tuyen tap cac bai toan phuong trinh vo ty hay va kho

Tailieumontoan.com  Nguyễn Công Lợi CHUYÊN ĐỀ TUYỂN TẬP CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ HAY VÀ KHĨ Nghệ An, tháng năm 2019 Website:tailieumontoan.com TUYỂN TẬP CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ HAY VÀ KHĨ LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề tốn THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy em chuyên đề toán phương trình vơ tỷ Chúng tơi kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng tốn phương trình vơ tỷ thường kì thi gần Chuyên đề gồm phần: - Phần 1: Phân tích bình luận, tìm lời giải cho tốn phương trình vơ tỷ - Phần 2: Tuyển tập toán Phương trình vơ tỷ kì thi học sinh giỏi lớp 10 chun mơn tốn Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chun đề phương trình vơ tỷ giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHẦN PHÂN TÍCH VÀ SUY LUẬN TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH Trong nội dung trước tìm hiểu phương pháp giải phương trình vơ tỷ phương trình vơ tỷ có nhiều phưng pháp tiếp cận xử lý Tuy nhiên đứng trước toán phương trình vơ tỷ làm để tiếp cần đưa lời giải cho câu hỏi lớn bỏ ngỏ Với mục đích mở hướng đi, suy nghĩ cần có trước phương trình vơ tỷ chủ đề xin đưa số phân tích suy luận để giải thích lại giải tốn Trong chủ chúng tơi xin giới thiệu số nội dung  Phân tích suy luận đứng trước phương trình vơ tỷ  Lựa chọn phương án hợp lý để tìm lời giải tối ưu  Những hướng tiếp cận khác – khó khăn hướng khắc phục Ví dụ Giải phương trình x2  6x   4x 2x  Phân tích lời giải Trước phương trình vơ tỷ, cho dù chọn phương pháp mục đích cuối làm cho phương trình thức cách đơn giản đơn giản hóa tối đa phương trình Một điều giải phương trình vơ tỷ cần cố gắng nhẩm nghiệm để phán đốn hướng cách đắn Khơng q khó khăn ta nhân thấy phương trình xét có nghiệm x  Phương trình chứa dấu thức bậc hai nên loại bỏ thức bậc hai phương pháp nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ,…  Hướng Trước hết ta có điều kiện xác định phương trình x    Phương trình cho tương đương với x  30x  12x  36x   16x  2x  1  x  20x  46x  36x   Nhận xét x x2  6x   0, x   x  x  1  18x  x  1   x  1      x  18x   x  1   x   2;1;  Tác giả: Nguyễn Công Lợi  TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com   Kết hợp với điều kiện đinh ta thu tập nghiệm S   2;1;  2x  ta biến đổi phương trình thực  Hướng Phương trình có chứa thức đặt ẩn phụ Để ý phương trình x2  4x 2x    2x  1  Khi ta thực phép đặt cho tương đương với 2x   y  y   Lúc phương trình thu x2  4xy  3y2  , phương trình đồng bậc ý đến hệ số ta phân tích x2  4xy  3y2   x  x  y   3y  x  y     x  y  x  3y   x   x   + Trường hợp Với x  y   x  2x      x 1 x      x  2x     x   + Trường hợp Với x  3y   x  2x     x  96 x  18x       Đối chiếu với điều kiện xác định ta có tập nghiệm S   2;1;   Hướng Do phương trình nhẩm nghiệm đẹp x  , ta nghĩ đến phương pháp nhân lương liên hợp để làm xuất nhân tử chung x    4x x    3x  6x     x  1  4x  x  1 x  2x  x  1  x     x     x  1   x  Ta có x      x   2;  Đối chiếu điều kiện ta thu x  18x     ba nghiệm    Hướng Phương trình cho có đại lượng 4x 2x  nên ta nghĩ đến phân tích phương trình dạng A2  B2 A2  B2  Với định hướng ta viết phương trình cho vè dạng sau + Khi viết phương trình dạng A2  B2 ta thấy có khả sau   Với x2  6x   4x 2x   5x  8x   2x  2x  , ta thấy vế trái khơng phân tích thành bình phương   Với x2  6x   4x 2x   2x  16x   x  2x  , ta thấy vế trái khơng phân tích thành bình phương Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  Với x2  6x   4x 2x   x  2x    2x  , dễ thấy 2x     2x  Như ta giải tốn Khả biến đổi viết phương trình dạng A2  B2  khơng thực nên ta trình bày lời giải cho phương trình sau Phương trình cho