b Tính EDF Trong tam giác ACD có AF và CF là hai phân giác ngoài và trong tại các đỉnh A và C cuả tam giác ADC nên DF là phân giác ngoài của góc D của tam giác ADC suy ra DE là phân gi[r]
130 Gọi Ax Bài toán 1: Cho tam giác ABC có ABC 30 BAC tia đối tia AB, đường phân giác góc ABC cắt phân giác CAx D Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD E So sánh độ dài AC CE Giải: Gọi Cy tia đối tia CB Dựng DH, DI, DK vng góc với BC AC, AB Từ giả thiết ta suy DI = DK; DK = DH nên suy DI = DH ( CI nằm tia CA điểm I thuộc tia đối CA DI > DH) Vậy CD tia phân giác I Cy I Cy 0 A B 300 1300 ACD DCy 800 2 góc ngồi tam giâc ABC suy 1800 1300 500 Do đó, Mặt khác CAE Vậy CA = CE CEA 500 nên CAE cân C Bài toán 2: Cho tam giác ABC có BC = 10 cm Các đường trung tuyến BD CE có độ dài theo thứ tự cm 12cm Chứng minh rằng: BD CE Giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi ta có: 2 GC CE 12 8 cm 3 2 GB BD 6 cm 3 2 giác BGC có 10 6 hay BC BGC vuông G hay BD CE 2 BG CG Tam Suy Bài toán 3: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DB Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC CE Gọi I, K theo thứ tự giao điểm AM, AN với BE Chứng minh BI = IK = KE Giải: Do AM BD hai trung tuyến tam giác ABC cắt I nên I trọng tâm tam giác BI BD (1) ABC, ta có: Ta có K trọng tâm tam EK ED giác ACE nên (2) Mà BD = DE từ (1) (2) suy BI = EK (3) Mặt khác, ta lại có: ID BD KD ED suy ID = KD ( BD = ED ) nên (4) Từ (3) (4) suy BI = IK = KE IK BD Bài tốn 4: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD = 12cm.Trung tuyến BE = 9cm trung tuyến CF = 15cm Tính độ dài BC (hính xác đến 0,1 cm) Giải Trên tia đối tia DG lấy điểm M cho DM = DG AG 2 AD 12 8(cm) 3 2 BG BE 6(cm) 3 GCD DBM = GM = ; ; BDM CDG(c.g.c) nên suy trong) nên BM//CG MB = CG mà (so le 2 CG CF 15 10(cm) 3 Mặt khác, ta có 10 6 hay BM BG MG Suy BGD vuông G Theo định lý Pythagore ta có BD BG GD 62 42 52 Vậy BC = 2BD = 2 2 52 14, 4(cm) Bài toán 5: Chứng minh tổng độ dài ba đường trung tuyến tam giác lớn Giải: chu vi nhỏ chu vi tam giác Ta có 2AD AB AC 2BE AB BC ; ; 2CF BC AC nên suy AD BE CF AB BC CA hay AD BE CF AB BC CA (1) Trong tam giác BGC có: BG BE BG + GC > BC mà 2 CG CF BE CF BC BE CF BC 3 nên 3 CF AD AC BE AD AB 2 Tương tự ta có ; Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta có: 3 AD BE CF AB BC CA D BE CF AB BC AC Kết hợp (1) (2) suy (đpcm) (2) AB BC AC AD BE CF AB BC AC Bài toán 6: Cho tam giác ABC, gọi D, E theo thứ tự trung điểm AB BC Vẽ điểm M, N cho C trung điểm ME B trung điểm ND Gọi K giao điểm AC DM Chứng minh N, E, K thẳng hàng Giải: ME MB Tam giác MND có BE = EC = CM nên mà MB trung tuyến nên E trọng tâm suy NE trung tuyến tam giác NMD Mặt khác, DE //AC DE đường trung bình tam giác ABC hay DE // KC mà C trung điểm ME nên K trung điểm DM Nên ba điểm N, E, K thẳng hàng Bài toán 7: Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM Gọi