Thông tin tài liệu
BáGI ODệCV TRìNG OT O I HC QUY NHèN NGUY N TH TRI MáT Să C TRìNG CếA M UN BUCHSBAUM T´MT TLU NV NTH CS TO NH¯C B…nh ành - 2020 Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 1.1 àa ph÷ìng hâa Nºi dung cıa ti‚t n y ÷æc tr…nh b y theo [1] Cho R l mºt v nh giao ho¡n câ ìn T“p S R ÷ỉc gåi l mºt t“p nh¥n âng n‚u S v vỵi måi x; y S th… xy S X†t t“p S v R = f(s; r) j s S v r Rg ành ngh¾a tr¶n S R mºt quan h» hai ngỉi: 8(s; r); (t; k) S R; (s; r) Khi â, quan h» l (t; k) , 9u S : u(st kr) = 0: mt quan hằ tữỡng ữỡng Vợi mỉi (s; r) S R, r t“p th÷ìng (S R)= l S R ta k hiằu lợp tữỡng ữỡng (s; r) l s v hay RS Ta ành ngh¾a hai php toĂn cng v nhƠn nhữ sau: r k Rs, r k tr + sk rk rk Vỵi måi s v t +t = s Chóng ta câ th” ki”m tra (RS; +; :) l 1 st v s :t = st mºt v nh giao ho¡n câ ìn ành ngh¾a 1.1.1 V nh RS ÷ỉc gåi l v nh c¡c th÷ìng cıa v nh R tữỡng ứng vợi nhƠn õng S Chú ỵ rng, vợi mỉi p Spec(R), S = R n p l mºt t“p nh¥n âng Khi â, v nh RS cặn ữổc k hiằu l Rp: Mằnh • 1.1.2 Cho R l mºt v nh giao ho¡n câ ìn và, S l mºt t“p nh¥n âng cıa R v I l Ơy l mt i ảan ca R Khi â c¡c khflng ành sau óng r (i) T“p IRS = IS = fs j r I v s Sg l mºt i ¶an cıa v nh R S (ii) Vỵi mØi p Spec(R), Spec(Rp) = fqRp j q Spec(R) v q pg (iii) Vỵi mØi p Spec(R), v nh Rp l mºt v nh a phữỡng vợi i ảan cỹc i pRp: Cho M l mºt R-mæ un X†t v nh c¡c thữỡng RS vợi S l mt nhƠn õng Xt t“p S Tr¶n t“p S M = f(s; m) j s S v m Mg M ta ành ngh¾a mºt quan h» hai ngỉi: 8(s; m); (t; n) S Khi â, quan h» M; (s; m) (t; n) , 9u S : u(tm l mºt quan hằ tữỡng ữỡng trản S sn) = 0: M v vợi mỉi m s v thữỡng (s; m) S M, ta k hiằu lợp tữỡng ữỡng (s; m) l (S M)= l S M hay MS Ta nh nghắa php cng v php nhƠn vổ hữợng nhữ sau: m n Vỵi måi Vỵi måi m s , t MS; s m a n tm + sn +t = ma st : am s MS, r RS, s : r = rs : Chóng ta câ th” ki”m tra MS l mºt RS-mæ un ành nghắa 1.1.3 Mổ un MS trản v nh RS ữổc gåi l mỉ un àa ph÷ìng hâa cıa M t÷ìng ứng vợi nhƠn õng S Chú ỵ rng, vợi mØi p Spec(R), S = R n p l mºt t“p nh¥n âng Khi â, ta k‰ hi»u MS = Mp: 1.2 Sỹ phƠn tch nguyản sỡ Ni dung cıa ch÷ìng n y ÷ỉc tr…nh b y theo [5] Cho R l mºt v nh Noether giao ho¡n v M l mºt R-mỉ un ành ngh¾a 1.2.1 Mºt i ¶an nguy¶n tŁ p cıa R ÷ỉc gåi l mºt i ảan nguyản t liản kt ca M nu tỗn t⁄i mºt phƒn tß x M cho Ann(x) = p Tp tĐt cÊ cĂc i ảan nguyản t liản kt ca M ữổc k hiằu l AssR(M) hay Ass(M) M»nh (i) cho R=p • 1.2.2 C¡c khflng ành sau ¥y l óng p Ass(M) n‚u v ch¿ nu tỗn ti mt mổ un N ca M N: = (ii) N‚u p l mºt phƒn tß cüc ⁄i cıa t“p c¡c i ¶an fAnn(x) j x M v x 6= g0 th… p Ass(M) H» qu£ 1.2.3 Ass(M) = ; , M = 0 BŒ • 1.2.4 Cho S l mºt t“p nh¥n âng cıa R °t R = S R, M = S M Khi â AssR0(M ) = AssR(M) \fp Spec(R) j p \S = ;g nh lỵ 1.2.5 Cho R l mt v nh Noether giao ho¡n v M l mºt R-mæ un Khi â Ass(M) Supp(M) v måi phƒn tß cüc ti”u cıa Supp(M) thuºc v• Ass(M): M»nh • 1.2.6 Cho R l mºt v nh Noether v M l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh Khi â Ass(M) l mºt t“p hœu h⁄n nh nghắa 1.2.7 Mt R-mổ un ữổc gồi l i nguyản sỡ nu nõ cõ nhĐt mt i ảan nguy¶n tŁ li¶n k‚t Mºt mỉ un N cıa M ữổc gồi l mt mổ un nguyản sỡ cıa M n‚u M=N l Łi nguy¶n N‚u Ass(M=N) = fpg, ta nâi N l p-nguy¶n hay N liản kt vợi p Cho N l mt mổ un ca M Mt phƠn tch nguyản sỡ ca N l mºt bi”u di„n d⁄ng N = Q1 \ Q2 \ : : : \ Qr vỵi måi Qi l nguyản sỡ M Hỡn na, mt phƠn tch nguyản ÷ỉc gåi l rót gån n‚u khỉng th” bä mºt Qi n o v nhœng i ¶an nguy¶n tŁ liản kt ca M=Q i l nhng phn tò khĂc vợi i r Hin nhiản, mt phƠn tch nguyản sỡ ca N cõ th ữa vã mt phƠn t ch nguyản sỡ rút gồn B ã 1.2.8 N‚u N = Q1 \ : : : \ Qr l mt phƠn tch nguyản sỡ rút gồn v nu Qi liản kt vợi pi, th ta cõ Ass(M=N) = fp1; : : : ; prg: nh lỵ 1.2.9 Cho R l mºt v nh Noether v M l mºt R-mæ un Khi T â0= Q(p), â Q(p) l mổ un p-nguyản sỡ p2Ass(M) 1.3 Chiãu Krull Nºi dung cıa ch÷ìng n y ÷ỉc tr…nh b y theo [5] nh nghắa 1.3.1 Chiãu ca R ữổc nh nghắa l chn trản nhọ nhĐt ca tĐt cÊ cao ca tĐt cÊ i ảan nguyản t ca R, tøc l dim(R) = supfht(p) j p Spec(R)g: Nâ cặn ữổc gồi l chiãu Krull ca R V dử 1.3.2 1) Cho K l mºt tr÷íng Khi â dim K = 2) dim(Z) = Nh“n x†t 1.3.3 (i) Vỵi mØi p Spec(R); ht(p) = dim(Rp): (ii) Vợi mỉi i ảan I ca R, dim(R=I) + ht(I) dim R: ành ngh¾a 1.3.4 Cho M 6= 0l mºt R-mỉ un Chi•u Krull cıa M l dim(M) = dim(R= Ann(M)): Trong tr÷íng hỉp M = 0, ta qui ữợc dim(M) = 1: Mằnh ã 1.3.5 GiÊ sò R l mºt v nh giao ho¡n Noether v M 6= 0l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh Khi â c¡c mằnh ã sau l tữỡng ữỡng (i) M l mt R-mæ un câ º d i hœu h⁄n (ii) V nh R= Ann(M) l (iii) dim M = 0: Artin Cho R l mºt v nh Noether giao ho¡n àa phữỡng vợi i ảan cỹc i m k Mt i ảan I ữổc gồi l mt i ảan nh nghắa cıa R n‚u m I m vỵi mºt k > iãu n y tữỡng ữỡng vợi I m v R=I l Artin Cho I l mºt i ¶an ành ngh¾a cıa R v M l mºt R-mỉ un hœu h⁄n sinh °t I R = gr (R) = n>0I n =I n+1 v I M = gr (M) = Gi£ sß I = Rx1 + B n>0I n M=I n+1 M: +Rxr Khi â v nh ph¥n b“c R l Ênh ỗng cĐu ca = (R=I)[x1; : : : ; xr], v M l R -mỉ un ph¥n b“c hœu h⁄n sinh Khi n n+1 â