ĐỀ TÀI KHÔNG GIAN VÉC TƠ VÀ áp DỤNG

→ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI - - BÀI THẢO LUẬN ĐỀ TÀI: “KHÔNG GIAN VÉC-TƠ VÀ ÁP DỤNG” GIẢNG VIÊN GIẢNG DẠY : CÔ NGÔ THỊ NGOAN MÃ HỌC PHẦN: 2189AMAT1011 NHĨM THỰC HIỆN: NHĨM MƠN HỌC: TOÁN ĐẠI CƯƠNG MỤC LỤC MỤC LỤC…………………………………………………………………………… MỞ ĐẦU…………………………………………………………………………… Lý chọn đề tài………………………………………………………………… Mục đích nghiên cứu…………………………………………………………… 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu……………………………………………… Phương pháp nghiên cứu………………………………………………………… Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài………………………………………… NỘI DUNG………………………………………………………………………… CHƯƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN……………………………… Khái niệm phép toán vectơ ………………………………………… 1.1 Vectơ n chiều…………………………………………………………………… 1.2 Các phép toán vectơ n chiều ………………………………………… Hệ vectơ độc lập, phụ thuộc tuyến tính ………………………………… 2.1 Khái niệm ……………………………………………………………………… 2.2 Dấu hiệu nhận biết…………………………………………………………… Hạng sở vectơ ………………………………………………………… 3.1 Cơ sở hạng hệ vectơ……………………………………………… 3.2 Các phép biến đổi sơ cấp hệ vectơ……………………………….8 Không gian vectơ………………………………………………………………… 4.1 Cơ sở không gian Rn ……………………………………………………….9 4.2 Phép đổi sở ………………………………………………………………… 10 4.3 Khơng gian tuyến tính sinh hệ vectơ ……………………………… 10 4.4 Biểu diễn tuyến tính …………………………………………………………….11 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA VECTO ………………………………………….12 Ứng dụng giải toán ……………………………………………………… 12 Ứng dụng đời sống ………………………………………………………….20 KẾT LUẬN…………………………………………………………………………….26 BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ………………………………………………… 27 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vectơ khái niệm trừu tượng Để nắm kiến thức vectơ địi hỏi người học phải có tư logic, khả sáng tạo biết vận dụng liên hệ với thực tế Kiến thức vectơ phổ thông định nghĩa, phép toán để vận dụng giải số toán vectơ không gian, phương pháp tọa độ không gian Đây phần kiến thức vectơ ứng dụng hình học vectơ Khi lên Đại học buộc ta phải tìm hiểu sâu kiến thức Ngồi ứng dụng hình học, vectơ cịn có ứng dụng vật lí, đạo hàm tích phân Hàm vectơ mở rộng khái niệm vectơ cách đặt tương ứng giá trị vectơ, vectơ xem hàm vectơ Ứng dụng hàm vectơ vận dụng để giải nhiều toán Vật lí Là sinh viên với mong muốn tìm hiểu sâu sắc hàm vectơ ứng dụng hàm vectơ nhằm có nhìn tồn diện từ đưa cách truyền đạt để người nắm bắt tiếp cận kiến thức vectơ cách dễ dàng, nhóm định chọn đề tài:“Không gian vectơ áp dụng” Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại kiến thức vectơ - Phát biểu khái niệm hàm vectơ kiến thức liên quan đến hàm vectơ như: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến… - Hệ thống phân loại số tốn giải cách sử dụng kiến thức hàm vectơ Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các kiến thức vectơ - Các kiến thức hàm vectơ ứng dụng hàm vectơ - Các tốn giải cách sử dụng kiến thức hàm vectơ Phương pháp nghiên cứu Với đề tài: “Không gian vectơ áp dụng” sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: + Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu liên quan đến nội dung đề tài + Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài + Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến bạn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Hệ thống kiến thức vectơ, khái niệm hàm vectơ số kiến thức liên quan hàm vectơ nhằm phục vụ cho đề tài - Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng tài liệu tham khảo cho sinh