Luận văn tốt nghiệp Các số tổ hợp liên quan đến số các phân hoạch

Luận văn tốt nghiệp Các số tổ hợp liên quan đến số các phân hoạch A càng nhiều phần tử, càng có nhiều cách chia (phân hoạch). Mỗi một cách chia có thể chia để các...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG…………………….  Luận văn tốt nghiệp Các số tổ hợp liên quan đến số các phân hoạch 1 Mục lục mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Một số bà i toán đếm và các số tổ hợp 5 1.1 Một số quy tắc đếm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Quy tắc tương ứng một-một . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Một số bài toán đếm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Chỉnh hợp có lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Chỉnh hợp không lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.5 Phân hoạch tập hợp. Số Stirling loại hai và số Bell . . 8 1.3 Một vài ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Bài toán tính số nghiệm của phương trình . . . . . . . 10 1.3.2 Bài toán đếm tất cả các hàm từ một tập hữu hạn vào một tập hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Bài toán đếm tất cả các hàm đơn ánh từ một tập hữu hạn vào một tập hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.4 Bài toán đếm tất cả các hàm toàn ánh từ một tập hữu hạn lên một tập hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 1.4 Sự mở rộng về số các phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Một số kết quả về số Stirling loại một . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Phương pháp đếm dùng hàm sinh 37 2.1 Phương pháp đếm dùng hàm sinh thông thường . . . . . . . . 37 2.2 Phương pháp đếm dùng hàm sinh mũ . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Một số phương pháp và kỹ thuật đếm cơ bản khác 63 3.1 Phương pháp đếm bằng nguyên lý bao hàm và loại trừ. . . . . 63 3.2 Phương pháp đếm bằng công thức ngược . . . . . . . . . . . . 69 3.2.1 Công thức nghịch đảo nhị thức . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.2 Công thức nghịch đảo Stirling . . . . . . . . . . . . . . . 73 4 Dãy nhị thức 75 4.1 Khái niệm về dãy nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 Biểu diễn dãy nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3 Dãy nhị thức sinh bởi một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4 Một số ví dụ về dãy nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3 mở đầu Tổ hợp như là một lĩnh vực của toán học rời rạc, xuất hiện vào đầu thế kỷ 17 bằng một loạt các công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler Mặc dù vậy, tổ hợp vẫn là lĩ nh vực mờ nhạt và ít được chú ý tới tr ong quãng thời gian hơn hai thế kỷ. Tình thế bắt đầu đổi khác khi xuất hiện các máy tính và cùng với nó là sự phát triển của toán hữu hạn. Hiện nay lý thuyết tổ hợp được áp dụng trong nhiều l ĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học hữu hạn, quá trình ngẫu nhiên, t hống kê xác suất, Hướng nghiên cứu của luận văn là xây dựng các số t ổ hợp cơ bản được hình thành từ kết quả của một số bài toán đếm. Chúng tôi xét bài toán phân hoạch tập hợp hữu