/6 - Mã đề thi 132 Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a ,mặt bên SAB nằm mặt phẳng   300 , SA  2a Tính thể tích V khối chóp S ABCD vng góc với  ABCD  , SAB a3 a3 3a 3 V  B V  a C D V  Câu 21: Cho hàm số y  f  x  liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ A V  Hỏi số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  B A e f  x bao nhiêu? C Câu 22: Cho tích nghiệm phương trình x S a  b A 2 B  log x 2  log x  D  có dạng C 19 với a, b   Tính b a D 18 Câu 23: Cho hàm số f   x    x    x  x  3 với x   Có giá trị nguyên dương m để hàm số  y f  x  10 x  m   có điểm cực trị? A 18 B 15 C 16 D 17 Câu 24: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Diện tích thiết diện a2 a2 a2 2 A B 2a C D P P ; log x  log y  log z  log16 x  log16 y  log z  Tính Câu 25: Cho log x  log y  log z  yz P x 512 27 B P  C P  D P  A P  54 243 128 Câu 26: Có điểm M thuộc đồ thị (C ) hàm số y  x2 cho khoảng cách từ điểm M x2 đến tiệm cận ngang lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng? B C A D Câu 27: Biết log12 27  a Tính log 16 A 3  a  3 a B 3 a 3  a  C 3 a 3  a  D 3  a  3 a 3a Biết hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng  ABC  trung điểm cạnh BC Tính thể tích V Câu 28: Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác cạnh a , AA  khối lăng trụ theo a A V  2a B V  3a C V  a Trang D V  a 3 Trang 3/6 - Mã đề thi 132 Câu 29: Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a , tích V1 hình cầu V có đường kính chiều cao hình nón, tích V2 Khi tỉ số thể tích bao nhiêu? V2 V V V V 1 A  B  C  D  V2 V2 V2 V2 Câu 30: Giá trị lớn m để đường thẳng  d  :2 x  m y   vuông góc với đường thẳng qua y x3  3x điểm cực trị đồ thị hàm số  A B C 3 D 2 Câu 31: Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a , gọi  góc đường thẳng AB mặt phẳng  BBDD  Tính sin  T A 16T B C D Câu 32: Phương trình log   x   x có hai ngiệm thực x1 , x2 Tính P  x1  x2  x1 x2 B C D 11 A Câu 33: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị ngun  7 tham số m để phương trình f  x  x   m có nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn   ;  ?  2 A B Câu 34: Cho hàm số f  x   5 A f    201 20 x  C  1  x  1 D 9 với x  Tính f 5   B f 5    15120  5 C f    144720  5 D f    1206 x2 Tìm giá trị thực tham số m để hàm số đồng biến  0;3 xm A m  B  m  C m  D  m  Câu 36: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên Câu 35: Cho hàm số y  x -∞ f'(x) -1 + - +∞ + +∞ 2 f(x) -2 -2 -∞ Trang Trang 4/6 - Mã đề thi 132 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f  x   f  m  có ba nghiệm phân biệt A m   2;  B m   1;  \ 0; 2 C m   1;  D m   1; 3 \ 0; 2 Câu 37: Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 10 để phương trình m  m  e x  e x có nghiệm thực A B C 10 D  P log a b  16 log b a Tìm m cho P đạt giá trị Câu 38: Cho m  log ab , với a  , b  a   nhỏ D m  Câu 39: Một hộp đựng 50 thẻ đánh số từ đến 50 Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi hai thẻ số chia hết cho 681 409 801 B C D A 1225 25 1225 1225 A m  C m  B m  Câu 40: Cho hình vng C có cạnh a Người ta chia cạnh hình vuông thành bốn phần nối điểm chia cách thích hợp để có hình vng C (Hình vẽ) Từ hình vng C lại tiếp tục làm ta nhận dãy hình vuông C 1,C ,C , ,C n , Gọi S i diện tích hình vng    C i i  1;2; 3; Đặt T  S1  S  S   Sn  Biết T  A chóp B C 32 , tính a ? D 2 S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có  AB 2 a, AD 4a, SA  ( ABCD) cạnh SC tạo với đáy góc 60o Gọi M trung điểm BC , N điểm cạnh AD cho DN  a Khoảng cách MN SB Câu A 41: Cho hình a 285 19 B 8a 19 C 2a 95 19 100 9x k   Câu 42: Cho hàm số f  x   x Tính tổng S   f  sin  100  3  k 0 B S  50,5 C S  48 A S  50 D 2a 285 19 D S  48,5 Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông C , biết AB  2a , AC  a, BC   2a Tính thể tích V khối lăng trụ cho A V  3a B V  Câu 44: Cho hàm số f  x  ln nghiệm thực? A  3a C V  4a D V  4a   x có x   x  e x  e  x Hỏi phương trình f  f    x  x 1     B C D x3 Câu 45: Cho hàm số y  có đồ thị  C  , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng d : y   x x 1 cho qua M có hai tiếp tuyến  C  với hai tiếp điểm tương ứng A , B Biết đường thẳng AB qua điểm cố định H Biết O gốc tọa độ, tính độ dài đoạn OH B 10 C 29 D A 34 Trang 58 Trang 5/6 - Mã đề thi 132 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019  2( x  y )  xy  x  y  x y  xy  4( x  xy  y )   ( x  y )( x  y  4)  xy    xy   x  y   x  y  4  xy  x  y    x  y   x  y  3 x  y  4 x  y  x  y  không thỏa x  y  không thỏa x  y  tìm x  1; y  x  4; y  Câu (HSG chọn HSG quốc gia tỉnh ĐỒNG THÁP 2018-2019) Xét phương trình x31  y  z 2018 a) Chứng minh tồn vô số ba số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình b) Có tồn hay không ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình trên? Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Nương; Fb: Cô giáo Nương a) Chứng minh tồn vô số ba số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình Cho x  phương trình trở thành y  z 2018 Cho y  a 2018 ( a số nguyên tùy ý) Suy z  a Khi  x, y , z    0, a 2018 , a  thỏa mãn phương trình Vì a số nguyên tùy ý nên tồn tai vô số ba  x, y, z  ngun thỏa mãn phương trình b) Có tồn hay không ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình trên? Có tồn ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình    2  Vì: Xét x  25 m , y  231m ,  m     Khi đó: x31  y  25 m 31 31m  2.2155 m  2155m 1 Mà theo đề ta có: x31  y  z 2018 nên ta cần chọn m cho: 155m   2018n,  n     1 Khi đó: z  n Từ 1 suy ra: 2018n  chia hết cho 155 Hay: 3n  chia hết cho 155 Đặt: 3n   155k ,  k     Suy ra: 155k  chia hết cho Hay 156k   k  1 chia hết cho Do đó: k  chia hết cho Đặt: k   3q ,  q      k  3q  1,  q     Từ suy ra: m  2018q  677   Như  x, y , z   25 2018 q  677  , 231(2018 q  677) , 2155 q 52 ,  q     nghiệm phương trình cho Câu (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày năm 2018-2019) Cho hàm số f :    thỏa mãn Trang 1348 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 609  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554  f x  x  TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019  f  x    f  2 x    f   x3  x   với x  a)Chứng minh f  x  đơn ánh  b)Chứng minh f ( x )  1 với x  Lời giải a) Chứng minh f  x  đơn ánh  Xét phương trình x3  x  x  x  0, x  1 Thay x  vào điều kiện đề bài, ta có  f  0  f     1  f     f     f     f    1  f    Suy f    1 f    ; tức f    1; 2 Một cách tương tự, thay x  1, x  1 điều kiện thứ thay x  1, x  điều kiện thứ hai, ta có f    1; 2 f  2   1; 2 Do đó, ba số f   , f   , f  2  phải có hai số nhau; điều chứng tỏ f  x  đơn ánh  b)Chứng minh f ( x )  1 với x  Theo giả thiết suy f (2 x)  ( f ( x3  x))2   2 với x  nên f ( x)  2, x   Từ f ( 2 x )  3 f (  x  x )   4, x   Suy f ( x)   4, x   Ta xây dựng dãy số u1  2, un 1  3un  2, n  Rõ ràng theo biến đổi với x  , ta ln có f ( x)  un , n  Ta thấy u2    u1 nên u3  3u2   3u1   u2 , ta thấy dãy cho dãy số tăng ngặt Ngoài , phương pháp quy nạp toán học , ta thấy un  1 với n  Thật vậy: Với n  có u1  2  1 (mệnh đề với n  ) Giả sử mệnh đề với n  k (k   ) tức uk  1 Ta chứng minh mệnh đề với n  k  Ta có: u k  1  3uk  3  3uk   3   3uk   1  uk 1  1 Từ dãy (un ) tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn , đặt L , L  1 Trang 1349 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 610  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Ta có L  3L  , giải có L  1 Vì lim un  1 nên phải có f ( x)  1,   , đpcm Câu (HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Cho