Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2018-2019 Bài (3 điểm) Hãy viết số lớn cách dùng chữ số 1; 2;3 với điều kiện chữ số dùng lần lần Bài (4 điểm) Tìm x ( x ∈ ) a) 5x = 125 b) 32x = 81 c) 52x −3 − 2.52 = 52.3 Bài (4 điểm) Cho M = 2+ 22+ 23+ 24+ 2+ 2017+ 2018 a) Tính M b) Chứng tỏ M chia hết cho Bài 4.(3 điểm) Tìm số tự nhiên có chữ số tận chữ số Biết chuyển chữ số lên đầu cịn chữ số khác giữ ngun ta số gấp lần số cũ Bài (6 điểm) a) Cho 40 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi vẽ đường thẳng ? b) Cho 40 điểm có 10 điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi vẽ đường thẳng c) Cho n điểm ( n ∈ ) Trong khơng có ba điểm thẳng hàng, qua hai điểm ta đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tìm n ? ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI GIA LAI 2018-2019 Bài Trường hợp khơng dùng lũy thừa, số lớn viết 321 *Trường hợp dùng lũy thừa: (Ta bỏ qua lũy thừa có số số mũ 1) - Xét lũy thừa mà số mũ có chữ số: 132 ;312 ;123 ; 213 So sánh 213 312 ta có 213 > 312 (vì 213 = 9261; 312 961) = 13 31 12 21 -Xét lũy thừa mà số mũ có hai chữ số: ; ;3 ;3 So sánh 321 với 231 ta có 321 = 3.320 ( 3=2 ) 231 = 2.230 ( 2=3 ) 10 10 3.910 = 2.810 = Từ suy 321 > 231 So sánh 321 với 213 ta có : 321 > 39 = ( 33 ) =273 21 >3 Vậy số lớn : 321 Bài a) 5x = 125 ⇒5x =53 ⇒x =3 b) 32x = 81⇒ 32x = 34 ⇒ 2x = 4⇒ x= c) 52x −3 − 2.52 = 52.3⇒ 52x −3 = 52.3+ 2.52 Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ⇒ 52x −3 = 53 ⇒ 2x − = ⇒ x = Bài a)Ta có 2M = 22 + 23 + 24 + + 20182 + 2019 Lấy 2M − M = 22019 2− Vậy M = 22019 − b) M = ( 2+ 22 )+ ( 23+ 24 )+ ( 25+ 26 )+ +2 ( 20172+ M = (1 +2 ) +2 (1 +2 ) +2 (1 +2) + +2 M = ( 2+3 2+5 + 2+2017 ) 2018 ) (1 +2 ) 2017 Vậy M Bài Gọi số cần tìm abcde4 , ta có: abcde4.4 = 4abcde Đặt abcde⇒= x abcde4 = x4 Ta có: x4.4 = 400 000 x +(10x⇒ ) + 400 000 = x + ⇒ 40x + 16 = 400 000 x +39x⇒ 399984 = x 10256⇒ = Vậy số cần tìm 10256 Bài a)Kẻ từ điểm với điểm lại : 39 đường thẳng Làm với 40 điểm ta 39.40 = 1560 (đường thẳng) Nhưng đường thẳng tính hai lần Do số đường thẳng thực : 1560 : = 780 (đường thẳng) b) Nếu 40 điểm ba điểm thẳng hàng vẽ 780 đường thẳng *Với 10 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ được: 10.9 : = 45 (đường thẳng) Số đường thẳng cần tìm : 780 − 44 = 736 (đường thẳng) c) Ta có: n ( n − 1) : = 105 ⇒ n(n 1) − = 210 n(n ⇒ 1) − 15.14 = Vậy n = 15 Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 MƠN TỐN LỚP Thi ngày 04 tháng năm 2018 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (5,0 điểm) Tính hợp lý a) A = 20182 2017.2018 − b) B ( 1)− ( 1) − ( 1) − ( 1) =− −( 1) − ( 1) 99 100 88 88 − − − − − 93 c)C = 1 1 − − − − − 12 14 16 186 Bài (5,0 điểm) a)Tìm x, y ∈ biết ( 2y + 1)( x − ) = 10 b)Cho x, y ∈ thỏa mãn ( 3x + 5y )( x + 4y ) Chứng tỏ ( 3x + 5y )( x + 4y ) 49 c)Tìm số tự nhiên n khoảng 290 đến 360 để phân số 5n + ( n ∈ ) rút gọn 2n + Bài (4,0 điểm) a)Tìm số nguyên dương n nhỏ cho n + 1; 2n + 1;5n + số phương? b)Cho A = 2017 +2017 +20173 + +201718 Chứng tỏ A 2018 Tìm chữ số tận A Bài (4,0 điểm) a)Cho đoạn thẳng AB có độ dài cm Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB cho BC = 5cm Tính độ dài đoạn thẳng AC = 1600 Vẽ tia phân giác Ox xOy Tính số đo góc xOx b)Cho xOy 1 , Ox tia phân giác xOx ,…… Ox tia phân Giả sử Ox tia phân giác