hạn cùng với các điều kiện được đặt thêm vào. Trên cơ sở đó luận văn đi đến một số kết quả mới về các số t ổ hợp có l iên quan đến số các phân hoạch. Luận văn được chia làm 4 chương: Chương 1: Một số bài toán đếm và các số tổ hợp. Chương này nhắc lại một số quy tắc và bài toán đếm cơ bản. Thông qua một số bài toán đếm, luận văn xây dựng các số tổ hợp cơ bản. Hơn nữa, thông qua bài toán phân hoạch tập hợp, chúng tôi tìm được các số t ổ hợp mới cũng như mối liên hệ giữa các số tổ hợp cơ bản đã biết với các số tổ hợp mới. Chương 2: Phương pháp đếm dùng hàm sinh. N ội dung chính của chương là giới thiệu phương pháp đếm dùng hàm sinh thông thường và hàm sinh mũ. Với phương pháp này, luận văn giải quyết một số bài toán đếm cũng như thiết lập được công t hức tính cho các số tổ hợp quan trọng (số xáo trộn tổng quát D n , số Fibonaci F n , số Bell B n , ). Hơn nữa, chúng tôi cũng đưa ra hàm sinh mũ cho các số tổ hợp mới vừa tìm được trong Chương 1. 4 Chương 3: Một số phương pháp và kỹ thuật đếm cơ bản khác. Chúng tôi giới thiệu thêm hai phương pháp đếm cơ bản: Phương pháp đếm bằng nguyên lý bao hàm và loại trừ và phương pháp đếm bằng công thức ngược. Với các phương pháp đếm này, chúng tôi thiết lập công thức tính cho các số tổ hợp D n , S n,k (số Stirling loại hai) và xây dựng công thức hàm Euler. Chương 4: Dãy nhị thức. Sau khi trình bày sơ lược về dãy nhị thức, chúng tôi chứng minh một số dãy các đa thức được trình bày trong Chương 2 là dãy nhị t hức. Tuy có nhiều cố gắng nhưng kết quả của luận văn vẫn còn nhiều hạn chế, nội dung và cách trình bày khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để nâng cao hơn nữa chất lượng của luận văn. Quy Nhơn, tháng 2 năm 2008 Đoàn Nhật Thịnh 5 Chương 1 Một số bài toán đếm và các số tổ hợp Trong chương này ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tổ hợp. Thông qua một số bài toán ta sẽ tìm hiểu các số tổ hợp cơ bản đã biết, đồng thời tìm ra các số tổ hợp mới. 1.1 Một số quy tắc đếm cơ bản 1.1.1 Quy tắc tương ứng một-một Nếu tồn tại tương ứng một -một giữa các phần tử của các tập hữu hạn A 1 và A 2 thì A 1 và A 2 có cùng số phần tử. 1.1.2 Quy tắc cộng Nếu A 1 , A 2 , , A n là các tập hữu hạn đôi một rời nhau thì |A 1 ∪A 2 ∪ ∪ A n | = |A 1 | + |A 2 |+ ··· + |A n | ở đây |A i | là số phần tử của tập A i . 6 1.1.3 Quy tắc nhân Nếu A 1 , A 2 , , A n là các tập hữu hạn bất kỳ và A 1 ×A 2 ×···×A n là tích Descartes của các tập đó thì |A 1 ×A 2 × ···×A n | = |A 1 | × |A 2 | × ···×|A n |. Quy tắc cộng và quy tắc nhân cũng thường được phát biểu dưới dạng tương ứng dưới đây: Quy tắc cộng: Giả sử ta có n hành động loại trừ lẫn nhau H 1 ,H 2 , ,H n , tức là không thể xảy ra hai hành động đồng thời. Ta cũng giả sử rằng hành động H i có a i cách thực hiện. Khi đó hành động H: hoặc H 1 xảy ra, hoặc H 2 xảy ra, , hoặc H n xảy ra, có cả thảy a 1 + a 2 + ··· + a n cách thực hiện. Quy tắc nhân: Giả sử một hành động H bao gồm n giai đoạn kế tiếp và độc lập với nhau, trong đó giai đoạn thứ i là hành động H i . Ta cũng giả sử rằng hành động H i có a i cách thực hiện. Khi đó hành động H có cả thảy a 1 a 2 a n cách thực hiện. 1.2 Một số bài toán đếm cơ bản 1.2.1 Chỉnh hợp có lặp Định nghĩa 1.2.1. Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần có thể được lặp lại. Như thế, một chỉnh hợp lặp chập k của n có thể xem như một phần tử của t ích Descartes A k với A là tập gồm n phần tử đã cho. Theo quy tắc nhân, số tất cả các chỉnh hợp lặp chập k của n sẽ là U(n, k) = n k . 7 1.2.2 Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa 1.2.2. Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử là một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần không được lặp lại. Ta thường dùng ký hiệu A k n hay (n) k để chỉ số chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử. Chỉnh hợp không lặp thường được gọi tắt là chỉnh hợp. Để xây dựng một chỉnh hợp không lặp, ta xây dựng dần t ừ thành phần đầu tiên. Thành phần này có n khả năng chọn. Mỗi thành phần tiếp theo, số khả năng chọn giảm đi 1 so với thành phần đứng trước. Từ đó, theo quy tắc nhân, số chỉnh hợp không lặp chập k của n sẽ l à A k n = n(n −1) (n −k + 1) = n! (n − k)! · Để tồn tại chỉnh hợp, cần phải thỏa mãn k ≤ n. Ta quy ước A k n = 0 nếu k > n. 1.2.3 Hoán vị Định nghĩa 1.2.3. Ta gọi một hoán vị của n phần tử là một cách xếp thứ tự các phần tử đó. Một hoán v ị của n phần tử được xem như một trường hợp riêng của chỉnh hợp không lặp khi k = n. Do đó số hoán vị của n phần tử là P n = n! Có thể đồng nhất một hoán vị của n phần tử với một song ánh của một tập n phần tử lên chính nó. Một song ánh như vậy còn được gọi là một phép thế. 1.2.4 Tổ hợp Định nghĩa 1.2.4. Một tổ hợp chập k của n phần tử là một bộ không kể thứ tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Nói cách khác, 8 ta có thể coi một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con k phần tử của nó. Ta thường ký hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là C k n . Để tính C k n ta có thể lập luận như sau: Mỗi chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A có t hể coi là một cách thực hiện của hành động H "tạo ra chỉnh hợp" bao gồm hai giai đoạn kế tiếp H 1 và H 2 sau đây: Giai đoạn H 1 : Tạo ra tập con lực lượng k của A. Theo định nghĩa của tổ hợp, ta thấy ngay rằng có C k n cách thực hiện giai đoạn H 1 . Giai đoạn H 2 : Tạo ra chỉnh hợp chập k của k phần tử của mỗi tập con được tạo ra ở giai đoạn H 1 . Ta có A k k = k! cách thực hiện giai đoạn H 2 . Theo quy tắc nhân t a có A k n = C k n .k!. Suy ra C k n = A k n k! . Vì vậy C k n =        n! (n − k)! : k! = n! k!(n − k)! nếu 1 ≤ k ≤ n 0 nếu k > n. Như đã nói ở trên, mỗi tổ hợp chập k của n phần tử của A có thể được xem như là một tập con lực lượng k của A. Với k = 0, vì chỉ có một tập con của A lực lượng 0 l à tập rỗng, nên ta có thể định nghĩa một cách tự nhiên rằng C 0 n = 1. Khi đó đẳng t hức C k n = n! k!(n − k)! cũng đúng cho cả k = 0. 1.2.5 Phân hoạch tập hợp. Số Stirling loại hai và số Bell Định nghĩa 1.2.5. ( theo [8, 4]) Cho A là một tập hữu hạn có n phần tử. Một phân hoạch của A thành k phần (khối) là một hệ gồm các tập con không rỗng A 1 , A 2 , , A k của A thỏa mãn hai tính chất sau: a) A 1 ∪A 2 ∪ ∪ A k = A, b) A i ∩A j = ∅ ∀i = j i, j ∈ {1, 2, , k}. Mỗi tập con A i được gọi là một phần (khối) của phép phân hoạch. Số tất cả 9 các phân hoạch thành k phần của A được gọi là số Stirling loại hai và được ký hiệu là S n,k . Dễ thấy rằng S n,k = 0 nếu k > n và với mọi n ≥ 1 ta có: S n,0 = 0, S n,1 = 1, S n,n = 1. Ta cũng thừa nhận rằng S 0,0 = 1 vì theo định nghĩa họ rỗng các khối là phân hoạch của t ập rỗng. +) Số B n = S n,0 + S n,1 + ··· + S n,n được gọi là số Bell thứ n. Như vậy, số Bell thứ n l à số tất cả các phân hoạch của tập A lực lượng n. Ví dụ: Các phân hoạch của tập A = {a, b, c, d} thành ba khối là: {{a}, {b}, {c, d}}; {{a}, {b, c}, {d}}; {{a}, { b, d}, {c}} {{b}, {a, c}, {d}}; {{b}, {a, d}, { c }}; {{c}, {a, b}, {d}} Từ ví dụ này ta có S 4,3 = 6. Ta có thể tính được các số S n,k dựa vào hệ thức truy hồi trong định lý sau: Định lý 1.2.1. (theo [3, 1.3]) Ta có S n+1,k = k.S n,k + S n,k−1 . Chứng minh: Xét tập bất kì có n+1 phần tử, chẳng hạn tập A = {x 1 , x 2 , , x n+1 }. Theo định nghĩa có S n+1,k phân hoạch tập A thành k khối. Mặt khác ta có thể chia tập B tất cả các phân hoạch trên thành hai tập con B 1 và B 2 rời nhau như sau: B 1 gồm tất cả các phân hoạch tập A thành k khối, trong đó có một khối là {x n+1 }, còn B 2 bao gồm tất cả các phân hoạch tập A thành k khối tr ong đó không có khối nào là {x n+1 }. Khi đó mỗi phân hoạch thuộc B 1 sẽ chia tập {x 1 , x 2 , , x n } thành (k − 1) khối và có S n,k−1 cách chia như thế. Do đó |B 1 | = S n,k−1 . Nếu {x n+1 } không là một khối thì x n+1 sẽ nằm trong một khối với ít nhất một phần tử khác của A. Vì có S n,k cách phân hoạch tập {x 1 , x 2 , , x n } thành k khối và x n+1 có thể thuộc một khối bất kì trong k khối đó, nên ta có tất cả là k.S n,k cách phân hoạch tập A thành k khối sao cho {x n+1 } không là một khối của phân hoạch. Do đó |B 2 | = kS n,k . Vì B = B 1 ∪B 2 [...]... rằng các số Bell Bn được biểu diễn qua các số phân hoạch chẵn Pn và các số phân hoạch lẻ Qn Cũng tương tự như các số Bell, việc lập công thức tường minh cho các số phân hoạch chẵn và lẻ gặp nhiều khó khăn Ta phải tính chúng thông qua các số En,k và On,k 19 Mệnh đề 1.4.1 Ta có n 2j E2n+2,k+1 = E2n,k + (k + 1)E2n,k+1 + j=1 C2n (E2j+2,2 − 1 − 2E2j,2 )E2n−2j,k−1 ∀n ∈ N, ∀k ∈ N Chứng minh: Xét phép phân hoạch. .. ta có thể gặp các số tổ hợp vừa nói trên trong các tình 18 huống như: Trong một lớp học có n học sinh ta cần chia lớp ra thành các nhóm để tổ chức chơi trò chơi (không nhất thiết mỗi nhóm có cùng số học sinh) và mỗi nhóm ta chọn ra một em làm nhóm trưởng; hay chia lớp ra thành các nhóm mà mỗi nhóm có một số lẻ (chẵn) học sinh Số cách chia trong các trường hợp trên sẽ cho ta các số tổ hợp vừa được trình... tử, tức là bằng E2n,k cách b) Trường hợp 2: Cả a và b cùng có mặt trong một tập con (với các phần tử khác trong 2n phần tử còn lại) của phép phân hoạch Có E2n,k+1 cách phân hoạch tập 2n phần tử thành k + 1 tập Với mỗi cách phân hoạch như thế, a và b có thể nằm trong một tập bất kì trong số k + 1 tập của phép phân hoạch Do đó, có tất cả là (k + 1)E2n,k+1 cách phân hoạch c) Trường hợp 3: a và b có mặt... là a và b Tùy theo sự phân bố