hàm số f liên tục  , thỏa mãn i) f  2020   2019 ;    ii) f  x  f  x   , x  , kí hiệu f  x   f f f  f  x   Hãy tính f  2018  Lời giải   Kí hiệu f  x   f  f  x   , f  x   f f  f  x   Tác giả: Thành Đức Trung; Fb: Thành Đức Trung Gọi D f tập giá trị hàm số f  x  Từ i) suy 2019  D f Từ ii) suy f  2020  f  2020    2019 f  2020    f  2020    Df 2019 xf  x   , x  D f   ; 2019  D f nên f  x   , x  D Do f liên tục D   x  2019  Suy f đơn ánh D f liên tục  nên f nghịch biến D Giả sử tồn x0  D cho f  x0   1 x0 1 Do f hàm nghịch biến nên f  x0   f      x0  Và 1 1 1  f  x0   f   suy f    f    x0   x0  x0   x0   x0  Từ     suy x0  f  x0  hay f  x0   f3  x0   , mâu thuẫn với 1 x0 Tương tự, ta chứng minh không tồn x0  D cho f  x0   Vậy f  x   1 , x  D Do 2018  D nên suy f  2018   x 2018 x0 Câu (HSG12 HCM ngày năm 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, hai điểm nguyên (hoành độ tung độ số nguyên) A, B gọi “thân thiết” với A, B khác   O 1  OA  OB  với O gốc tọa độ a) Hỏi có tất điểm nguyên M ( x, y ) với x  19, y  19 thỏa mãn điểm M điểm Trang 1350 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 611  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 N (3;7) “thân thiết” với nhau? b) Hỏi có nhiều điểm nguyên đôi “thân thiết” với nhau? Lời giải a) Ta có điều kiện 1  3x  y  nên có ba trường hợp: (1) Nếu 3x  y  ( x, y )  (7t ,3t ) với t   thỏa mãn Xét hệ ràng buộc sau 19  7t  19  2  t  t  nên có tất điểm  19  3t  19 (2) Nếu 3x  y  ( x, y )  (2  7t ,1  3t ) với t   19  2  7t  19  2  t  nên có tất điểm  19   3t  19 thỏa mãn Xét hệ ràng buộc (3) Nếu 3x  y  1 ( x, y )  (2  7t , 1  3t ) với t   thỏa mãn Xét hệ ràng buộc 19   7t  19  3  t  nên có tất điểm  19  1  3t  19 Vậy tổng số điểm nguyên thỏa mãn    16 b) Gọi điểm cho Ai (ai ; bi ) với , bi  , i  1, n ai2  bi2  Ta có ak  bi bk  với i  k Ta thấy rằng: - Có tối đa hai điểm thuộc trục Ox (1;0) (1;0) - Có tối đa hai điểm thuộc trục Oy (0;1), (0; 1) Ta chứng minh có khơng q điểm không thuộc Ox, Oy Giả sử ngược lại có ba điểm thỏa mãn đề A1 (a1 , b1 ), A2 (a2 , b2 ), A3 (a3 , b3 ) Ta có hai trường hợp: (1) Nếu có hai điểm thuộc góc phần tư, giả sử A1 , A2 số a1 , a2 dấu, số b1 , b2 dấu nên a1a2  0, b1b2   a1a2  b1b2  , loại (2) Nếu khơng có điểm thuộc góc phần tư phải có hai điểm thuộc hai góc phần tư đối nhau, giả sử A1 , A2 số a1 , a2 trái dấu, số b1 , b2 trái dấu nên a1a2  0, b1b2   a1a2  b1b2  2 , khơng thỏa Do đó, điều giả sử sai, tức tổng cộng có khơng q điểm thỏa mãn đề Ta có A1 (0;1), A2 (0; 1), A3 (1;0), A4 (1;0), A5 (1;1), A6 (1;1) đôi “thân thiết” Câu 10 (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú Thuận chung phòng ký túc xá trường trung học phổ thông Một hôm người quản lý ký túc xá đến phòng năm học sinh để xác định lại hộ nhà học sinh Vì học sinh giỏi tốn nên học sinh khơng trả lời trực tiếp mà nói với người quản lý ký túc xá sau: - Tính: “ Nhà bạn Phú Thới Lai nhà em Cờ Đỏ ” - Nghĩa: “ Nhà em Cờ Đỏ cịn nhà bạn Tuấn Ơ Mơn ” - Tuấn: “ Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt ” - Phú: “ Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều ” Trang 1351 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 612  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 - Thuận: “ Nhà em Ninh Kiều cịn nhà bạn Tính Thốt Nốt” Em giúp người quản lý ký túc xá xác định hộ nhà học sinh Biết câu trả lời học sinh có phần phần sai đồng thời địa phương địa hộ học sinh Lời giải - Tính: “ Nhà bạn Phú Thới Lai nhà em Cờ Đỏ ” (1) - Nghĩa: “ Nhà em Cờ Đỏ cịn nhà bạn Tuấn Ơ Mơn ” (2) - Tuấn: “ Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt ” (3) - Phú: “ Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều ” (4) - Thuận: “ Nhà em Ninh Kiều cịn nhà bạn Tính Thốt Nốt” (5) Xét