Nghiên cứu cấu trúc và tính chất của một số phức chất platinum(II) chứa phối tử eugenol và dẫn xuất acid carboxylic của pyridine bằng phương pháp hóa học tính toán

BáGI ODệCV TRìNG OT O I HC QUY NHèN NGUY N TH TRI MáT Să C TRìNG CếA M UN BUCHSBAUM T´MT TLU NV NTH CS TO NH¯C B…nh ành - 2020 Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 1.1 àa ph÷ìng hâa Nºi dung cıa ti‚t n y ÷æc tr…nh b y theo [1] Cho R l mºt v nh giao ho¡n câ ìn T“p S R ÷ỉc gåi l mºt t“p nh¥n âng n‚u S v vỵi måi x; y S th… xy S X†t t“p S v R = f(s; r) j s S v r Rg ành ngh¾a tr¶n S R mºt quan h» hai ngỉi: 8(s; r); (t; k) S R; (s; r) Khi â, quan h» l (t; k) , 9u S : u(st kr) = 0: mt quan hằ tữỡng ữỡng Vợi mỉi (s; r) S R, r t“p th÷ìng (S R)= l S R ta k hiằu lợp tữỡng ữỡng (s; r) l s v hay RS Ta ành ngh¾a hai php toĂn cng v nhƠn nhữ sau: r k Rs, r k tr + sk rk rk Vỵi måi s v t +t = s Chóng ta câ th” ki”m tra (RS; +; :) l 1 st v s :t = st mºt v nh giao ho¡n câ ìn ành ngh¾a 1.1.1 V nh RS ÷ỉc gåi l v nh c¡c th÷ìng cıa v nh R tữỡng ứng vợi nhƠn õng S Chú ỵ rng, vợi mỉi p Spec(R), S = R n p l mºt t“p nh¥n âng Khi â, v nh RS cặn ữổc k hiằu l Rp: Mằnh • 1.1.2 Cho R l mºt v nh giao ho¡n câ ìn và, S l mºt t“p nh¥n âng cıa R v I l Ơy l mt i ảan ca R Khi â c¡c khflng ành sau óng r (i) T“p IRS = IS = fs j r I v s Sg l mºt i ¶an cıa v nh R S (ii) Vỵi mØi p Spec(R), Spec(Rp) = fqRp j q Spec(R) v q pg (iii) Vỵi mØi p Spec(R), v nh Rp l mºt v nh a phữỡng vợi i ảan cỹc i pRp: Cho M l mºt R-mæ un X†t v nh c¡c thữỡng RS vợi S l mt nhƠn õng Xt t“p S Tr¶n t“p S M = f(s; m) j s S v m Mg M ta ành ngh¾a mºt quan h» hai ngỉi: 8(s; m); (t; n) S Khi â, quan h» M; (s; m) (t; n) , 9u S : u(tm l mºt quan hằ tữỡng ữỡng trản S sn) = 0: M v vợi mỉi m s v thữỡng (s; m) S M, ta k hiằu lợp tữỡng ữỡng (s; m) l (S M)= l S M hay MS Ta nh nghắa php cng v php nhƠn vổ hữợng nhữ sau: m n Vỵi måi Vỵi måi m s , t MS; s m a n tm + sn +t = ma st : am s MS, r RS, s : r = rs : Chóng ta câ th” ki”m tra MS l mºt RS-mæ un ành nghắa 1.1.3 Mổ un MS trản v nh RS ữổc gåi l mỉ un àa ph÷ìng hâa cıa M t÷ìng ứng vợi nhƠn õng S Chú ỵ rng, vợi mØi p Spec(R), S = R n p l mºt t“p nh¥n âng Khi â, ta k‰ hi»u MS = Mp: 1.2 Sỹ phƠn tch