Khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán hệ phương trình sử dụng hàm số để học sinh hiểu bài và tìm tòi lời giải người thầy khuyến khích học sinh học tập theo hướng tích cực, tư duy, sáng tạo trong giải toán. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết dưới đây để nắm nội dung của sáng kiến kinh nghiệm!
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HÊ PH ̣ ƯƠNG TRÌNH Tác giả sáng kiến: Lê Văn Vượng Mã sáng kiến: 31.52.02 Vĩnh Phúc, năm 2019 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu: Trong các đề thi THPT Quốc gia năm học 2015 2016, năm học 2016 2018 cũng như đề thi Tuyển sinh Đại học năm học 2014 2015 trở về trước, đề thi học sỉnh giỏi Tốn lớp 12 Tỉnh Vĩnh Phúc va cac tinh trên toan qc nh ̀ ́ ̉ ̀ ́ ững năm gần đây, đề thi thử THPT Quốc gia của các trường THPT trên tồn quốc chúng ta hay gặp bài tốn giải phương trinh va hê ph ̀ ̀ ̣ ương trình. Các bài tốn này đều là bài tốn ở mức độ vận dụng. Khi hướng dẫn học sinh giải bài tốn hê ph ̣ ương trinh này ta ̀ khơng thể dùng các cách giải hê ph ̣ ương trình học lớp 10 như: Biến đổi tương đương thơng thường đê đ ̉ ưa vê hê th ̀ ̣ ưc Viet, hê ph ́ ̣ ương trinh đôi x ̀ ́ ứng loai I, loai ̣ ̣ II,…đê giai. Trong đ ̉ ̉ ề thi THPT quốc gia 2017 thi Tốn bằng hình thức trắc nghiệm kiên th ́ ưc thi trong ch ́ ương trinh 12, đ ̀ ề thi THPT quốc gia 2018 thi Tốn bằng hình thức trắc nghiệm kiên th ́ ưc thi trong ch ́ ương trinh l ̀ ơp 11,12, đ ́ ề thi thử Toan 12 ́ THPT quốc gia 2019 theo hương dân cua Bơ Giao duc va Đao tao thi Tốn b ́ ̃ ̉ ̣ ́ ̣ ̀ ̀ ̣ ằng hình thức trắc nghiệm kiên th ́ ưc thi trong ch ́ ương trinh Toan 11, 12 trong tâm la ̀ ́ ̣ ̀ kiên th ́ ức Toan 12. ́ Khi hướng dẫn học sinh giải các bài tốn hê ph ̣ ương trình sử dụng hàm số để học sinh hiểu bài và tìm tịi lời giải người thầy khuyến khích học sinh học tập theo hướng tích cực , tư duy, sáng tạo trong giải tốn Với mỗi người giáo viên việc đơi m ̉ ơi ph ́ ương phap day hoc đang th ́ ̣ ̣ ực hiên ̣ bươc chuyên t ́ ̉ ừ chương trinh giao duc tiêp cân nôi dung sang tiêp cân năng l ̀ ́ ̣ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ực cuả ngươi hoc, nghia la t ̀ ̣ ̃ ̀ ừ chô quan tâm hoc sinh hoc đ ̃ ̣ ̣ ược cai gi đên chô quan tâm hoc ́ ̀ ́ ̃ ̣ sinh vân dung đ ̣ ̣ ược cai gi qua viêc hoc. ́ ̀ ̣ ̣ Trong SKKN này tơi sẽ nêu hai vấn đề chính: + “ Ứng dụng hàm số vào giải hê ph ̣ ương trình ” Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tốn + “ Cách ra hê ph ̣ ương trình sử dụng hàm số ”. Giáo viên ra đề 2. Tên sáng kiến: “Ứng dụng hàm số vào giải hê ph ̣ ương trình” 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên: Lê Văn Vượng Địa chỉ tác giả sáng kiến: Giáo viên trường THPT Bình Xuyên Số điện thoại: 0988560979, E_mail: levuongc3bx@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Văn Vượng GV THPT Bình Xun 