phát biểu (3) xảy hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu ý đầu (3) có nghĩa nhà Tuấn Cờ Đỏ Khi từ ý (2) nhà Tuấn Ơ Mơn sai nhà Nghĩa Cờ Đỏ Mâu thuẫn có hai bạn Tuấn Nghĩa Cờ Đỏ nên trường hợp loại Trường hợp 2: Nếu ý đầu (3) sai nhà bạn Phú Thốt Nốt dẫn đến ý đầu (5) nhà Thuận Ninh Kiều Khi ý đầu (4), nhà Phú Thới Lai sai Từ (1) có nhà Tính Cờ Đỏ từ (2) nhà Tuấn Ơ Mơn Vậy lại nhà bạn Nghĩa Thới Lai Trường hợp thỏa mãn giả thiết toán Kết luận: Nhà Phú Thốt Nốt, nhà Thuận Ninh Kiều, nhà Tính Cờ Đỏ, nhà Tuấn Ô Môn nhà Nghĩa Thới Lai Câu 11 (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày năm 2018-2019) (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày năm 2018-2019) Tại hội nghị khoa học có 100 đại biểu tham dự Người ta nhận thấy khơng có đại biểu đơi quen Biết tồn số nguyên dương n cho khơng có đại biểu quen q n đại biểu khác với k ,  k  n có đại biểu quen k đại biểu khác Hãy tìm giá trị lớn n Lời giải Ta chứng minh nmax  66 Giả sử nmax  66 Cách 1: Khi tồn đại biểu A100 quen 67 đại biểu A1 , A2 ,…, A67 Gọi X tập hợp đại biểu A68 , A69 ,…, A99 X  32 Khi đại biểu A1 , A2 ,…, A67 quen A100 đại biểu thuộc X ( đại biểu Ai , A j với  i  j  67 quen nhau) Suy họ quen khơng q 33 đại biểu Vì đại biểu quen 34, 35, …, 65, 66 đại biểu khác phải thuộc X Điều vô lý X  32  66  34  =33 Cách 2: Xét người A có 67 người quen Xét người B có lớn 34 người quen Trang 1352 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 613  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Nếu A quen B , 98 người cịn lại có 66 người quen A lớn 33 người quen B Do 66  33  99  98 nên A , B phải có người quen chung (mâu thuẫn giả thiết ) Vậy A khơng quen B Vì có 33 người có số người quen tương ứng 34 , 35 ,…, 66 nên có 33 người khơng quen A Điều mâu thuẫn A quen với 67 người Vậy nmax  66 Ta xây dựng ví dụ thỏa mãn n  66 sau: A1 quen với B1 , B2 ,…, B66 , A2 quen với B2 , B3 ,…, B66 ,…, A34 quen với B34 ,…, B66 Khi khơng có người đơi quen Ak quen với 67  k người  k  1, , 34  Bk quen với k người  k  1, , 34  , Bk quen với 34 người  k  35, , 66  Rõ ràng trường hợp thỏa mãn yêu cầu đề Câu 12 (HSG12 tỉnh Bình Thuận vịng năm 2018-2019) Cho 2018 tập hợp mà tập chứa 45 phàn tử Biết hai tập hợp tùy ý tập có phần tử chung Chứng minh tồn phần tử thuộc tất 2018 tập hợp cho Lời giải Lấy tập A tùy ý, A có phần tử a thuộc 45 tập hợp khác Nếu khơng, số tập hợp không 45.44   1981 Suy a thuộc 46 tập A, A1 , A2 , A45 Với tập B bất kì, a khơng thuộc tập B tập Ai (1  i  45) có phần tử chung với B mà  a Thành B khơng có phần tử chung với A , có phần tử chung phải thuộc tập Ai (1  i  45) nên A Ai (1  i  45) có hai phần tử chung.(Vơ lí) Nên a thuộc B , a thuộc 2018 tập cho Câu 13 (HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Bạn Thanh viết lên bảng số 1, 2,3, 2019 Mỗi ab Chứng minh dù bước Thanh xóa hai số a b Trên bảng viết thêm số a  b 1 xóa sau thực 2018 bước bảng ln cịn lại số 2019 Lời giải Tác giả: Nguyễn Dung ; Fb:Ngọc Dung Cách Với tập T  a1 ; a2 ; ; an  số viết bảng đặt 1   1  A(T )    1  1  1  a2   a1    an Trang 1353 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 614  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 1      A 1; 2; ; 2019    1  1   1  2020 1    2019     (a 1)(b 1)  Ta thấy:  1 1   a  b  ab 1 ab a  b 1 Suy xóa hai số a b thay A(T )  A(T ') ab tập T biến thành tập T ' thì: a  b 1 Giả sử sau thực 2018 bước ta số thực x ta có: A({x})  1   2020  x  x 2019 Vậy bảng ln cịn lại số 2019 Cách Ta có ab ab ab   a  b  a  b   ab  ab (a  1)(b  1)  ab ab c ab abc (a  1)(b  1) - ab ;c  Thực xóa a  b 1 thêm ab  c  ( a  1)(b  1)(c  1) - abc (a  1)(b  1) - ab Sau 2018 lần thực hiện, bảng lại số là: 1.2.3 2019  2.3.4 2020 1.2.3 2019 2019 Câu 14 (HSG chọn