nguyản sỡ Ni dung cıa ch÷ìng n y ÷ỉc tr…nh b y theo [5] Cho R l mºt v nh Noether giao ho¡n v M l mºt R-mỉ un ành ngh¾a 1.2.1 Mºt i ¶an nguy¶n tŁ p cıa R ÷ỉc gåi l mºt i ảan nguyản t liản kt ca M nu tỗn t⁄i mºt phƒn tß x M cho Ann(x) = p Tp tĐt cÊ cĂc i ảan nguyản t liản kt ca M ữổc k hiằu l AssR(M) hay Ass(M) M»nh (i) cho R=p • 1.2.2 C¡c khflng ành sau ¥y l óng p Ass(M) n‚u v ch¿ nu tỗn ti mt mổ un N ca M N: = (ii) N‚u p l mºt phƒn tß cüc ⁄i cıa t“p c¡c i ¶an fAnn(x) j x M v x 6= g0 th… p Ass(M) H» qu£ 1.2.3 Ass(M) = ; , M = 0 BŒ • 1.2.4 Cho S l mºt t“p nh¥n âng cıa R °t R = S R, M = S M Khi â AssR0(M ) = AssR(M) \fp Spec(R) j p \S = ;g nh lỵ 1.2.5 Cho R l mt v nh Noether giao ho¡n v M l mºt R-mæ un Khi â Ass(M) Supp(M) v måi phƒn tß cüc ti”u cıa Supp(M) thuºc v• Ass(M): M»nh • 1.2.6 Cho R l mºt v nh Noether v M l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh Khi â Ass(M) l mºt t“p hœu h⁄n nh nghắa 1.2.7 Mt R-mổ un ữổc gồi l i nguyản sỡ nu nõ cõ nhĐt mt i ảan nguy¶n tŁ li¶n k‚t Mºt mỉ un N cıa M ữổc gồi l mt mổ un nguyản sỡ cıa M n‚u M=N l Łi nguy¶n N‚u Ass(M=N) = fpg, ta nâi N l p-nguy¶n hay N liản kt vợi p Cho N l mt mổ un ca M Mt phƠn tch nguyản sỡ ca N l mºt bi”u di„n d⁄ng N = Q1 \ Q2 \ : : : \ Qr vỵi måi Qi l nguyản sỡ M Hỡn na, mt phƠn tch nguyản ÷ỉc gåi l rót gån n‚u khỉng th” bä mºt Qi n o v nhœng i ¶an nguy¶n tŁ liản kt ca M=Q i l nhng phn tò khĂc vợi i r Hin nhiản, mt phƠn tch nguyản sỡ ca N cõ th ữa vã mt phƠn t ch nguyản sỡ rút gồn B ã 1.2.8 N‚u N = Q1 \ : : : \ Qr l mt phƠn tch nguyản sỡ rút gồn v nu Qi liản kt vợi pi, th ta cõ Ass(M=N) = fp1; : : : ; prg: nh lỵ 1.2.9 Cho R l mºt v nh Noether v M l mºt R-mæ un Khi T â0= Q(p), â Q(p) l mổ un p-nguyản sỡ p2Ass(M) 1.3 Chiãu Krull Nºi dung cıa ch÷ìng n y ÷ỉc tr…nh b y theo [5] nh nghắa 1.3.1 Chiãu ca R ữổc nh nghắa l chn trản nhọ nhĐt ca tĐt cÊ cao ca tĐt cÊ i ảan nguyản t ca R, tøc l dim(R) = supfht(p) j p Spec(R)g: Nâ cặn ữổc gồi l chiãu Krull ca R V dử 1.3.2 1) Cho K l mºt tr÷íng Khi â dim K = 2) dim(Z) = Nh“n x†t 1.3.3 (i) Vỵi mØi p Spec(R); ht(p) = dim(Rp): (ii) Vợi mỉi i ảan I ca R, dim(R=I) + ht(I) dim R: ành ngh¾a 1.3.4 Cho M 6= 0l mºt R-mỉ un Chi•u Krull cıa M l