viên đối tượng quan tâm đến kiến thức vectơ NỘI DUNG CHƯƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN Khái niệm phép toán vectơ 1.1 Vectơ n chiều Định nghĩa 1: Một n số thực xi (i = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 xếp thành dịng, có tính đến thứ tự gọi vectơ n chiều) X = (x1, x2, , xn) Số thực xi (i = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛) gọi thành phần thứ i vectơ X Các vectơ xếp theo cột, ta nói rõ "vectơ cột" Nhận xét Như vậy, vectơ dòng n chiều ma trận cỡ × n Mỗi vectơ cột n chiều ma trận cỡ n×1 Nói cách khác, vectơ trường hợp riêng ma trận Do đó, nhiều nội dung vectơ biết qua phần ma trận Dù vậy, để dễ theo dõi ta nhắc lại số nội dung Định nghĩa • Hai vectơ n chiều gọi thành phần tương ứng chúng nhau: X = (x1, x2, , xn); Y = (y1, y2, , yn) X = Y ⇔ xi = yi , ∀i (i = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛) • Vectơ n chiều có thành phần 0: 0n := (0, 0, , 0) gọi vectơ khơng, kí hiệu 0n hay đơn giản • Vectơ −X = (−x1, −x2, , −xn) gọi vectơ đối X = (x1, x2, , xn) 1.2 Các phép toán vectơ n chiều a Phép cộng, phép trừ Cho hai vectơ n chiều X = (x1, x2, , xn), Y = (y1, y2, , yn) Tổng hai vectơ X Y vectơ n chiều, kí hiệu xác định sau: X + Y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) X − Y = X + (−Y ) = (x1 − y1, x2 − y2, , xn − yn) b Phép nhân vectơ với số thực Tích vectơ n chiều X = (x1, x2, , xn) số thực α vectơ n chiều, kí hiệu αX, xác định sau: αX = (αx1, αx2, , αxn) Các tính chất hai phép tính Với X, Y, Z vectơ số chiều α, β số thực, ta có: X + Y = Y + X, (X + Y ) + Z = X + (Y + Z), X + = X, X + (−X) = 0, 1.X = X, α(X + Y ) = αX + αY , (α + β)X = αX + βX, (αβ)X = α(βX) Hai phép toán cụ thể hóa phép tốn tương ứng ma trận cho trường hợp riêng vectơ Còn phép nhân vô hướng sau phát biểu riêng cho vectơ Tuy nhiên, chương trình ta khơng trực tiếp dùng đến phép tốn Định nghĩa Cho hai vectơ n chiều X = (x1; x2; ; xn); Y = (y1; y2; ; yn) Số thực có kí hiệu độ lớn, xác định sau gọi tích vơ hướng X Y: < X, Y >:= x1y1 + x2y2 + + xnyn Hệ vectơ độc lập, phụ thuộc tuyến tính 2.1 Khái niệm Tổ hợp tuyến tính vecto Định nghĩa 4: Cho m vecto, vecto có n chiều: X1, X2,…, Xm Một tổng có dạng X= k1X1 + k2X2 + … + kmXm (ki ∈ R, i= 1,2,…,m) Được gọi tổ hợp tuyến tính m vecto cho Trong trường hợp này, ta nói X biểu diễn qua m vecto Đặc biệt: X = kY Y = hX ta nói X Y tỉ lệ với Biểu thức dạng tuyến tính hiểu tổng, số hạng chứa biến ( vecto ) với bậc mũ Tính độc lập, phụ thuộc tuyến tính Cho hệ m vecto n chiều { X1; X2;…; Xm } gọi phụ thuộc tuyến tính tồn m số thực k1, k2,…, km, khơng đồng thời ( có số khác ) cho k1X1 + k2X2 +…+ kmXm = Nếu hệ thức thỏa mãn k1 = k2 =….= km = hệ m vecto noi gọi độc lập tuyến tính Ví dụ: Cho ba vecto: X1 = (1,-1, 3); X2 = (2,4,1); X3 = (-2,2,-6) Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ sau { X1 } { X1, X3 } {X1, X2, X3 } Giải: Giả sử, k1X1 = k1X1 =  k1 (1,-1,3) = (0,0,0) 𝑘1 {−𝑘1  k1 = 3𝑘1 Hệ {X1} độc lập tuyến tính Giả sử, k1X1 + k2X2 =  k1 (1,-1,3) + k2 (2,4,-1) = = (0,0,0) 𝑘1 + 2𝑘2 =  {−𝑘1 + 4𝑘2 = 3𝑘1 − 𝑘2 = { 𝑘1 + 2𝑘2 = 6𝑘2 = −7𝑘2 = 𝑘1 =  { 𝑘2 = Hệ {X1, X2 } độc lập tuyến tính Để tránh việc giải hệ phương trình ta xét hệ { X1, X2, X3 } theo cách khác: ta thấy X3 = -2X1 hay 2X1 + 0X2 + X3 = Bộ ba k1 = 2, k2 = 0, k3 = không đồng thời 0, thỏa mãn định nghĩa Hẹ { X1, X2, X3 } phụ thuộc tuyến tính 2.2 Dấu hiệu nhận biết Cách xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính theo định nghĩa dẫn tới việc giải hệ phương trình Để tránh điều phức