P không phải là số hữu tỉ chứng minh bằng phản chứng... Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm một tổng :.[r]
MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ CĂN THỨC BẬC HAI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 ab ab a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : bc ca ab a b c b c b) Cho a, b, c > Chứng minh : a c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b a b Tìm liên hệ số a b biết : a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Rút gọn biểu thức : A 2 3 1 16 Chứng minh rằng, n Z+ , ta ln có : a) 1 17 Trục thức mẫu : 18 20 2 1 2 n b) x x 1 n 1 18 Tính : a) 5 19 Cho 3 29 20 a 3 b 3 2 b) 13 48 10 c) 5 3 29 12 Chứng minh a số tự nhiên 32 17 12 17 12 b có phải số tự nhiên khơng ? 20 Cho 21 Giải phương trình sau : a) c) x x 4 x 0 b) x x 3 x 5 x x 22 Tính giá trị biểu thức : 2 x 2 1 x 3 d) x x 5 M 12 29 25 21 12 29 25 21 1 1 1 2 3 n 1 n 23 Rút gọn : 1 1 P 2 3 4 2n 2n 24 Cho biểu thức : A a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ? 1 1 A 1 100 99 99 100 25 Tính : 1 1 n n 26 Chứng minh : 27 Chứng minh đẳng thức sau : 10 15 2 10 8 d) a) 15 c) b) 48 2 1 e) 17 28 Chứng minh bất đẳng thức sau : 5 5 10 5 5 1 c) 0, 1,01 1 1 2 3 2 3 3 d) 3 2 6 2 2 a) 27 48 e) h) 2 3 b) 21 5 2 1,9 g) 3 3 i) 17 12 3 2 0,8 2 n n n 29 Chứng minh : Từ suy ra: 1 2004 2005 1006009 2 3 a) b) 4 2 30 Trục thức mẫu : 3 3 x y= 3 Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 31 Cho n 1 n 2002 2003 2002 2003 2002 32 Chứng minh bất đẳng thức sau : 2003 2 x 3xy y A x y2 33 Tính giá trị biểu thức : với x 3 y 3 A 34 Tìm GTNN GTLN biểu thức 2 x2 A x x với < x < 35 Tìm giá trị nhỏ B 36 Tìm GTLN : a) A x y biết x + y = ; b) y x x y 37 Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997 So sánh a với b, số lớn ? a) A b) B x 2x 52 6 x 38 Tìm GTNN, GTLN : 39 Tìm giá trị lớn A x x 40 Tìm giá trị lớn A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 41 Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = 42 Tìm GTNN, GTLN A x x y y biết 43 Giải phương trình : x y 1 x 1 x x 3x (x 2) 3 x 2 44 Giải phương trình : x 2x 4x 2x 1 1 2 (n 1) n 45 CMR, n Z+ , ta có : 1 1 A 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 Hãy so sánh A 1,999 46 Cho a 47 Cho 3 ; b 32 6 3 CMR : a, b số hữu tỉ a 1 a1 4 a a 4a a a a 48 Chứng minh : n 3 49 Chứng minh 50 Tìm phần nguyên số (a > ; a ≠ 1) 1 2 n 2 n với n N ; n ≥ (có 100 dấu căn) 1 1 2 (n 1) n 51 CMR, n ≥ , n N : 1 1 9 a1 a2 a3 a 25 52 Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk : 25 số tự nhiên tồn số Chứng minh Híng dÉn gi¶i m m2 hay 7n m 7 n n (tối giản) Suy (1) Đẳng thức số hữu tỉ m 7 mà số nguyên tố nên m Đặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) chứng tỏ (2) suy 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2 số nguyên tố nên n m n m chia hết phân số n không tối giản, trái giả thiết Vậy số hữu tỉ; Giả sử số vơ tỉ 2 Khai triển vế trái đặt nhân tử chung, ta vế phải Từ a) b) (ad – bc)2 ≥ Cách : Từ x + y = ta có y = – x Do : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + ≥ Vậy S = x = y = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có : (x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ≤ 2(x2 + y2) = 2S S ≥ mim S = x = y = bc ca bc ab ; b a c b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương a bc ca bc ca bc ab bc ab ca ab 2 2c; 2 2b 2 b a b a c a c c có: a ; b ; ca ab b c , ta ca ab 2a b c cộng vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Dấu xảy a = b = c 3a 5b 3a.5b c) Với số dương 3a 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có : 12 12 (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) 122 ≥ 60P P ≤ max P = Dấu xảy 3a = 5b = 12 : a = ; b = 6/5 Ta có b = – a, M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ Dấu “=” xảy a = ẵ Vy M = ẳ a = b = ½ Đặt a = + x b3 = – a3 = – (1 + x)3 = – 3x – 3x2 – x3 ≤ – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3 Suy : b ≤ – x Ta lại có a = + x, nên : a + b ≤ + x + – x = Với a = 1, b = a3 + b3 = a + b = Vậy max N = a = b = Hiệu vế trái vế phải (a – b)2(a + b) Vì | a + b | ≥ , | a – b | ≥ , nên : | a + b | > | a – b | a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2 4ab > ab > Vậy a b hai số dấu a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + – 4a = a2 – 2a + = (a – 1)2 ≥ b) Ta có : (a + 1) ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c bất đẳng thức có hai vế dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82 Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển rút gọn, ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) x 2x 1 x 3x 4 2x x 2x x x 2 x 2 11 a) b) x2 – 4x ≤ (x – 2)2 ≤ 33 | x – | ≤ -3 ≤ x – ≤ -1 ≤ x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – (2x – 1)2 ≤ Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên : 2x – = Vậy : x = ½ 12 Viết đẳng thức cho dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = (1) Nhân hai vế (1) với đưa dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = (2) Do ta có : a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = Suy : a = b = c = d = 13 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 M ≥ 1998 Dấu “ = “ xảy có đồng thời : 14 Giải tương tự 13 16 Ta có : a b 0 a 0 b 0 2 k k k k 1 Vậy M = 1998 a = b = k 1 k k 1 k 1 k k 2 k 1 k 1 Vậy : 1 2( 1) 2( n 2) 2( 3) 2( n n) = = 2( n 1) (đpcm) 22 Đưa biểu thức dấu dạng bình phương M = -2 n - 23 Trục thức mẫu hạng tử Kết : A = 24 Ta có : a a 1 ( a a 1) P ( 2n 1) P số hữu tỉ (chứng minh phản chứng) 1 (n 1) n n n n 25 Ta chứng minh : 1 1 1 n n n n 26 34 Ta phải có A ≤ Dễ thấy A > Ta xét biểu thức : 3 x B 2 A 10 n 1 3 B x 0 x x 0 Khi 2 A x2 2 max A x 2 2 Ta có : 2 x 0 x Khi A = 2x x B 1 x x Khi : 35 Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : 2x x (1) 2x x B 2 2 B 2 1 x x 1 x x 0 x (2) max B 2 Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2 x = – x Do < x < nên x = – x x= 21 1 Như B = 2 - 1 2x x 2x x A B 2 3 x 1 x x 1 x x 1 x Bây ta xét hiệu : Do A = 2 + x = - x= 36 a) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng : a b ab a b 2(a b ) Ở ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức : A x y 2(x y 3) x y x 1,5 max A x y 4 y 2,5 Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy b) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích : ab ab 2(y 2) x 1.(x 1) , y x , y tích : x 1.(x 1) x 1 x x 2x Theo bất đẳng thức Cauchy : Ta xem biểu thức y 2.(y 2) y 2 y y 2y 2 x 1 x 2 2 max B 4 y 2 y 4 1 a ,b 1997 1996 1998 1997 Ta thấy 1997 1996 1998 1997 37 Nên a < b 38 a) A = - với x = max A = với x = ± b) B = với x = ± max B = với x = x (1 x ) A x (1 x ) 2 39 Xét – ≤ x ≤ A ≤ Xét ≤ x ≤ x 1 x 2 max A x 2 x 2 40 A = x – y ≥ 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki : 1 A (x y) 1.x 2y (x 4y ) 4 2 2y x max A = x 2 x 4y 1 y 10 x y 10 41 a) Tìm giá trị lớn : Từ giả thiết : x x 0 x 1 x y3 x y 1 y y 0 y 1 x x max A 1 x 0, y 1 V x 1, y 0 y y xy 1 2 2 b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y) ≤ 2(x + y ) = x + y ≤ Do : 3 x y x y x y3 Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki : (x y3 )(x y) 2 y3 x A x y 2 2 y x3 x x y3 y = (x + y ) = 2 42 Đặt x a ; y b , ta có a, b ≥ 0, a + b = A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab Do ab ≥ nên A ≤ max A = a = b = x = x = 1, y = (a b) 1 1 ab ab 3ab A x y 4 4 4 Ta có 43 Điều kiện : – x ≥ , – x ≥ nên x ≤ Ta có : x 3 x (x 1)(x 2) 3 x 3 x x (x 1)(x 2) x x (x 1)(x 2) 44 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phương trình xác x 2x = y ≥ 0, phương trình có dạng : y 3 y 2 (loai y 0 2 2 y -y - 12 = (y - )(y + ) = định với giá trị x Đặt x 2x = x2 + 2x + = 18 (x – 3)(x + 5) = x = ; x = -5 1 1 1 k k k (k 1)k k 1 k k 1 k k 1 k 45 Ta có : (k 1) k k 1 1 2 1 k 1 k k 1 (k 1) k k 1 k Do = Do : 1 1 1 2 (n 1) n 2 n Vậy : 21 2 n = (đpcm) 46 Dùng bất đẳng thức Cauchy ab a b (a, b > ; a ≠ 0) 1 n 49 Đặt a) Chứng minh A n : Làm giảm số hạng A : 2 2 k k k k k 1 k A k A n n Do 2 n 2 n 2 n n b) Chứng minh A n : Làm trội số hạng A : 2 2 k k k k k k k A n n 2 n Do : n 1 50 Kí hiệu a n có n dấu Ta có : a1 ; a a1 3 ; a a 3 a100 a 99 3 > Như < a100 < 3, [ a100 ] = 205 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + )2 = + Ta có 48 nên < < 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + )2 x = + Hiển nhiên a100 > )2 y = - Suy x + y = 14 < nên < (2- )2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Xét biểu thức y = (2 Dễ thấy < - Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a ] = 51 x y b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : x y a a x y b x y b 206 Đặt x – y = a ; a) Nếu b ≠ số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) ta có : 1 a 1 a x b y b 2 b số hữu tỉ ; 2 b số hữu tỉ b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ n 1 n n n(n 1) n n (n 1) n n n n 51 Ta có n n n 2 n 1 n n 1 n 1 Từ ta giải toán 52 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, hai số Khơng tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , … a25 ≥ 25 Thế : 1 1 1 a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2 1 25 24 25 25 24 24 2 2 2 2 25 24 24 23 24 24 23 23 2 2 1 9 a1 a2 a 25 Từ (1) (2) suy : 25 số a1 , a2 , … , a25 25 9 (2) , trái với giả thiết Vậy tồn hai số ... a ,b 199 7 199 6 199 8 199 7 Ta thấy 199 7 199 6 199 8 199 7 37 Nên a < b 38 a) A = - với x = max A = với x = ± b) B = với x = ± max B = với x = x (1 x ) A x (1 x ) 2 39 Xét –... 1. 199 9 2. 199 8 3. 199 7 199 9.1 Hãy so sánh A 1 ,99 9 46 Cho a 47 Cho 3 ; b 32 6 3 CMR : a, b số hữu tỉ a 1 a1 4 a a 4a a a a 48 Chứng minh : n 3 49. .. biết x + y = ; b) y x x y 37 Cho a 199 7 199 6 ; b 199 8 199 7 So sánh a với b, số lớn ? a) A b) B x 2x 52 6 x 38 Tìm GTNN, GTLN : 39 Tìm giá trị lớn A x x 40 Tìm giá trị