xOx 42 giác xOx 41 Tính số đo góc xOx 42 Bài (2,0 điểm) a)Chứng minh với số nguyên n ta có n − n b)Viết số 43211234 dạng tổng số số nguyên dương Gọi T tổng lập phương tất số Tìm số dư T phép chia cho hết - Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐÁP ÁN HSG TRỰC NINH_2017-2018 Bài a) A = 2018 ( 2018 −2017 ) =2018.1 =2018 − ( 1) (Có 50 thừa số −1) nên B= b) B−= ( 1)−.1 ( 1) 1 2 3 88 1 − + 1 − + 1 − + + 1 − 6 7 8 93 c) C = 1 1 − − − − 12 14 16 186 1 1 5 5 + + + + + + + + 93 6 93 = C= 1 1 1 1 − − − − − + + + + 12 14 16 186 6 93 C = −10 Bài a) 2xy + x − 8y = 14 ⇒x(2y +1) −8y −4 =14 4− ⇒ x ( 2y + 1) − 4(2y + 1) = 10 ⇒( 2y +1)( x −4 ) =10 Vì x, y∈ nên 2y + ∈ , x − ∈ , suy 2y + 1, x − ước nguyên 10 2y + lẻ Lập bảng 2y + 1 -5 10 -10 -2 x−4 14 -6 x y -1 -3 x =−14= x= = x x Vậy ; ; ; y =− = y−= = y y b) Phải chứng minh 3x + 5y ⇔ x + 4y Đặt A =+3x 5y,= + B x 4y Xét tổng A + 4B = 7x + 21 B Nếu A ⇒ 4B 7, mà ( 4, ) = ⇒ Nếu B ⇒ 4B ⇒ A Chứng tỏ 3x + 5y ⇔ x + 4y 3x + 5y Vì ( 3x + 5y )( x + 4y ) ⇒ x + 4y Nếu ( 3x + 5y ) ⇒ ( x + 4y ) ⇒ ( 3x + 5y )( x + 4y ) 49 Nếu ( x + 4y ) ⇒ ( 3x + 5y ) ⇒ ( 3x + 5y )( x + 4y ) 49 c) Gọi d ước nguyên tố chung 5n + 2n + 5n + 2 d 2 ( 5n + ) d Ta có: ⇒ ⇒ (10n + 35 ) − (10n + ) d 2n + d 5.(2n + 7) d Vì d nguyên tố nên d = 31 5n + 2 31 5n + − 62 31 5n − 60 31 5(n − 12) 31 Khi ⇒ ⇒ ⇒ 2n + 31 2n + − 31 31 2n − 24 31 2(n − 12) 31 = n − 12 31 ⇒ n = 31k 12 + (k ∈) Mà ( 5,31) = 1; ( 2;31) suy Do 290 ≤ n ≤ 360 ⇒ 290 ≤ 31k + 12 ≤ 360 ⇒ ≤ k ≤ 11 , mà k số tự nhiên nên k ∈ {9;10;11} Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Từ tìm n ∈ {291;322;353} Bài a)Do n + số phương nên chia cho dư Nếu n + 1 n chia cho dư ⇒ 2n + chia cho dư 2, vô lý Do n + chia cho dư ⇒ n Do 2n + số phương lẻ nên 2n + chia cho dư 1, suy 2n 8 , từ n Do n + số phương lẻ nên n + chia cho dư 1, suy n 8 Ta thấy n 3, n 8 mà ( 3,8 ) = nên n 24 mà n số nguyên dương Với n = 24 n + = 25 = 52 ; 2n + 49= ; =5n 121 + =112 = Vậy n = 24 số nguyên dương nhỏ thỏa mãn đề b)Ta có A = 2017 +2017 +20173 + +2017 2018 (tổng A có 2018 số hạng, 2018 2) A = ( 2017+ 2017 )+ ( 20173+ 2017 )+ + ( 2017 2017+ 2017 2018 ) A = 2017.(1 +2017) +20173.(1 +2017) + 2017 2017.(1 +2017) A A 2018 ( 2017 20173 + 2017 + + 2018 ) = 2017 2015 2016 2017 2018 + + ( + + + + + ( + + + ) ) 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 A == ( ) 2017 + ( ) + 2017 + 2015 (.0 ) =.6( ) Bài a)Trường hợp điểm C thuộc tia đối tia BA A B C Điểm C thuộc tia đối tia BA nên hai tia BA BC đối nhau, suy điểm B nằm hai điểm A C Ta có: AB + BC = AC thay số tính AC = cm Trường hợp điểm C thuộc tia BA C A B Trên tia BA , BA < BC ( cm < 5cm ) nên điểm A nằm hai điểm B C Ta có: AB + AC = BC Thay số tính AC = 3cm Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC x1 y x2 x3 O b) x nên xOx = xOy 160 = 800 Tia Ox1 tia phân giác xOy 2 1600 xOx Tia Ox tia phân giác xOx1 nên xOx = = 22 = nên xOx = xOx 41 160 = Tương tự trên, tia Ox 42 tia phân giác xOx 41 42 242 Bài a)Ta có ( n − n ) = n ( n 1)− n =( n n n− 1)+ n− n (=n 1) ( n − 1) + n ( n− 1)(=n 1) − + Với số nguyên dương n ( n − 1) n ( n + 1) tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho mà ( 2,3) = nên n ( n − 1)( n + 1) b) Ta có 43211234 = a1 + a + a + = + Xét hiệu TT − a4321a + 1234 3 + =a ( a +a +a + n n +a 33 + + 3n a) −( a+ a + a+ +a