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bài tập Đại số 12, bồi dưỡng học sinh giỏi, thi THPT quốc gia theo lộ trình 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/12/2017 7. Mơ tả bản chất của sáng kiến: 7.1 Nội dung của sáng kiến: 7.1.1 Nội dung: NỘI DUNG ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HÊ PH ̣ ƯƠNG TRÌNH I. Cơ sở lý thuyết Cho hàm số y = f (x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên tập D: 1/ Nếu tồn tại x D sao cho f (x ) = thì trên D phương trình f (x) = có nghiệm duy nhất x = x u = v, u,v D 2/ Nếu f (u) = f (v) 3/ Khi cho hê ph ̣ ương trinh hai ân (x;y) s ̀ ̉ ử dung ham sô th ̣ ̀ ́ ường bai toan co ̀ ́ ́ hương giai sau: ́ ̉ a/ Từ môt ph ̣ ương trinh cua hê dung ham sô lâp môi quan hê x va y thê vao ̀ ̉ ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ̀ ́ ̀ phương trinh con lai đê giai ph ̀ ̀ ̣ ̉ ̉ ương trinh môt ân ̀ ̣ ̉ b/ Từ môt ph ̣ ương trinh cua hê dung biên đôi t ̀ ̉ ̣ ̀ ́ ̉ ương đương lâp môi quan hê x ̣ ́ ̣ va y thê vao ph ̀ ́ ̀ ương trinh con lai đê giai ph ̀ ̀ ̣ ̉ ̉ ương trinh môt ân băng ph ̀ ̣ ̉ ̀ ương phap ́ ham sô ̀ ́ II. Áp dụng A/ Từ môt ph ̣ ương trinh cua hê dung ham sô lâp môi quan hê x va y thê ̀ ̉ ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ̀ ́ vao ph ̀ ương trinh con lai đê giai ph ̀ ̀ ̣ ̉ ̉ ương trinh môt ân ̀ ̣ ̉ Cho hàm số y = f (x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên tập D nếu tồn tại x D sao cho f (x ) = thì trên D phương trình f (x) = có nghiệm duy nhất x = x Bài tập 1 Giải hê ph ̣ ương trình: x y + y = x + x ( 1) ( x + 2) y + = x +10x+10 ( 2) Hướng dẫn: Điều kiện y −1 (*). Ta thây x =0 không la nghiêm cua hê ph ́ ̀ ̣ ̉ ̣ ương trinh ̀ Xet ́ x ﾹ Tư ph ̀ ương trinh (1) chia hai vê cho ̀ ́ x ta được �y � �y � � �+ � �= x + 2x (3) �x � �x � Xét hàm số f (t) = t + 2t vơí t R , f '(t) = 3t +2>0 ∀ t R đồng biến va liên tuc trên R ̀ ̣ y �y � =x y = x thay vao (2) ta đ Từ (3) f � �= f (x) ̀ ược: �x � x 2 �x + � ﾹ ﾹ ﾹﾹ ﾹﾹ ﾹﾹ ﾹ� x + � ( x + 2) x + = 3( x + ) - ( x + 1) ﾹ ﾹ x +2 = hoăc ̣ x +1 x +2 x +2 x +1 x +2 x +1 Hàm số luôn - 2=0 =- ﾹﾹ x ﾹ - 2 x + = x + ﾹ ﾹ x = ﾹ y = ﾹ ﾹﾹ ( x + ) = x + 16 x +1 ﾹﾹ x ﾹ - 2 x +2 2 = ﾹ - 3( x + ) = x + ﾹ ﾹﾹ + Vơi ́ 2 x +1 ﾹﾹ ( x + ) = x + - 18 - 164 488 + 36 164 ﾹ x = ﾹ y= 25 � �� - 18 - 164 488 + 36 164 � ﾹﾹ ; Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh ̀ ( x;y ) = ﾹﾹﾹ- ; ﾹﾹﾹ , ﾹﾹﾹ ﾹﾹ � 16 �ﾹ� 25 � + Vơi ́ =1 ﾹ ( ) ﾹ x + 3x = ( y + ) y + 1 ( 1) ﾹ Bài tập 2 Giải hê ph ̣ ương trình: ﾹ ﾹﾹ x + 2x + y + y + - 17 = 0 ( ) ﾹ Hướng dẫn: Điều kiện y −1 (*). ﾹ Phương trinh (1) ̀ x3 + 3x = ( ) y + + y + 1 ( 3) Xét hàm số f (t) = t + 3t vơí t R , f '(t) = 3t +3>0 ∀ t R Hàm số luôn đồng biến va liên tuc trên R ̀ ̣ Từ (3) f ( x ) = f ( y + 1) x = y + y = x − thay vao (2) ta đ ̀ ược: x + x + 3x - 18 = ﾹ x = ﾹ y = Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh ̀ ( x;y ) = ( 2;3) Bài tập 3 Giải hê ph ̣ ương trình: ﾹ ﾹﾹ 3x + 9x + - ( 4y + ) + + y + y = 0 ( 1) ﾹ ﾹﾹ 2 ﾹﾹ x - 6x + 4y + 6y + = 0 ( ) ( Hương dân: ́ ̃ ﾹ Phương trinh (1) ̀ ) ( ) � � � � 2 3x � + ( 3x ) + � = ( 2y + 1) � + ( 2y + 1) + � ( 3) � � � � � � � � � � ( ) Xét hàm số f (t) = t + t + vơí t R , f '(t) = + t + 3+ t2 Hàm số luôn đồng biến va liên tuc trên R ̀ ̣ Từ (3) f ( 3x ) = f (2y + 1) 3x = 2y + thay vao (2) ta đ ̀ ược: t2 + >0 ∀ t R - + 33 x + 3x + 3x - = ﾹ ( x + 1) = ﾹ x = - + ﾹ y = � - + 33 � ﾹﾹ Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh ̀ ( x;y ) = ﾹﾹﾹ- + 2; ﾹﾹ ﾹ� � 3 ( ) ( ) y y + x = x x + ( 1) Bài tập 4 Giải hê ph ̣ ương trình: 2019 x ( ) y − x + − x + = 4038 ( ) Hướng dẫn: Điều kiện y − x + (*). Tư ph ̀ ương trinh (1) ̀ Ta nhân thây ̣ ́ x = ﾹ y = không la nghiêm cua hê ph ̀ ̣ ̉ ̣ ương trinh ̀ Xet ́ xﾹ ﾹ Phương trinh (1) ̀ yﾹ � � � 2y 2y � � � � � + = x + 3x ( 3) � � � � � � � � �x � �x � Xét hàm số f (t) = t + 3t vơí t R , f '(t) = 3t +3>0 ∀ t R Hàm số luôn đồng biến va liên tuc trên R ̀ ̣ 2y �2y � =x 2y = x thay vao (2) ta đ Từ (3) f � �= f (x) ̀ ược: �x � x 2019 x x − x + − x + = 4038 2019 x � ( x − 1) + − ( x − 1) � =4038 (4) � � ( ) ﾹ 2019 u +1 Đăt ̣ u = x - phương trinh (4) ̀ Xet ham sô ́ ̀ ́ g ( u ) = 2019 u +1 ( ( ) u + - u = 4038 (5) ) u2 +4 - u u ﾹ R � � � � u u ﾹﾹ ﾹ ﾹ g ' ( u ) = 2019 u +1 ﾹﾹﾹln 2019 + - 1ﾹﾹ ﾹ ﾹﾹ Do ln 2019 > 2, - < < ﾹﾹ ﾹﾹ ﾹ� ﾹ ﾹ� � u2 + � u2 + Hàm số luôn đồng biến va liên tuc trên R ̀ ̣ ﾹ x=1 Ta thây u=0 la nghiêm cua ph ́ ̀ ̣ ̉ ương trinh (5) ̀ � 1� Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh ̀ ( x;y ) = ﾹﾹﾹ1; ﾹﾹﾹ y= thoa man (*) ̉ ̃ � 2� ﾹ ﾹﾹ x + x + y - + y - 4y + = 2 ( 1) Bài tập 5 Giải hê ph ̣ ương trình: ﾹ ﾹﾹ 2 ﾹﾹ x + y + 2x + y + - = 0 ( ) Hướng dẫn: Điều kiện x + y + (*). ( )( ) Ta nhân thây ̣ ́ x < x +1 ﾹ ﾹ Phương trinh (1) ̀ x +1 ﾹ x > 2 y - + ( y - ) + = ( - 2x ) + ( - 2x ) + (3) Xét hàm số f (t) = t + t + vơí t R , f '(t) = + t t +4 >0 ∀ t R Hàm số luôn đồng biến va liên tuc trên R ̀ ̣ Từ (3) f ( y − 2) = f ( −2x) y − = −2x thay vao (2) ta đ ̀ ược: ﾹ x =0ﾹ y=2 ﾹ 5x - 8x = ﾹ ﾹ ̉ ̃ - thoa man (*) ﾹx = ﾹ y = ﾹﾹ 5 � � Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh ̀ ( x;y ) = ( 0;1) hoăc ̣ ( x;y ) = ﾹﾹﾹ ;Bài tập 6 Giải hê ph ̣ ương trình: x y3 + 3y 3x 2 =0 ( 1) x + − x 2 y − y +1=0 ( ) −1 x ( *) y Hướng dẫn: Điều kiện ﾹ Phương trinh (1) ̀ 6� ﾹﾹ ﾹ 5� x - 3x = ( y - 1) - ( y - 1) (3) Xét hàm số f (t) = t − 3t vơí t �[ −1,1] , f '(t) = 3t 3 0 ∀ t Xet ham sô ́ ̀ ́ f (t) = t + t + vơí t , f '(t) = 1+ t+4 hàm số luôn đồng biến và liên tục trên [ 0;+ﾹ ) f ( x - 1) = f ( y ) ﾹ x - = y thay vao (2) ta đ Tư ph ̀ ương trinh (3) ̀ ̀ ược: x = ﾹ y = � 1� Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh ̀ ( x;y ) = ﾹﾹﾹ ; ﾹﾹﾹ � 2� ﾹ 7x - y - 3x y - 3xy + x - y = 0 ( 1) ﾹ Bài tập 8 Giai hê ph ̉ ̣ ương trinh ̀ ﾹ ﾹﾹ x - y + - = 0 ( ) ﾹ y ﾹ Hương dân: ́ ̃ 3 ( x + y ) + ( x + y ) = ( 2x ) + 2x (3) ﾹ Phương trinh (1) ̀ Xét hàm số f (t) = t + t vơí t R , f '(t) = 3t +1 >0 ∀ t R Hàm số luôn nghich bi ̣ ến va liên tuc trên ̀ ̣ R Từ (3) f ( x + y ) = f (2x) x + y = 2x x = y thay vaò (2) ta được: x2 - x +2 - = Điêu kiên ̀ ̣ x ﾹ - ﾹ x = u + 2 ( ) ﾹ Đăt ̣ u = x + u ﾹ (*) Ta được ﾹ ﾹﾹ u = x + 2 ( 5) ﾹ x u ) ( x + u + 1) = Trư vê v ̀ ́ ới vê ta đ ́ ược ( + Vơi x=y thay vao (4) ta đ ́ ̀ ược x =u =2 x = u = ﾹ x = y = la nghiêm ̀ ̣ - 1- la nghiêm ̀ ̣ � - 1- - 1- � ﾹﾹ ﾹ x;y = 2;2 ; ; ) ( ) ﾹﾹ Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh ̀ ( ﾹﾹ ﾹ 2 � � ﾹ � � ﾹﾹ x(2 + x + 3) + ( 2y + ) ﾹﾹ1 + + 2y + y ﾹﾹ = 0 ( 1) ﾹ� ﾹ� ﾹ Bài tập 9 Cho hê ph ̣ ương trình: ﾹﾹ ﾹﾹ x- + x + 1 ( ) ﾹﾹ ( x - ) ( + y ) + x - + + y = ﾹ + Vơi x+y+1=0 thay vao (4) ta đ ́ ̀ ược ﾹ x = y = n Gia s ̉ ử hê ph ̣ ương trinh co nghiêm ̀ ́ ̣ ( x1 ;y1 ) , ( x ;y ) ( x n ;y n ) T = ﾹ x k băng ̀ k =1 A. 10 B. 15 C. Hướng dẫn: Điều kiện x (*) ( 17 26 D. ) ( x + x + = [ − (y + 1) ] + Phương trình(1) ( ) Xét hàm số f (t) = t + t + ∀ t [ −(y + 1)] + R , f '(t) = + t + + Hàm số luôn đồng biến trên R. Từ (3) f (x) = f ( − y − 1) x = − y − y = − x − ) (3) t2 t +3 >0 ∀t R Thay vao (2) ta đ ̀ ược ( x − 2) ( − x ) + Đặt t = x − + − x điều kiện Phương trình (1) t2 − +t= ( ) x −1 + x +1 2 (**). x−2 + 4− x = t x +1 − 2 + x + (2) k −2 + k ∀k [ 2; ] , g '(k) = k + > 0 ∀k đồng biến trên [ 2; 4] Từ (2) ta có g(t) = g( x + 1) g(k) x +1 = x − + − x [ 2; 4] Hàm số g(k) luôn t = x +1 26 Chon (D) � 11 � ̣ ﾹ T = xk = x=� 3; � ﾹ 5 � k =1 ﾹ ﾹﾹ x + x + y - + y - 6y + 13 = ( 1) Bài tập 10 Hê ph ̣ ương trình: ﾹ ﾹﾹ 2 ﾹﾹ x + 2y + 3y 6 = 0 ( ) ( )( ) Co bao nhiêu nghiêm? A.1 B.2 C.3 D.4 ́ ̣ Hướng dẫn: Do x + > x x2 +1 > x x x + − x > Bằng cách nhân hai vế phương trình (1) với x + − x ta được ( −2x ) + ( −2x ) + = y − + ( y − 3) + (3) Xét hàm số f (t) = t + t + , ∀t Do t + > t −1 < t 0 ∀ x R Hàm số ln đồng biến và liên tục trên R. x +8 x + 15 Ta có f ( 1) = x = y =1. Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh ̀ ( x;y ) = ( 1;1) ﾹ 7x - 3x y - 3xy - y = 0 (1) ﾹ Bài tập 13 Giai hê ph ̉ ̣ ương trinh: ̀ ﾹ ﾹﾹ x + + y + + y 6 = 0 (2) ﾹ 3 Hương dân: Ph ́ ̃ ương trinh (1) ̀ ﾹ ( x + y ) = ( 2x ) ﾹ x + y = 2x ﾹ x = y Thay vao (2) ta đ ̀ ược x + + x + + x 6 = (3) Xet ham sô ́ ̀ ́ f (t) = t+ + t + + t 6 = 0 t ﾹ 1 + + 1> 0 " t ﾹ ﾹ Ham sô đông biên va liên tuc trên [ 0;+ﾹ ) ̀ ́ ̀ ́ ̀ ̣ t+3 t + Ta co ́ f (t) = ﾹ t = Tư (3) ̀ ﾹ x = ﾹ x = ﾹ … Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh ̀ ( x;y ) = ( 1;1) , ( - 1;- 1) f '(t) = Bài tập 14 Giai hê ph ̉ ̣ ương trinh: ̀ x − y + x − y = x + x ( 1) x + y + x + = ( x + 8) y + ( 2) ﾹﾹ 2x - y ﾹ ﾹﾹ 3x - y ﾹ Hương dân: Điêu kiên ́ ̃ ̀ ̣ ﾹﾹ ﾹﾹ x ﾹ ﾹﾹ ﾹ y +7 ﾹ ﾹ Phương trinh (1) ̀ x + ( x - y ) + 2x + ( x - y ) = x + 2x (3) Xet ́ x > y ﾹ x - y > tư ph ̀ ương trinh (3) vê trai l ̀ ́ ́ ớn hơn vê phai ́ ̉ Xet ́ x < y ﾹ x - y < tư ph ̀ ương trinh (3) vê trai nho h ̀ ́ ́ ̉ ơn vê phai ́ ̉ 10 Xet x=y vê trai băng vê phai ́ ́ ́ ̀ ́ ̉ x + 3x + 4x + = ( x + 8) x + (1) Vây x=y thay vao (2) ̣ ̀ Hướng dẫn: Điều kiện x −7 (*) Phương trình (1) ) ( x + 1) + x + = ( x + + x + (2) Xét hàm số f (t) = t + t t R , f '(t) = 3t +1>0 ∀ t R Hàm số luôn đồng biến trên R x − 1 Từ (2) f (x + 1) = f ( x + 7) x + = x + x = ﾹ y=2 là nghiệm x2 + x − = của phương trình . Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh (x;y)=(2;2) ̀ x + 2x y +12xy 40y3 =0 ( 1) Bài tập 15 Giải hê ph ̣ ương trình: x − x3 + y − x= ( 2) y3 − 2x2 + y Hướng dẫn: Điều kiện x 0 (*) (*) 8y3 − 2x + 4y Ta thây y=0 không la nghiêm hê ph ́ ̀ ̣ ̣ ương trinh ̀ �x � �x � �x � Xet ́ y ﾹ chia hai vê cua (1) cho ́ ̉ 8y ta được � �+ � � +3 � � 5=0 �2 y � �2 y � �2 y � ﾹ x x − 2x + 2x − = ﾹ x = 2y thay vao (2) ta đ ̀ ược x = (3) 2y x − 2x + 2x ( x + 1) ( x − 1) x= x� (�x − 1) + 1� � Phương trình (3) ( ( x ) = ( x1) (4) ( x ) + ( x − 1) + 3 ) 3t t + − 2t.t t + 3t t3 = Xét f (t) = , f '(t) = 2 t +1 t2 +1 t2 +1 ( ( ) đồng biến trên R. Từ phương trình (4) ta có x 1 f x = f ( x − 1) x = x −1 x2 − x −1 = ( ) 3+ hàm số luôn y= 3+ �3 + + � ; � � Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh la ̀ ̀( x; y ) = � � ( x= ) 0 ) x y − − y x y y 3y=0 ( 1) Bài tập 16 Cho hê ph ̣ ương trình: x + = y2 − y − y + 2x + − ( ) 11 Giả sử hệ phương trinh ̀ có hai nghiêm ̣ ( x1 ;y1 ) , ( x ;y ) và M ( x1 ;y1 ) , N ( x ;y ) MN băng? ̀ A B + 10 C.3 D.4 −1, x 13, y (*) Hướng dẫn: Điều kiện x ﾹ x = y Phương trình (1) coi x la ân, y la tham sơ ta đ ̀̉ ̀ ́ ược ﾹﾹ ﾹﾹ x = - - y ( loai do(*) ) Vơi x=y thay vao (2) ta đ ́ ̀ ược x +1 = x − x − 2x +1 2x +1 − x2 − x − (x + 2)( x + − 2) � x +1 + = �1= 2x + − 2x + − 2x + + 2x + = Xét f (t) = t +t t R. ) x + + x + (2) R , f '(t) = 3t +1>0 ∀ t R Từ phương trình (2) ta có f x = 0; x = ( ( ) ( 2x + = f x +1 ) Hàm số luôn đồng biến trên 2x + = x + 1+ 1+ 1+ là nghiệm cần tìm . Vơi ́ x = ﾹ y = 0, x= ﾹ y= 2 � � ﾹﾹ1 + ; + ﾹﾹ ﾹ MN = + 10 M 0;0 , N ( ) Vây ̣ Chon (B) ̣ ﾹ ﾹﾹ� 2 ﾹ� Bài tập 17 Cho hê ph ̣ ương trình: x ( y − 4) x 4y=0 ( 1) + x + − y = + 5 ( 2) Giả sử hệ phương trinh ̀ có hai nghiêm ̣ ( x1 ;y1 ) , ( x ;y ) và M ( x1 ;y1 ) , N ( x ;y ) trung điêm cua MN co toa đô la? A.(0;0) B.(1;2) C.(3;1) D.