tạp đó, nhiều trường hộp ta dùng dấu hiệu sau Ta cần đến khái niệm “hệ con”: từ hệ m vecto lấy r ( r ≤ m ) vecto, ta gọi hệ r vecto hệ hệ m vecto Hệ gồm vecto độc lập tuyến tính vecto khác khơng Hệ gồm hai vecto độc lập tuyến tính hai vecto khơng tỉ lệ Hệ chứa vecto khơng hệ phụ thuộc tuyến tính Một hệ vecto chứa hai vecto tỉ lệ hệ phụ thuộc tuyến tính Một hệ vecto phụ thuộc tuyến tính có vecto hệ tổ hợp tuyến tính vecto cịn lại Một hệ vecto chứa hệ phụ thuộc tuyến tính hệ phụ thuộc tuyến tính Một hệ vecto độc lập tuyến tính hệ độc lập tuyến tính Hệ có số vecto lớn số chiều vecto (m > n) hệ phụ thuộc tuyến tính Ví dụ: cho vecto chiều: X1 = (1,2,3) ; X2 =(2,1,-1) ; X3 = (3,3,2) ; X4 = (4,5,5) Bằng dấu hiệu ta thấy rằng: Hệ { X1 } độc lập tuyến tính ( X1≠ 0) Hệ { X1, X2 } độc lập tuyến tính ( X1, X2 khơng tỉ lệ ) Hệ { X1, X2, X3 } phụ thuộc tuyến tính ( X1 + X2 = X3 ) Hệ { X1, X2, X3, X4 }là phụ thuộc tuyến tính ( m > n ) Hạng sở vectơ Xét hệ m vector n chiều: {X1, X2, …, Xm}; Xi ℝn (i = 1; 2; …; m) 3.1 Cơ sở hạng hệ vectơ Định nghĩa 5: Cho hệ m vector n chiều Một hệ gồm r vector gọi hệ ĐLTT cực đại hệ ĐLTT khơng thể bổ sung thêm vào hệ từ số vector lại để hệ ĐLTT có số vector nhiều Định nghĩa 6: Mỗi hệ ĐLTT cực đại hệ vector gọi sở hệ vector Định nghĩa 7: Mỗi hệ vector có nhiều sở khác nhau, số lượng vector sở Hạng hệ vector số lượng vector sở hệ Kí hiệu hạng hệ: r{X1; X2; …; Xm} 3.2 Các phép biến đổi sơ cấp hệ vectơ Định nghĩa 8: Ba phép biến đổi sau gọi ba phép biến đổi sơ cấp hệ vector:  Đổi chỗ hai vector hệ  Nhân vector với số khác không  Nhân vector hệ với số cộng vào vector khác hệ Ta dễ thấy kết sau: Định lý : Ba phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng hệ vector Hệ : Hạng hệ vector không đổi thêm vào hệ (hoặc bớt vector tổ hợp tuyến tính vector hệ Khơng gian vectơ 4.1 Cơ sở không gian Rn Ta biết hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính số vectơ lớn số chiều Do đó, hệ độc lập tuyến tính cực đại Rn chứa không n vectơ Mặt khác, Rn có khơng n vectơ độc lập tuyến tính, hệ n vectơ đơn vị e1 = (1, 0, , 0) e2 = (0, 1, , 0) … en = (0, 0, , 1) độc lập tuyến tính Từ đó, ta có kết Mệnh đề : Mỗi sở khơng gian Rn có n vectơ độc lập tuyến tính ngược lại, hệ n vectơ độc lập tuyến tính sở khơng gian Rn Các kết sau tương tự hệ có m (hữu hạn) vectơ: - Cơ sở đơn giản khơng gian Rn coi hệ vectơ đơn vị {e1, e2, , en} Ta gọi sở đơn vị không gian Rn - Giả sử {p1, p2, , pn} sở khơng gian Rn Khi vectơ X ∈ Rn tương ứng với n số thực có tính đến thứ tự (k1, k2, , kn), cho X = k1p1 + k2p2 + · · · + knpn Bộ n số thực có xếp thứ tự (k1, k2, , kn) gọi toạ độ vectơ X sở nói không gian Rn Lưu ý rằng, {p1, p2, , pn} sở khơng gian Rn (k1, k2, , kn) biểu diễn toạ độ vectơ X - Tọa độ vectơ thay đổi tuỳ theo sở dùng để biểu diễn tuyến tính vectơ - Như vậy, ta coi khơng gian Rn tập hợp tất n số thực có thứ tự (k1, k2, , kn) với hai phép tốn tuyến tính ma trận (Bộ số ma trận cỡ × n) 4.2 Phép đổi sở Trong Rn có vơ số sở Giữa sở có mối liên hệ tuyến tính với nhau, theo nghĩa: Nếu cho trước hai sở E = {e1, e2, , en} F = {f1, f2, , fn} tồn ma trận không suy biến S = (sij )n×n, cho F = S’E, tức f1 = s11e1 + s21e2 + + sn1en , f2 = s12e1 + s22e2 + + sn2en , fn = s1ne1 + s2ne2 + + snnen Ngược lại, E sở Rn , S không suy biến F xác định theo E hệ F sở Rn Ma trận S gọi ma trận đổi từ sở E sang sở F Khi đó, vectơ cột có toạ độ sở E X = (x1, x2, , xn)’ sở F toạ độ vectơ cột Y = S−1X Phép đổi sở kéo theo thay đổi toạ độ vectơ (và ngược lại) Đẳng thức