FM (n) = ‘(I M=I Suy r‹ng, h m M) l mºt a thøc theo n vỵi deg FM (n) r n n n X (M; I; n) = ‘(M=I M) = FM (j) j=0 l mºt a thøc theo n vỵi b“c khỉng qu¡ r n a thøc (M; I; n) n ÷ỉc gåi l a thøc Hilbert cıa M t÷ìng øng vỵi I: a thøc n y khỉng phư thuºc v o i ảan nh nghắa I Bc ca a thức n y ữổc k hiằu l d(M): Mằnh ã 1.3.6 Cho (R; m) l mºt R-mæ un Noether giao ho¡n a phữỡng, I l mt i ảan nh nghắa ca R v 0! M ! 00 M! M ! l dÂy khợp cĂc R-mổ un hu hn sinh Khi â 00 d(M) = maxfd(M ); d(M )g: BŒ • 1.3.7 Cho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng Khi â d(R) > dim(R): BŒ • 1.3.8 Cho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v M 6= 0l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh v x m Khi â d(M) > dim(M=xM) > d(M) 1: BŒ • 1.3.9 Cho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v M 6= 0l mºt R-mỉ un hœu hn sinh, v t dim(M) = r Khi õ tỗn t⁄i r phƒn tß x1; : : : ; xr m cho ‘(M=(x1; : : : ; xr)M) < nh lỵ 1.3.10 Cho (R; m) l mt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v M 6= 0l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh Khi â d(M) = dim(M) = (M) â (M) l sŁ tü nhiản nhọ nhĐt r cho tỗn ti x1; : : : ; xr m ” ‘(M=(x1; : : : ; xr)M) < Chú ỵ rng, nu d = dim(M) v h» phƒn tß x1; : : : ; xd m cho mºt h» tham sŁ cıa M ‘(M=(x1; : : : ; xd)M) < ÷ỉc gåi l M»nh • 1.3.11 Cho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v M 6= 0l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh Khi â (i) dimR(M) = dimRb(Mc): (ii) dim M = maxfdim(R=p) j p Ass(M)g: 1.4 i ỗng iãu a phữỡng nh lỵ 1.4.1 (Tnh c lp ca v nh cỡ sð) Cho R l R- ⁄i sŁ v 0 N l R -mỉ un Cho I l flng c§u H i i mºt i ¶an cıa R Khi â vỵi måi i > 0, ta câ (N ) = H (N ) c¡c R-mæ un IR I Khi R l R- ⁄i sŁ phflng, ta cõ nh lỵ sau (xem [4], nh lỵ 4.3.2) nh lỵ 1.4.2 ( nh lỵ chuyn cỡ s phflng) Cho R l R- ⁄i sŁ phflng i 0 Khi â câ R - flng c§u H (N) R = (N R ) vỵi måi i 0: Hi IR R I R Cho p l i ¶an nguyản t bĐt k ca R Khi õ Rp l T nh lỵ 1.4.2 ta luổn cõ Rp- flng cĐu i i H (N) R =H R I Hìn nœa, v… N R =N R p p (N R ) IRp R i ): p vỵi måi R-mỉ un N n¶n p i = (H (N)) I p H (N IRp p > R- ⁄i sŁ phflng Ch÷ìng °c tr÷ng cıa mỉ un Buchsbaum 2.1 °c tr÷ng cıa mỉ un Buchsbaum qua h» tham sŁ Trong ch÷ìng 2, chóng tỉi tr…nh b y mŁt sŁ °c tr÷ng cıa mỉ un Buchsbaum, mỉ un ph¥n b“c theo [6] K‰ hi»u R l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng vợi i ảan cỹc i m v M l mt R-mỉ un Noether Cho q l i ¶an cıa R cho ‘(M= qM) < Khi â, ta câ h m Hilbertn+1 Samuel