tương đương với  x  2x  2 x2  4x 2x    2x  1  2x   x  2x   2x     x  2x  x   + Với x  2x     x   2;  x  18x       x  x  + Với x  2x      x1 x      x  2x     Đối chiếu với điều kiện x  , kết luận tập nghiệm S   2;1;  Điều kiện xác định phương trình x          Nhận xét Qua ví dụ ta nhận thấy đứng trước phương trình vơ tỷ lối giải tốn đặt tâm vào nhiều hướng tư Tuy nhiên việc lựa chọn hướng cho đắn phụ thuộc vào q trình phân tích gỡ rối cho hiệu Trong lời giải lời giải có điểm thú vị Do phương trình có nghiệm kép x  nên sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa cách giải gọn gàng   Ví dụ Giải phương trình x2   4x  4x 4x  Phân tích lời giải Phương trình cho ví dụ có hình thức tương tự ví dụ đầu nên ta có hướng tiếp cận lời giải cho phương trình sau Nhẩm số giá trị đặc biệt ta thấy phương trình có hai nghiệm đẹp x  x   Hướng Phương trình cho có chứa thức bậc hai biểu thức ngồi có dạng tam thức bậc hai Do thực phep nâng lên lũy thừa phương trình thu có bậc Chú ý phương trình có hai nghiệm x  x  nên phân tích phương trình thành tích phương trình có chứa nhân tử  x  1 x   nhân tử lại tam thức bậc hai nên ta giải Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với 9x  24x  2x  24x   16x  4x    9x  40x  46x  24x   x    x  1 x   9x  4x     x    Phương trình 9x2  4x   vô nghiệm   Kết hợp điều kiện xác định ta thu tập nghiệm S  1; 3  Hướng Hoàn tồn tương tự ví dụ thứ nhất, phương trình chứa nên ta thực phép đặt 4x  4x   y  y   để đưa phương trình dạng đồng bạc hai, Phương trình cho tương đương với 3x2  4x   4x 4x  Đặt 4x   y  y   , ta thu phương trình x  y 3x2  4xy  y    x  y  3x  y      3x  y Ta xét hai trường hợp sau x    x  1; 3 + Trường hợp Với x  y  x  4x     x  4x   x   + Trường hợp Với 3x  y  3x  4x    , hệ vô nghiệm 9x  4x     So sánh điều kiện xác định ta thu tập nghiệm S  1; 3  Hướng Để ý phương trình ta thấy có đại lượng 4x 4x  lại có 3x2  4x2  x2 nên ta viết phương trình lại thành  4x2  4x 4x   4x   x  2x  4x    x Đến ta có lời giải cho phương trình Phương trình cho tương đương với 3x2  4x   4x 4x   4x2  4x 4x   4x   x  x  4x   2x  4x   x    3x  4x   x   x  1; 3 + Với x  4x     x  4x    Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi  TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  x  + Với 3x  4x    , hệ vô nghiệm 9x  4x     So sánh điều kiện thu tập nghiệm S  1; 3  Hướng Phương trình có hai nghiệm x  x  nên ta sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để làm xuất nhân tử x2  4x     Lại có x  4x  x  4x   x2  4x  Đến ta giải phương trình phương pháp nhân lương liên hợp Điều kiện xác định phương trình x  với   4x x  4x   x  4x     x  4x   + Với x2  4x    x 1; 3  Phương trình cho tương đương  4x x  4x  x  4x   x  4x  4x   3x  x   + Với 3x  4x    , hệ vô nghiệm  9x  4x   Đối chiếu điều kiện ta thu tập nghiệm S  1; 3 Nhận xét Trong ví dụ thứ hai ta lại thấy nhiều hướng tìm lời giải cho tốn Các hướng phân tích có tính hợp lý dựa liên hệ đại lượng cho phương trình lời giải có tính tự nhiên Ví dụ Giải phương trình 3x2  2x    x  1 x2  Phân tích lời giải Phương trình có chứa thức bậc hai nên suy nghĩ đâu tiên tiếp cận phương trình làm triệt tiêu thức bậc hai Chú ý đại lượng nhị thức bậc tam thức bậc hai nên để làm triệt tiêu thức bậc hai ta sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa phép đặt ẩn phụ Nhẩm số giá trị ta nhận x  nghiệm phương trình Do với phương trình ta có số hướng tiếp cận sau  Hướng Nhận thấy đại lượng có ngồi có bậc nhât bậc hai, đại lượng đa thức bậc hai Ngoài để ý đến hệ số cao đại lượng ta thấy nên sử dụng pháp nâng lên lũy thừa phương trình thu phương trình Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com bậc ba Mà phương trình lại có nghiệm x  nên phương trình bậc ba giải Đến ta