X = SY hay Y = S−1X quan hệ tuyến tính (các biến X, Y có bậc mũ 1) Ta nói thực phép biến đổi tuyến tính từ biến vectơ X sang biến vectơ Y (hay ngược lại) với ma trận phép biến đổi S 4.3 Không gian tuyến tính sinh hệ vectơ Định nghĩa 9: Cho hệ m vectơ X1, X2, , Xm có số chiều (không cần nhiêu) Giả sử r{X1, X2, , Xm} = r Khi tập tất tổ hợp tuyến tính chúng: L := {k1X2 + k2X2 + + kmXm | k1, k2, , km ∈ R} tạo thành không gian vectơ r chiều Ta nói khơng gian L = R r không gian vectơ sinh hệ m vectơ {X1, X2, , Xm} Mỗi sở hệ {X1, X2, , Xm} sở không gian R Lưu ý: Giả sử r{X1, X2, , Xm} = r {Xi1 , Xi2 , , Xir } sở hệ cho, đồng thời sở R r Khi đó, sở véctơ X ∈ R r biểu diễn cách dạng X = k1Xi1 + k2Xi2 + + krXir 10 Xét phương trình: k1 = 2.k3 → Phương trình có vơ số nghiệm Lấy k3 ≠ → Ta có nghiệm k1, k3 ≠ → Hệ {𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 } phụ thuộc tuyến tính b x1 = (1, 0, 1); x2 = (5, 6, 1); x3 = ( 5, 6, 1) Xét: x1.k1 + x2.k2 +x3.k3 = 𝑘1 + 𝑘2 − 𝑘3 = → { 𝑘1 + 𝑘2 − 𝑘3 = 𝑘2 − 𝑘3 = →{ 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘3 Xét phương trình: k2 = k3 → Phương trình có vơ số nghiệm Lấy → k3 ≠ →Ta có nghiệm k2, k3≠ → Hệ {𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 } phụ thuộc tuyến tính c x1 = (1, 2, 5); x2 = (2, 0, 1) Xét: x1.k1 + x2.k2 = 𝑘1 + 𝑘2 = → {5 𝑘1 + 𝑘2 = 𝑘2 = →{ 𝑘1 = 𝑘2 = → Hệ có nghiệm k1 = k2 = → Hệ {𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 } độc lập tuyến tính d x1 = (1, 1, 1); x2 = (3, 2, 0); x3 = (5, 1, 0) Xét: x1.k1 + x2.k2 + x3.k3 = 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 = → { −𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 = 𝑘1 = → { 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘3 = → Hệ có nghiệm k1 = k2 = k3 = → Hệ {𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 } độc lập tuyến tính e x1 = (1, 0, 0); x2 = (2, 3, 2); x3 = (3, 3, 2) Xét: x1.k1 + x2.k2 + x3.k3 = 13 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 = → { 𝑘2 − 𝑘3 = 𝑘1 = → { 𝑘1 = −5 𝑘2 (*) 𝑘2 = 𝑘 → Từ hệ phương trình (*), ta có nhiều nghiệm với k1, k2 , k3 ≠ → Hệ {𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 } phụ thuộc tuyến tính Bài Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính hệ {X1, X2 X3}, biết: vector A1, A2, A3 độc lập tuyến tính X1 = A1 +4 A2 + 6.A3; X2 = 3.A1 - 4.A2 - 6.A3; X3 = A1 Lời giải Xét: k1 X1 + k2 X2+ k3 X3 = → k1 ( A1 + 4.A2 + 6.A3)+ k2 (3.A1 - 4.A2 - 6.A3)+ k3.A1 =0 → (k1 + 2.k2 + 3.k3).A1 + (4.k1 - 4.k2).A2+ (6.k1 - 6.k2).A3 = Do {A1 , A2, A3} độc lập tuyến tính 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 = → { 4𝑘1 − 𝑘2 = 6𝑘1 − 𝑘2 = → { 𝑘1 = 𝑘2 𝑘3 = −4 𝑘1 = −4𝑘2 Hệ có vơ số nghiệm với k1 , k2, k3 ≠0 → Hệ {X1, X2 X3} phụ thuộc tuyến tính Dạng 2: Tìm hạng sở vector  Phương pháp Cho hệ m vector n chiều {X1, X2, …, Xm}, giả sử r{X1, X2, …, Xm}= r Khi ta tìm sở hệ vector cách sau: Bước 1: Xếp vector theo cột biến đổi theo dịng (hoặc xếp theo dịng biến đổi sơ cấp theo cột) Bước 2: Đưa ma trận dạng đặc biệt (dạng tam giác/dạng hình thang) Bước 3: Mỗi định thức cấp r khác tương ứng với sở gồm vector cột (hoặc dòng) định thức Bài Tìm hạng sở hệ vector 14 a X1 = (1, 0, 0); X2 = ( 1, 2, 6); X3 = (1, 2, 10) b X1 = (3, 5, 5); X2 = (1, 0, 0); X3 = (5, 8, 8) Lời giải a (0 −1 1 D3D   (0 2) 10 | | | → 𝐷3 = 0 −1 2 −1 2) = B 2| = ≠ → r(B) = r(A) = → {X1, X2, X3} sở b A = (−5 −5 0 C  8) C → |D2| = | |=5≠0 −5 (0 −5 −5 D D ) (     8 3 −5 8)=B → r(B) = r(A) = → {X1, X2} sở Bài Ba vector a1, a2, a3 sở không gian ℝ3 Cho: b1 = a1 + a2 + a3 b2 = a2 + a3 a Hệ {b1, b2, b3} độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính b Tính hạng hệ {a2, a3, b2, b3} Lời giải a Xét: k1.b1 + k2.b2 + k3.b3 = 15 b3 = a2 - a3 → k1.a1 + k1.a2 + k1.a3 + k2.a2 + k2.a3 + k3.a2 k3.a3 = k1.a1 + (k1 + k2 + k3).a2 + (k1-k3).a3 = Vì hệ {a1, a2, a3} độc lập tuyến tính 𝑘1 = → {𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 = 𝑘1 − 𝑘3 = k1 = k2 = k3 = → Hệ {b1, b2, b3} độc lập tuyến tính b Vì: { 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑎3 mà hệ {a2, a3} độc lập tuyến tính 𝑏3 = 𝑎2 − 𝑎3 → {a1, a2} hệ độc lập tuyến tính lớn hệ {a2, a3, b2, b3} → {a1, a2} sở hệ {a2, a3, b2, b3} → r{a2, a3, b2, b3} = Dạng 3: Biểu diễn tuyến tính vector theo vector khác Bài 1: Tìm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: (x1, 40) - (2.x1-x2) = -2.(4, x2) Lời giải Ta có: (x1, 40) - (2.x1-x2) = -2.(4, x2) →{ 𝑥1 − 2𝑥1 = −8 40 + 𝑥2 = −2𝑥2 ⇔ { −𝑥1 = −8 −3𝑥2 = 40 ⇔ { 𝑥1 = 𝑥2 = −40 Bài 2: Tìm vecto X từ phương trình: 3(A1 - X) + (2A2 + X) = 5(A3 + X), với: A1 = (2, 5, 1, 3) ; A2 = (10, 1, 3, 10) ; A3 = (4, 1, -1, 1) Lời giải Ta có: 3(A1 - X) + 2(A2 + X) = 5(A3 + X) ⇔ 3A1 + A2 - 5A3 = 6X 16 Giả sử X = (a, b, c, d) → (2, 5, 1, 3) + (10, 1, 3, 10) - (4, 1, -1, 1) = 6(a, b, c, d) 𝑎= 6+20−20 6(3,0,λ−6) 15+2+5 𝑏= ⇔ 𝑐= {𝑑= 3+6+5 9+20−5 =1 =2 = 𝟕 → X = (1, 2, , 4) 𝟐 =4 Bài 3: Với giá trị λ vector X tổ hợp tuyến tính vector X1, X2, biết X = (3, 0, λ - 6) ; X1 = (1, 0, 0) ; X2 = (5, 1, 2) Lời giải Vì X tổ hợp tuyến tính vector X1, X2 → X = k1.X1 + k2.X2 ⇔ (3, 0, λ-6) = k1.(1, 0, 1) + k2.(5, 1, 2) 𝑘1 + 5𝑘2 = 𝑘1 = 𝑘2 = ⇔{ ⇔ { 𝑘2 = 2𝑘2 = λ − →λ=6 → λ = để vector X tổ hợp tuyến tính vector X1, X2 BÀI TẬP THÊM Bài 1: Trong không gian vector M2( R), xét ĐLTT, PTTT vector sau: ); B = ( ) A=( 2 Lời giải Xét: t.A + k.B = → t.( ⇔ { 1 0 ) + k.( )=( 2 𝑡=0 𝑘=0 → 𝑘 )⇔ ( 2𝑡 + 2𝑘 𝑡 ) 𝑡 + 3𝑘 = ( Hệ A, B độc lập tuyến tính Bài 2: Cho X1 = (2, 1, 0, -3) ; X2 = (1, 0, 4, -2) ; X3 = (3, 2, 1, 0) ; X4 = (0, -1, 3, k) 17 0 ) Tìm hạng xét tính ĐLTT, PTTT hệ {𝐗 𝟏 , 𝐗 𝟐 , 𝐗 𝟑 , 𝐗 𝟒 } Lời giải −1 − ) = r( ) r{𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , 𝑋4 } = r( 4 −3 − k −3 − k −1 = r( −2 = r( 0 0 −1 ) 𝑘−3 = r( 0 0 −1 −1 ) −5 𝑘+5 −1 −1 ) −5 𝑘+5  Với k = -5 → r = < (số vector) → Hệ {𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , 𝑋4 } phụ thuộc tuyến tính  Với k ≠ -5 → r = → Hệ {𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , 𝑋4 } độc lập tuyến tính Bài 3: Trong R3 cho hệ vector u1 = (1, 2, 1), u2 = (2, -2, 1), u3 = (3, 2, 2) (U) Chứng minh (U) sở R3 Lời giải Lập ma trận U mà dòng U vector u1, u2, u3 |U| = |2 − 1| = (-2.2.1 + 2.2.1 + 2.3.1) - (-2.1.3 + 2.2.2 + 1.2.1) = 2 Ta có detU = ≠ → Hệ vector u1, u2, u3 độc lập tuyến tính chiều R3 = → u1, u2, u3 sở R3 Bài 4: Trong R3 cho vector b1 = (1, 1, 2), b2 = (2, 3, 5), b3 = (3, 4, 8), x = (11, 13, 29) a, Chứng tỏ (B) = (b1, b2, b3)là sở R3 b, Tìm tọa độ x (B) 18 Lời giải a, (B) gồm vector R3, xếp b1, b2, b3 thành dòng ta định thức: |B| = |2 3 5| = ≠ → (B) độc lập tuyến tính → (B) sở R3 b, Giả sử x1, x2, x3 tọa độ tương ứng x (B) Ta có: [𝑥](𝐵) = (x1, x2, x3) ⇔ x = x1.b2 + x2.b2 + x3.b3 ⇔ (11, 13, 29) = (x1, x1, 2.x1) + (2.x2, 3.x2, 5x2) + (3x3, 4.x3, 8.x3) 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 11 ⇔ { 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 13 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 29 𝑥1 = → {𝑥2 = −3 𝑥3 = → Tọa độ x sở (B) [𝒙] = (2, -3, 5) Bài 5: Đặt P không gian sinh hệ vector: U = {𝐮𝟏 = (𝟏, −𝟐, 𝟓, −𝟑), 