Đang tải... (xem toàn văn)
Người ta điền tất cả các số từ 1 đến 9 vào các ô của bảng mỗi số điền vào một ô sao cho tổng của bốn số trên mỗi bảng con có kích thước 2 2 đều bằng nhau và bằng một số T nào đó.. Tìm [r]
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THỊ CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2012-2013 ĐÈ THỊ MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kế thời gian giao đề Câu (3,0 điểm) r 2ˆ 3° a) Tinh tong: S=,/l+—>+—+,/l4+—+—+:-:-+,/l+ ) \ \ b) Cho số nguyên x y thỏa mãn \ 20122 +— 2013 4x+5y= Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=5|x|—-3| y| Câu (1,5 điểm) Tìm số hữu tỉ x, y thỏa mãn: \2x3 —3= V3xv3 — y yv3 Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương z, b, c thỏa mãn Câu (3,0 điểm) abc = Chứng minh răng: 3+-2 22239 xa+2p+3e+L.-L E, 2b 3c a a 2b 3c Cho tam giác nhọn 415ŒC( 4C > AB) có đường cao 44141', BB', CC" trực tâm H Gọi (Ĩ) đường trịn tâm O, đường kính ĐC Từ 44 kẻ tiếp tuyến 4M, AN tới đường tròn (Ø) (M, N tiếp điểm) Gọi 4' giao điểm thứ hai A'N va duong tron (O), K la giao điểm OH va B'C' Chứng minh răng: a) M'đối xứng với Ä⁄ qua BC b) Ba điểm M⁄/,/, N thăng hàng KPB' ( HB'Y c) —— =| — KC' \AC' Câu (1,0 điểm) ] Cho bảng ô vuông 3x3 (3 hàng cột) Người ta điền tất số từ đến vào ô bảng (mỗi số điền vào 6) cho tống bốn số bảng có kích thước 2x2 băng số Tìm giá trị lớn —Hết— Cán coi thi khơng giải thích thêm SO GD&DT VINH PHUC KY THI CHON HSG LOP9 NAM HOC 2012-2013 HUONG DAN CHAM MON: TOAN I LUU Y CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác nêu đủ ý cho điểm tối đa - Điêm tồn tính đên 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II DAP ÁN: (3d) Điểm Nội dung trình bày Cau | Y Ta có: vneN’ 144+ n "=— nu n n (n+l) Suy ptt nh (n+]) _n(ntly (ntn+ ĐỀ+(n+D I aw (n D° Ị ] n+l a n — n+l (dol+—-— n n+l >0 Wren’) Ap dung két tiên, ta có 1 1 l++===l+ ~ L2 1 1 l+—+—-l+ ˆ 37 I+ ] st ] = 1+ = ] - = ] 2012° 2013 2012 2013 Cộng với vê 2012 đăng thức trên, ta s=2013- ——, 2013 Nhận xét: Nêu có x, y thỏa mãn điêu kiện đề cần xét hai trường hợp sau TH, x>0>y Khi P=5|x|—3|y|EŠ5x+3y Suyra P=5x+3: x„0 (1) => 23 —3 = 3x3 + yV3 -6.[xy © (3x4 y—2)V3 = 6fxy -3 (2) => (3x+ y—2)°.3 = 36xy — 36./xy +9 = fy - 12xy+3-(3x+y-2) SY 8) x, y số hữu tỉ, nên từ (3) suy xy + Nêu 3x+ y—2z0, la số hữu tỉ ta có trái (2) sô vô tỉ, phải (2) số hữu tỉ, điều vô lí + Nêu 3x+ „—2=0, kêt hợp với (2) ta có: lene ao © 6,/xy -3=0 3x+ y= az ¬ Giải hệ ta được: x=y=5 I, l Thay vào (1) ta x= y= thỏa mãn yêu câu toán Đặt a=“,2b=-^“ (voi x, y,z>0) x (1,5d) y => 3e=Ễ Z Bat dang thức cân chứng minh trở thành: y z7 x? y Z x x y Z ZX XV W X ÿ Z yp Zz x 3+~—=+—+—>—+—+—+—+~+— ©x`+y +zÌ+3xz > y'z+ xz”+ x°y+x”z+xy” + yz” ©Sx(x~ y\(x—=z)+ y(y~z)(y—x)+z(z~x)(z—y)>0 (Ù) Khơng tính tổng qt giả sử x> y„>z Ta có: (1) ©(x—y)(x+y_—z)+z(z-x)(z-y)>0 (2) Dễ thấy (2) suy đpem a=l DâuA 66.99 ““= _ Xây Ta cC©x=y=z©tb=z I _ c=— A (3d) , C' i N | \ KO o C M' Từ giả thiết ta có: 4MO= ANO = 4A4'O =90° nên điểm 4, 4”, M, Ĩ, ẤN thuộc đường trịn đường kính 4Ø => AA'N=AMN (1) Lai cé: AMN = MM'N = MM'N = AA'N> MM/AA' Ma BC | Ad’ > BC | MM” Mặt khác BC đường kính (Ĩ) nên 8C vng góc với Ä⁄M⁄ˆ trung diém cua MM’, dé M’ doi xtng voi VM qua BC AAMC’ va AABM c6 AMC'= ABM vachung goc MAB = AAMC'~ AABM=> AM _ AC’ => AM’= AB.AC' (3) “AB AM Dé thay AAC'H ~ AAA'B> AC AM AA AB Tu (3) va (4) = A4A'.AH = AM? —_ 4H AM Mặt khác A4HMí _ AM AA' A4M⁄4' có chung góc ˆ41⁄ nên AAHM ~ AAMA'=> AMH = AA'M Tứ Có Từ Từ 44) AH = ABAC’ (4) giác 4A⁄4N nội tiếp > AA'M = ANM AM, AN tiếp tuyến (Ø) > AMN = ANM (6) va(7) > AMN = AA'M (5) (8) tacó AMH = AMN (5) (6) (7) (8) Dễ thấy H, N năm phía so với đường thăng 41M nên tỉa 4H tring tia MN hay M, H, N thang hang D Qua O ké đường thăng d song song véi B’C’, d cat BB’ va CC’ lan luot tai D, E KB` KH KC' KB" OD OD OH OE KC' OE Ta có: BDO = ECO (vì băng BB'C') va BOD = EOC = ADBO~ ACEO => 22 = 28 -, opog=00 = 22 =o OC OE OE (10) Lay F (F# E) trén duong thang CC’ cho OE = OF — OFC = B'C'H (vicing bang OEC’) Lai cé HB'C'=OCF => AB'C'H ~ ACFO=> Tu (1đ) (9), (9) (10),(10), 11) (1 ) KB' HB' =OC.=> HB' =OC HC' OF HB' HC' OE (11) => —— —— xe =| lạc, 1,0 điểm Tông tât sô ghi bảng bang l+2+3+-::+9=45 Gọi x sô ghi ô (2; 2) (ô trung tâm bảng); ô lại ghi sô a, b, c, d, e, f, ø.h (Hình Ï): d b C h x | d g | f | e Hinh Cộng tông tât sô ghi bảng kích thước 2x2 ta AT =4x+(a+ct+e+g)+2(b+d+ f+h)=454+2x4+(x+b+d+ f+h) Do x