Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành.. Chứng minh bất đẳng thức..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THỊ TUYẾN SINH LỚP 10 THPT
HAI DUONG CHUYEN NGUYEN TRAI NAM HOC 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN (Chuyên)
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kế thời gian giao dé
(Dé thi gdm: 01 trang)
Câu I (2,0 điểm)
1) Cho a—b=29+12V5 —2^/5 Tính giá trị của biểu thức:
A=a *(a+1)—b?(b—1)—11ab + 2015
2) Cho x, y la hai s6 thuc thoa man xy+ \jJd+x?)+ y?) =]
Chứng minh rằng #jl+y“ +yN1+x =0
Câu II (2,0 điểm)
1) Giai phuong trinh 2x+34+V4x° +9x+2 =2Vx+24+/V4x41
2x? y? +xy-Sxt+y+2=Jy—2x+1-V3-3x
x —y-1l=J4xt+ yt+5—Jxt+2y-2
2) Giai hé phuong trinh
Câu II (2,0 điểm)
l) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x*+x”— y`— y+20=0
2) Tìm các số nguyên k dé &* - 8k” + 23k” - 26k +10 là số chính phương
Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (Ø; ®) và dây BC cô định không đi qua tâm Trên tia
đối của tia 8C lấy điểm A (A khác Đ) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn
(Ó) (M và N là các tiếp điểm) Gọi 7 là trung điểm của 8C
I) Chứng minh A, Ó, M, N, ï cùng thuộc một đường tròn và 7A là tia phân giác của goc MIN
2) Gọi K là giao điểm của MN và ĐC Chứng minh 2 ott AK AB AC
3) Duong thang qua M và vuông góc với đường thăng ON cat (O) tại điểm thứ hai là
P Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC đề AMPPN là hình bình hành
Câu V (1,0 diém) Cho a,b là các số dương thỏa mãn diéu kién (a+b)? +4ab<12
Chứng minh bất đăng thức +4 2015ab < 2016
lt+ta 1+b
c=======================mre Hét -
Họ và tên thí sinh - << << << << s2 Số báo danh ¿2c ccecezceserszcees
Chữ kí của giám thị Ì: . -<<<< Chữ kí của giám thị 2:
Trang 2
x —y-1l=J4xt yt+5—Jxt2y-2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DÂN CHAM MON TOAN
HÁI DƯƠNG DE THI TUYEN SINH LOP 10 THPT CHUYEN
NĂM HỌC 2015 - 2016 (Hướng dân chầm gồm: 0Š trang)
; Cho a—b=29+12V5 —2V5 Tinh gia tri ctia bidéu thitc: TY
A=a (a+l)—b“(b—1)—11ab+ 2015
2 a~b=4|29+12N5 —2V5 = ,|(3+2V5) —2V5 =34 25 - 25 =3 0,25
A=a—b +a’ +b? —-1lab+2015 0,25
=3(a +b? +ab) +a’ +b’ -1lab + 2015
= 4(a* —2ab +b’) +2015 = 4(a—b)* +2015 = 2051 0,25
Cho x,y la hai s6 duong théa man xy+f/(l+x°)(+ y?) =1
Chứng minh răng xafl+ y? + yV1+x° =0
=0++”\+ y?)=(—xy)
=> x\l+ y“ + yNI+x” =xvl+x -xVyI+x =0 0,25
Il Giai phuong trinh 2x+3+V4x° +9x+2 =2Vx4+24+V4x41 1,00
Pt © 2x+3+.A/(x+2)(4x+l) =2W\x+2+44x+l DK: v>Tc 0,25
Dat t=2Vx+2+V4x+1,t>V7 (hoac t>0)
t—9
—=fˆ =8x+44/(x+2)(4x+1)+9<>2x+J(x+2)(4x+l) =—— 0,25
PTTT /“—-4/+3=0<>r£=1 hoặc r =3
THI £=I giải ra vô nghiệm hoặc kết hợp với ĐK £>^/7 bị loại 0.25
TH2./=3—=2V@x+2+44x+l =3 Giải pt tìm được x= 5 (TM)
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 8
ec 2x? —y? +xy—Sx+y+2=./y—2x+1-V3-3x
Trang 3ĐK: y-2x+I>0,4x+ y+5>0,x+2y—-2>0,x<]
TH I Da “lào 3—3x=0 y=l_ |-I=A10-I (Không TM hệ)
TH 2 x41,y #1 Dua pt thứ nhất về dạng tích ta được
xty-2
Vy —2x+14+V¥3-3x
(x+ y—2)(23x—- y—])=
0,25
1
Jy—2x+1+V¥3-3x
nên
\y-2x+1+43-3x
0,25
Thay y=2-x vao pt thir 2 ta được xˆ+x—3=A43x+7—x2—x
> x +x-2=V3x47-142-V2-x
3x+6 + 2+x
V3x+741 24VJ2-x
0,25
V3x4+74+1 24+J2-x
V3x+74+1 24+J2-—x Vậy x+2=0<>x=-2— y=4 (TMDK)
Do x <1 nén +l-x>0 0,25
II Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn +“ +x”— y`— y+20=0 (1) 1,00
Ta có ()<© xÍ+x”+20= y“+y
Ta thấy xÌ+x” < x†+x”+20< x*+x?”+20+8x”
=x”(x?+1)<y(y+1)<(x?+4)(x? +5]
0,25
Vì x,yc€iÌ nên ta xét các trường hợp sau
+ THI y(y+1)=(x?+1)(x?+2]©xf+x?+20= x1 +3x? +2
©2x =IR<©x”=9<>x=+33
Với xˆ =9, tacó y`+y=9°+9+20©©y”+y—110=0
& y=10; y=-11 (tm)
0,25
+ TH2 y(y+1)=(x? +2)(x? +3) <> x4 +x? +20=x*+5x? +6
> 4x? =14 x’ == mm (loai)
+ TH3 y(y +1) = (x? +3)(x? +4) > 6x* =8 OS x’ =S (loại)
0,25
+ TH4 y(y+1)=(x? +4)(x?+5)
©§x”=0<>xˆ=0<©>x=0
Với x” =0, ta có y+y=20<> y”+y—20=0<>y=-—5; y=4
Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên (x ; y) la:
(3:10) (3: —11) (—3: 10) (—3: —11) (0: =5) (0: 4) 0,25
Trang 4
Tìm các số nguyên k để k* —8k + 23k” — 26k +10 là số chính phương
Dat M =k† —8k) + 23k? — 26k +10
Ta có M =(k*—2k? +1)—8k(k?—2k +1)+9k? —18k +9 025
=(#?~1} =&(k—1)'+9(&~1Ì=(k=0°|(k-3) +1]
M là số chính phương khi và chỉ khi (k—1)' =0 hoặc (k-3) +1 là số
TH 1 (k-1) =0@k=1
TH 2 (k- 3)" +1 là số chính phương, đặt (k -3 +l=m’ (mel) 025
©m?~(k~3)” =1©(m—k+3)(m+k~3) =1
Vi mkel —>=m—k+3e[l,m+k-3e[l nên
m—=k+3=l,„ _ |m-k+3=-] m=1,k =3
& =k=3 0,25
m+k—-3=1 m+k—3=-1 m=-—l,k=3
Vậy k=1 hoặc &=3 thì &*—8&Ÿ+23&? —26k +10 là số chính phương
IV Chứng minh JA là tia phân giác của góc MIN 1,00
N
Theo giả thiết AMO = ANO = AIO = 90° => 5 điểm A, O, M,N, I thuộc
0,25 đường tròn đường kính AO
= AIN = AMN,AIM = ANM (Góc nội tiếp cùng chăn một cung) 0,25
AM = AN => AAMN cAantai A > AMN = ANM 0,25
Gọi K là giao điểm của MN và BC Chứng minh ~^—=——+——
—— =—_4+— © 2AB.AC = AK(AB+ AC) © AB.AC = AK.AI 0,25
Trang 5
(Do AB+ AC =2AI)
AABN đồng dạng với AANC > AB.AC = AN’ 0,25 AAHK đồng dạng với AAIO => AK.AI = AH.AO 0,25 Tam giác AAMO vuông tại M có đường cao MH > AH.AO = AM”
0,25
— AK.AI = AM*.Do AN=AM = AB.AC = AK.AI
Đường thăng qua Ä⁄, vuông góc với ON cat (O) tai điểm thứ hai là P
IV Xác định vị trí của điểm A để A/PN là hình bình hành 1,00
Tacé AN | NO,MP | NO,M ¢ AN => AN //MP
Do đó AMPN là hình bình hành <= AN = MP = 2x 025
Tam giác AANO đồng dạng với ANEM > AN = NO => NE = 200
EM R
2 2
TH 1 NE = NO-OE => —= R~ RH 627 =R-RVR?-
Đặt R?—x” =f,t>0—>x°=R”-
2r=-—R 0,25
PTTT 2(Rˆ“—-/ˆ)= R“- Rt © 2# - Rt— R” 0e) R
f=
Do £>0—>=R<>4JR?—x?=R©x=0—>A=B (Loại)
2
TH2 NE = NO+OE= “— = R+ R?—x? ©2x?=R?+R4|R?—x?
Đặt VR? —-x? =t,t>0>x =R’-? 0.25
PTTT 2(R?—/?)= R? + Ri © 2? + Rt— Rˆ=0<> R
t=—
R
Do t>0>2t=ROWR -x’ -Rex-##Š — 4o-2p
2 0,25
Vay A thudc BC, cach O mot doan bang 2R thi AMPN là hbh
an 1 1
V Chung minh bat dang thie —— + —— + 2015ab < 2016 1,00
l+a 1+b
3
Ta c6 12> (a+b) + dab > (2Vab) +4ab Dat t=VJab,t>0 thi
128442 6 2P42-3<06 (t—1(20? +3643) <0 0,25
Do 2/?+3/+3>0,V/ nên r—1<0<>r<1 Vậy 0<ab<1
Chứng minh được | + | < ,Va,b>0 thoa man ab <1
l+a 1+b l+Nab
0,25
That vay, BDT — + — <0
l+a lI+Nab 14+b I+Nab
Trang 6
Xab —a Jab —b <0 Vb -Va Va Vb \_, (+z)1+Aab)_ (1+b)(1+Aab) ˆ 14Jab ||l+a 1+b]—
(Vo-Va) (ab -1)
<>
(1+Vab)(1+a)(1+b)
<0.Do 0<ab<1 nén BDT nay dung
Tiép theo ta sé CM 2 + 2015ab < 2016, Va,b >0 thoa man ab <1
l+Nabh
Dat t= VJab,0<t<1 ta duoc + 2015" < 2016 0,25
+f 2015t° + 20152? — 2016t — 2014 <0
& (t —1)(2015t* + 4030 + 2014) <0 BĐT này đúng V7:0<7<1
0,25
Vậy +———+ 2015aö < 2016 Đăng thức xảy ra a=b =]