Pq(n) = (M=q M) v tỗn t⁄i c¡c sŁ nguy¶n e0(q; M) > 0; e1(q; M); :::; ed(q; M) cho vỵi n ı lỵn, ta câ Pq(n) = e0(q; M) d ! + e1(q; M) n+d H» sŁ e0(q; M) gåi l d n+d 1! + + en(q; M) sŁ bºi cıa M øng vợi i ảan q Nôm 1965, D A Buchsbaum  t giÊ thit: Tỗn ti mt s tỹ nhiản I(M) cho hi»u ‘ A(M=qM) e0(q; M) = I(M) l hng s vợi mồi i ảan tham s q cıa M Tuy nhi¶n, gi£ thi‚t tr¶n khỉng óng V möc ‰ch cıa phƒn n y l tr…nh b y tnh chĐt u tiản ca R-mổ un M thọa mÂn giÊ thit trản 12 nh nghắa 2.1.1 Cho M l R-mỉ un Noether Mºt h» c¡c phƒn tß x1; : : : ; xr m ÷ỉc gåi l mºt M-dÂy yu, nu vợi mỉi i = 1; : : : ; r (x1; : : : ; xi 1) M : xi = (x1; : : : ; xi 1) M : m: Ta bi‚t r‹ng mØi M-d¢y l mºt phƒn cıa h» tham sŁ cıa M Łi vỵi cĂc M-dÂy yu ta cõ kt quÊ sau B ã 2.1.2 Cho M l mt R-mổ un Noether vợi chiãu d dữỡng Khi õ, mỉi M-dÂy yu x1; : : : ; xr vỵi r d l mºt phƒn cıa h» tham sŁ cıa M ành ngh¾a 2.1.3 Mºt R-mỉ un M Noether ÷ỉc gåi l mºt mỉ un Buchsbaum n‚u mØi h» tham sŁ cıa M l mºt M-d¢y y‚u R l mºt v nh Buchsbaum n‚u nâ l ữổc gồi mt mổ un Buchsbaum B ã 2.1.4 GiÊ sò rng R l Ênh to n cĐu ca v nh àa ph÷ìng B Mºt R-mỉ un M l mºt mỉ un Buchsbaum tr¶n R n‚u v ch¿ n‚u nâ l mºt mỉ un Buchsbaum ÷ỉc coi l mºt B-mổ un bng hn ch vổ hữợng nh nghắa 2.1.5 Cho a R l mºt i ¶an v M l mºt R-mỉ un Noether vỵi dim M = d v dim M=aM = Mºt h» c¡c phƒn tß x1; : : : ; xt cıa R ÷ỉc gåi l M-cì sð cıa a n‚u c¡c i•u ki»n sau thäa m¢n: (i) x1; : : : ; xt t⁄o th nh mºt cì sð tŁi ti”u cıa a (ii) Vỵi mØi h» i1; : : : ; id c¡c s nguyản vợi i1 < < id t th c¡c phƒn tß xi1 ; : : : ; xid l“p th nh mºt h» tham sŁ cıa M M»nh • 2.1.6 Cho a R l mºt i ¶an v M1; : : : ; Mn l c¡c R-mæ un Noether vỵi dimR Mi=aMi = vỵi måi i = 1; : : : ; n Khi â a1; : : : ; at a t⁄o th nh mºt Mi-cì sð cıa a vỵi måi i = 1; : : : ; n H» qu£ 2.1.7 Cho M l mºt mỉ un Buchsbaum Gi£ sß x1; : : : ; xr l mºt phƒn cıa h» tham sŁ cıa M vỵi r < dim M Khi â M=(x1; : : : ; xr)M v M=U((x1; : : : ; xr)M) l c¡c mỉ un Buchsbaum Hìn nœa, Mp l mổ un Cohen-Macaulay vợi mồi i ảan nguyản t p 6=m v p SuppM M»nh • 2.1.8 Gåi M l mỉ- un Noether R vỵi d := dim M > CĂc iãu kiằn sau l tữỡng ữỡng: (i) M l mºt mæ- un Buchsbaum, tøc l , mØi h» tham sŁ l mºt chi M y‚u (i)’ Vỵi mØi h» tham sŁ x1; : : : ; xd cıa M chóng ta câ (x1; : : : ; xd 1) M : xd = (x1; : : : ; xd 1) M : m: (ii) Vỵi mØi h» tham sŁ x1; : : : ; xd cıa M v måi i = 0; : : : ; d chóng ta câ (x1; : : : ; xi) M : xi+1 = (x1; : : : ; xi) M : xvỵi måi x m cho x1; : : : ; xi; x t⁄o th nh mºt