dim(M) = dim(R= Ann(M)): Trong tr÷íng hỉp M = 0, ta qui ữợc dim(M) = 1: Mằnh ã 1.3.5 GiÊ sò R l mºt v nh giao ho¡n Noether v M 6= 0l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh Khi â c¡c mằnh ã sau l tữỡng ữỡng (i) M l mt R-mæ un câ º d i hœu h⁄n (ii) V nh R= Ann(M) l (iii) dim M = 0: Artin Cho R l mºt v nh Noether giao ho¡n àa phữỡng vợi i ảan cỹc i m k Mt i ảan I ữổc gồi l mt i ảan nh nghắa cıa R n‚u m I m vỵi mºt k > iãu n y tữỡng ữỡng vợi I m v R=I l Artin Cho I l mºt i ¶an ành ngh¾a cıa R v M l mºt R-mỉ un hœu h⁄n sinh °t I R = gr (R) = n>0I n =I n+1 v I M = gr (M) = Gi£ sß I = Rx1 + B n>0I n M=I n+1 M: +Rxr Khi â v nh ph¥n b“c R l Ênh ỗng cĐu ca = (R=I)[x1; : : : ; xr], v M l R -mỉ un ph¥n b“c hœu h⁄n sinh Khi n n+1 â FM (n) = ‘(I M=I Suy r‹ng, h m M) l mºt a thøc theo n vỵi deg FM (n) r n n n X (M; I; n) = ‘(M=I M) = FM (j) j=0 l mºt a thøc theo n vỵi b“c khỉng qu¡ r n a thøc (M; I; n) n ÷ỉc gåi l a thøc Hilbert cıa M t÷ìng øng vỵi I: a thøc n y khỉng phư thuºc v o i ảan nh nghắa I Bc ca a thức n y ữổc k hiằu l d(M): Mằnh ã 1.3.6 Cho (R; m) l mºt R-mæ un Noether giao ho¡n a phữỡng, I l mt i ảan nh nghắa ca R v 0! M ! 00 M! M ! l dÂy khợp cĂc R-mổ un hu hn sinh Khi â 00 d(M) = maxfd(M ); d(M )g: BŒ • 1.3.7 Cho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng Khi â d(R) > dim(R): BŒ • 1.3.8 Cho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v M 6= 0l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh v x m Khi â d(M) > dim(M=xM) > d(M) 1: BŒ • 1.3.9 Cho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v M 6= 0l mºt R-mỉ un hœu hn sinh, v t dim(M) = r Khi õ tỗn t⁄i r phƒn tß x1; : : : ; xr m cho ‘(M=(x1; : : : ; xr)M) < nh lỵ 1.3.10 Cho (R; m) l mt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v M 6= 0l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh Khi â d(M) = dim(M) = (M) â (M) l sŁ tü nhiản nhọ nhĐt r cho tỗn ti x1; : : : ; xr m ” ‘(M=(x1; : : : ; xr)M) < Chú ỵ rng, nu d = dim(M) v h» phƒn tß x1; : : : ; xd m cho mºt h» tham sŁ cıa M ‘(M=(x1; : : : ; xd)M) < ÷ỉc gåi l M»nh • 1.3.11 Cho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v M 6= 0l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh Khi â (i) dimR(M) = dimRb(Mc): (ii) dim M = maxfdim(R=p) j p Ass(M)g: 1.4 i ỗng iãu a phữỡng nh lỵ 1.4.1 (Tnh c lp ca v nh cỡ sð) Cho R l R- ⁄i sŁ v 0 N l R -mỉ un Cho I l flng c§u H i i mºt i ¶an cıa R Khi â vỵi måi i > 0, ta câ (N ) = H (N ) c¡c R-mæ un IR I Khi R l R- ⁄i sŁ phflng, ta cõ nh lỵ sau (xem [4], nh lỵ 4.3.2) nh lỵ 1.4.2 ( nh lỵ chuyn cỡ s phflng) Cho R l R- ⁄i sŁ phflng i 0 Khi â câ R - flng c§u H (N) R = (N R ) vỵi måi i 0: Hi IR R I R Cho p l i ¶an nguyản t bĐt k ca R Khi õ Rp l T nh lỵ 1.4.2 ta luổn cõ Rp- flng cĐu i i H (N) R =H R I Hìn nœa, v… N R =N R p p (N R ) IRp R i ): p vỵi måi R-mỉ un N n¶n p i = (H (N)) I p H (N IRp p > R- ⁄i sŁ phflng Ch÷ìng °c tr÷ng cıa mỉ un Buchsbaum 2.1 °c tr÷ng cıa mỉ un Buchsbaum qua h» tham sŁ Trong ch÷ìng 2, chóng tỉi tr…nh b y mŁt sŁ °c tr÷ng cıa mỉ un Buchsbaum, mỉ un ph¥n b“c theo [6] K‰ hi»u R l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng vợi i ảan cỹc i m v M l mt R-mỉ un Noether Cho q l i ¶an cıa R cho ‘(M= qM) < Khi â, ta câ h m Hilbertn+1 Samuel Pq(n) = (M=q M) v tỗn t⁄i c¡c sŁ nguy¶n e0(q; M) > 0; e1(q; M); :::; ed(q; M) cho vỵi n ı lỵn, ta câ Pq(n) = e0(q; M) d ! + e1(q; M) n+d H» sŁ e0(q; M) gåi l d n+d 1! + + en(q; M) sŁ bºi cıa M øng vợi i ảan q Nôm 1965, D A Buchsbaum  t giÊ thit: Tỗn ti mt s tỹ nhiản I(M) cho hi»u ‘ A(M=qM) e0(q; M) = I(M) l hng s vợi mồi i ảan tham s q cıa M Tuy nhi¶n, gi£ thi‚t tr¶n khỉng óng V möc ‰ch cıa phƒn n y l tr…nh b y tnh chĐt u tiản ca R-mổ un M thọa mÂn giÊ thit trản 12 nh nghắa 2.1.1 Cho M l R-mỉ un Noether Mºt h» c¡c phƒn tß x1; : : : ; xr m ÷ỉc gåi l mºt M-dÂy yu, nu vợi mỉi i = 1; : : : ; r (x1; : : : ; xi 1) M : xi = (x1; : : : ; xi 1) M : m: Ta bi‚t r‹ng mØi M-d¢y l mºt phƒn cıa h» tham sŁ cıa M Łi vỵi cĂc M-dÂy yu ta cõ kt quÊ sau B ã 2.1.2 Cho M l mt R-mổ un Noether vợi chiãu d dữỡng Khi õ, mỉi M-dÂy yu x1; : : : ; xr vỵi r d l mºt phƒn cıa h» tham sŁ cıa M ành ngh¾a 2.1.3 Mºt R-mỉ un M Noether ÷ỉc gåi l mºt mỉ un Buchsbaum n‚u mØi h» tham sŁ cıa M l mºt M-d¢y y‚u R l mºt v nh Buchsbaum n‚u nâ l ữổc gồi mt mổ un Buchsbaum B ã 2.1.4 GiÊ sò rng R l Ênh to n cĐu ca v nh àa ph÷ìng B Mºt R-mỉ un M l mºt mỉ un Buchsbaum tr¶n R n‚u