của a và b trong các tập con của phép phân hoạch, ta có các trường 22 hợp sau : a) Trường hợp 1: a và b cùng với các phần tử khác tạo thành một tập của phép phân hoạch Có On,k+1 cách phân hoạch tập có n phần tử thành k + 1 tập Do a và b có thể nằm trong một tập bất kì trong số k + 1 tập đó nên có tất cả là (k + 1)On,k+1 cách phân hoạch b) Trường hợp 2: a và b nằm trong... có một số chẵn phần tử Ta xem tập gồm 2n + 2 phần tử như là tập ban đầu có 2n phần tử và thêm vào hai phần tử mới a và b Tùy theo sự có mặt của a và b trong các tập con của phép phân hoạch mà ta có các trường hợp sau : a) Trường hợp 1: {a, b} là một tập con riêng lẻ của phép phân hoạch Khi đó, số phép phân hoạch xét trên bằng số phép phân hoạch tập 2n phần tử thành k tập con, mỗi tập con có một số chẵn... nên số tất cả các hàm toàn ánh từ N đến K là : (i1 ,i2 , ,ik): n! i1!i2 ! ik ! k P ij =n j=1 ij ≥1 Vậy ta nhận được n! i1 !i2 ! ik ! k!Sn,k = (i1 ,i2 , ,ik): k P ij =n j=1 ij ≥1 Từ đây ta suy ra Sn,k = n! k! (i1 ,i2 , ,ik): k P 1 1 1 · ··· i1 ! i2 ! ik ! ij =n j=1 ij ≥1 17 1.4 Sự mở rộng về số các phân hoạch Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số kết quả mới có liên quan đến số các phân hoạch. .. chỉ bằng các phương pháp sơ cấp Ta chủ yếu xét bài toán đếm số phân hoạch một tập hữu hạn cùng với các điều kiện được đặt thêm vào một cách tự nhiên Ta sử dụng thống nhất các ký hiệu sau: * Un,k : số cách phân hoạch tập n phần tử thành k tập con không rỗng và trong mỗi tập con ta chọn ra một phần tử đại diện Ta quy ước U0,0 = 1 và Un,0 = 0, n ≥ 1 Ví dụ: Xét A = {a, b, c}, n = 3 Xét các phân hoạch tập... Khi đó, ta có các phân hoạch là: {{a}, {b, c}}; {{a}, {b, c}}; {{b}, {c, a}} {{b}, {c, a}}; {{c}, {a, b}}; {{c}, {a, b}} Từ ví dụ trên ta có U3,2 = 6 n * Gn = Un,k : số tất cả các cách phân hoạch tập n phần tử thành các tập k=0 con không rỗng và trong mỗi tập con ta chọn ra một phần tử đại diện * En,k : số cách phân hoạch tập n phần tử thành k tập con không rỗng sao cho mỗi tập con có một số chẵn phần... E0,0 = 1 * On,k : số cách phân hoạch tập n phần tử thành k tập con không rỗng sao cho mỗi tập con có một số lẻ phần tử Quy ước O0,0 = 1 *Pn = n k=0 En,k ; Qn = n On,k k=0 Như vậy, Pn (Qn ) chính là số tất cả các phân hoạch của tập n phần tử sao cho mỗi tập con đều có một số chẵn (lẻ) phần tử Rõ ràng E2n+1,k = 0 ∀n, k ∈ N Do đó, P2n+1 = 0, n = 0, 1, 2, Ta gọi Pn (Qn ) là các số phân hoạch chẵn (lẻ) Trong... 2 tập con mà mỗi tập có một số chẵn phần tử sao cho a và b nằm trong hai tập khác nhau là E2j+2,2 − 1 − 2E2j,2 Khi đó, 2n − 2j phần tử còn lại phải được phân hoạch thành k − 1 tập con, mỗi tập có một số chẵn phần tử và số cách phân hoạch là E2n−2j,k−1 2j Hơn nữa, Với mỗi j = 1, 2, 3, , n ta có C2n cách chọn 2j phần tử từ 2n phần tử Do đó, số cách phân hoạch trong trường hợp 3 là n 2j j=1 C2n (E2j+2,2 . với các điều kiện được đặt thêm vào. Trên cơ sở đó luận văn đi đến một số kết quả mới về các số t ổ hợp có l iên quan đến số các phân hoạch. Luận văn được. ĐÀO TẠO TRƯỜNG…………………….  Luận văn tốt nghiệp Các số tổ hợp liên quan đến số các phân hoạch 1 Mục lục mở đầu . .