phƒn cıa h» tham sŁ cıa M (ii)’ Vỵi mØi h» tham sŁ x1; : : : ; xd cıa M chóng ta câ (x1; : : : ; xd 1) M : xd = (x1; : : : ; xd cho x1; : : : ; xd (iii) 1; 1) M : xvỵi måix m x l⁄i t⁄o th nh mºt h» tham sŁ cıa M Vỵi mØi h» tham sŁ x1; : : : ; xd cıa M chóng ta câ vỵi måi i = 0; : : : ; d 1: (x1; : : : ; xi) M : xi+1 = (x1; : : : ; xi) M : x i+1: (iii)’ Vỵi mØi h» tham sŁ x1; : : : ; xd cıa M chóng ta câ (x1; : : : ; xd (iv) 1) M : xd = (x1; : : : ; xd 1) M : x d: Vỵi mØi phƒn cıa h» tham sŁ x1; : : : ; xi cıa M vỵi i < d chóng ta câ U ((x1; : : : ; xi) M) = (x1; : : : ; xi) M : m: nh lỵ 2.1.9 Cho M l mºt R-mỉ un Noether vỵi dim M = d Khi â M l mºt mæ un Buchsbaum n‚u v ch¿ n‚u câ mºt sŁ nguy¶n I(M) cho l(M=qM) e0(q; M) = I(M) vỵi måi i ảan tham s q ca M : B ã 2.1.10 Cho M l mºt R-mỉ un Noether câ chi•u d÷ìng M l mºt mỉ un Buchsbaum n‚u v ch¿ n‚u bao ƒy ı m-adic Mc cıa M l mºt mổ un Buchsbaum trản Rb Trong trữớng hổp n y I(M) = I(Mc) BŒ • 2.1.11 Cho M l mºt R-mỉ un Noether v a R l mºt i ¶an cho M=aM l mổ un Buchsbaum cõ chiãu dữỡng Khi â, vỵi mØi phƒn cıa h» tham sŁ x1; : : : ; xr cıa M=aM v b := (x1; : : : ; xr)R th… k (a M : m) \ b M a b k Mvỵi måi k 1(b := R): BŒ • 2.1.12 Cho M l mt mổ un Buchsbaum trản R cõ chiãu dữỡng Vợi mỉi hằ tham s x1; : : : ; xd cıa M, ta °t q := (x1; : : : ; xd) R Khi â q N‚u depthM k+1 k M : xd \ q M = q Mvỵi måi k 1: th… q k+1 k M : xd = q Mvợi mồi k 1: c trững ca v nh a phữỡng Buchsbaum R dÔn n khĂi niằm vã cĂc R-dÂy yu Mt s tĂc giÊ Â nghiản cứu tng quĂt hỡn vã dÂy ch nh quy nh÷ M Fiorentini [1], C Huneke [1], N V Trung [10] hay P Schen-zel [3] Chóng ta s‡ ch¿ r‹ng nhœng kh¡i ni»m n y trịng khỵp khi xt trản v nh a phữỡng Buchsbaum nh nghắa 2.1.13 Cho R l mºt v nh àa ph÷ìng câ º d i n > Gi£ sß r‹ng x1; : : : ; xn l mºt h» tham sŁ cıa R Khi â x1; : : : ; xn l mºt R-d¢y y‚u n‚u (x1; : : : ; xi) R : xi+1 = (x1; : : : ; xi) R : m vỵi måi i = 0; : : : ; n 1: x1; : : : ; xn ữổc cho l mt d-dÂy nu vợi mØi t“p fi1; : : : ; ijg (câ th” l t“p ;) cıa t“p f1; : : : ; ng v vỵi måi k; m f1; : : : ; ng n fi1; : : : ; ijg ta câ (xi; : : : ; xij ) R : xk xm = xi1 ; : : : ; xij R : xk: x1; : : : ; xn l mt dÂy chnh quy tữỡng i nu vợi mỉi s nguyản i = 1; : : : ; n ta câ (xi; : : : ; xij ; xi+1; : : : ; xn) R : xi \ (x1; : : : ; xn) R = (x1; : : : ; xi 1; xi+1; : : : ; xn) R: Mºt phƒn tß x i ¶an m-nguy¶n q l mºt phƒn tß ngo i tuy»t Łi cho q R n‚u k+1 (q k : x) \ q = q vợi mồi s nguyản k x1; : : : ; xn ÷ỉc gåi l mºt h» ngo i tuy»t