giải toán Điều kiện xác định phương trình x  1   Để ý 3x2  2x    x  1  x2   với x  1 , phương trình cho tương đương với  3x  2x      x  1 x  2   9x  12x  46x  28x  49  9x  18x  36x  54x  27    6x  10x  26x  22    x  1 6x  4x  22  Dễ thấy phương trình 6x2  4x  22  vơ nghiệm Do từ phương trình ta x  nghiệm phương trình  Hướng Chú ý đến đại lượng  x  1 x2  , để làm triệt têu thức ta sử dụng phép  x  1 đặt ẩn phụ  Khi phương trình viết lại thành    x  1 x2   x   thực đặt ẩn phụ a  x  1; b  x2  ta viết phương trình dạng phương trình đẳng cấp bậc hai Điều kiện xác định phương trình x  1 Phương trình cho tương đương với  x  1     x  1 x2   x   Đặt a  x  1; b  x2   Khi phương trình trở thành a  b a  3ab  2b2    a  b  a  2b     a  2b Ta xét hai trường hợp  x  1 x     x  + Với a  b ta x   x     2 2x    x  1  x   x  1 x     + Với a  2b ta x   x    , hệ vô  2  3x  2x  11    x  1  4x  12 nghiệm Kết hợp với điều kiện xác định ta x  nghiệm phương trình Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  Hướng Lại để ý đến đại lượng  x  1 x2  ta nghĩ đến phân tích phương trình dạng hiệu hai bình phương Phương trình cho tương đương với 12x  8x  28  12  x  1 x       x  2x   12  x  1 x   x   x    2x   x    x2    2x   x   x  x   x     2x   x    x  x   x     x  1 x   + Với a  b ta x   x      x   2 2x    x  1  x  + Với a  2b ta hệ vô nghiệm Kết hợp với điều kiện xác định ta x  nghiệm phương trình  Hướng Chú ý phương trình có nghiệm x  nên ta nghĩ đến phương pháp nhân đại lượng liên hợp để tạo nhân tử chung x  Phươg trình cho tương đương với    x  1   x  1 x   4x    x  1 x   x    x  1     x  1 x   x  x   x  x   x2     x  1 x       x  1    x   4 x   x2   x 1 x   x  1 x  1 + Khi x    x  , thỏa mãn điều kiện xác định + Khi  x  1  x     x   x2    , hệ vô nghiệm  x   x2  3x  2x  11  Vậy phương trình cho có nghiệm x   Nhận xét Về mặt hình thức phương trình cho ví dụ ba hồn tồn tương tự ví dụ nên hướng tiếp cận phương trình hồn tồn tự nhiên Ví dụ Giải phương trình 7x  Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi   x2  x  x TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Phân tích lời giải Phương trình cho ví dụ có hình thức tương tự ví dụ ta có hướng tiếp cận phương trình sử dụng phép nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ đưa phương trình dạng đẳng cấp, phân tích phương trình thành tích,…  Hướng Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với 7x2  x   7x x2  x   x2  x   7x x2  x   6x2  Đặt t  x2  x   , phương trình trở thành t  x t  7xt  6x    t  x  t  6x      t  6x x  x   , hệ vô nghiệm x2  x   x    x  x   x x    + Với t  x ta + Với t  6x hay x   281  x2  x   6x   x 70  x  x   36x Vậy phương trình cho có nghiệm x   281 70  Hướng Phương trình cho tương đương với 7x2  x   7x x2  x   28x2  4x   28x x2  x      x  x   28x x  x   49x  25x  x  x   7x + Với + Với    5x  2  x  x   7x  5x  x  x   6x    x  x   7x  5x  x2  x   x    x  x  x2  x   x    , hệ vô nghiệm   x   x  x   x    281 x  x  x2  x   6x    x  2 70   x  x   36x 35x  x    281 70  Hướng Dễ thấy 7x2  x   với x  Khi phương trình cho tương Vậy phương trình cho có nghiệm x  đương với  7x  x     7x x  x    49x  14x  29x  4x   49x x  x    2   35x  69x  4x     x   35x  x   Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC ... Website:tailieumontoan.com TUYỂN TẬP CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ HAY VÀ KHÓ LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu... trình cho trở thành ab  x  24 hay 2ab  2x  48 Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Kết hợp hai kết ta  a  b    a  b  3 hay ta + Với + Với  48  8x... 16 Website:tailieumontoan.com   Từ ta       4 x x  2x Như để phương trình xẩy dấu bằng, tức  2x x  2x        1    1 x   x   x  2x   hay ta x  2x  x  2x