Tài liệu Bài tập Con lắc lò xo docx

PHẦN BÀI TẬP I. CON LẮC LÒ XO 1. Cho pt: x = 4cos 4 t (cm) Tính: a) f = ? b) x, v = ? khi t = 5s. Hướng dẫn: Pt: x = 4cos 4 t. a. Tần số: )Hz(2 2 4 2 f = π π = π ω = b. * Khi t = 5s, thay vào pt x, ta có: x = 4 cos20 = 4 (cm) * Từ pt x => v = x’ = -16 . sin4 t   Thay t = 5s vào pt v, ta có: v = -16 sin20 = 0 (cm/s)  2. Cho: con lắc lò xo có khối lượng của hòn bi là m, dao động với T = 1s. a. Muốn con lắc dao động với chu kỳ T' = 0,5s thì hòn bi phải có khối lượng m' bằng bao nhiêu? b. Nếu thay hòn bi bằng hòn bi có khối lượng m' = 2m, thì chu kỳ của con lắc sẽ là bao nhiêu? c. Trình bày các dùng con lắc lò xo để đo khối lượng của một vật nhỏ? Hướng dẫn: a. Chu kỳ dao động của con lắc lò xo: k m 2T π= Gọi m' là của con lắc có chu kỳ T' = 0,5s, ta có: k 'm 2'T π= Lập tỉ số: m 'm k m 2 k 'm 2 T 'T = π π = => 4 m 'm 4 1 1 5,0 T 'T 2 2 2 2 ==>=== m m' b. Từ biểu thức: 22 2 2 T m 'm 'T T 'T ==>= m m' Thay: m' = 2m => T' 2 =2m/m.1 = 2 => )s(4,12'T == c. – Mắc một vật đã biết khối lượng m vào một lò xo để tạo thành một con lắc lò xo. Cho nó dao động trong thời gian t(s) ta đếm được n dao động, theo định nghĩa chu kỳ ta xác định được: n t T = - Muốn đo vật có khối lượng m' (chưa biết), ta thay m bằng m' , sau đó cho dao động và tính được T' như trên. - Biết m, T, T' ta tính được: m T 'T 'm 2 2 = 3. Cho một con lắc dao động với biên độ A = 10cm, chu kỳ T = 0,5s. Viết pt dao động của con lắc trong các trường hợp: a. Chọn t = 0: vật ở vị trí cân bằng. b. Chọn t = 0: vật ở cách vị trí cân bằng một đoạn 10cm. Hướng dẫn: Dạng tổng quát của pt: x = A sin(wt+ ). Với: )s/rad(4 5,0 2 T 2 π= π = π =ω Vậy: x = 10 sin (4 t + ) (cm)  (1) Tính  a. Cho t = 0 khi vật ở vị trí cân bằng, nghĩa là x = 0. Thay (1) ta có: 0 = 10 sin => sin  Vậy, pt có dạng: x = 10 sin 4 t (cm) b. Cho t = 0 khi x = 10cm. Thay vào (1), ta có: 10 = 10 sin sin  Vậy: pt sẽ thành: x = 10 sin (4 t + /2) (cm)  Bài 4: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ cố định, đầu dưới theo vật nặng có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25 N/m. Kéo vật rời khỏi VTCB theo phương thẳng đứng hướng xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc 310 . π (cm/s) theo phương thẳng đứng hướng lên. Chọn gốc thời gian là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, chiều dương hướng xuống. a. Viết PTDĐ. b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất. Lời giải a) Tại VTCBO k∆l = mg ⇒ ∆l = 0,04 25 0,1.10 k mg == (m) + ω = π=== 5105 1,0 25 m k (Rad/s) + m dao động điều hòa với phương trình x = Asin (ωt + ϕ) Tại thời điểm t = 0 x = 2 cm > 0 v = 10π 3 (cm/s) <0 Ta có hệ 2 = ASin ϕ →Sin ϕ >0 -10π 3 = 5π.Acosϕ →cosϕ <0 Chia 2 vế của hai phương trỡnh trờn ta cú: tgϕ = 3 1− ⇒ ϕ = 6 5 π (Rad) → A = 4(cm) Vậy PTDĐ: x = 4sin (5πt + 6 5 π ) (cm) b) Tại VTCB lò xo dãn ∆l = 4cm + ở thời điểm t = 0, lò xo bị dãn ∆l = 4 + 2 = 6 (cm) + ở thời điểm t = 0 , vật đi lên v<0, tới vị trí lò xo bị dãn 2cm lần đầu tiên thì v<0. Vậy lúc đó x = -2 (cm) Ta có: -2 = 4sin (5πt + 6 5 π ) ⇔ sin (5πt + 6 5 π ) = 2 1 − 5πt + 6 5 π = 6 7 π ⇒ t = 15 1 (s) ∆l l 0 0(VTCB) ) x - ∆l • • • ( Có thể giải bằng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều) Bài 5: Cho con lắc lò xo dđđh theo phương thẳng đứng vật nặng có khối lượng m = 400g, lò xo có độ cứng K, co năng toàn phần E = 25mJ. Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dưới VTCB để lò xo giãn 2,6cm đồng thời truyền cho m vận tốc 25cm/s hướng lên ngược chiều dương Ox (g = 10m/s 2 ) a. CM vật dđđh. b. Viết PTDĐ Lời giải a. Tại VTCB k∆l = mg ⇒ k∆l = 0,4.10 = 4 → ∆l = k 4 (mét) Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dưới VTCB, lò xo dãn 2,6 cm → x = 2,6 - ∆l = 0,026 - k 4 ( mét) Chiều dương 0x hướng xuống ⇒ x >0 Tại t = 0 x = 0,026 m/s > 0 v = -0,25 m/s <0 Cơ năng toàn phần E = 3 10.25 2 2 1 2 2 1 − =+ mvkx (J) Ta có phương trình: 322 25.10).0,4.(0,25 2 1 ) k 4 k(0,026 2 1 − =+− ⇔ k(2,6.10 -2 - 025,0) 4 2 = k ⇔ 0,026 2 .k 2 - 0,233k + 16 = 0 ⇔ k = 250 (N/m) TM k = 94,67 (N/m) loại Vậy k = 250 N/m → ω = 25 4,0 250 == m k (Rad/s) Tại t = 0 x = 1cm > 0 v = -25cm/s < 0 1 = Asin ; sinϕ >0 ϕ = 4 3π Rađ -25 = 25Acosϕ; cosϕ<0 A = 2 cm Vậy phương trình điều hoà là x = ) 4 3 t25sin(2 π + (cm) => k > 153,8 N/m Bài 6: Treo một vật có khối lượng m1 thì chu kì dao động T 1 = 3s. Thay vật m1 bằng vật khối lượng m2 vào lò xo thì chu kì dao động T 2 = 4s. Nếu treo đồng thời m1 và m2 vào lò xo đó thì chu kì dao động đó là bao nhiêu? Bài 7: Một vật nặng có khối lượng m = 100g, gắn vào một lò xo có khối lượng không đáng kể, đầu kia treo vào một điểm cố định, vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số f = 10/П Hz. Trong quá trình dao động độ dài của lò xo lúc ngắn nhất là 40cm, lúc dài nhất 44cm. Chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật. Bài 8: Một con lắc lò xo gồm một khối cầu nhỏ gắn vào đầu một lò xo, dao động điều hòa với biên độ 3cm dọc theo trục Ox, với chu kì 0,5s, vào thời điểm t = 0, khối cầu qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Khối cầu có li độ x = 1,5cm lần đầu tiên vào thời điểm nào. Bài 9: Treo vào lò xo một vật có khối lượng m thấy nó bị kéo dãn, dài thêm 90mm. Dùng tay kéo vật xuống thấp theo phương thẳng đứng một đoạn dài 36mm rồi buôn tay ra. Thời gian thực hiện 40 dao động toàn phần đo được là t = 24s. Lấy П = 3,14. Tính gia tốc trọng trường tại nơi làm thí nghiệm? Bài 10: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 6sin(Пt + П/2)cm. a. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 0,5s. b. Tính vận tốc của chất điểm ứng với li độ 6cm. Bài 11: Một vật có khối lượng 2kg treo vào một lò xo có hệ số đàn hồi k = 5000N/m. Khi kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 5cm rồi thả không vận tốc đầu. a. Tính chu kì dao động. b. Tính vận tốc cực đại của vật. Bài 12: Một vật có khối lượng m treo bằng một lò xo vào một điểm cố định O thì dao động với tần số 5Hz. Treo thêm một vật khối lượng Δm = 38g vào vật thì tần số dao động là 4,5Hz. Tính độ cứng k của lò xo. Lấy П = 10. Bài 13: Quả cầu khối lượng m = 100g treo vào lò xo độ cứng k = 10N/m. Từ vị trí cân bằng O ( chọn làm gốc tọa độ) ta kéo thẳng quả cầu xuống đoạn OM = 2cm rồi truyền vận tốc có độ lớn 20cm/s theo phương thẳng đứng hướng lên. Chọn t = 0 là lúc quả cầu qua vị trí cân bằng O lần đầu tiên, chiều dương hướng xuống. Viết phương trinh dao động của quả cầu. Bài 14: Con lắc lò xo dao động với biên độ A = 10cm, ở li độ x = 2,5cm. Thì quan hệ giữa động năng và thế năng như thế nào? II. CON LẮC ĐƠN Bài 15: Hai con lắc đơn chiều dài l 1 , l 2 (l 1 >l 2 ) và có chu kì dao động tương ứng là T 1 ; T 2 , tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s 2 . Biết rằng, cũng tại nơi đó, con lắc có chiều dài l 1 + l 2 , chu kì dao động 1,8s và con lắc đơn có chiều dài l 1 - l 2 có chu kì dao động 0,9 (s). Tính T 1 , T 2 , l 1 , l 2 . Lời giải + Con lắc chiều dài l 1 có chu kì T 1 = g l .2 1 π → l 1 = g. 4 T 2 2 1 π (1) + Co lắc chiều dài l 2 có chu kì T 2 = g l .2 2 π → l 1 = g. 4 T 2 2 2 π (2) + Con lắc chiều dài l 1 + l 2 có chu kì T 3 = 2Π. g ll 21 + → l 1 + l 2 = 81,0 4 10.)8,0( 4 g.)T( 2 2 2 2' = π = π (m) = 81 cm (3) + Con lắc có chiều dài l 1 - l 2 có chu kì T ' = 2Π. g ll 21 − → l 1 - l 2 = 2025,0 4 10.)9,0( 4 g.)T( 2 2 2 2' = π = π (m) = 20,25 cm (4) Từ (3) (4) l 1 = 0,51 (m) = 51cm l 2 = 0,3 (m) = 3cm Thay vào (1), (2) T 1 = 2Π 42,1 10 51,0 = (s) Suy ra T 2 = 2Π 1,1 10 3,0 = (s) Bài 16: Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lượng m, kéo con lắc ra khỏi VTCB một góc α 0 rồi thả không vận tốc đầu. 1. Lập BT vận tốc tương ứng với li độ góc α suy ra BT vận tốc cực đại. 2. Lập bt lực căng dây ứng với li độ góc α. Suy tab t lực căng dây cực đại, cực tiểu. * áp dụng: l = 1m, m = 100g, α 0 = 6 0 ; g = 10(m/s 2 ); π 2 = 10 Lời giải 1. BT vận tốc tương ứng với li độ α + Theo định luật bảo toàn cơ năng, cơ năng của con lắc tại VT li giác bất kì bằng thế năng của con lắc tại VT biên. mgh 0 = mgh + 2 1 (mv 2 ) → v 2 = 2g (h 0 - h) 2 (v 2 = 2gl (1 - cos) Với h 0 = l(1 - cosα) h = l(1 - cosα) →v 2 = 2gl (cosα - cosα 0 ) Vậy độ lớn vt : | v | = )cos(cosgl2 0 α−α I α h 0 - h Vì cosα = 1- 2sin 2 2 α khi α<< →cosα = 2 1 2 α − Tương tự cos α 0 = 2 1 2 0 α − | v | = )(gl 22 0 α−α + Vận tốc cực đại khi α = 0, vật ở VTCB 0 Thì | v max | = gl 0 α + áp dụng số: | v max |= 6. 33,01.10. 180 = π (m/s) = 33cm/s 2 - Biểu thức lực căng dây ứng với li góc α + Định luật 2 N maTPF =+= Chiều lên phương dây treo F th = -mg.cosα +T = m aht Ta có T = mgcosα + m. l v 2 = m (gcosα + l v 2 ) Vậy v 2 = 2gl (α 2 - α 2 ) ta được T = mg (3cosα - 2 cosα 0 ) = mg (α 2 0 - 2 3 α 2 + 1) + Lực căng dây cực đại khi α = 0, vật ở VTCB T max = mg (α 2 0 + 1) Thay số T max = 0,1 - 10 01,11 90 1 1 150 6 2 =+=         +       π (N) + Lực căng dây cực tiểu khi α = α 0 , vật ở VT biên T min = mg (1 - 2 1 α 2 0 ) Thay số