(2;3) ̉ ̉ ́ ̣ ̣ ̀ Hướng dẫn: Điều kiện x −3, y (*) ﾹ x = y ﾹﾹ x = - ( loai do(*)) Phương trình (1) coi x la ân, y la tham sơ ta đ ̀̉ ̀ ́ ược ﾹﾹ Vơi x=y thay vao (2) ta đ ́ ̀ ược + x + − x = + Điều kiện −3 x Hàm số f (x) = x + + − x hàm chẵn trên [ −3;3] 12 1 [ 0;3) ( + x) ( − x) biến trên [ 0;3] Ta có f ( 2) = + x = 2 là nghiệm Xét x y' = Xét −3 x < y' = 4 − − < ∀x hàm số nghịch > ∀x �( −3;0) hàm số luôn đồng ( + x) ( − x) biến trên [ −3;0) Ta có f ( −2) = + x = 2 là nghiệm 4 3 Vơi ́ x = - ﾹ y = - 2, x=2 ﾹ y = Vây ̣ M ( - 2;- ) , N ( 2;2) ﾹ Toa đô trung điêm cua MN la (0;0) Chon (A) ̣ ̣ ̉ ̉ ̀ ̣ x + x y + xy 3y3 = 0 ( 1) Bài tập 18 Hê ph ̣ ương trình: co bao nhiêu ́ x + x + − y − y + = + 1 ( 2) nghiêm? A.0 B.1 C.2 D.3 ̣ Hướng dẫn: Ta thây y=0 không la nghiêm hê ph ́ ̀ ̣ ̣ ương trinh ̀ �x � �x � �x � Xet ́ y ﾹ chia hai vê cua (1) cho ́ ̉ y ta được � �+ � � + � � 3=0 �y � �y � �y � ﾹ x ̀ ược x + x + − x − x + = + = ﾹ x = y thay vao (2) ta đ y Xét hàm số f (x) = x + x + − x − x + 1 ∀x f '(x) = 2x + x2 + x +1 Xét g(t) = t t2 + t biến trên R. Ta có 2x + > 2x − − 2x − x2 − x +1 R , g '(t) = 2x + = ( 2x + 1) + 3 (t + 3) t + 2x + ( 2x + 1) + 2x − ( 2x − 1) + >0 t R 2x − > − R ( 2x − 1) + g(t) là hàm số đồng f '(x) > 0 ∀x R nên f(x) đồng biến trên R . Ta có f(1)= 3+1 x =1 y=1. Vây hê ph ̣ ̣ ương trinh co môt nghiêm (x;y) =(1;1) Chon (B) ̀ ́ ̣ ̣ ̣ Bài tập 19 Cho hê ph ̣ ương trình: ( ) x y − − y x 2y y y =0 ( 1) y − + x( y − y + 3) = y + + x + 3 ( ) Gia s ̉ ử hê ph ̣ ương trinh co nghiêm ̀ ́ ̣ ( x ;y ) T = x + 4y thuôc khoang nao ̣ ̉ ̀ A ( 10;12 ) B ( 12;14 ) C ( 14;16 ) D ( 16;18 ) trong cac khoang sau? ́ ̉ Hướng dẫn: Điều kiện x 0, y (*) 13 ﾹ x = y Phương trình (1) coi x la ân, y la tham sơ ta đ ̀̉ ̀ ́ ược ﾹﾹ ﾹﾹ x = - - y ( loai do(*)) Vơi x=y thay vao (2) ta đ ́ ̀ ược x − + x(x − 3x + 3) = 2x + + 2x + (3) Phương trình (3) ( x − 1) + = x + + x −1+ Xét f (t) = t + t + 1 ∀ t Υ [ 1;+ 3t ) , f '(t) = + Hàm số luôn đồng biến trên [ 1;+ ) x + + (4) > 0 t3 + ) ( Từ (4) f (x − 1) = f ( 2x + 2) x − = 2x + x =3 ﾹ y=3 Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh la ̀ ̀( x ;y ) = ( 3;3) ﾹ T = 15 ﾹ ( 14;16 ) Chon (C) ̣ 2 Bài tập 20 Giai hê ph ̉ ̣ ương trình: x y − 2x + y = 0 (1) 2x + 3x + 6y − 12x + 13 = 0 (2) Hướng dẫn: Phương trinh (1) ̀ y2 = x 2x x2 + −1 y (*) Phương trinh (2) ̀ 6y = 2x + 3x − 12x + 13 (3) Xét hàm số f ( x) = x + 3x − 12 x + 13 với −1 x ta có bảng biến thiên x 1 f’(x) f(x) 26 ﾹ - ﾹ VT ﾹ vây ph ̣ ương trinh (3) ̀ ﾹﾹ ﾹ VP ﾹ 26 ﾹ VT = VP = ﾹ x = y = Phương trinh (3) co ̀ ́ﾹﾹ Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh (x;y)=(6;6) ̀ Bài tập 21 Giải phương trình ( x − y + x − y = x + x ( 1) )( ) y +6y +1 2 y =2 1 x ( 2) 14 ﾹ 3x - y ﾹ ﾹﾹ ﾹﾹ 7x - y ﾹ Hương dân: Điêu kiên ́ ̃ ̀ ̣ ﾹ (*) ﾹﾹ x ﾹ 0 ﾹﾹ ﾹﾹ - x ﾹ 2x + ( x - y ) + 6x + ( x - y ) = 2x + 6x (3) ﾹ Phương trinh (1) ̀ Xet ́ x > y ﾹ x - y > tư ph ̀ ương trinh (3) vê trai l ̀ ́ ́ ớn hơn vê phai ́ ̉ Xet ́ x < y ﾹ x - y < tư ph ̀ ương trinh (3) vê trai nho h ̀ ́ ́ ̉ ơn vê phai ́ ̉ Xet x=y vê trai băng vê phai ́ ́ ́ ̀ ́ ̉ )( ( ) Vây x=y thay vao (2) ̣ ̀ x +6x +1 2 x =2 1 x (4) Giai ph ̉ ương trinh (4) Điêu kiên ̀ ̀ ̣ −1 x x + 6x + = Phương trình (4) 2 − x2 Ta thấy vế phải 1+ ta có bảng biến thiên ( x 1− x 1 ) 2 − x2 1+ Vây (x;y)=(0;0) ̣ (5) . 