HSG quốc gia tỉnh ĐỒNG THÁP 2018-2019) Cho bảng ô vuông gồm m hàng n cột Tại góc bên trái bảng người ta đặt quân cờ Hai người chơi luân phiên di chuyển quân cờ, lượt di chuyển di chuyển quân cờ sang phải ô xuống ô Người chơi đến lượt khơng di chuyển qn cờ thua Xác định điều kiện m, n để người thực lượt chơi người thắng Lời giải Trước hết, ta gọi người thứ người chơi đầu tiên, người lại người thứ hai Ta dùng hai màu trắng, đen tô ô vuông bảng (tô đan xen bàn cờ), với ô bên trái tô màu trắng Quy ước: ô thuộc hàng p , cột q gọi ô  p; q  Khi đó: + Nếu m, n tính chẵn, lẻ 1;1 màu với ô m; n  + Nếu m, n khác tính chẵn, lẻ 1;1 khác màu với ô m; n  Từ giả thiết toán, người chơi di chuyển quân cờ sang phải xuống ô, ta nhận thấy hai người chơi phải di chuyển quân cờ sang ô khác màu với ô đứng Trang 1354 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 615  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Ở lượt di chuyển đầu tiên, người thứ di chuyển quân cờ sang ô màu đen, người thứ hai di chuyển quân cờ sang ô màu trắng Cờ đưa ô m; n  Để người thứ thắng quân cờ phải di chuyển vào ô m; n  ô m; n  phải tô màu đen (trùng với màu mà người thứ di chuyển lượt đầu tiên) Điều xảy m, n khác tính chẵn, lẻ Ngược lại, m, n tính chẵn, lẻ lập luận tương tự trên, người thứ hai thắng Vậy m, n khác tính chẵn, lẻ người thứ thắng Câu 15 (HSG11 Chuyên Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho đa giác lồi n đỉnh Mỗi cạnh đường chéo đa giác tơ k màu cho khơng có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh màu Tìm giá trị nhỏ k Lời giải Dễ thấy kmin  n  , k  n  hiển nhiên có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh tô màu TH1 Nếu n số chẵn gọi màu cần tơ 0,1, , n  Ta tô màu sau: Ai Aj tô màu i  j  mod  n  1    i, j  n   Cách tô màu thỏa mãn đề Thật Ai An1 tô màu 2i  mod  n  1    i  n   + Nếu Ai Aj , Ai Ak   i, j , k  n   tơ màu j  k  mod  n  1  Vô lí ! + Nếu Ai An 1 , Ai Aj   i, j  n   tơ màu i  j  mod  n  1  Vơ lí ! + Nếu Ai An 1 , A j An 1   i, j  n   màu 2i  j  mod  n  1   i  j  mod  n  1  Vơ lí ! Vậy cách thỏa mãn yêu cầu toán Như kmin  n  (1) TH2: Nếu n số lẻ giả sử tơ với n  màu 0,1, , n  Khi đó, tất đoạn thẳng có màu 1, , n  xóa hết cịn lại đoạn thẳng có màu Suy deg Ai  tổng số bậc lần số cạnh) Điều vơ lí Do k  n n 1  deg A  n (Vì i i 0 Với k  n ta tô màu sau: Gọi n màu cần tô 0,1, , n  Ai Aj tơ màu i  j  mod n  Cách tô thỏa mãn yêu cầu toán Thật Ai Aj , Ai Ak tơ màu i  j  mod n  vơ lí Như kmin  n (2)  n  1 Từ (1) (2) suy kmin      Câu 16 (HSG11 tChuyênDHĐB Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho bảng ô vuông kích thước 100 100 mà ô điền ký tự A, B, C , D cho hàng, cột bảng số lượng ký tự loại 25 Ta gọi hai ô thuộc hàng (không thiết kề nhau) điền khác ký tự “cặp tốt”, cịn hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh nằm cạnh bảng bốn ô vuông đơn vị bốn góc điền đủ bốn ký tự A, B, C , D “bảng tốt” Trang 1355 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 616  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 a) Hỏi cách điền trên, có cách điền mà bảng ô vuông 1 4,   có chứa đủ ký tự A, B, C , D ? b) Chứng minh với cách điền thỏa mãn đề bảng vng cho: i) Ln có cột bảng mà từ chọn 76 cặp tốt ii) Ln có bảng tốt Lời giải Tác giả: Vũ Hồng Anh; FB: Vũ Hồng Anh a) Khơng tính tổng qt, giả sử cột điền A , B , C , D Khi đó, thứ hai cột phải điền D thuộc hai hình vuông 2x2 chứa sẵn A , B , C Do đó, ta điền tiếp cột theo thứ tự C , D , A , B Cứ ta điền tiếp cho cột 3, A C A C C A C A B D B D D B D B Tuy nhiên, ta thấy hàng khơng thỏa mãn chứa hai loại ký tự Vậy nên khơng có cách điền thỏa mãn điều kiện nêu b) i Tồn hai cột Giả sử phản chứng cặp cột tùy ý có 25 cặp ký tự Cố định cột 1, xét 99 cột lại Gọi T số  a; b  