T min = 0,1.10 99,0 150 6 2 1 1 2 =               π − (N) Bài 17: Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lượng m. Khi con lắc đơn đang ở VTCB, người ta truyền cho vật nặng vận tốc ban đầu v 0 lực cản coi dao động của con lắc là dao động nhỏ. Lập bt tính vận tốc của vật nặng và lực căng của dây treo theo li độ góc α. Xét trường hợp để vận tốc và lực căng đạt cực đại và cực tiểu. Lời giải * Vận tốc tương ứng với li góc α + Định luật lt cơ năng: cơ năng của con lắc VT li giác α Bằng động năng của con lắc ở VTCB 2 0 2 mv 2 1 mghmv 2 1 =+ → v 2 = v 2 0 - 2gh v 2 = v 2 0 - 2gl(1 - cosα) ⇒ | v | = )cos1(gl2v 2 0 α−− Khi góc α << thì 1 - cosα = 2sin 2 2 α = 2 2 α | v | = 22 0 gl2v α− + Vận tốc cực đại khi α = 0 → | v max | = v 0 , vật ở VTCB I α h l T l 0 v P l Thay số | v max | = 1m/s + Vận tốc cực tiểu khi α = α 0 v 0 = α 0 gk → v min = 0 * Lực căng dây amTPF =+= ⇒ = mgcosα + T = m aht → T = mgcosα + m l v 2 = m(gcosα + l v 2 ) Thay v 2 ở trên T = mg 2cos3 gl v 2 0 −α+         + Khi α nhỏ: cosα = 1 -2sin 2 2 α = 1 - 2 2 α T = mg ) 2 3 1 gl v ( 2 2 0 α−+ + Lực căng dây cực đại khi α = 0, con lắc ở VTCB T max = mg + l mv 2 0 + Lực căng dây cực tiểu khi α = α 0 (con lắc ở VTCB) v 0 = α 0 gl → α 2 0 = gl v 2 0 →T min = mg ) gl2 v 1(mg) gl v . 2 3 1 gl v ( 2 0 2 0 2 0 −=−+ áp dụng T max = 0,1.10 + )N(1,1 1 1.1,0 2 = T min = 0,1 . 10 ) 1.10.2 1 1( 2 − = 0,95 (N) Bài 18: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo dài 4m dao động điều hòa với biên độ góc α 0 = 0,1rad, chu kì T = 4s. Viết phương trình dao động. Chọn gốc thời gian lúc con lắc có li độ góc cực đại. Bài 19: Con lắc đơn chiều dài l = 25cm, khối lượng m = 100g ở nơi gia tốc trọng trường g = 10m/s 2 . Từ vị trí cân bằng B ta kéo quả cầu đến A để dây treo lệch với đường thẳng đứng góc α 0 = 9 0 rồi thả không vận tốc đầu để con lắc dao động điều hòa. Chọn gốc thời gian là lúc con lắc qua vị trí cân bằng lần đầu tiên theo chiều dương. Viết phương trình dao động. Bài 20: Cho con lắc đơn chiều dài 25cm, khối lượng m = 162g dao động với biên độ α 0 = 4 0 ở nơi đó có g = 10m/s 2 , lấy П 2 ≈ 10. Xác định góc lệch α sao cho tại đó động năng lớn gấp 3 lần thế năng. Bài 21: Con lắc đơn có chiều dài dây treo là 0,8m đang ở vị trí cân bằng, truyền cho con lắc vận tốc đầu 4m/s có phương nằm ngang. Lấy g = 10m/s 2 . Góc lệch cực đại của dây treo là bao nhiêu? Bài 22:Con lắc đơn đang đứng yên ở vị trí cân bằng. Lúc t = 0 truyền cho con lắc vận tốc v 0 = 20 cm/s nằm ngang theo chiều dương thì nó dao động điều hòa với chu kì T 0 = 2П/5 (s); chiều dài con lắc l = 0,4m. Lấy g = 10m/s 2 = П 2 . Viết phương trình li độ dời. . kỳ của con lắc sẽ là bao nhiêu? c. Trình bày các dùng con lắc lò xo để đo khối lượng của một vật nhỏ? Hướng dẫn: a. Chu kỳ dao động của con lắc lò xo: k m 2T π= Gọi. cầu. Bài 14: Con lắc lò xo dao động với biên độ A = 10cm, ở li độ x = 2,5cm. Thì quan hệ giữa động năng và thế năng như thế nào? II. CON LẮC ĐƠN Bài 15: Hai