v ch¿ n‚u nâ l mºt mỉ un Buchsbaum ÷ỉc coi l mºt B-mổ un bng hn ch vổ hữợng nh nghắa 2.1.5 Cho a R l mºt i ¶an v M l mºt R-mỉ un Noether vỵi dim M = d v dim M=aM = Mºt h» c¡c phƒn tß x1; : : : ; xt cıa R ÷ỉc gåi l M-cì sð cıa a n‚u c¡c i•u ki»n sau thäa m¢n: (i) x1; : : : ; xt t⁄o th nh mºt cì sð tŁi ti”u cıa a (ii) Vỵi mØi h» i1; : : : ; id c¡c s nguyản vợi i1 < < id t th c¡c phƒn tß xi1 ; : : : ; xid l“p th nh mºt h» tham sŁ cıa M M»nh • 2.1.6 Cho a R l mºt i ¶an v M1; : : : ; Mn l c¡c R-mæ un Noether vỵi dimR Mi=aMi = vỵi måi i = 1; : : : ; n Khi â a1; : : : ; at a t⁄o th nh mºt Mi-cì sð cıa a vỵi måi i = 1; : : : ; n H» qu£ 2.1.7 Cho M l mºt mỉ un Buchsbaum Gi£ sß x1; : : : ; xr l mºt phƒn cıa h» tham sŁ cıa M vỵi r < dim M Khi â M=(x1; : : : ; xr)M v M=U((x1; : : : ; xr)M) l c¡c mỉ un Buchsbaum Hìn nœa, Mp l mổ un Cohen-Macaulay vợi mồi i ảan nguyản t p 6=m v p SuppM M»nh • 2.1.8 Gåi M l mỉ- un Noether R vỵi d := dim M > CĂc iãu kiằn sau l tữỡng ữỡng: (i) M l mºt mæ- un Buchsbaum, tøc l , mØi h» tham sŁ l mºt chi M y‚u (i)’ Vỵi mØi h» tham sŁ x1; : : : ; xd cıa M chóng ta câ (x1; : : : ; xd 1) M : xd = (x1; : : : ; xd 1) M : m: (ii) Vỵi mØi h» tham sŁ x1; : : : ; xd cıa M v måi i = 0; : : : ; d chóng ta câ (x1; : : : ; xi) M : xi+1 = (x1; : : : ; xi) M : xvỵi måi x m cho x1; : : : ; xi; x t⁄o th nh mºt phƒn cıa h» tham sŁ cıa M (ii)’ Vỵi mØi h» tham sŁ x1; : : : ; xd cıa M chóng ta câ (x1; : : : ; xd 1) M : xd = (x1; : : : ; xd cho x1; : : : ; xd (iii) 1; 1) M : xvỵi måix m x l⁄i t⁄o th nh mºt h» tham sŁ cıa M Vỵi mØi h» tham sŁ x1; : : : ; xd cıa M chóng ta câ vỵi måi i = 0; : : : ; d 1: (x1; : : : ; xi) M : xi+1 = (x1; : : : ; xi) M : x i+1: (iii)’ Vỵi mØi h» tham sŁ x1; : : : ; xd cıa M chóng ta câ (x1; : : : ; xd (iv) 1) M : xd = (x1; : : : ; xd 1) M : x d: Vỵi mØi phƒn cıa h» tham sŁ x1; : : : ; xi cıa M vỵi i < d chóng ta câ U ((x1; : : : ; xi) M) = (x1; : : : ; xi) M : m: nh lỵ 2.1.9 Cho M l mºt R-mỉ un Noether vỵi dim M = d Khi â M l mºt mæ un Buchsbaum n‚u v ch¿ n‚u câ mºt sŁ nguy¶n I(M) cho l(M=qM) e0(q; M) = I(M) vỵi måi i ảan tham s q ca M : B ã 2.1.10 Cho M l mºt R-mỉ un Noether câ chi•u d÷ìng M l mºt mỉ un Buchsbaum n‚u v