c, Câu c: 2,0 điểm Điểm H nằm trong tam giác ONP suy ra H nằm trong góc O Suy ra tia OH nằm giữa hai tia ON và OP P, N là các điểm không trùng O và thuộc các tia ON, OP Suy ra tia OH cắt[r]
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN Năm học 2011 – 2012 PHÒNG GD&ĐT LÝ NHÂN ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 150 phút, khơng kể giao đề) Bài ( 4,0 điểm): a, Tính M = 7 2012 2012 2010 2011 2012 1 1 17 b, So sánh A B biết A = 2011 2012 2010 B = Bài ( 4,0 điểm): 1 3 2, 75 x 0, 65 : 0, 07 200 a, Tìm biết x y 2 x, y 1 b, Tìm số tự nhiên x, y cho x y 25 x Bài ( 4,0 điểm): 14 a, Tìm chữ số tận số P 1414 99 23 b, Tìm ba số nguyên dương biết tổng ba số nửa tích chúng Bài 4( 2,0 điểm): Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab = cd Chứng minh A = a n + bn + cn + dn hợp số với số tự nhiên n Bài 5( 6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB a, Chứng tỏ OA < OB b, Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O c, Lấy điểm P nằm đường thẳng AB Cho H điểm nằm tam giác ONP Chứng tỏ tia OH cắt đoạn NP điểm E nằm N P Hết http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 PHÒNG GD&ĐT LÝ NHÂN HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MÔN TỐN Năm học 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài Tóm tắt nội dung hướng dẫn Điểm a, Câu a : 2,0 điểm 0,5 đ 7 + − ) 2012 (2012 − ) 2012 ( 59 − 2012 N= 2+7 2012 −1006 0,5 đ N = 2012 −3 −2012 2021− 503 Bài 4,0 đ N = 2012− −1006 0,5 đ 9620 N = 979 0,5 đ b, Câu b: 2,0 điểm 1 + 1− + 1+ 2011 2012 2010 1 1 A=3+ − + − 2010 2011 2010 2012 A> 1 1 1 B= + + + + + + + 10 17 1 B< 2+ 5+ 8 B B ) ) ) 0, đ 0, 25 đ 0,2 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0,2 đ 0,25 đ a, Câu a:( 2,0 điểm) Bài ( 4,0đ) 437 x 7 : 200 100 437 100 x 7 200 437 x 7 14 535 x 14 535 x : 14 x 61 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,75 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ Câu b: 2,0 điểm Vai trò x, y bình đẳng Giả sử x y, ta có 0, 25 đ x y 2 x y 25 7(x2+y2)=25(x+y) x(7x – 25) = y(25-7y) Suy 7x – 25 25 – 7y dấu x, y số tự nhiên a, Nếu 7x – 25 < 25 – 7y < Suy x < 4, y > ( trái với điều giả sử) b, Nếu 7x – 25 > 25 – 7y > Vậy x , y < Thử số tự nhiên y từ 0, 1,2,3 ta x = Cặp số (x,y) = (4,3); vai trò x, y nên (x,y) = (3,4) 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ a, Câu a: 2,0 điểm 14 P 1414 99 23 14 - Tìm chữ số tận 1414 - Tìm chữ số tận 99 - Tìm chữ số tận 23 Chữ số tận P chữ số tận tổng (6+9+2): Bài (4,0đ) b, Câu b: 2,0 điểm Gọi số nguyên dương cần tìm a, b, c Ta có a + b + c = abc/2 Giả sử a ≤ b ≤ c a + b + c c Do abc ≤3c hay ab Có trường hợp sau 1, ab = suy c = 3,5 ( loại ) 2, ab = Suy a = 1, b = , c = ( Loại) 3, ab = Suy a = 1, b = , c = 5( thỏa mãn) a =2, b = 2, c = (Thỏa mãn) 4, ab = Suy a = 1, b = 3, c = ( thỏa mãn) 5, ab = ( Không thỏa mãn) 6, ab = ( Không thỏa mãn Vậy ba số cần tìm 1, 4, 1, 3, Bài 4: 2,0 điểm Giả sử t = (a,c) Đặt a = a1t; c = c1t với (a1,c1) = ab = cd suy a1bt = c1dt , Suy a1b = c1d Mà (a1,c1) = suy b chia hết c1 , đặt b c1k Do d = a1k Ta có A = a1n tn + c1n.kn + c1n.tn + a1n.kn A = ( a1n + c1n)(kn + tn) Vì a1; c1; t; k nguyên dương nên A hợp số http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0, đ 0, đ 0, đ 0, đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ a, Câu a: 2,0 điểm P Bài 6,0 điểm E H O M A N B Hai tia AO AB hai tia đối Suy điểm A nằm điểm O điểm B Vậy OA < OB 0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ b, Câu b : 2,0 điểm Vì M, N trung điểm OA OB Suy OM = (1/2) OA, ON = (1/2) OB Theo câu a OA < OB nên OM < ON M, N thuộc tia OB nên M nằm O N Suy OM + MN = ON Suy MN = ON – OM MN = (1/2) OB – (1/2) OA = (1/2) (OB – OA)= (1/2) AB AB có độ dài không đổi nên MN không đổi 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ c, Câu c: 2,0 điểm Điểm H nằm tam giác ONP suy H nằm góc O Suy tia OH nằm hai tia ON OP P, N điểm không trùng O thuộc tia ON, OP Suy tia OH cắt đoạn NP điểm E năm N P 0, đ 0, đ 0, đ 0, đ Lưu ý : - Hình học hình vẽ không khớp chứng minh không cho điểm - Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ... LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN Năm học 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài Tóm tắt nội dung hướng dẫn Điểm a, Câu a : 2,0 điểm 0,5 đ 7 + − ) 2012 (2012 − ) 2012 ( 59 − 2012 N= 2+7 2012 −10 06 0,5 đ... 59 − 2012 N= 2+7 2012 −10 06 0,5 đ N = 2012 −3 −2012 2021− 503 Bài 4,0 đ N = 2012− −10 06 0,5 đ 962 0 N = 979 0,5 đ b, Câu b: 2,0 điểm 1 + 1− + 1+ 2011 2012 2010 1 1 A=3+ − + − 2010 2011 2010... 4,0đ) 437 x 7 : 200 100 437 100 x 7 200 437 x 7 14 535 x 14 535 x : 14 x ? ?61 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,75 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ Câu b: 2,0 điểm Vai trị