I trung điểm BM Trên tia đối tia IA lấy điểm E cho IE = IA Gọi N trung điểm EC Chứng minh đường thẳng AM qua N Giải: Tam giác AEC có CI đường trung tuyến CM CI (vì IE = IA) nên nên M trọng tâm tam giác AEC AM qua N Bài tốn 8: Cho tam giác ABC có AH vng 2C góc với BC BAH Tia phân giác B cắt AC E a) Tia phân giác BAH cắt BE I Chứng minh tam giác AIE vuông cân b) Chứng minh HE tia phân giác AHC Giải: a) Chứng minh AIE vuông cân: Ta có AH BC nên tam giác AHC vng H nên CAH HCA 900 (1) Do AI phân giác BAH nên 1 IAH BAI BAH BAH 2 IAH mà BAH 2C (gt) nên IAH C (2) Từ CAH IAH 900 nên tam giác AIE vuông A Ta 1 ABI B BAI BAH ; có Do AIE góc ngồi tam giác BIA nên AIE ABI BAI (B BAH ) 900 450 2 nên tam giác AIE vuông cân (1) (2) suy b)Chứng minh HE tia phân giác AHC Ta có IA AC mà AI phân giác tam giác BAH nên AE phân giác tam giác ABH A BE phân giác tam giác ABH suy HE phân giác ngồi AHC Bài tốn 9: Cho tam giác ABC có góc A 1200 Đường phân giác AD, đường phân giác C cắt AB K Gọi E giao điểm DK AC Tính số đo góc BED Giải: Tam giác ADC có hai phân giác ngồi A C cắt K nên DK phân giác ADC Trong tam giác BAD có AE DE hai phân giác ngồi góc A D cắt E nên BE phân giác góc B EDC DBE DEB góc ngồi tam giác BDE nên ta có EDC mà EDC ADE ( DE phân giác ADC ) suy EDA ABD ADC ABC BAD 600 DEB EDC DBE EDA ABD 300 2 2 Bài toán 10: Cho tam giác ABC có A 120 đường phân giác AD, BE, CF a) Chứng minh DE tia phân giác tam giác ADB b) Tính EDF Giải: a) Chứng minh DE tia phân giác tam giác ADB Tam giác BAD có AE BE hai phân giác đỉnh A B (Do A 120 ) nên DE phân giác tam giác ABD b) Tính EDF Trong tam giác ACD có AF CF hai phân giác đỉnh A C cuả tam giác ADC nên DF phân giác ngồi góc D tam giác ADC suy DE phân giác đỉnh 900 D nên DE DF hay EDF Bài toán 11:Cho tam giác ABC cân A, M trung điểm BC Kẻ MH vng góc với AB Gọi E điểm thuộc đoạn AH Trên cạnh AC lấy điểm F cho AEF 2.EMH Chứng minh FM tia phân giác góc EFC Giải: Tam giác ABC cân A có AM trung tuyến nên AM phân giác BAC Tam giác AEF có AM phân giác góc A nên ta phảI chứng minh EM phân giác góc ngồi E tam giác AEF Thật vậy, Do tam giác EMH vuông H 900 EMH nên HEM mà AEF 2.EMH HEM 900 EMH 900 AEF 1 (gt) nên 1 AEF EMH Do Mặt khác ta có 1 FEM 1800 ( AEF BEM ) 1800 AEF 900 AEF 900 AEF (2) 2 Từ HEM FEM BEF (1) (2) suy = hay EM phân giác Tia phân giác AM góc A tia EM phân giác tam giác AEF cắt M nên FM phân giác AFE hay FM phân giác EFC Bài toán 12: Cho tam giác ABC có đường phân giác BD CE cắt I ID = IE Chứng minh B = C hay B + C 120 Giải: IK Qua I kẻ IH AB AC , Do I giao điểm hai đường phân giác nên IH IK ID IE gt nên IHE IKD (cạnh huyền, cạnh góc vuông) nên suy ADB BEC (1) a) Trường hợp K AD; H BE ta có AEC ) (2) 1 BEC A C ( BEC góc ADB C 1B ( ADB góc ngồi DBC ) (3) Từ (1); (2) (3) A C C 1B 2 1 1 B A A C B 1800 A 600 C B 1200 A C B A C 2 b) Nếu H AE K DC suy tương tự ta có C B 120 A C A B C B 2 c) Nếu H EB K DC 1B B 1C C B C 2 d) H AE K DA B 1200 C C B Vậy bốn trường hợp ta ln có = Bài tốn 13: Cho tam giác ABC Tìm điểm E thuộc phân giác góc ngồi đỉnh A cho tam giác EBC có chu vi nhỏ Giải: Chu vi tam giác EBC nhỏ tổng EB + CE nhỏ Vẽ BH vng góc với phân giác ngồi góc A cắt AC D đường thẳng a ( đường phân giác ngồi đỉnh A) cuả tam giác ABC nên a đường trung trực BD nên EB = ED Do EB EC ED EC DC với điểm E thuộc a ta có EB EC DC xảy dấu đẳng thức E nằm D C Vậy E A chu vi tam giác EBC nhỏ Bài toán 14: Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M cạnh BC cho vẽ điểm D, E AB đường trung trực MD, AC đường trung trực ME DE có độ dài nhỏ Giải: Ta có AB đường trung trực MD nên AD AM ( 1) AC đường trung trực ME nên AM AE (2) Từ (1) (2) suy AD AE nên tam giác ADE cân A DAE 2.BAC không đổi nên DE đạt nhỏ AD nhỏ AD AM AH với AH BC xảy dấu M H DE đạt giá trị nhỏ Bài toán 15: Cho A nằm góc xOy nhọn Tìm điểm B,C thuộc Ox, Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Giải: Vẽ D đối xứng với A qua Oy, E đối xứng với A qua Ox Nên Oy, Ox đường trung trực AD AE Khi ta có CA = CD BE = BA nên chu vi tam giác ABC là: CB + AB + CA = CB + CD + BE DE Dấu đẳng thức xảy B M ; C N Do ABC có chu vi nhỏ vị trí AMN Bài tốn 16: Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Tia phân giác góc HAB cắt BC D, tia phân giác góc HAC cắt BC E Chứng minh giao điểm đường phân giác tam giác ABC giao điểm đường trung trực tam giác ADE Giải: Ta có ADE góc ngồi tam giác ADB nên ADE DBA CAH HAD BAD Mặt khác ta có: DAC DAH mà ABH HAC ( phụ với BAH ); BAD (Do AD tia phân giác BAH nên ADC DAC Vậy tam giác CAD cân C mà CK đường phân giác nên CK đường trung trực AD Tương tự ABE cân E mà BP đường phân giác nên BP đường trung trực AE Nên M giao điểm hai đường phân giác CK BP giao điểm hai đường trung trực tam giác ADE Bài toán 17:Cho tam giác ABC cân A, điểm E D theo thứ tự di chuyển hai cạnh AB AC cho AD = CE Chứng minh đường trung trực DE qua điểm cố định Giải: Khi D B E A Đường trung trực DE đường trung trực AB Khi D A E C Đường trung trực DE đường trung trực AC Gọi O giao điểm hai đường trung trực AB AC Ta phải chứng minh đường trung trực DE qua O Ta có tam giác ABC cân A nên O nằm đường trung trực BC Suy AH = KC mà AD = CE (gt) nên DH = KE OH = OK nên HDO KEO c.g.c Do OD = OC Vậy đường trung trực DE qua điểm cố định O ... phân giác BAH nên 1 IAH ? ?BAI BAH BAH 2 IAH mà BAH 2C (gt) nên IAH C (2) Từ CAH IAH 900 nên tam giác AIE vuông A Ta 1 ABI B BAI BAH ; có Do AIE góc ngồi... ABC hay DE // KC mà C trung điểm ME nên K trung điểm DM Nên ba điểm N, E, K thẳng hàng Bài toán 7: Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM Gọi I trung điểm BM Trên tia đối tia IA lấy điểm E cho... AIE vuông A Ta 1 ABI B BAI BAH ; có Do AIE góc ngồi tam giác BIA nên AIE ABI BAI (B BAH ) 900 450 2 nên tam giác AIE vuông cân (1) (2) suy b)Chứng minh HE tia phân