cột a  có thứ b từ xuống ký tự Theo giả sử T  99.25 Mặt khác theo giả thiết T  100.24 (tính theo hàng) Suy 100.24  99.25 , điều vô lý chứng tỏ giả thiết phản chứng sai, tức chọn hai cột thỏa mãn đề ii Tồn bảng tốt Giả sử phản chứng khơng có hàng, cột cắt tạo thành hình chữ nhật thỏa mãn Xét cột chọn trên, giả sử có cặp  A; B  ,  A; C  khơng có  C ; D  ,  B; D  Ta có hai khả năng: - Nếu có  A; D  khơng có  B; C  , cặp 76 cặp có ký tự A ; số lần ký tự A xuất tối đa 50, vơ lý - Nếu có  B; C  khơng có  A; D  , 76 cặp có 76.2  152 số lần xuất ký tự A , B , C , số lần xuất ký tự A , B , C tối đa 76 cặp 150, vơ lý Từ ta có đpcm Câu 17 (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Một lớp học trường đại học có 60 sinh viên, có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp học Tính xác suất để sinh viên chọn không học ngoại ngữ Biết trường dạy hai ngoại ngữ tiếng Anh tiếng Pháp Trang 1356 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 617  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Lời giải Gọi A, P , K tập hợp sinh viên học tiếng Anh, học tiếng Pháp khơng học ngoại ngữ Khi n  A  P  K   60, n  A  40, n  P   30, n  A  P   20 Ta có n  A  P  K   n  A  n  B   n  K   n  A  P   n  A  K   n  P  K   n  A  P  K  Nên 60  40  30  n  K   20     n  K   10 Gọi X biến cố “2 sinh viên chọn khơng học ngoại ngữ” Ta có n     C602 , n  X   C102 Do P  X   n  X  C102   n    C6 118 Câu 18 (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú Thuận chung phòng ký túc xá trường trung học phổ thông Một hôm, người quản lý ký túc xá đến phòng năm học sinh để xác định lại hộ nhà học sinh Vì học sinh giỏi tốn nên học sinh khơng trả lời trực tiếp mà nói với người quản lý ký túc xá sau: - Tính: “Nhà bạn Phú Thới Lai cịn nhà em Cờ Đỏ” - Nghĩa: “Nhà em Cờ Đỏ cịn nhà bạn Tuấn Ơ Mơn” - Tuấn: “Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt” - Phú: “Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều” - Thuận: “Nhà em Ninh Kiều cịn nhà bạn Tính Thốt Nốt” Em giúp người quản lý ký túc xá xác định hộ nhà học sinh Biết câu trả lời học sinh có phần phần sai đồng thời địa phương địa hộ học sinh Lời giải Tác giả: Nhóm tổ nhóm strong team tốn vd – vdc - Tính: “Nhà bạn Phú Thới Lai cịn nhà em Cờ Đỏ”.(1) - Nghĩa: “Nhà em Cờ Đỏ cịn nhà bạn Tuấn Ơ Mơn”.(2) - Tuấn: “Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt”.(3) - Phú: “Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều”.(4) - Thuận: “Nhà em Ninh Kiều cịn nhà bạn Tính Thốt Nốt”.(5) Nếu ý đầu (3) nhà Tuấn Cờ Đỏ Do đó, hai ý (2) sai Vậy ý đầu (3) sai Do ý sau (3) hay nhà bạn Phú Thốt Nốt Do ý đầu (1) sai ý sau (5) sai hay ý sau (1) ý đầu (5) Suy nhà bạn Tính Cờ Đỏ nhà bạn Thuận Ninh Kiều Vì nhà bạn Tính Cờ Đỏ nên ý đầu (2) sai hay ý sau (2) Suy nhà bạn Tuấn Ơ Mơn Còn lại nhà bạn Nghĩa Thới Lai Kết luận: Nhà bạn Phú Thốt Nốt, nhà bạn Tính Cờ Đỏ, nhà bạn Thuận Ninh Kiều, nhà bạn Tuấn Ơ Mơn, nhà bạn Nghĩa Thới Lai Câu 19 (HSG11 tChuyênDHĐB Bắc Bộ năm 2018-2019) Tìm tất số nguyên dương m, n số Trang 1357 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 618  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 nguyên tố p thỏa mãn m  m  40 m  11 p n   Lời giải Tác giả: Trịnh Quang Hoàng; Fb: Hồng DeMon Phương trình cho tương đương với  m  1  m  10   22 p n TH1: n  , thử trực tiếp với m  1, 2,3, 4,5 không thỏa mãn Với m   4m   22, m2  10  22 Do (4m  1) p, (m2  10) p vơ lí n  TH2: n  , thử trực tiếp với m  1, 2,3, 4,5 không thỏa mãn Với m   4m   22, m2  10  22 Do (4m  1) p, (m2  10) p  4m   11x p a Suy  x, y  0,1 ; x  y  1; a, b   *  y b  m p 10 2.11    Dễ thấy m  * ta có m  10  4m  +) Nếu b  a 11 m2  10   mod  4m  1  11m  110 mod  4m  1 11.16m2  1760 mod  4m  1  11  1760 mod  4m  1 (do 16m  1mod  4m  1 )  1771  mod  4m  1  4m   77  m  19  Mà 4m   1 mod  , 1771  7.11.23   4m   161   m  40   4m   253  m  63 Thử lại không thỏa mãn  4m   p a +) Nếu b  a y  1, x    b m  10  2.11 p  p | 4m   p7 Do   p |  m  10   m  m  1  40  m  p |  4m  160   p |161    p  23  p | m  10 + Nếu p  23 22.23b  23a  22  23a b vơ lí a  b  * + Nếu p  22.7b  a  22  a b  a  b   4m   7b 1 Khi ta có:   m  12 k m  10  22.7 Thay vào phương trình ban đầu tìm n  Vậy  m; n; p   12;3;  Câu 20 (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày năm 2018-2019) (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày năm 2018Trang 1358 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 619  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TỒN CẢNH ĐỀ THI HSG VỊNG – NĂM HỌC – 2018-2019 2019)Cho S tập hợp  a1 , a2 , , a164  hoán vị 164 số nguyên dương a) Có hoán vị  a1 , a2 , , a164  thuộc S cho với i  1, 2, ,164 ta ln có  i  i  mod 41 ? b) Tồn hay khơng hốn vị ( a1 , a2 , , a164 ) thuộc S cho với i  {1, 2, ,164} tồn số nguyên bi  {0,1,, 40} thỏa mãn a1  a2     bi2 (mod 41) ? Lời giải +) Chia số từ 1, 2, ,164 thành 41 nhóm theo số dư, chia cho 41 rõ ràng nhóm có số ( số vị trí , 41 , 82 , 123 với i  1, 41 hoán vị) Các số hoán vị đổi vị trí cho +) Ta thấy với  x1 , x2 , x3 , x4  , ta có cách hốn vị là: ( x2 , x1 , x4 , x3 ),( x2 , x3 , x4 , x1 ),( x2 , x4 , x1 , x3 ), ( x3 , x1 , x4 , x2 ),( x3 , x4 , x1 , x2 ),( x3 , x4 , x2 , x1 ), ( x4 , x1 , x2 , x3 ),( x4 , x3 , x2 , x1 ),( x4 , x3 , x1 , x2 ) khơng có phần tử nằm vị trí ban đầu +) Vì có tất 941 hoán vị thỏa mãn đề 1 1 Lưu ý: Nếu thí sinh dùng cơng thức D4  4!     cho điểm tối đa  2! 3! 4!  b) Tồn hay khơng hốn vị ( a1 , a2 , , a164 ) thuộc S cho với i  {1, 2, ,164} tồn số nguyên bi  {0,1,, 40} thỏa mãn a1  a2     bi2 (mod 41) ? *Bổ đề: Với p số nguyên tố có dạng 3k  {13 , 23 , , p } lập thành hệ thặng dư đầy đủ theo mod p Chứng minh bổ đề: Giả sử có hai số i  j cho i  j (mod p ) i k  j k (mod p ) Theo định lý Fermat nhỏ i k 1  j k 1 (mod p ) nên i k 1  j k 1  j  j k  j  i k (mod p ) kéo theo i k (i  j ) p hay i  j (mod p ) , vô lý i, j  {1, 2, , p} i  j (Bổ đề chứng minh) * Ta xây dựng hoán vị thỏa mãn đề cho  i (mod 41) với  i  164 Với 41 số đầu tiên, theo nhận xét số {13 , 23 , , 413 } có số dư đơi khác chia cho 41 nên ta xếp chúng để số dư thay đổi từ  41 Các số 42  82; 83  123; 124  164 thực hoán vị tương tự Hoán vị thỏa mãn  i (i  1)  a1  a2         i   (mod 41)   3 Trang 1359 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 620  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Lưu ý: Ta dễ dàng chứng minh phương pháp qui nạp kết sau: Với số tự nhiên n  n  n  1      n      3 3 Câu 21 (HSG11 Chuyên Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho p số nguyên tố có dạng 12k  11 Một tập S tập M  1; 2; 3;  ; p  2; p  1 gọi “tốt” tích tất phần tử S khơng nhỏ tích tất phần tử M \ S Ký hiệu  S hiệu hai tích Tìm giá trị nhỏ số dư chia  S cho p p 1 xét tập tốt M có chứa phần tử Lời giải  p 1 p3  ; ;  ; p  2; p  1 rõ ràng S tập tốt Trước hết, xét tập S      S  ( 1) p 1  p 1  p 1  p 1   !   !  2   !  2a (mod p ) ,        p 1 a    ! thỏa mãn p | a  theo định lý Wilson   Ta xét trường hợp: - Nếu a  (mod p)  S  (mod p) p 1 p 1 p 1  (mod p ) dễ thấy dấu 2  S thay đổi thành Khi đó, hai trường hợp, ta tập tốt có - Nếu a  1 (mod p) tập S , thay  S  (mod p) Ta chứng minh không tồn S tốt cho  S  (mod p)  S  (mod p ) Xét tập tốt S gọi a, a tích phần tử S M \ S Theo định lý Wilson aa  ( p  1)!  