0 + 1 x3 + x + = Phương trình ) Xét hàm số y = x3 + x + với −1 x y’ y ( − x2 x=0 − x2 =1 − x2 Bài tập 22 Giải hê ph ̣ ương trình: y = là nghiệm cần tim. ̀ 2x + x y + xy 4y3 = 0 ( 1) (x + y3 + y2 ) x − y − x − = 0 ( 2) Hướng dẫn: Điều kiện x Hướng dẫn: Ta thây y=0 không la nghiêm hê ph ́ ̀ ̣ ̣ ương trinh ̀ �x � �x � �x � Xet ́ y ﾹ chia hai vê cua (1) cho ́ ̉ y ta được � �+ � � + � � 4=0 �y � �y � �y � ﾹ ( x ̀ ược x + x + x = ﾹ x = y thay vao (2) ta đ y ) x − x − x − = 0 (3) Ta thấy x=0 khơng là nghiệm phương trình (3) Xét x>0 chia hai vế của phương trình (3) cho x x ta được: 15 x + x +x = + ( x) ( x) x + Xét f (t) = t +t +t ∀t R , f '(t) = 3t +2t+1>0 ∀t R Hàm số luôn đồng biến trên R. �1 � Từ phương trình (2) ta có f (x) = f � � x = y = � x� Vây nghi ̣ ệm của hê ph ̣ ương trình la (x;y)=(1;1). ̀ Nhận xét: Trong 12 bài tập đã cho khi hướng dẫn học sinh giải hê ph ̣ ương trình trước tiên cần hướng cho học sinh nhìn nhận bài tốn ở góc nhận biêt, thơng hiểu như: Có biên đơi 1 ph ́ ̉ ương trình cua hê ph ̉ ̣ ương trinh tim mơi liên hê x,y có phân ̀ ̀ ́ ̣ tích nhân tử được khơng … khi đa co mơi quan hê x va y ta thay vao ph ̃ ́ ́ ̣ ̀ ̀ ương trinh ̀ con lai cua hê va dung ham sô đê giai ̀ ̣ ̉ ̣ ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ̉ Cách ra “Hê ph ̣ ương trinh s ̀ ử dung ham sô đê giai” ̣ ̀ ́ ̉ ̉ Bước 1: Xây dựng môt ph ̣ ương trinh hai ân đê tai môi quan hê x va y s ̀ ̉ ̉ ̣ ́ ̣ ̀ ử dung ̣ ﾹx = u ( y ) ﾹ � � x u y + v y x + u y v y = ﾹ ( ) ( ) ( ) ( ) 1/ Viet đao ́ ̉ � � ﾹx = v ( y ) ﾹ 2/ Đăng câp vi du ̉ ́ ́ ̣ a.u ( x ) + b.u ( x ) v ( y ) + c.u ( x ) v ( y ) + d.v ( y ) = 3/ Đanh gia đ ́ ́ ược môi quan hê x va y ́ ̣ ̀ Bước 2: Xây dựng môt ph ̣ ương trinh hai ân đê thay ̀ ̉ ̉ môi quan hê x va y s ́ ̣ ̀ ử dung ̣ ở bươc 1 thay vao đ ́ ̀ ược phương trinh 1 ân s ̀ ̉ ử dung ham sô ̣ ̀ ́ 1/ x + αx = ax + b ( ax + b + α ) α >0 ( ) 2/ x + βx + αx = ax + b ax + b + β ax + b + α với y = x + βx + αx ( 4/ ax α + ( ax ) + β ) ( = bx α + ( bx ) + β ) là hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên R 5/ ax + b + ( ax + b) + α = cx + d + ( trong đó y = ax α + ( ax ) + β ) ( cx + d ) + α 16 6/ ax + b + ax + b + α = cx + d + cx + d + α với ac>0 Bước 3: Với phương trình đã lập bước 2 ta giải bài tốn này bằng cách biến đổi theo chiều xi kiểm tra tính chính xác, mức độ đề để điều chỉnh và kết thúc ra đề Bai tâp ̀ ̣ Giai cac hê ph ̉ ́ ̣ ương trinh sau ̀ ﾹ x2 - y - y - x - y y + = ﾹ 1/ ﾹﾹ ﾹﾹ x + y = y + x + ( ) ﾹ ﾹ x + x y + xy - 3y = 0 ﾹﾹ 2/ ﾹ ﾹﾹ x + x + 2y + + y + y + = 3 ﾹ ﾹﾹ x - 2y + = 0 3/ ﾹ ﾹﾹ ( - x ) - x - 2y 2y - = ﾹ ﾹ x11 + xy10 = y 22 + y12 ﾹ 4/ ﾹﾹ ﾹﾹ 7y + 13x + = 2y x 3x + 3y - ﾹ ﾹ y + y = x + 3x + 4x + ﾹ 5/ ﾹﾹ ﾹﾹ - x - y = - y - ﾹ ( ( ) ( ) )( ) ( ) 7.1.2 Danh mục tài liệu tham khảo: [1]. Đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi THPT quốc gia mơn Tốn [2]. Đề thi HSG Tốn 12 Tỉnh Vĩnh Phúc [3]. Sách giáo khoa Bài tập giải tích 12 nâng cao Nxb.Giáo dục [4]. Các đề thi thử ĐH của khối chun ĐHSP Hà Nội 7.2 Khả năng áp dụng của sáng kiến: SKKN này đã được áp dụng cho học sinh 12, bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn 12 . SKKN này đã được áp dụng cho giáo viên: Tài liệu bồi dưỡng thường xun cho giáo viên cách ra bài tập hê ph ̣ ương trình vơ tỷ sử dụng hàm số. 8. Những thơng tin cần được bảo mật (nếu có): 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 17 Học sinh lớp 12 sau khi học tính đơn điệu hàm số, bồi dưỡng học sinh khá giỏi, kiến thức áp dụng thi THPT quốc gia theo lộ trình. Tài liệu cho giáo viên bồi dưỡng thường xun 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau: So sánh lợi ích kinh tế, xã hội thu được khi áp dụng giải pháp trong đơn so với trường hợp khơng áp dụng giải pháp đó, hoặc so với những giải pháp tương tự đã biết ở cơ sở (cần nêu rõ giải pháp đem lại hiệu quả kinh tế, lợi ích xã hội cao hơn như thế nào hoặc khắc phục được đến mức độ nào những nhược điểm của giải pháp đã biết trước đó nếu là giải pháp cải tiến giải pháp đã biết trước đó); Số tiền làm lợi (nếu có thể tính được) và nêu cách tính cụ thể 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: Đề tài này đã được tác giả dạy cho học sinh lớp 12 lớp đầu cao, bồi dưỡng học sinh giỏi, ơn thi THPT quốc gia năm học trước. Giúp học sinh làm tốt các bài tốn giải phương trình vơ tỷ sử dụng phương pháp hàm số. Sáng kiến kinh nghiệm này là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên và học sinh. Độc giả quan tâm có thể bổ sung thêm làm cho tài liệu thêm phong phú và hấp dẫn hơn 10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: . 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ TT chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 18 , ngày… tháng năm Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) Bình Xuyên, ngày 18.tháng 01 năm 2019 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Lê Văn Vượng 19 ... Ứng? ?dụng? ?hàm? ?số ? ?vào? ?giải? ?hê ph ̣ ương? ?trình? ?” Giáo viên hướng dẫn học sinh? ?giải? ?tốn + “ Cách ra hê ph ̣ ương? ?trình? ?sử? ?dụng? ?hàm? ?số? ?”. Giáo viên ra đề 2. Tên sáng kiến: ? ?Ứng? ?dụng? ?hàm? ?số? ?vào? ?giải? ?hê ph... 7. Mơ tả bản chất của sáng kiến: 7.1 Nội dung của sáng kiến: 7.1.1 Nội dung: NỘI DUNG ỨNG? ?DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HÊ PH ̣ ƯƠNG TRÌNH I. Cơ sở lý thuyết Cho? ?hàm? ?số y = f (x) ln đồng biến ( hoặc ln nghịch biến) và liên tục... Khi hướng dẫn học sinh? ?giải? ?các bài tốn hê ph ̣ ương? ?trình? ?sử ? ?dụng? ?hàm? ?số? ? để học sinh hiểu bài và tìm tịi lời? ?giải? ?người thầy khuyến khích học sinh học tập theo hướng tích cực , tư duy, sáng tạo trong? ?giải? ?tốn