ch¿ n‚u bao ƒy ı m-adic Mc cıa M l mºt mổ un Buchsbaum trản Rb Trong trữớng hổp n y I(M) = I(Mc) BŒ • 2.1.11 Cho M l mºt R-mỉ un Noether v a R l mºt i ¶an cho M=aM l mổ un Buchsbaum cõ chiãu dữỡng Khi â, vỵi mØi phƒn cıa h» tham sŁ x1; : : : ; xr cıa M=aM v b := (x1; : : : ; xr)R th… k (a M : m) \ b M a b k Mvỵi måi k 1(b := R): BŒ • 2.1.12 Cho M l mt mổ un Buchsbaum trản R cõ chiãu dữỡng Vợi mỉi hằ tham s x1; : : : ; xd cıa M, ta °t q := (x1; : : : ; xd) R Khi â q N‚u depthM k+1 k M : xd \ q M = q Mvỵi måi k 1: th… q k+1 k M : xd = q Mvợi mồi k 1: c trững ca v nh a phữỡng Buchsbaum R dÔn n khĂi niằm vã cĂc R-dÂy yu Mt s tĂc giÊ Â nghiản cứu tng quĂt hỡn vã dÂy ch nh quy nh÷ M Fiorentini [1], C Huneke [1], N V Trung [10] hay P Schen-zel [3] Chóng ta s‡ ch¿ r‹ng nhœng kh¡i ni»m n y trịng khỵp khi xt trản v nh a phữỡng Buchsbaum nh nghắa 2.1.13 Cho R l mºt v nh àa ph÷ìng câ º d i n > Gi£ sß r‹ng x1; : : : ; xn l mºt h» tham sŁ cıa R Khi â x1; : : : ; xn l mºt R-d¢y y‚u n‚u (x1; : : : ; xi) R : xi+1 = (x1; : : : ; xi) R : m vỵi måi i = 0; : : : ; n 1: x1; : : : ; xn ữổc cho l mt d-dÂy nu vợi mØi t“p fi1; : : : ; ijg (câ th” l t“p ;) cıa t“p f1; : : : ; ng v vỵi måi k; m f1; : : : ; ng n fi1; : : : ; ijg ta câ (xi; : : : ; xij ) R : xk xm = xi1 ; : : : ; xij R : xk: x1; : : : ; xn l mt dÂy chnh quy tữỡng i nu vợi mỉi s nguyản i = 1; : : : ; n ta câ (xi; : : : ; xij ; xi+1; : : : ; xn) R : xi \ (x1; : : : ; xn) R = (x1; : : : ; xi 1; xi+1; : : : ; xn) R: Mºt phƒn tß x i ¶an m-nguy¶n q l mºt phƒn tß ngo i tuy»t Łi cho q R n‚u k+1 (q k : x) \ q = q vợi mồi s nguyản k x1; : : : ; xn ÷ỉc gåi l mºt h» ngo i tuy»t l mºt phƒn tß ngo i tuy»t R=(x1; : : : ; xi 1) 1; Łi cıa tham sŁ n‚u xi Łi cho £nh cıa (x1; : : : ; xn) R R vỵi måi sŁ nguy¶n i = 1; : : : ; n 5 x1; : : : ; xn câ thuºc t‰nh (F ) n‚u (xi; : : : ; xij ) R : xi \ (x1; : : : ; xn) R = (x1; : : : ; xi vỵi måi sŁ nguy¶n N‚u i = ta i 1) R: n ÷ỉc (O : x1) \ (x1; : : : ; xn) R = 0: M»nh • 2.1.14 R l mºt v nh Buchsbaum n‚u v ch¿ n‚u nôm iãu kiằn ca nh nghắa 2.1.13 thọa mÂn vợi måi h» tham sŁ cıa R Trong tr÷íng hỉp n y cÊ nôm iãu kiằn trản l tữỡng ữỡng 2.2 c trững ca mổ un Buchsbaum qua i ỗng iãu àa ph÷ìng