1 (mod p) Khi đó, a  a (mod p) p | a  , vơ lý ta biết a  khơng có ước ngun tố dạng  3  4k  Còn a  a  (mod p ) (2a  1)2  3 (mod p) , vô lý    1 theo giả  p thiết p  11 (mod 12 ) Vậy giá trị nhỏ cần tìm Câu 22 (HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019 (2)) Với số n nguyên dương, đặt f (n) ước nguyên dương Xét tập hợp G  n   * : f (m)  f (n),  m   ,  m  n gọi pi số nguyên tố thứ i (i  * ) 1) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G pm ước nguyên tố n ( p1 p2 pm ) ước n 2) Với số nguyên tố pm , gọi k , M số nguyên dương thỏa mãn k  pm M  ( p1 p2 pm 1 ) k Chứng minh rằng: Nếu n  M n thuộc G n chia hết cho pm Trang 1360 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 621  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Lời giải 1) Giả sử n  p1k1 p2k2 paka (k i  N,i  1, a )  f(n)  (k1  1)(k  1) (k a  1) Giả sử n chia hết cho pm , tồn i thỏa mãn  i  m  a mà n không chia hết cho pi Suy km  1, ki  Xét n0  n pi ta có: pm n0  n f (n0 )  f( n) (k i  2) k m 2km  f (n) (k i  1)(k m  1) km  Do km   2km  km  nên f (n0 )  f (n) mâu thuẫn Vậy n chia hết cho pi với i  1, 2, , m 2) Xét n  G n  M Giả sử khơng chia hết cho pm ước n thuộc tập  p1 , p2 , , pm 1 ( Thật vậy, giả sử n có ước p j  pm theo ý (a) n chia hết cho p1 , p2 , , pm , , p j Mâu thuẫn.) Suy : n  p1k1 p2k2 pmkm11 (k i  N,i  1, m  1) Vì n  M nên tồn tại:  i  m  cho ki  2k Đặt n1  n n0  n1 pm Do pik  k  pm suy n0  n k pi f(n)  (k1  1)(k  1) (k t  1) f(n )  (k1  1)(k  1) (k i 1  1)(k i  k  1)(k i 1  1) (k t  1).2 Vì ki   2k  2(k i  k  1)  k i   f (n )  f(n) Mâu thuẫn Vậy có điều cần chứng minh Câu 23 (HSG12 tỉnh Đồng Nai năm 2018-2019) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn 4m3  m  12n3  n , chứng minh m  n lập phương số nguyên Lời giải Ta có m  m  12 n  n   m  n   m  mn  n  1  8n Giả sử p ước nguyên tố chung m  n, 4m2  4mn  4n2  p số lẻ 4m  4mn  4n2  lẻ Mà 8n3  p nên suy n p hay từ ta có m p m  n p Mà 4m  4mn  4n2  chia hết cho p nên 1 p , điều vô lý Vậy  m  n , 4m  mn  4n  1  hay suy m  n lập phương số nguyên Trang 1361 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 622  VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 24 (HSG12 tỉnh KonTum năm 2018-2019) Tìm tất số nguyên tố a thỏa mãn 8a  số nguyên tố Lời giải Tác giả : Ngô Quốc Tuấn, FB: Quốc Tuấn Vì a số nguyên tố nên a  Ta xét trường hợp + Trường hợp 1: với a  8a   33 chia hết cho 11 , loại trường hợp a  + Trường hợp 2: với a  8a   73 số nguyên tố     + Trường hợp 3: với a   a  3k  8a   9k  6k    24k  16k  chia hết cho , loại trường hợp a  Vậy a  giá trị cần tìm Câu 25 (HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Tìm tất  n, k , p  với n, k số nguyên lớn p số nguyên tố thỏa mãn n5  n4  2n3  2n2   p k Lời giải n  n  n  2n   p k   n  n  1 n  n  1  p k Tác giả: Nguyễn Đình Thịnh Từ giả thiết  n, k  n3  n   1, n  n   1, n  Ta có:   n  n  1   n  n  1   n  1 n  n    0, n  r n  n   p  s n  n   p r  s   r  s  k  n3  n  1 n  n   n3  n    n  1  n  n  1 n  n   n  2 n  n  1 Mặt khác:  n  n  1   n    n   0, n  n  n   n   0, n    p  Từ 1 ,   suy n  , p k  25   k  Vậy số cần tìm là:  n, k , p    2, 2,  Trang 1362 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 623  ... C m  B m  C? ?u 40: Cho h? ?nh vng C có c? ? ?nh a Ng? ?? ?i ta chia c? ? ?nh h? ?nh vng th? ?nh b? ?n ph? ?n n? ?i ? ?i? ??m chia c? ?ch thích h? ? ?p để c? ? h? ?nh vng C (H? ?nh vẽ) T? ?? h? ?nh vng C l? ? ?i ti? ?p t? ? ?c l? ?m ta nh? ? ?n dãy h? ?nh. .. GD&? ?T Qu? ? ?ng Ng? ?i Đề thi ch? ?n HSG c? ? ?p t? ? ?nh To? ?n 12 THPT n? ?m 2019 sở GD&? ?T Qu? ? ?ng Ninh Đề thi ch? ?n h? ? ?c sinh gi? ? ?i t? ? ?nh To? ?n 12 n? ?m 2019 – 2020 sở GD&? ?T H? ? T? ?nh Đề thi ch? ?n HSG To? ?n 12 THPT n? ?m h? ? ?c. .. ? ?T Th? ?i B? ?nh Đề thi ch? ?n HSG T? ? ?n c? ? ?p t? ? ?nh THPT n? ?m 2018 sở GD ? ?T Qu? ? ?ng Ninh (B? ?ng A) Đề thi ch? ?n h? ? ?c sinh gi? ? ?i t? ? ?nh To? ?n 12 n? ?m 2018 – 2019 sở GD ? ?T H? ? T? ?nh Đề thi ch? ?n HSG To? ?n 12 THPT n? ?m h? ??c