𝐮𝟐 = (𝟐, 𝟑, 𝟏, −𝟒), 𝐮𝟑 = (𝟑, 𝟖, −𝟑, −𝟓)} Tìm sở P Lời giải Vì tọa độ u1, u2, u3 không tỷ lệ với nên hệ {𝑢1 , 𝑢2 } đơc lập tuyến tính 𝑘1 + 2𝑘2 + 3𝑘3 = −2𝑘1 + 3𝑘2 + 8𝑘3 = Xét: k1u1 + k2u2 + k3u3 = → { 5𝑘1 + 𝑘2 − 3𝑘3 = −3𝑘1 − 4𝑘2 − 5𝑘3 = −2 Xét 𝐴̅ = ( −3 −4 0 | ) →( −3 0 −5 0 14 | ) − − 18 19 → ( 0 −1 | ) −2 ( 0 → 𝑘 + 2𝑘2 + 3𝑘3 = → { 𝑘2 + 2𝑘3 = → 0 | ) 0 00 Hệ có vơ số nghiệm → Hệ {𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 } phụ thuộc tuyến tính → {𝑢1 , 𝑢2 } hệ vector cực đại U → Hệ {𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 } sở P Ứng dụng đời sống Trong kiến trúc xây dựng - Trong xây dựng cầu đường: tính tốn độ dốc - Trong xây dựng móng:Kiến trúc sư ứng dụng vectơ để tìm điểm đặt, lực tác dụng nào, tính tổng lực tác dụng lên móng phải thiết kế để làm giảm thiểu trình sụt lún đất, xây dựng cơng trình vững Điều hướng di chuyển, định vị vị trí khơng gian  Thuyền buồm:Hướng gió độ mạnh yếu gió tác động trực tiếp vào cánh buồm Vì để di chuyển theo ý muốn phải xác định độ mạnh yếu, hướng gió tác động lên cánh buồm thuyền chuyển động hướng nhanh Điều cần sử dụng công cụ vectơ Hay máy bay,vũ khí khơng người lái…  Vectơ ứng dụng việc cài đặt dẫn phần mềm đường  Phương pháp thiết kế tuyến đường thông qua lý thuyết vectơ điểm: Một tuyến hình học thực tế thiết kế với lý thuyết vectơ điểm.Ưu điểm lý thuyết vectơ điểm xác định tọa độ điểm tuyến đường dựa theo vectơ, thuận tiện việc chuyển hóa thành giải thuật việc lập trình Đồng thời áp dụng lý thuyết vectơ điểm vào ngơn ngữ lập trình Fơtran - vốn phần mềm lập trình thiên tính tốn lâu đời sử dụng rộng rãi giới nghiên cứu học thuật nên phần mềm phát triển nhiều khơng khó để tìm thấy lượng lớn thuật tốn hàm hữu ích Fơtran mạng Internet Trong y học Trong sinh học, vectơ thứ mang mầm bệnh vật liệu sinh học khác từ nơi sang nơi khác Vectơ khơng gây bệnh tình trạng trực tiếp Nó mang Trong vật lý, vectơ đường thẳng có cường độ hướng Trong vật lý sinh học, định nghĩa vectơ ngụ ý chuyển động Khi nhà dịch tễ học nói vectơ, họ thường thảo luận sinh vật mang virút nhiễm khuẩn vật chủ Ví dụ, muỗi vec tơ cho bệnh sốt rét Nó 20 mang ký sinh trùng sốt rét từ người sang người khác Muỗi vectơ cho virus Zika Zika bệnh nhiễm trùng gây vấn đề nghiêm trọng thai kỳ Đặc biệt, gây tổn hại đến thai nhi Zika lây truyền qua đường tình dục Các lồi muỗi khác vectơ cho số bệnh nhiễm trùng Các loại động vật chân đốt khác có khả vectơ gây bệnh Chúng bao gồm ruồi cát, chấy, bọ chét ve Bệnh sốt xuất huyết: người ta xem đường truyền bệnh vectơ xem xét hướng phát triển khác chúng để tìm cách kiềm chế dập tắt dịch bệnh Ứng dụng vật lý Mô toán vật lý vectơ 1.1 Vectơ biểu diễn đại lượng vật lý có hướng Các đại lượng vật lý có hướng sử dụng tốn vectơ để biểu diễn như: vận tốc, gia tốc, độ dời, loại lực, động lượng, cảm ứng từ,… Biểu diễn đại lượng vật lý có hướng cách xác định độ lớn: Để biểu diễn đại lượng vật lý có hướng vật lý cần xác định phương, chiều điểm đặt ( thường đặt vào vật chất điểm mà ta xét ) +Phương : có hai phương phương thẳng đứng phương nằm ngang , phương khác xác định góc α ( ≤α ≤1800 ) hợp với phương thẳng đứng phương nằm ngang Độ lớn vectơ hình chiếu vectơ lên phương cho trước Ví dụ: chọn trục tọa độ trục Oy có chiều dương hướng lên trên, biểu diễn vectơ lực𝐹⃗ có điểm đặt gốc O tính độ lớn lực 𝐹⃗ trường hợp: a) 𝐹⃗ có phương thắng đứng chiều hướng xuống: 𝛼 = 1800 v + Độ lớn lực 𝐹⃗ tổng quát là: Fcosα 1.2 Vectơ hướng ánh sáng truyền không gian Ánh sáng Mặt Trời dạng nguồn chiếu sáng tự nhiên nhân