9 phuong phap giai phuong trinh nghiem nguyen

4 PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt c[r]

Lời nói đầu Trang Phần 1: Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp 1:Xét số dư vế .5 Phương pháp 2: Đưa dạng tổng .5 Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức Phương pháp 4: Dùng tính chia hết, tính đồng dư .8 Phương pháp 5: Dùng tính chất số phương .11 Phương pháp 6: Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn .14 Phương pháp 7: Xét chữ số tận .15 Phương pháp 8: Tìm nghiệm riêng 15 Phương pháp 9: Hạ bậc 16 Phần 2: Các dạng phương trình có nghiệm ngun .18 Dạng 1: Phương trình bậc hai ẩn 19 Dạng 2: Phương trình bậc hai có hai ẩn 19 Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn 21 Dạng 4: Phương trình đa thức có ba ẩn trở lên 23 Dạng 5: Phương trình dạng phân thức .24 Dạng 6: Phương trình dạng mũ 25 Dạng 7: Hệ phương trình vơ tỉ 26 Dạng 8: Hệ phương trình với nghiệm nguyên 28 Dạng 9: Hệ phương trình Pytago .28 Dạng 10: Phương trình Pel .30 Dạng 11: Điều kiện để phương trình có nghiệm ngun 32 Phần 3: Bài tập áp dụng 33 Phụ lục .48 Lời cảm ơn .52 Phương trình tốn với nghiệm ngun đề tài lý thú Số học Đại số, từ tốn tính loại trâu Trăm trâu trăm cỏ đến chuyên gia toán học lớn với toán định lý lớn Fecma Được nghiên cứu từ thời Điôphăng kỉ thứ III, phương trình nghiệm ngun cịn đối tượng nghiên cứu tốn học Phương trình nghiệm ngun vơ đa dạng, thường khơng có quy tắc giải tổng quát Mỗi toán, với số liệu riêng nó, địi hỏi cách giải riêng phù hợp Thời gian qua, nhờ hướng dẫn giáo viên mơn, chúng em xin giới thiệu chun đề “Phương trình nghiệm nguyên” Chuyên đề tập hợp phương pháp dạng phương trình khác phương trình nghiệm nguyên, chúng em sưu tầm từ nguồn kiến thức khác Chúng em mong muốn chuyên đề giúp ích phần cho việc tìm hiểu bạn học sinh vấn đề nêu Quyển chuyên đề gồm có phần Đầu tiên chúng em xin giới thiệu phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm ngun, sau việc tìm hiểu cách giải dạng phương trình khác cuối phần tập Trong trình biên soạn, sưu tầm tập hợp phương pháp ví dụ, tập, chúng em cố gắng nhiều thiếu sót điều khó tránh khỏi Vì vậy, chúng em mong thầy bạn xem xong chuyên đề đóng góp ý kiến để giúp chuyên đề sau hoàn thành tốt Xin chân thành cảm ơn! Nhóm biên tập 1) PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ Ví dụ 1: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm nguyên: 2 a) x  y  1998 2 b) x  y  1999 2 2 Giải: x , y chia cho có số dư nên x  y chia cho có a) Dễ chứng minh số dư 0, 1, Còn vế phải 1998 chia cho dư Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun 2 2 b) x , y chia cho có số dư 0, nên x  y chia cho có số dư 0, 1, Còn vế phải 1999 chia cho dư Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình 9x   y  y Giải Biến đổi phương trình: 9x   y( y  1) y( y  1) chia cho Ta thấy vế trái phương trình số chia hết cho dư nên dư Chỉ có thể: y   3k  với k nguyên y  3k  1, Khi đó: 9x   (3k  1)(3k  2)  9x  9k(k  1)  x  k(k  1)  Thử lại, x  k(k  y  3k   1) , y  3k  thỏa mãn phương trình cho Đáp số x  k(k  1) với k số nguyên tùy ý 2) PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG Biến đổi phương trình dạng: vế trái tổng bình phương, vế phải tổng số phương Ví dụ 3: Tìm nghiệm ngun phương trình: Giải: (1) 2 x y xy8 2 (1)  4x  y  4x  y  32 2  (4x  4x  1)  (4 y  y  1)  34 2 2 |2x  |  |2 y  |   Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có dạng phân tích thành 2 tồng hai số phương ,5 Do phương trình thỏa mãn hai khả năng: | 2x  | |  2x   |2 y  | | 5   |2 y1 | Giải hệ  phương trình (1) có bốn nghiệm ngun là: (2 ; 3), (3 ; 2), (  ;  2), (  ;  1) 3) PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Trong giải phương trình nghiệm nguyên cần đánh giá miền giá trị biến, số giá trị mà biến số nhận khơng nhiều dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra Để đánh giá miền giá trị biến số cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức … a) Phương pháp thứ tự ẩn Ví dụ 4: Tìm ba số ngun dương cho tổng chúng tích chúng Giải: Cách 1: Gọi số nguyên dương phải tìm x, y, z Ta có: x  y  z  x (1) y.z Chú ý ẩn x, y, z có vai trị bình đẳng phương trình nên xếp thứ tự giá trị ẩn, chẳng hạn:  x  y  z Do đó: xyz  x  y  z  3z Chia hai vế bất đảng thức xyz  cho số dương z ta được: xy  3z Do xy {1; 2;3} Với xy = 1, ta có x = 1, y = Thay vào (1) + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = Với xy = 3, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = loại y  z Vậy ba số phải tìm 1; 2; Cách 2: Chia hai vế (1) cho xyz  được: 1   1 yz xz xy x  y  z  ta có Giả sử 1 1113 1 yz xz xy z z2 z2 z2 Suy  z  nên z = Thay z = vào (1): z x  y   xy  xy  x  y   x( y  1)  ( y  1)   ( x  1)( y  1)  Ta có x   y   nên x–1 y–1 Suy x y Ba số phải tìm 1; 2; Ví dụ 5: Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau : 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt Giải Vì vai trò x, y, z, t nên giả thiết x ≥ y ≥ z ≥ t Khi : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10  yzt  15  t  15  t  Với t = ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15  yz  30  2z  30  z  Nếu z = 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay (2x – 5)(2y – 5) = 65 Dễ thấy phương trình có nghiệm (x = 35; y = 3) (x = 9; y = 5) Giải tương tự cho trường lại trường hợp t = Cuối ta tìm nghiệm nguyên dương phương trình cho (x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) hoán vị số b) Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 11 1 x y Giải: Do vai trị bình đẳng x y, giả sử x  y Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị số nhỏ (là y) 1 nên y  Hiển nhiên ta có  (1) y 1 x  y  nên  Do đó: x y y 111  11  (2) y6 x y y y nên Ta xác định khoảng giá tri y  y  1 1 Với y = ta được:    nên x = 12 x 12 1 Với y = ta được:    loại x khơng số nguyên x 15 1 1 Với y = ta được:    nên x = x 6 Các nghiệm phương trình là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6) c) Phương pháp nghiệm nguyên Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên x cho: Mặt khác x x x 3 5 Giải: Viết phương trình dạng: 2 5 x ... khơng có nghiệm ngun: 2 a) x  y  199 8 2 b) x  y  199 9 2 2 Giải: x , y chia cho có số dư nên x  y chia cho có a) Dễ chứng minh số dư 0, 1, Còn vế phải 199 8 chia cho dư Vậy phương trình cho... có số dư 0, 1, Cịn vế phải 199 9 chia cho dư Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình 9x   y  y Giải Biến đổi phương trình: 9x   y( y  1) y( y  1) chia... trình cho ta : 19u2 + 28v2 = 81 (2) Từ (2) lập luận tương tự ta suy u = 3s, v = 3t (s, t □ ) Thay vào (2) ta có 19s2 + 28t2 = (3) Từ (3) suy s, t không đồng thời 0, 19s2 + 28t2 ≥ 19 > Vậy (3) vơ