l mºt phƒn tß ngo i tuy»t R=(x1; : : : ; xi 1) 1; Łi cıa tham sŁ n‚u xi Łi cho £nh cıa (x1; : : : ; xn) R R vỵi måi sŁ nguy¶n i = 1; : : : ; n 5 x1; : : : ; xn câ thuºc t‰nh (F ) n‚u (xi; : : : ; xij ) R : xi \ (x1; : : : ; xn) R = (x1; : : : ; xi vỵi måi sŁ nguy¶n N‚u i = ta i 1) R: n ÷ỉc (O : x1) \ (x1; : : : ; xn) R = 0: M»nh • 2.1.14 R l mºt v nh Buchsbaum n‚u v ch¿ n‚u nôm iãu kiằn ca nh nghắa 2.1.13 thọa mÂn vợi måi h» tham sŁ cıa R Trong tr÷íng hỉp n y cÊ nôm iãu kiằn trản l tữỡng ữỡng 2.2 c trững ca mổ un Buchsbaum qua i ỗng iãu àa ph÷ìng Cho R l mºt v nh àa ph÷ìng vợi i ảan cỹc i m v trữớng k := R=m Ta bi‚t r‹ng, mºt mæ un Noether R l mæ un Cohen-Macaulay n‚u v i ch¿ n‚u Hm (M) = vỵi måi i < dim M(xem [6]) Kt quÊ sau cho ta thĐy i ỗng iãu a phữỡng l mt cổng cử nghiản cứu cĂc mổ un Buchsbaum M»nh • 2.2.1 Cho M l mºt R-mỉ un Noether vợi chiãu dữỡng CĂc iãu kiằn theo sau l tữỡng ữỡng: (i) Tỗn ti mt hằ tham sŁ cıa M m l mºt M-d¢y y‚u (ii) MØi h» tham sŁ cıa M m l mºt M-dÂy yu (iii) m:Hm (M) = vợi mồi i < dimM i Hìn nœa, n‚u mºt s cĂc iãu kiằn l thọa mÂn th ta cõ (iv) l(M=q:M) e0(q; M) l ºc l“p cıa q vỵi måi i ¶an tham sŁ q m M»nh • 2.2.2 Cho M l mºt mỉ- un Buchsbaum vỵi d := dim M Khi â mØi tham sŁ ideal q cıa M (i) d l(M= ql+1 M) = i=0 d i t +d ei(q; M)vỵi m i X (ii) d i e (q; M) = i j= X d j i 1 l j Hm (M) vỵi måi i = 1; â p := 1 khi p 6= p = 1: (iii) d I(M) = Xi ei(q; M): =1 i H» qu£ 2.2.3 N‚u M l mæ un Buchsbaum th… m Hm (M) = vỵi måi i 6= dimM c biằt, cĂc mổ un i ỗng iãu a phữỡng l c¡c mæ un câ º d i hœu h⁄n H» qu£ 2.2.4 Cho M l mºt mæ un Buchsbaum chiãu d > Khi õ, vợi mỉi t cõ mt s tỹ nhiản I t(M) cho vợi måi i ¶an tham sŁ q cıa M, ta câ t+1 l(M=q t+d d M) e0(q; M) = It(M): ành lỵ 2.2.5 Cho M l mt R-mổ un Noether vợi d := dim M N‚u i i i ’ M : Ext A(k; M) ! Hm (M) l to n ¡nh vỵi måi i 6=d th… M l mºt mỉ un Buchsbaum M»nh • 2.2.6 Cho M l mºt R-mỉ un Noether vỵi r := depth M < dim i M =: d v Hm (M) = vỵi mồi i 6=r; d CĂc mằnh ã sau Ơy l t÷ìng ÷ìng: (i) M l mºt mỉ un Buchsbaum (ii) m Hm (M) = (iii) Cho x1; : : : ; xr l mºt M-d¢y m Khi â r (x1; : : : ; xr) M : hmi = (x1; : : : ; xr) M : m: ành ngh¾a 2.2.7 Cho r, d l sŁ nguyản vợi r d V cho k l mt tr÷íng, X1; : : : ; Xd, Y1; : : : ; Yd væ h⁄n °t Rd := k [X1; : : : ; Xd; Y1; : : : ; Yd]md õ md l i ảan ữổc sinh tł Rd := k X1; : : : ; Xd; Y1; : : : ; Yd Chóng ta ành ngh¾a b‹ng quy n⁄p theo r, mºt i ¶an a Rd thuºc ki”u (r; d) nh÷ sau: a l thuºc ki”u (1; d) n‚u a = (X1; : : : ; Xd)Rd \ (Y1; : : : ; Yd)Rd; a l thuºc ki”u (r + 1; d) vỵi r + < d, n‚u a = a1 \ a2 v a) Rd=a1 l v nh Cohen-Macaulay vỵi dim Rd=a1 = d, b) tü flng c§u cıa Rd x¡c ành bði ph†p Œi bi‚n (Xi $ Yi) bi‚n a1 th nh a2, c) a1 + a2 = (Xd; Yd) Rd + b Rd, â b Rd (r; d 1) l i ảan thuc kiu B ã 2.2.8 Cho a Rd l mt i ảan kiu (r; d) vợi r < d Khi â H i (R =a) = vỵi måi i =r; d v r H (R d md Do â Rd=a l mºt mæ un Buchsbaum (trản Rd) chiãu d vợi depthRd=a = r md d nh lỵ 2.2.9 Gồi M l mt R-mổ un Noether cõ chiãu dữỡng d CĂc phĂt biu sau ¥y l t÷ìng ÷ìng: (i) M l mºt mỉ un Buchsbaum (ii) C¡c ¡nh x⁄ ch‰nh t›c i M i i : H (m; M) ! Hm (M)(so vỵi BŒ • 0.1.5) l to n ¡nh vỵi måi i < d (iii) Cho x1; : : : ; xi l mºt M-cì sð M cıa i ¶an cüc ⁄i m cıa A Vỵi mØi h» i1; : : : ; id c¡c sŁ nguy¶n thäa i1 < < id t, r1 rd d¢y x ; : : : ; x l mt M-dÂy yu vợi mồi r1; : : : ; rd f1; 2g i1 id M»nh • 2.2.10 Gåi M l mºt R-mỉ un Noether vỵi depth M > Khi â c¡c i•u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng: (i) M l mỉ un Buchsbaum (ii) Cõ mt ữợc khĂc khổng x m ca M cho M=x M l mæ un Buchsbaum (ii’) M=x M l mt mổ un Buchsbaum cho mỉi ữợc khĂc khæng x 2 m cıa M (iii) Câ mºt ÷ỵc kh¡c khỉng x m cıa M cho: a) M=x M l mæ un Buchsbaum b) x Hm (M) = vỵi måi i < dim M i (iii) i vợi tĐt cÊ cĂc ữợc khĂc khổng x m cıa M a) v (iii) b) cıa l úng (iv) Cõ mt ữợc khĂc khổng x m cıa M cho: c) M=x M l i mæ un Buchsbaum d) x Hm (M=x M) = vỵi måi i < dim M (iv’) Łi vỵi tĐt cÊ cĂc ữợc khĂc khổng x m ca M, c¡c i•u ki»n c) v d) cıa (iv) l úng Mằnh ã 2.2.11 GiÊ sò P V \Fu v º d i cıa (f1; : : : ; fr) R > N‚u P l mºt i”m Buchsbaum cıa V =k th… P l i”m Buchsbaum cıa V \ Fu=k(u) iãu ngữổc li ch úng nu grade(f1; : : : ; fr) R > v (f1; : : : ; fr) R p R: K‚t qu£ ti‚p theo ÷ỉc chøng minh bði N V Trung, (xem [2]), nh lỵ Nõ cung cĐp thổng tin vã thuc tnh nƠng trữớng hổp depth M = M»nh v • 2.2.12 Cho M l mºt R-mỉ un Noether chiãu dữỡng d depth M = Khi õ M l mºt mæ un Buchsbaum n‚u v ch¿ n‚u cĂc iãu kiằn sau Ơy ữổc thọa: (i) m Hm (M) = (ii) M=Hm (M) l mºt mæ un Buchsbaum ... t“p nh¥n âng Khi â, v nh RS cặn ữổc k hiằu l Rp: Mằnh ã 1.1.2 Cho R l mºt v nh giao ho¡n câ ìn và, S l mºt t“p nh¥n âng cıa R v I l Ơy l mt i ảan ca R Khi â c¡c khflng ành sau óng r (i) T“p IRS... k 1: c trững ca v nh a phữỡng Buchsbaum R dÔn n khĂi niằm vã cĂc R-dÂy yu Mt s tĂc giÊ Â nghiản cứu tng quĂt hỡn vã dÂy ch nh quy nhữ M Fiorentini [1], C Huneke [1], N V Trung [10] hay P Schen-zel
Ngày đăng: 14/11/2021, 09:24
Xem thêm:
