PHẦN BÀI TẬP
I. CONLẮCLÒ XO
1. Cho pt: x = 4cos 4 t (cm)
Tính: a) f = ?
b) x, v = ? khi t = 5s.
Hướng dẫn:
Pt: x = 4cos 4 t.
a. Tần số:
)Hz(2
2
4
2
f =
π
π
=
π
ω
=
b. * Khi t = 5s, thay vào pt x, ta có: x = 4 cos20 = 4 (cm)
* Từ pt x => v = x’ = -16 . sin4 t
Thay t = 5s vào pt v, ta có: v = -16 sin20 = 0 (cm/s)
2. Cho: con lắclòxo có khối lượng của hòn bi là m, dao động với T = 1s.
a. Muốn conlắc dao động với chu kỳ
T' = 0,5s thì hòn bi phải có khối lượng m' bằng bao nhiêu?
b. Nếu thay hòn bi bằng hòn bi có khối lượng m' = 2m, thì chu kỳ của conlắc sẽ là bao nhiêu?
c. Trình bày các dùng conlắclòxo để đo khối lượng của một vật nhỏ?
Hướng dẫn:
a. Chu kỳ dao động của conlắclò xo:
k
m
2T
π=
Gọi m' là của conlắc có chu kỳ T' = 0,5s, ta có:
k
'm
2'T
π=
Lập tỉ số:
m
'm
k
m
2
k
'm
2
T
'T
=
π
π
=
=>
4
m
'm
4
1
1
5,0
T
'T
2
2
2
2
==>===
m
m'
b. Từ biểu thức:
22
2
2
T
m
'm
'T
T
'T
==>=
m
m'
Thay: m' = 2m => T'
2
=2m/m.1 = 2 =>
)s(4,12'T ==
c. – Mắc một vật đã biết khối lượng m vào một lòxo để tạo thành một con lắclò xo. Cho nó dao động
trong thời gian t(s) ta đếm được n dao động, theo định nghĩa chu kỳ ta xác định được:
n
t
T =
- Muốn đo vật có khối lượng m' (chưa biết), ta thay m bằng m' , sau đó cho dao động và tính được T'
như trên.
- Biết m, T, T' ta tính được:
m
T
'T
'm
2
2
=
3. Cho một conlắc dao động với biên độ A = 10cm, chu kỳ T = 0,5s. Viết pt dao động của conlắc
trong các trường hợp:
a. Chọn t = 0: vật ở vị trí cân bằng.
b. Chọn t = 0: vật ở cách vị trí cân bằng một đoạn 10cm.
Hướng dẫn:
Dạng tổng quát của pt: x = A sin(wt+ ).
Với:
)s/rad(4
5,0
2
T
2
π=
π
=
π
=ω
Vậy: x = 10 sin (4 t + ) (cm) (1)
Tính
a. Cho t = 0 khi vật ở vị trí cân bằng, nghĩa là x = 0.
Thay (1) ta có: 0 = 10 sin => sin
Vậy, pt có dạng: x = 10 sin 4 t (cm)
b. Cho t = 0 khi x = 10cm.
Thay vào (1), ta có: 10 = 10 sin sin
Vậy: pt sẽ thành: x = 10 sin (4 t + /2) (cm)
Bài 4: Một lòxo được treo thẳng đứng, đầu trên của lòxo được giữ cố định, đầu
dưới theo vật nặng có khối lượng m = 100g, lòxo có độ cứng k = 25 N/m. Kéo vật rời khỏi
VTCB theo phương thẳng đứng hướng xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc
310
.
π
(cm/s) theo phương thẳng đứng hướng lên. Chọn gốc thời gian là lúc thả vật, gốc toạ độ
là VTCB, chiều dương hướng xuống.
a. Viết PTDĐ.
b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lòxo giãn 2 cm lần thứ nhất.
Lời giải
a) Tại VTCBO
k∆l = mg
⇒ ∆l =
0,04
25
0,1.10
k
mg
==
(m)
+ ω =
π===
5105
1,0
25
m
k
(Rad/s)
+ m dao động điều hòa với phương trình
x = Asin (ωt + ϕ)
Tại thời điểm t = 0 x = 2 cm > 0
v = 10π
3
(cm/s) <0
Ta có hệ 2 = ASin ϕ →Sin ϕ >0
-10π
3
= 5π.Acosϕ →cosϕ <0
Chia 2 vế của hai phương trỡnh trờn ta cú: tgϕ =
3
1−
⇒ ϕ =
6
5
π
(Rad) → A = 4(cm)
Vậy PTDĐ:
x = 4sin (5πt +
6
5
π
) (cm)
b) Tại VTCB lòxo dãn ∆l = 4cm
+ ở thời điểm t = 0, lòxo bị dãn ∆l = 4 + 2 = 6 (cm)
+ ở thời điểm t = 0 , vật đi lên v<0, tới vị trí lòxo bị dãn 2cm lần đầu tiên thì v<0.
Vậy lúc đó x = -2 (cm)
Ta có: -2 = 4sin (5πt +
6
5
π
)
⇔ sin (5πt +
6
5
π
) =
2
1
−
5πt +
6
5
π
=
6
7
π
⇒ t =
15
1
(s)
∆l
l
0
0(VTCB)
)
x
- ∆l
•
•
•
( Có thể giải bằng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều)
Bài 5: Cho con lắclòxo dđđh theo phương thẳng đứng vật nặng có khối lượng m =
400g, lòxo có độ cứng K, co năng toàn phần E = 25mJ. Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống
dưới VTCB để lòxo giãn 2,6cm đồng thời truyền cho m vận tốc 25cm/s hướng lên ngược
chiều dương Ox (g = 10m/s
2
)
a. CM vật dđđh.
b. Viết PTDĐ
Lời giải
a. Tại VTCB k∆l = mg ⇒ k∆l = 0,4.10 = 4 → ∆l =
k
4
(mét)
Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dưới VTCB, lòxo dãn 2,6 cm
→ x = 2,6 - ∆l = 0,026 -
k
4
( mét)
Chiều dương 0x hướng xuống ⇒ x >0
Tại t = 0 x = 0,026 m/s > 0
v = -0,25 m/s <0
Cơ năng toàn phần E =
3
10.25
2
2
1
2
2
1
−
=+ mvkx
(J)
Ta có phương trình:
322
25.10).0,4.(0,25
2
1
)
k
4
k(0,026
2
1
−
=+−
⇔ k(2,6.10
-2
-
025,0)
4
2
=
k
⇔ 0,026
2
.k
2
- 0,233k + 16 = 0 ⇔ k = 250 (N/m) TM
k = 94,67 (N/m) loại
Vậy k = 250 N/m → ω =
25
4,0
250
==
m
k
(Rad/s)
Tại t = 0 x = 1cm > 0
v = -25cm/s < 0
1 = Asin ; sinϕ >0 ϕ =
4
3π
Rađ
-25 = 25Acosϕ; cosϕ<0 A =
2
cm
Vậy phương trình điều hoà là x =
)
4
3
t25sin(2
π
+
(cm)
=> k > 153,8 N/m
Bài 6: Treo một vật có khối lượng m1 thì chu kì dao động T
1
= 3s. Thay vật m1 bằng vật khối lượng
m2 vào lòxo thì chu kì dao động T
2
= 4s. Nếu treo đồng thời m1 và m2 vào lòxo đó thì chu kì dao
động đó là bao nhiêu?
Bài 7: Một vật nặng có khối lượng m = 100g, gắn vào một lòxo có khối lượng không đáng kể, đầu kia
treo vào một điểm cố định, vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số f = 10/П Hz.
Trong quá trình dao động độ dài của lòxo lúc ngắn nhất là 40cm, lúc dài nhất 44cm. Chọn gốc thời
gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật.
Bài 8: Một conlắclòxo gồm một khối cầu nhỏ gắn vào đầu một lò xo, dao động điều hòa với biên độ
3cm dọc theo trục Ox, với chu kì 0,5s, vào thời điểm t = 0, khối cầu qua vị trí cân bằng theo chiều
dương. Khối cầu có li độ x = 1,5cm lần đầu tiên vào thời điểm nào.
Bài 9: Treo vào lòxo một vật có khối lượng m thấy nó bị kéo dãn, dài thêm 90mm. Dùng tay kéo vật
xuống thấp theo phương thẳng đứng một đoạn dài 36mm rồi buôn tay ra. Thời gian thực hiện 40 dao
động toàn phần đo được là t = 24s. Lấy П = 3,14. Tính gia tốc trọng trường tại nơi làm thí nghiệm?
Bài 10: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 6sin(Пt + П/2)cm.
a. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 0,5s.
b. Tính vận tốc của chất điểm ứng với li độ 6cm.
Bài 11: Một vật có khối lượng 2kg treo vào một lòxo có hệ số đàn hồi k = 5000N/m. Khi kéo vật ra
khỏi vị trí cân bằng một đoạn 5cm rồi thả không vận tốc đầu.
a. Tính chu kì dao động.
b. Tính vận tốc cực đại của vật.
Bài 12: Một vật có khối lượng m treo bằng một lòxo vào một điểm cố định O thì dao động với tần số
5Hz. Treo thêm một vật khối lượng Δm = 38g vào vật thì tần số dao động là 4,5Hz. Tính độ cứng k
của lò xo. Lấy П = 10.
Bài 13: Quả cầu khối lượng m = 100g treo vào lòxo độ cứng k = 10N/m. Từ vị trí cân bằng O ( chọn
làm gốc tọa độ) ta kéo thẳng quả cầu xuống đoạn OM = 2cm rồi truyền vận tốc có độ lớn 20cm/s theo
phương thẳng đứng hướng lên. Chọn t = 0 là lúc quả cầu qua vị trí cân bằng O lần đầu tiên, chiều
dương hướng xuống. Viết phương trinh dao động của quả cầu.
Bài 14: Con lắclòxo dao động với biên độ A = 10cm, ở li độ x = 2,5cm. Thì quan hệ giữa động năng
và thế năng như thế nào?
II. CONLẮC ĐƠN
Bài 15:
Hai conlắc đơn chiều dài l
1
, l
2
(l
1
>l
2
) và có chu kì dao động tương ứng là T
1
; T
2
, tại
nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s
2
. Biết rằng, cũng tại nơi đó, conlắc có chiều dài l
1
+
l
2
, chu kì dao động 1,8s và conlắc đơn có chiều dài l
1
- l
2
có chu kì dao động 0,9 (s). Tính
T
1
, T
2
, l
1
, l
2
.
Lời giải
+ Conlắc chiều dài l
1
có chu kì T
1
=
g
l
.2
1
π
→ l
1
=
g.
4
T
2
2
1
π
(1)
+ Co lắc chiều dài l
2
có chu kì T
2
=
g
l
.2
2
π
→ l
1
=
g.
4
T
2
2
2
π
(2)
+ Conlắc chiều dài l
1
+ l
2
có chu kì T
3
= 2Π.
g
ll
21
+
→ l
1
+ l
2
=
81,0
4
10.)8,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=
π
=
π
(m) = 81 cm (3)
+ Conlắc có chiều dài l
1
- l
2
có chu kì T
'
= 2Π.
g
ll
21
−
→ l
1
- l
2
=
2025,0
4
10.)9,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=
π
=
π
(m) = 20,25 cm (4)
Từ (3) (4) l
1
= 0,51 (m) = 51cm
l
2
= 0,3 (m) = 3cm
Thay vào (1), (2) T
1
= 2Π
42,1
10
51,0
=
(s) Suy ra T
2
= 2Π
1,1
10
3,0
=
(s)
Bài 16:
Một conlắc có chiều dài l, vật nặng khối lượng m, kéo conlắc ra khỏi VTCB một
góc α
0
rồi thả không vận tốc đầu.
1. Lập BT vận tốc tương ứng với li độ góc α suy ra BT vận tốc cực đại.
2. Lập bt lực căng dây ứng với li độ góc α. Suy tab t lực căng dây cực đại, cực tiểu.
* áp dụng: l = 1m, m = 100g, α
0
= 6
0
; g = 10(m/s
2
);
π
2
= 10
Lời giải
1. BT vận tốc tương ứng với li độ α
+ Theo định luật bảo toàn cơ năng, cơ năng của
con lắctại VT li giác bất kì bằng thế năng của conlắc tại
VT biên.
mgh
0
= mgh +
2
1
(mv
2
)
→ v
2
= 2g (h
0
- h)
2
(v
2
= 2gl (1 - cos)
Với h
0
= l(1 - cosα) h = l(1 - cosα)
→v
2
= 2gl (cosα - cosα
0
) Vậy độ lớn vt : | v | =
)cos(cosgl2
0
α−α
I
α
h
0
- h
Vì cosα = 1- 2sin
2
2
α
khi α<< →cosα =
2
1
2
α
−
Tương tự cos α
0
=
2
1
2
0
α
−
| v | =
)(gl
22
0
α−α
+ Vận tốc cực đại khi α
= 0, vật ở VTCB 0 Thì | v
max
| =
gl
0
α
+ áp dụng số: | v
max
|= 6.
33,01.10.
180
=
π
(m/s) = 33cm/s
2 - Biểu thức lực căng dây ứng với li góc α
+ Định luật 2 N
maTPF =+=
Chiều lên phương dây treo
F
th
= -mg.cosα +T = m
aht
Ta có T = mgcosα + m.
l
v
2
= m (gcosα +
l
v
2
)
Vậy v
2
= 2gl (α
2
- α
2
) ta được T = mg (3cosα - 2 cosα
0
) = mg (α
2
0
-
2
3
α
2
+ 1)
+ Lực căng dây cực đại khi α = 0, vật ở VTCB T
max
= mg (α
2
0
+ 1)
Thay số T
max
= 0,1 - 10
01,11
90
1
1
150
6
2
=+=
+
π
(N)
+ Lực căng dây cực tiểu khi α = α
0
, vật ở VT biên
T
min
= mg (1 -
2
1
α
2
0
) Thay số T
min
= 0,1.10
99,0
150
6
2
1
1
2
=
π
−
(N)
Bài 17:
Một conlắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lượng m. Khi con
lắc đơn đang ở VTCB, người ta truyền cho vật nặng vận tốc ban đầu v
0
lực cản coi dao
động của conlắc là dao động nhỏ. Lập bt tính vận tốc của vật nặng và lực căng của dây
treo theo li độ góc α.
Xét trường hợp để vận tốc và lực căng đạt cực đại và cực tiểu.
Lời giải
* Vận tốc tương ứng với li góc α
+ Định luật lt cơ năng: cơ năng của conlắc VT li giác α
Bằng động năng của conlắc ở VTCB
2
0
2
mv
2
1
mghmv
2
1
=+
→ v
2
= v
2
0
- 2gh
v
2
= v
2
0
- 2gl(1 - cosα)
⇒ | v | =
)cos1(gl2v
2
0
α−−
Khi góc α << thì 1 - cosα = 2sin
2
2
α
=
2
2
α
| v | =
22
0
gl2v α−
+ Vận tốc cực đại khi α = 0 → | v
max
| = v
0
, vật ở VTCB
I
α
h
l
T
l
0
v
P
l
Thay số | v
max
| = 1m/s
+ Vận tốc cực tiểu khi α = α
0
v
0
= α
0
gk
→ v
min
= 0
* Lực căng dây
amTPF =+=
⇒ = mgcosα + T = m
aht
→ T = mgcosα + m
l
v
2
= m(gcosα +
l
v
2
)
Thay v
2
ở trên
T = mg
2cos3
gl
v
2
0
−α+
+ Khi α nhỏ: cosα = 1 -2sin
2
2
α
= 1 -
2
2
α
T = mg
)
2
3
1
gl
v
(
2
2
0
α−+
+ Lực căng dây cực đại khi α = 0, conlắc ở VTCB
T
max
= mg +
l
mv
2
0
+ Lực căng dây cực tiểu khi α = α
0
(con lắc ở VTCB)
v
0
= α
0
gl
→ α
2
0
=
gl
v
2
0
→T
min
= mg
)
gl2
v
1(mg)
gl
v
.
2
3
1
gl
v
(
2
0
2
0
2
0
−=−+
áp dụng
T
max
= 0,1.10 +
)N(1,1
1
1.1,0
2
=
T
min
= 0,1 . 10
)
1.10.2
1
1(
2
−
= 0,95 (N)
Bài 18: Một conlắc đơn có chiều dài dây treo dài 4m dao động điều hòa với biên độ góc α
0
= 0,1rad,
chu kì T = 4s. Viết phương trình dao động. Chọn gốc thời gian lúc conlắc có li độ góc cực đại.
Bài 19: Conlắc đơn chiều dài l = 25cm, khối lượng m = 100g ở nơi gia tốc trọng trường g = 10m/s
2
.
Từ vị trí cân bằng B ta kéo quả cầu đến A để dây treo lệch với đường thẳng đứng góc α
0
= 9
0
rồi thả
không vận tốc đầu để conlắc dao động điều hòa. Chọn gốc thời gian là lúc conlắc qua vị trí cân bằng
lần đầu tiên theo chiều dương. Viết phương trình dao động.
Bài 20: Cho conlắc đơn chiều dài 25cm, khối lượng m = 162g dao động với biên độ α
0
= 4
0
ở nơi đó
có g = 10m/s
2
, lấy П
2
≈ 10. Xác định góc lệch α sao cho tại đó động năng lớn gấp 3 lần thế năng.
Bài 21: Conlắc đơn có chiều dài dây treo là 0,8m đang ở vị trí cân bằng, truyền cho conlắc vận tốc
đầu 4m/s có phương nằm ngang. Lấy g = 10m/s
2
. Góc lệch cực đại của dây treo là bao nhiêu?
Bài 22:Con lắc đơn đang đứng yên ở vị trí cân bằng. Lúc t = 0 truyền cho conlắc vận tốc v
0
= 20 cm/s
nằm ngang theo chiều dương thì nó dao động điều hòa với chu kì T
0
= 2П/5 (s); chiều dài conlắc l =
0,4m. Lấy g = 10m/s
2
= П
2
. Viết phương trình li độ dời.
. kỳ của con lắc sẽ là bao nhiêu?
c. Trình bày các dùng con lắc lò xo để đo khối lượng của một vật nhỏ?
Hướng dẫn:
a. Chu kỳ dao động của con lắc lò xo:
k
m
2T
π=
Gọi. cầu.
Bài 14: Con lắc lò xo dao động với biên độ A = 10cm, ở li độ x = 2,5cm. Thì quan hệ giữa động năng
và thế năng như thế nào?
II. CON LẮC ĐƠN
Bài 15:
Hai