Cho R l mºt v nh àa ph÷ìng vợi i ảan cỹc i m v trữớng k := R=m Ta bi‚t r‹ng, mºt mæ un Noether R l mæ un Cohen-Macaulay n‚u v i ch¿ n‚u Hm (M) = vỵi måi i < dim M(xem [6]) Kt quÊ sau cho ta thĐy i ỗng iãu a phữỡng l mt cổng cử nghiản cứu cĂc mổ un Buchsbaum M»nh • 2.2.1 Cho M l mºt R-mỉ un Noether vợi chiãu dữỡng CĂc iãu kiằn theo sau l tữỡng ữỡng: (i) Tỗn ti mt hằ tham sŁ cıa M m l mºt M-d¢y y‚u (ii) MØi h» tham sŁ cıa M m l mºt M-dÂy yu (iii) m:Hm (M) = vợi mồi i < dimM i Hìn nœa, n‚u mºt s cĂc iãu kiằn l thọa mÂn th ta cõ (iv) l(M=q:M) e0(q; M) l ºc l“p cıa q vỵi måi i ¶an tham sŁ q m M»nh • 2.2.2 Cho M l mºt mỉ- un Buchsbaum vỵi d := dim M Khi â mØi tham sŁ ideal q cıa M (i) d l(M= ql+1 M) = i=0 d i t +d ei(q; M)vỵi m i X (ii) d i e (q; M) = i j= X d j i 1 l j Hm (M) vỵi måi i = 1; â p := 1 khi p 6= p = 1: (iii) d I(M) = Xi ei(q; M): =1 i H» qu£ 2.2.3 N‚u M l mæ un Buchsbaum th… m Hm (M) = vỵi måi i 6= dimM c biằt, cĂc mổ un i ỗng iãu a phữỡng l c¡c mæ un câ º d i hœu h⁄n H» qu£ 2.2.4 Cho M l mºt mæ un Buchsbaum chiãu d > Khi õ, vợi mỉi t cõ mt s tỹ nhiản I t(M) cho vợi måi i ¶an tham sŁ q cıa M, ta câ t+1 l(M=q t+d d M) e0(q; M) = It(M): ành lỵ 2.2.5 Cho M l mt R-mổ un Noether vợi d := dim M N‚u i i i ’ M : Ext A(k; M) ! Hm (M) l to n ¡nh vỵi måi i 6=d th… M l mºt mỉ un Buchsbaum M»nh • 2.2.6 Cho M l mºt R-mỉ un Noether vỵi r := depth M < dim i M =: d v Hm (M) = vỵi mồi i 6=r; d CĂc mằnh ã sau Ơy l t÷ìng ÷ìng: (i) M l mºt mỉ un Buchsbaum (ii) m Hm (M) = (iii) Cho x1; : : : ; xr l mºt M-d¢y m Khi â r (x1; : : : ; xr) M : hmi = (x1; : : : ; xr) M : m: ành ngh¾a 2.2.7 Cho r, d l sŁ nguyản vợi r d V cho k l mt tr÷íng, X1; : : : ; Xd, Y1; : : : ; Yd væ h⁄n °t Rd := k [X1; : : : ; Xd; Y1; : : : ; Yd]md õ md l i ảan ữổc sinh tł Rd := k X1; : : : ; Xd; Y1; : : : ; Yd Chóng ta ành ngh¾a b‹ng quy n⁄p theo r, mºt i ¶an a Rd thuºc ki”u (r; d) nh÷ sau: a l thuºc ki”u (1; d) n‚u a = (X1; : : : ; Xd)Rd \ (Y1; : : : ; Yd)Rd; a l thuºc ki”u (r + 1; d) vỵi r + < d, n‚u a = a1 \ a2 v a) Rd=a1 l v nh Cohen-Macaulay vỵi dim Rd=a1 = d, b) tü flng c§u cıa Rd x¡c ành bði ph†p Œi bi‚n (Xi $ Yi) bi‚n a1 th nh a2, c) a1 + a2 = (Xd; Yd) Rd + b Rd, â b Rd (r; d 1) l i ảan thuc kiu B ã 2.2.8 Cho a Rd l mt i ảan kiu (r; d) vợi r < d Khi â H i (R =a) = vỵi måi i =r; d v r H (R d md Do â Rd=a l mºt mæ un Buchsbaum (trản Rd) chiãu d vợi depthRd=a = r md d nh lỵ 2.2.9 Gồi M l mt R-mổ un Noether cõ chiãu dữỡng d CĂc phĂt biu sau ¥y l t÷ìng ÷ìng: (i) M l mºt mỉ un Buchsbaum (ii) C¡c ¡nh x⁄ ch‰nh t›c i M i i : H (m; M) ! Hm (M)(so vỵi BŒ • 0.1.5) l to n ¡nh vỵi måi i < d (iii) Cho x1; : : : ; xi l mºt M-cì sð M cıa i ¶an cüc ⁄i m cıa A Vỵi mØi h» i1; : : : ; id c¡c sŁ nguy¶n thäa i1 < < id t, r1 rd d¢y x ; : : : ; x l mt M-dÂy yu vợi mồi r1; : : : ; rd f1; 2g i1 id M»nh • 2.2.10 Gåi M l mºt R-mỉ un Noether vỵi depth M > Khi â c¡c i•u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng: (i) M l mỉ un Buchsbaum (ii) Cõ mt ữợc khĂc khổng x m ca M cho M=x M l mæ un Buchsbaum (ii’) M=x M l mt mổ un Buchsbaum cho mỉi ữợc khĂc khæng x 2 m cıa M (iii) Câ mºt ÷ỵc kh¡c khỉng x m cıa M cho: a) M=x M l mæ un Buchsbaum b) x Hm (M) = vỵi måi i < dim M i (iii) i vợi tĐt cÊ cĂc ữợc khĂc khổng x m cıa M a) v (iii) b) cıa l úng (iv) Cõ mt ữợc khĂc khổng x m cıa M cho: c) M=x M l i mæ un Buchsbaum d) x Hm (M=x M) = vỵi måi i < dim M (iv’) Łi vỵi tĐt cÊ cĂc ữợc khĂc khổng x m ca M, c¡c i•u ki»n c) v d) cıa (iv) l úng Mằnh ã 2.2.11 GiÊ sò P V \Fu v º d i cıa (f1; : : : ; fr) R > N‚u P l mºt i”m Buchsbaum cıa V =k th… P l i”m Buchsbaum cıa V \ Fu=k(u) iãu ngữổc li ch úng nu grade(f1; : : : ; fr) R > v (f1; : : : ; fr) R p R: K‚t qu£ ti‚p theo ÷ỉc chøng minh bði N V Trung, (xem [2]), nh lỵ Nõ cung cĐp thổng tin vã thuc tnh nƠng trữớng hổp depth M = M»nh v • 2.2.12 Cho M l mºt R-mỉ un Noether chiãu dữỡng d depth M = Khi õ M l mºt mæ un Buchsbaum n‚u v ch¿ n‚u cĂc iãu kiằn sau Ơy ữổc thọa: (i) m Hm (M) = (ii) M=Hm (M) l mºt mæ un Buchsbaum ... t“p nh¥n âng Khi â, v nh RS cặn ữổc k hiằu l Rp: Mằnh ã 1.1.2 Cho R l mºt v nh giao ho¡n câ ìn và, S l mºt t“p nh¥n âng cıa R v I l Ơy l mt i ảan ca R Khi â c¡c khflng ành sau óng r (i) T“p IRS... k 1: c trững ca v nh a phữỡng Buchsbaum R dÔn n khĂi niằm vã cĂc R-dÂy yu Mt s tĂc giÊ Â nghiản cứu tng quĂt hỡn vã dÂy ch nh quy nhữ M Fiorentini [1], C Huneke [1], N V Trung [10] hay P Schen-zel