n ) T − 43211234 = ( a13 −a1 ) +( a 32 a−a ) +( a 33 −a ) + a+( 3na − n ) Theo câu a ta có a13 − a1 6, a 32 − a 6, a 33 − a 6, a 3n − a n 6, nên T − 43211234 Suy T 43211234 dư chia cho Mặt khác 4321 chi dư nên 43211234 chia cho dư Vậy T chia dư Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC PHỊNG GD&ĐT NGA SƠN TRƯỜNG THCS NGA THẮNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 Mơn thi: TỐN – Lớp ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: -3-2018 (Đề thi gồm trang) Câu (4,0 điểm) Thực phép tính cách hợp lý: a) ( −2013) 2014 + 1007.26 1313 10 130 1515 b) + − − 1414 160 140 1616 Câu (6,0 điểm) a)Tìm x, y, z biết x − y = 2011 ; y− z=− 2012;+ z =x 2013 b)Tìm hai số tự nhiên a b biết BCNN (a, b) = 180 ; UCLN (a, b) = 12 4n − c)Tìm n ∈ để phân số A = có giá trị nguyên 2n + Câu (4,0 điểm Một hiệu sách có năm hộp bít bi bút chì Mỗi hộp đựng loại bút Hộp 1: 78 chiếc; Hộp 2: 80 chiếc; Hộp 3: 82 chiếc; Hộp 4: 114 chiếc; Hộp 5: 128 Sau bán hộp bút chì số bút bi gấp bốn lần số bút chì cịn lại Hãy cho biết lúc đầu hộp đựng bút bi, hộp đựng bút chì ? Câu (4,0 điểm) Trên tia Ox cho điểm A, B, C , D Biết A nằm B C ; B nằm C D ; OA = cm;OD 3cm; BC= 8cm AC = 3BD= a)Tính độ dài AC b)Chứng tỏ rằng: Điểm B trung điểm đoạn thẳng AD Câu (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ cho sau viết tiếp số sau số 2014 ta số chia hết cho 101 hết - Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐÁP ÁN Câu a) ( −2013) 2014 + 1007.26 − = ( 2013 + ) 2014 2014.13 = 2014 ( 2013 − 13+) 2014 = ( 2000 − ) 4028000 = − 1313 10 130 1515 13 13 15 b) + − − = + − − 1414 160 140 1616 14 16 14 16 13 13 15 = − + + =1 14 14 16 16 Câu a)Từ đề ta có: + − ) 2013 + ( x − y ) + ( y − z ) + ( z + x ) = 2011 ( 2012 ⇒ 2x = 2012 x⇒ 1006 = Vì x − y = 2011 ⇒ − = y = x− 2011 − = 1006 2011 1005 Vì x + z = 2013 z⇒ 2013 = x 2013 − =1006 1007 − = Vậy− x = 1006 = =; y 1005 ; z 1007 b)Ta có ab = 180.12 2160 = Giả sử a ≤ b Vì UCLN (a, b) = 12 nên a = 12m, b 12n với = ( m, n ) = m ≤ n Suy 12m.12n = 2160 ⇒mn = 15 Ta có bảng sau: m n a b 15 12 180 36 60 4n − ( 2n + 3) 7 c) A = = − −= 2n + 2n + 2n + 2n + A có giá trị nguyên ⇔ 2n + ∈ U ( ) = {± 1;± 7} Ta có bảng sau 2n + -1 -7 -1 -2 -5 n Câu Tổng số bút bi bút chì lúc đầu là: 78 + 80 + 82 + 114 + 128 = 482 (chiếc) Vì số bút bi cịn lại gấp bốn lần số bút chì cịn lại nên tổng số bút bi số bút chì cịn lại số chia hết cho 5, mà 482 chia cho dư nên hộp bút chì bán có số lượng chia cho dư Trong số 78; 80; 82; 114; 128 có 82 chia cho dư Vậy hộp bút chì bán hộp 3: 82 Số bút bi bút chì cịn lại : 482 − 82 = 400 (chiếc) Số bút chìn cịn lại : 400 : = 80 (chiếc) Vậy , hộp đựng bút chì là: hộp 2, hộp Các hộp đựng bút bi là: hộp 1, hộp 4, hộp Câu Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC O D B A C a)Đặt BD = x (cm) ⇒ AC 3x = (cm) Vì D nằm O A (Do OD < OA ) nên : OD + DA = OA ⇒ DA = ⇒ DB + BA = hay x BA+ (1) = Vì A nằm B C nên : BA + AC = BC hay 3x + BA = 8(2) Từ (1) (2) ta có ( 3x + BA ) − ( x + BA ) = − ⇒ 2x = ⇒ x = ⇒ AC = 3.2 = (cm) BA = b)Theo (1) ta có: x + BA = mà x =⇒ Mà BD ==⇒ x =BD= ⇒ BA( 2) B trung điểm đoạn thẳng AD Câu Giả sử n có k chữ số ( k ≥ 1) + đó: Ta có : 2014 = 19.101 95 , k 2014n = 2014.10 n 19.101.10 + = k 95.10k n + + k Suy 2014n 101 95.10 + n 101 Với k = 95.10k + n = 950 n+ 101.9 = (41+ n)+101 41 + n 101 n có chữ số nên 41 + n ≤ 41 + < 101 , nên khơng có số n thỏa mãn đầu = + suy + n 101 , số n nhỏ Với k = 95.10k + n = 9500 n + 101.94 ( n+)101 xác định + n = 101 ⇒ n 95 = Vậy n = 95 thỏa mãn đề Liên tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 281 a) Nếu p lẻ p + 11 chẵn lớn 11 nên không số nguyên tố Suy p chẵn nên p = b) Nếu p chia dư p + số lớn chia hết không số nguyên tố Nếu p chia dư p + 10 số lớn chia hết không số nguyên tố , suy p chia hết p = Câu N A M B a) M nằm hai điểm A, B nên MA = AB − MB = −1 =2cm AN = AM 2cm= A nằm hai điểm N, B nên BN = AN + AB = + = 5cm b) BN = AN AB,+ AB không đổi nên BN lớn AN lớn - AN lớn AM lớn - AM lớn AM = AB - Lúc M trùng với B BN = 6cm PHỊNG GD&ĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2018-2019 Môn Tốn Bài Tìm số ngun x, cho : a)2 x + x +1 + x + + x +3 = 480 b)2 + + + + + 2x = 156 c) ( x − 49 )( x − 81) < d) x + + x − + x + = 5x −10 1 998 e) + + + + = 10 x ( x + 1) 1000 Bài Thực so sánh a) A = 20092008 + 20092009 + với B = 20092009 + 20092010 + b) C = 1.3.5.7 99 với D = 51 52 53 100 2 2 c) Chứng rằng: 102011 + chia hết cho 72 Bài a) Tìm chữ số x, y cho 1994xy chia hết cho 72 Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 282 b) Tìm n ∈ cho ( 3n + 1) ( 2n + 3) Bài Trong dịp Tết trồng cây, khối phân chia số cho lớp đem trồng sau: Lớp 6A 1 trồng 10 số lại, lớp 6B trồng 15 số lại, lớp 6C trồng 20 8 số lại,… Cứ chia lớp cuối vừa hết số số lớp trồng Hỏi có lớp 6, lớp chia đem trồng ? Bài Trong số nguyên a, b, c , có số dương, số âm, số khơng, ngồi cịn biết thêm a = b ( b c ) − Hỏi số dương, số âm, số Bài a) Tìm x, y ∈ , biết x + 624 = 5y b) Với giá trị x, y biểu thức A = x −y + x +1 +2011 đạt giá trị nhỏ ĐÁP ÁN Bài a)2 x (1 + + 22 + 23 ) = 480 x = 25 ⇒x =5 b) ⇒ (1 + + + + x ) = 156 ⇒ + + + + x = 78 ⇔ ( x + 1) x : = 78 ⇒ x ( x + 1) = 156 12.13 = x⇒12= c) ( x − 49 )( x − 81) < Nên x − 49 x − 81 hai số trái dấu x − 81 < x < 81 Mà x − 81 < x − 49 ⇒ ⇒ ⇒ x = 64 ⇒ x − 49 > x > 49 d) x + + x − + x + = 5x −10 = ± x (1) Ta có: x + + x − + x + ≥ ∀x ∈ ⇒ 5x − 10 ≥ ⇔ x ≥ Với x ≥ thì: x + = x +1; x − = x −2; x +7 = x +7 Vậy từ (1) suy ra: ( x + 1) + ( x − ) + ( x + ) = 5x −10 ⇒ x Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 = 8(tm) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 283 1 998 = e) + + + + 10 x ( x + 1) 1000 998 1 ⇒ + + + = x.(x + 1) 1000 2.3 3.4 1 1 1 998 ⇒ − + − + + − = 3 x x + 2000 ⇒ x = 999 Bài a) Thực quy đồng mẫu số: ( 2009 ( 2009 ( 2009 B= ( 2009 A= 2008 + 1)( 20092010 + 1) 2009 + 1)( 20092010 + 1) 2009 + 1)( 20092009 + 1) 2010 + 1)( 20092009 + 1) = 20094018 + 20092009 + 20092009 + ( 20092009 + 1)( 20092010 + 1) = 20094018 + 20092009 + 20092009 + ( 20092010 + 1)( 20092009 + 1) Do 20092010 + 20092008 = 20092008 ( 20092 1) + 20092009 + 20092009 = 20092008 ( 2009 2009+) Do 20092 + > 2009 + 2009 ⇒ A > B 1.3.5.7 99.2.4.6 100 2.4.6 100 1.3.5.7 99.2.4.6 100 1.2.3 50.51.52 100 = = (1.2 ) ( 2.2 ) ( 3.2 ) ( 50.2 ) 1.2.3 50.2.2.2.2 b)C = 1.3.5.7 99 = 10052 53 51 = = D ⇒C =D 2 2 c) Vì 102011 + có tổng chữ số chia hết Lại có 102011 + có ba chữ số tận 008 nên chia hết cho Vậy 102011 + chia hết cho 72 Bài 1)1994xy = 72.2769 32 +xy 72 + ⇒ 32 + xy 72 Do 32 ≤ 32 + xy ≤ 32 + 99 = 131 ⇒ 32 + xy = 72 ⇒ xy = 40 Vậy x = 4; y = 2) Ta có: ( 3n + 1) ( 2n + 3) ⇒ ( 3n + 1) ( 2n + 3) ;& ( 2n + 3) ( 2n + 3) ⇒ ( 6n + ) ( 2n + 3) & ( 6n + ) ( 2n + 3) ⇒ ( 2n + 3) ⇒ 2n + ∈ U(7) = {± 1;± 7} Thử trường hợp ta có n = Bài Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 284 Xét lớp cuối lớp thứ n − lớp thứ n Giả sử lớp thứ n − chia x + số lại hay x + y (cây) y Theo quy luật toán lớp thứ n chia x + (vì khơng cịn số cịn lại) Lớp thứ n chia nốt Vì số đem trồng nên ta có: 1 x + y = x + ⇒ y = ⇒ y = 40 8 Tìm lớp thứ n chia 35 cây, suy lớp chia 35 1 Vì lớp 6A trồng 10 số lại nên số lại 25 8 Tổng số là: 10 + 25.8 = 210 (cây) Số lớp là: 210 : 35 = (lớp) Bài Giả sử a = 0, b Vậy a ≠ b = c vô lý, a, b, c khác = (1) Giả sử b = 0, a vô = lý, b ≠ (2) Từ (1) (2) suy c = 0, a = b3 b > ⇒ a < Vậy a < 0, b > 0, c = Bài a) Nếu x = ⇒ 20 + 624 = 5y ⇒ y = Nếu x ≠ ⇒ vế trái chẵn, vế phải lẻ, vô lý Vậy x = 0, y = b) Vì x − y ≥ 0; x + ≥ ( ∀x, y ) ⇒ A ≥ 2011 với x, y x − y = x − y = A đạt GTNN ⇒ ⇒x== − y x + = x + = Vậy với x = y = −1 A đạt GTNN 2011 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Mơn Tốn Câu Tính giá trị biểu thức: a)M = 1+ − 3− + 5+ − − 8+ + 10 − 11− 12 + − 299 − 300 + 301+ 302 32 32 32 + + 8.11 11.14 197.200 Câu + b) Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 285 a) Cho A = 1+ 2+ 22 + 23 + .+ 22008 ; B = 22009 Chứng tỏ B − A = b) Cho C = 11111 .1 Hỏi C hợp số hay số nguyên tố 2008chu so1 Câu a) Tìm x ∈ biết: x − 20 20 20 20 − − − − = 11.13 13.15 15.17 53.55 11 b) Một quầy hàng bán 44 dưa hấu Giờ đầu bán Giờ thứ hai bán 1 số dưa 3 1 số dưa lại Hỏi thứ ba bán 3 Câu Tìm số tự nhiên nhỏ để phân số sau phân số tối giản 17 ; ; ; .; n + n + n + 10 n + 20 Câu Gọi Oz tia phân giác AOB Ot tia phân giác AOz.Tìm Cho AOB giá trị lớn AOt ĐÁP ÁN Bài a)M = 1+ ( − − + ) + ( − − + ) + + ( 298 − 299 − 300 + 301) + 302 =+ 302 = 303 3 + + + b)N = + 197.200 8.11 11.14 14.17 1 1 1 = − + − + + − 197 200 11 11 14 1 = − = 200 25 Bài a) Ta có biến đổi: A = 1+ 2+ 22 + 23 + + 22008 2A = 2+ 22+ 23+ + 22008+ 22009 ⇒ A = 2A −A =22009 1− ⇒ B − A = 22009 ( 2− 2009 = 1)− 1(dfcm) b) Ta có biến đổi: C = 111 (có 2008 chữ số 1) Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 286 = 102007 +102006 +102005 +102004 + +103 +102 +10 +1 = 102006 (10 1) 10+2004 +(10 1) + + ( + = + + )10+ 10 ( 2006 2004+ 10 số 10 Do11 đó10C hợp ) (+ +) + 10 1 11 Bài a) Ta có biến đổi: 2 + + + x − 10 = 53.55 11 11.13 13.15 1 1 1 x − 10 − + − + + − = 53 55 11 11 13 13 15 1 x − 10 − = 11 55 11 x− = ⇒x =1 11 11 b) Giờ đầu bán được: 1 44 + = 15 (quả) 3 Còn lại: 44 − 15 = 29 (quả) 1 Giờ thứ hai bán được: 29 + = 10 (quả) 3 Giờ thứ ba bán : 44 − (10 + 15 ) = 19 (quả) Bài Các phân số cho có dạng Hay 17 ; ; ; .; + ( n + 3) + ( n + 3) + ( n + 3) 17 + ( n + 3) a , để phân số tối giản a; n + phải hai số nguyên tố a + ( n + 3) (vì chúng chia hết cho d ≠ phân số rút gọn cho d) Do cần tìm n ∈ cho n + nhỏ nguyên tố với số 5;6; ;17 suy n + = 19 ⇒n =16 Bài Liên tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 287 B z t O A nên AOz = AOB Do Oz tia phân giác AOB nên AOt = AOz Do Ot tia phân giác AOz ≤ 1800 = AOz 1= AOB mà AOB ⇒ AOt ≤ AOB = 1800 45 ⇒ AOt =0 4 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn Tốn – Lớp Câu Thực phép tính 136 28 62 21 − + a) 10 24 15 b) 528 : (19,3 − 15,3) + 42 (128 + 75 − 32 ) − 7314 5 1 c) + 11 − : 6 20 4 Câu Cho A = 1− + 3− + 5− + + 19 − 20 Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 288 a) A có chia hết cho 2, cho 3, cho khơng ? b) Tìm tất ước A Câu a) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp nguyên tố b) Tìm x biết: + + + 13 + 17 + + x = 501501 Câu Cho tam giác ABC có BC = 5cm Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho CM = 3cm a) Tính độ dài BM = 800 , BAC 600 Tính= CAM b) Cho biết BAM c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM cho CK = 1cm Tính độ dài BK ĐÁP ÁN Câu 272 168 186 21 29 − + a) = 30 30 30 24 b) = ( 528 : ) +42.171 − 7314 203 = 24 = 132+ 7182− 7314= 41 1 25 − 11 +9 = : 4 41 371 = + = 25 150 +c) = 6 41 25 Câu A = (1− ) + ( 3− ) + ( 5− ) + + (19 − 20 ) = (− 1)+ (− 1)+ (− 1)+ .+ (− 1)= 10.−( 1=− ) 10 a) Vậy A 2, A , A không chia hết cho b) Các ước A: ±1, ±2, ±5, ±10 Câu a) Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n + 2n + ( n ∈ ) Gọi d ước số chung chúng Ta có 2n + 1 d, 2n + 3 d Nên ( 2n + 3) − ( 2n + 1) d ⇒ 2 d d khơng thể d ước chung số lẻ, d = tức hai số lẻ liên tiếp nguyên tố b) Ta có: = +2 3;9 = + 5;13 =+ =+ 7;17 Do x = a+ ( a+ 1)( a∈ ) Nên: + + + 13 + 16 + + x = 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ + .+ a + (a + 1) = 501501 Hay ( a + 1)( a + + 1) : = 501501 ( a + 1)( a + ) = 1003002 1001.1002 = Liên tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 289 ⇒ a = 1000 x⇒ 1000 = (1000+ 1) 2001 + = Câu A B K C K' M a) Hai điểm M B thuộc hai tia đối CM CB nên diểm C nằm hai điểm B M Do đó: BM = BC + CM = + = 8(cm) b) Do C nằm hai điểm B M nên tia AC nằm hai tia AB, AM = BAM − BAC = 800 − 600 = 200 Do CAM c) Nếu K thuộc tia CM C nằm B K (ứng với điểm K hình vẽ) Khi BK = BC + CK = +1 =6cm Nếu K thuộc tia CB K nằm B C (ứng với điểm K ' hình vẽ) Khi BK = BC −CK = −1 =4(cm) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học : 2019-2020 Bài Thực phép tính sau cách hợp lý: a) (102 + 112 + 122 ) : (132 + 142 ) b)1.2.3 − 1.2.3 − 1.2.3 7.82 ( 3.4.2 ) 16 c) 11.213.411 − 169 d)1152 − ( 374 + 1152 ) + ( −65 + 374 ) e)13 − 12 + 11 + 10 − + − − + − + + − Bài Tìm x, biết: Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 290 a) (19x + 2.52 ) :14 = (13 − ) − 42 b)x + ( x + 1) + ( x + ) + + ( x + 30 ) = 1240 c)11 − ( −53 + x ) = 97 d) − ( x + 84 ) + 213−= 16 Bài Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN ( a, b ) = 300; UCLN ( a, b ) = 15 a + 15 = b Bài Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ OA < OB b) Trong ba điểm O, M, N điểm nằm hai điểm lại ? c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) ĐÁP ÁN Bài a) (102 + 112 + 122 ) : (132 + 142 ) = (100 + 121 + 144 ) : (169 + 196 ) =365 : 365 1= b)1.2.3 − 1.2.3 7.8 − 1.2.3 7.82 = 1.2.3 7.8 ( ) 1.2.3 7.8 − − = 0 ( 3.4.2 ) 16 c) = 11.2 − 16 13 11 ( 3.2 ) = 11.2 ( ) − ( ) 13 32.236 32.236 = 11.235 − 236 235 (11 − ) 16 2 11 × = 32 ( ) 18 = 32.2 = 11.2 − 236 13 22 = d)1152 − ( 374 + 1152 ) + ( −65 + 374 ) = 1152 374− 1152 − = (1152 − 1152 +) − ( 374 65+ −374+ 374 − ) −65 = 65 e)13 − 12 + 11 + 10 − + − − + − + + − = 13 −(12 −11 −10 +9 ) +( −7 −6 +5 ) −( −3 −2 −1) =13 Bài Liên tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 291 a) (19x + 2.52 ) :14 = (13 − ) − 42 c)11 − ( −53 + x ) = 97 { } ⇒ x = 14 (13 ) −42 −2.52 −:19 = b)x + ( x + 1) + ( x + ) + + ( x + 30 ) = 1240 ⇒ ( x + x + x + + x ) + (1 + + + 30 ) = 1240 31 so hang x ⇒ x = 11− 97− (− 53)=− 33 d) − ( x + 84 ) + 213−= 16 ⇒ − ( x + 84 ) = −16 − 213 ⇒ − ( x + 84 ) = −229 ⇒ x + 84 = 229 ⇒ x = 229 84 − 145 = ⇒ 31x = 1240 −31.15 775 ⇒x= = 25 31 Bài Từ liệu đề cho, ta có : Vì UCLN (a,b)=15 nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: (1) a = 15m; b 15n = UCLN ( m, n ) = (2) Vì BCNN ( a, b ) = 300, nên theo trên, ta suy ⇒ BCNN (15m,15n ) = 300 = 15.20 ⇒ BCNN ( m, n ) = 20 (3) Vì a + 15 = b, nên theo ta suy ra: 15 ⇒ ( m 1)+ 15n = ⇒ 15m + 15 = 15n m ⇒1 n+ =(4) Trong trường hợp thỏa mãn điều kiện ( ) ( 3) , có trường hợp m = 4; n = thỏa mãn điều kiện ( ) Vậy với m = 4, n ta= số phải tìm là: a = 15.4 60; = b 15.5 75= = Bài O M A N B a) Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm O B, suy ra: ⇒ OA < OB b) Ta có: M, N thứ tự trung điểm OA, OB nên ⇒ OM = OA ;ON OB = Vì OA < OB nên OM < ON Hai điểm M, N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm hai điểm O N c) Vì điểm M nằm hai điểm O N, nên ta có: ⇒ OM + MN = ON⇒ MN= ON− OM⇒ MN= OB − OA = AB Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 292 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Mơn: Tốn Năm học 2018-2019 Câu a + 2a − Cho biểu thức A = a + 2a + 2a + a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a phân số tố giản Câu Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc = n − cba = ( n )− Câu a)Tìm n để n + 2006 số phương b) Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n + 2006 số nguyên tố hay hợp số Câu a) Cho a, b, n ∈ * Hãy so sánh b) Cho A = 1011 − ; 1012 − B= a+n a b+n b 1010 + So sánh A B 1011 + Câu Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: a1 , a , , a10 Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 Câu Cho 2006 đường thẳng đường thẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng ĐÁP ÁN Câu ( a + 1) ( a + a − 1) a + a − a + 2a − a) A = = = (a a + 2a + 2a + ( a + 1) ( a + a + 1) a + a + 1) ≠− b) Gọi d UCLN a + a − 1;a + a + Vì a + a − = a ( a 1)+ l−à số lẻ nên d số lẻ Mặt khác, = a a+ 1+ (−a a+ 1−) d Nên d = tức a + a + a + a − nguyên tố Vậy biểu thức A phân số tối giản Câu Liên tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 293 abc = 100a +10b +c =n 1− (1) cba = 100c +10b +c =n 4n − 4(2) + ⇒44n − 99 , mặt khác: Từ (1), (2) ⇒ 99 ( a − c ) = 4n − 100 ( n − 1) = 999 ⇒4n −5 =99 ⇒ n 26 = Vậy abc = 675 Câu ∈) a) Giả sử n + 2006 số phương ta đặt n + 2006 = a ( a ⇒ a n−2 2006 = ⇔ ( a − n )( a + n ) = 2006(*) Thấy a, n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mãn (*) Nếu a, n tính chẵn lẻ ( a − n ) 2, ( a + n ) nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết cho Vậy không tồn n để n + 2006 số phương b) n số nguyên tố nên n > không chia hết cho Vậy n chia cho dư n + 2006 = 3m + +1 2006 = +3m 2007 = +3 ( m 669 ) Vậy n + 2006 hợp số Câu a) Ta xét trường hợp a a+n a = 1⇒ a = b⇒ = = b b+n b a a+n a−b Th2: > ⇔ a > b ⇒ a + m > b + n , mà có phần thừa so với b+n b b+n a a−b a−b a−b a+n a có phần thừa so với nên , < < b b b+n b b+n b a Th3: < ⇒ a < b ⇒ a + n < b + n b a+n a−b a −b b−a a+n a Khi có phần bù tới nên , < > b+n b b b+n b+n b Th1: b) Cho A = 1011 − 1012 − 1011 − 1) + 11 1011 + 10 ( a a+n a rõ ràng A < nên theo câu a, < ⇒ > ⇒A< = b b+n b (1012 − 1) + 11 1012 + 10 10 1011 + 10 10 (10 + 1) Do A < 12 = 10 + 10 10 (1011 + 1) 1010 + = 1011 + Câu Lập dãy số Đặt B1 = a1 Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 294 B2 = a1 a+2 B3 = a1 + a + a B10 = a1 + a + + a10 Nếu tồn Bi ( i = 1, 2,3 10 ) chia hết cho 10 tốn chứng minh Nếu khơng tồn Bi chia hết cho 10 ta làm sau: Ta đem Bi chia cho 10 10 số dư (các số dư ∈ {1, 2,3, ,9} ) Theo ngun tắc Dirichle, phải có số dư Các số Bm − Bn chia hết cho 10 ( m > n ) (đpcm) Câu Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng lại tạo nên 2005 giao điểm Mà có 2006 đường thẳng nên có: 2005.2006 giao điểm Nhưng giao điểm tính lần nên số giao điểm thực tế là: ( 2005.2006 ) : = 2011015 giao điểm ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN Bài (5 điểm) Tìm x : a)5x = 125 b)32x = 81 c)52x −3 − 2.52 = 52.3 Bài (1,5 đ)Cho a số nguyên Chứng minh rằng: a < ⇔ −5 < a < Bài (1,5đ) Cho a số nguyên Chứng minh rằng: a) Nếu a dương số liền sau a dương b) Nếu a âm số liền trước a âm c) Có thể kết luận số liền trước số dương số liền sau số âm ? Bài (2đ) Cho 31 số nguyên tổng số số dương Chứng minh tổng 31 số dương Bài (2đ)Cho số tự nhiên từ đến 11 viết theo thứ tự tùy ý sau đem cộng với số với số thứ tự ta tổng Chứng minh tổng nhận được, tìm hai tổng mà hiệu chúng số chia hết cho 10 Bài (1,5 đ) Cho tia Ox Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ Ox Vẽ hai tia Oy, Oz cho xOz 1200 Chứng minh rằng: xOy, a) = xOz xOy = yOz b) Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân số góc hợp hai tia cịn lại ĐÁP ÁN Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 295 Bài a)5x = 125 ⇒5x =53 ⇒x =3 b)32x = 81⇒ 32x = 34 ⇒ 2x = 4⇒ x= c)52x −3 − 2.52 = 52.3⇒ 52x −3 = 52.3+ 2.52 ⇒ 52x −3 = 53 ⇒ 2x − = ⇒ x = Bài 2.Vì a số tự nhiên với a ∈ nên từ a < ta ⇒ a = {0,1, 2,3, 4} 1; 2; − 2;3; − 3; 4; − 4} Biểu diễn trục số số lớn -5 Nghĩa a = {0;1; − nhỏ −5 < a < Bài Nếu a dương số liền sau dương Ta có: a) Nếu a dương a > số liền sau a lớn a nên lớn nên số dương b) Nếu a âm số liền trước âm Ta có: Nếu a âm a< số liền trước a nhỏ a nên nhỏ nên số âm Bài Trong số cho có số dương trái lại tất số âm tổng số chúng số âm trái với giả thiết Tách riêng số dương cịn 30 số chia nhóm Theo đề tổng số nhóm số dương nên tổng nhóm số dương tổng 31 số cho số dương Bài Vì có 11 tổng mà có 10 chữ số tận số từ 0,1, nên ln tìm hai tổng có chữ số tận giống nên hiệu chúng số nguyên có tận số chia hết cho 10 Bài Ta có x 'Oy = 600 , x 'Oz = yOz Vậy xOy = yOx '+ x 600 tia=Ox’ nằm hai tia Oy, Oz nên yOz 'Oz = 1200 = zOx Do tia Ox ' nằm hai tia Oy, Oz x 'Oy = x 'Oz nên Ox ' tia phân giác góc hợp hai tia Oy, Oz Tương tự tia Oy ' (tia đối tia Oy) tia Oz ' (tia đối tia Oz) phân giác xOy xOz, Liên tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ... −x ⇒ x 3= −53 Câu số học sinh lớp 10 Số học sinh giỏi cuối năm số học sinh lớp học sinh : − = (số học sinh lớp) 10 10 Số học sinh 6A : : = 40 (học sinh) 10 Câu Số học sinh giỏi kỳ I ababab = ab.10101... 2+3 2+5 + 2+2017 ) 2018 ) (1 +2 ) 2017 Vậy M Bài Gọi số cần tìm abcde4 , ta có: abcde4.4 = 4abcde Đặt abcde⇒= x abcde4 = x4 Ta có: x4.4 = 400 000 x +(10x⇒ ) + 400 000 = x + ⇒ 40x + 16 = 400... AD = 3cm, C điểm tia Ay a)Tính BD = 850 , BCA 500 Tính= ACD b)Biết BCD học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi Liên tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 49 ∈ c)Biết