tạo khác tạo sóng ánh sáng có vectơ điện trường dao động mặt phẳng vng góc với hướng truyền sóng Nếu vectơ điện trường hạn chế dao động mặt phẳng lọc chùm tia với chất liệu đặc biệt, ánh sáng xem phân cực phẳng, hay phân cực thẳng hướng truyền, tất sóng dao động mặt phẳng gọi mặt phẳng song song, hay mặt phẳng phân cực 21 Mắt người khơng có khả phân biệt ánh sáng định hướng ngẫu nhiên ánh sáng phân cực, ánh sáng phân cực phẳng phát qua cường độ hiệu ứng màu, ví dụ giảm độ chói mang kính râm Trong thực tế, người phân biệt ánh sáng thực độ tương phản cao nhìn thấy kính hiển vi ánh sáng phân cực hình ảnh tương tự mẫu vật ghi kĩ thuật số (hoặc phim) chiếu lên hứng với ánh sáng không phân cực Ý niệm phân cực ánh sáng chùm ánh sang không phân cực tới hai phân cực thẳng Vectơ điện trường vẽ chùm ánh sáng tới dạng sóng sin dao động theo hướng (360 độ, có sóng, cách 60 độ vẽ hình) Trong thực tế, vectơ điện trường ánh sáng tới dao động vng góc với hướng truyền với phân bố mặt phẳng trước chạm phải phân cực thứ Các phân cực thực lọc gồm phân tử polymer chuỗi dài định theo hướng Chỉ có ánh sáng tới dao động mặt phẳng với phân tử polymer định hướng bị hấp thụ, cịn ánh sáng dao động vng góc với mặt phẳng polymer truyền qua lọc phân cực thứ Hướng phân cực phân cực thứ thẳng đứng nên chùm tia tới truyền qua sóng có vectơ điện trường thẳng đứng Sóng truyền qua phân cực thứ sau bị chặn lại phân cực thứ hai, phân cực định hướng ngang vectơ điện trường sóng ánh sáng Ý tưởng sử dụng hai phân cực định hướng vng góc với thường gọi phân cực chéo sở cho ý tưởng kính hiển vi ánh sáng phân cực Bài tốn 1: Tìm vận tốc gia tốc dọc theo đường cong khơng gian Tìm vectơ vận tốc, tốc độ vectơ gia tốc hạt di chuyển dọc theo đường cong t t không gian C mô tả r⃗⃗(t) = sin ⃗i + cos ⃗j 2 Lời giải ⃗⃗⃗(t)=cos 𝑡 𝑖⃗-sin 𝑡 𝑗⃗ Vectơ vận tốc 𝑣⃗(t)=𝑟’ 2 Tốc độ ||𝑟⃗(t)|| =√𝑐𝑜𝑠 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 =1 Vectơ gia tốc ⃗⃗⃗⃗(t)= - 1cos 𝑡 − 𝑖⃗ sin 𝑡 𝑗⃗ ⃗⃗⃗⃗(t)=𝑟” 𝑎 2 2 Phương trình tham số đường cong 𝑡 𝑡 2 x=2 sin y=2 cos Bằng cách khử tham số t, ta phương trình đại số x2 + y2 = 22 Bài toán 2: Mơ tả đường bóng chày Một bóng chày đánh ba bước chân so với mặt đất bay cấp độ giây 100 feet tạo góc 450 so với điểm ban đầu đến mặt đất Tìm chiều cao đạt tối đa bóng chày Bóng chày có vượt qua hàng rào cao 10 foot đượt đặt vị trí cách điểm ban đầu 300 feet? Lời giải Ta có h = 3, v0 = 100, 𝜃 = 450 Vì thế, dùng g = 32 (feet/ giây2) kết 𝜋 𝜋 4 𝑟⃗(t) = (100 cos )t 𝑖⃗ + ⌊3 + (100𝑠𝑖𝑛 ) 𝑡 − 16𝑡 ⌋ 𝑗⃗ = (50√2𝑡 )𝑖⃗ + (3 + 50√2𝑡 − 16𝑡 )𝑗⃗ 𝑣⃗(t) =⃗⃗⃗⃗ 𝑟’(t) = 50√2𝑖⃗ + (50√2 − 32𝑡)𝑗⃗ 25√2 Chiều cao tối đa xảy t = 16 ≈ 2.21 giây Vì chiều cao tối đa đạt bóng chày y= 3+ 50√2 ( 25√2 16 ) − 16 ( 25√2 16 ) = 649 ≈ 81 𝑓𝑒𝑒𝑡 Bóng chày có 300 feet từ nơi bị đánh 300= x(t) =50√2t Giải phương trình theo t với kết t= 3√2 ≈ 4.24 giây Tại thời điểm này, chiều cao bóng chày đạt y = + 50√2( 3√2) − 16( 3√2) = 303 – 288 = 15 feet Vì thế, bóng chày dễ dàng vượt qua chiều cao 10-foot hàng rào cách vị trí ban đầu 300 feet Bài tốn 3: Ứng dụng lực ma sát Một xe đua nặng 360 kg lái với tốc độ 60 km/h đường đua vịng trịn bán kính 12m, biểu diễn hình vẽ Để giữ cho xe không bị trượt khỏi đường đua phải tác động lực ma sát lên bề mặt lốp xe ? Lời giải Khi xe chuyển động tạo lực 23 2 𝑑 𝑠 ⃗⃗ + mK(𝑑𝑠) 𝑁 ⃗⃗ = maT𝑇 ⃗⃗ + maN𝑁 ⃗⃗ 𝐹⃗ = m𝑎⃗ = m( ) 𝑇 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Để giữ cho xe không bị trượt khỏi đường đua phải tác động lực ma sát m.a N Với đường cong ta biết uốn cong K = 12 Vì thế, lực ma sát 𝑑𝑠 maN = mK( ) = (360kg)( 𝑑𝑡 12𝑚 )( 60000𝑚 3600 𝑠𝑒𝑐 ) ≈ 8330(𝑘𝑔)(𝑚)/𝑠𝑒𝑐 Trong kỹ thuật máy tính đồ họa vectơ Vectơ kiến thức cốt lõi lập trình đồ họa 2D 3D, nhờ có vectơ ta dễ dàng thực nên khơng gian ý muốn Có thể nói khơng có diện vectơ gần ngành đồ họa máy tính, ứng dụng thực tiễn liên quan đến đồ họa ngày không đời Trong hệ thống máу tính, ta phải tìm cách giúp “hiện thực” khái niệm ᴠectơ ᴠà từ dùng phương pháp ѕố học mà tính tốn ᴠectơ nàу Và nhờ hệ trục tọa độ khác – mà cụ thể hệ trục không gian chiều – 3D coơdinate ѕуѕtem, ta áp dụng phương pháp ѕố học để thao tác ᴠới ᴠectơ Đồ họa vectơ đồ họa máy tính sử dụng tọa độ mặt phẳng chiều để biểu diễn hình ảnh Các tọa độ góp phần tạo nên path path cịn có thuộc tính màu nét, hình dạng, độ dày, Ảnh tạo thành kỹ thuật gọi ảnh vectơ Các định dạng ảnh vectơ phổ biến bao gồm: SVG, EPS, PDF Ảnh vectơ kéo to nhỏ tùy ý mà không bị vỡ, đường viền khơng bị giảm chất lượng Dữ liệu có ảnh vectơ ảnh bitmap, tốn dung lượng lưu trữ Khi tạo chỉnh sửa ảnh vectơ, thực thao tác như: xoay, lật, kéo giãn, tô màu tô màu chuyển sắc, dùng nhiều lớp hình ảnh, thay đổi độ suốt hình; đồng thời cắt, nối, cắt phần giao thực nhiều thao tác khác Người ta thay đổi hình dạng ảnh cách thêm, bớt, xoay, di chuyển điểm mút Ảnh Vectơ thường sử dụng trường hợp như:  Thiết kế logo: Vì logo cần quán trường hợp sử dụng, người ta phóng to, thu nhỏ mà không ảnh hưởng nhiều đến tổng thể logo hỗ trợ in ấn tốt  Thiết kế icon: Icon cần thay đổi nhiều kích thước, đặc biệt phải nhẹ, sắc nét  Nghệ thuật Vectơ (Vectơ Art): Người ta dùng vectơ, mảng (shapes), lưới chuyển màu (gradient meshes) để tạo nên hình ảnh độc đáo, gọi nghệ thuật Vectơ 24 Ứng dụng khác: - Trong trị chơi thể thao:  Bóng đá  Bóng rổ  Bóng chày  Golf -Thiết kế trị chơi mạo hiểm -Công nghệ game 25 KẾT LUẬN Bài thảo luận với đề tài “ Không gian véc-tơ áp dụng” thực số vấn đề sau đây: Hệ thống lại kiến thức vectơ Phát biểu trình bày số định nghĩa, định lí liên quan đến khái niệm hàm vectơ Tìm hiểu, phân loại, tổng hợp trình bày ứng dụng hàm vectơ đạo hàm, tích phân có lồng ghép số kiến thức vật lí Trình bày số ứng dụng tiếp tuyến hàm vectơ thông qua việc giải số tốn đường cong khơng gian Trình bày ứng dụng vật lí hàm vectơ qua số tốn tìm vận tốc, gia tốc, lực ma sát Mặc dù cố gắng lực thời gian có hạn nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót Mong nhận góp ý xây dựng 26 BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ STT Mã SV (trong lớp ) 21 21D210163 Họ tên Nhiệm vụ Đào Việt Đức Tìm tài liệu Nguyễn Thị Thùy Dương Tìm tài liệu 22 2121D0162 23 21D210109 24 21D210111 Trần Hương Giang Tìm tài liệu 25 21D220164 Đinh Ngọc Hà Tìm tài liệu 26 21D220112 Nguyễn Thu Hà Tìm tài liệu 27 21D210165 Nguyễn Thu Hà Tìm tài liệu 28 21D220113 Đinh Thị Duyên Hải Tìm tài liệu 29 21D210166 Ngơ Thị Bích Hải (Nhóm trưởng) Tìm tài liệu Phạm Thị Dun 27 Tìm tài liệu Đánh giá ... k1, k2, , km ∈ R} tạo thành khơng gian vectơ r chiều Ta nói không gian L = R r không gian vectơ sinh hệ m vectơ {X1, X2, , Xm} Mỗi sở hệ {X1, X2, , Xm} sở không gian R Lưu ý: Giả sử r{X1, X2, ,... Mỗi sở khơng gian Rn có n vectơ độc lập tuyến tính ngược lại, hệ n vectơ độc lập tuyến tính sở khơng gian Rn Các kết sau tương tự hệ có m (hữu hạn) vectơ: - Cơ sở đơn giản khơng gian Rn coi hệ... khơng gian Rn Lưu ý rằng, {p1, p2, , pn} sở khơng gian Rn (k1, k2, , kn) biểu diễn toạ độ vectơ X - Tọa độ vectơ thay đổi tuỳ theo sở dùng để biểu diễn tuyến tính vectơ - Như vậy, ta coi khơng gian