1 So Vi Du Ve Bat Dang Thuc

Điều này đúng nên bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.[r]

Bất đẳng thức 1.Bất đẳng thức VD1.1: CMR với moi số thực dương a,b,c CMR: a  b  c 3 abc Giải: 3 Xét bổ đề sau: a b c dương a  b  c 3abc a  b3  c 3abc  a  b3  c3  3abc 0   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  0  a  b  c  ab  bc  ca   a  2ab  b    b  2bc  c    c  2ca  a  0 2   a  b    b  c    c  a  0 a  b  c 3 abc   a  b  c  27 abc  a  b  c   a  b   b  c   c  a  27abc a  b3  c   a  b   b  c   c  a  3abc   a  b   b  c   c  a  27abc   a  b   b  c   c  a  24abc   a  b   b  c   c  a  8abc  a  b  2 ab ;  b  c  2 bc ;  c  a  2 ac   a  b   b  c   c  a  2 ab bc ac 8abc Bất đẳng thức cuối nên a  b  c 3 abc VD1.2 Chứng minh a, b, c dương CMR x y yz zx 4( x  y  z )    z x y ( x  y )( y  z )( z  x) xy yz zx 4( x  y  z )    z x y ( x  y )( y  z )( z  x)  ( x  y )( x  y )( y  z )( z  x ) ( y  z )( y  z )( z  x)( x  y ) ( z  x)( z  x )( y  z )( x  y )   4  x  y  z  z2 x2 y2   x  y ( y  z )( z  x) ( x  y)( x  z ) ( x  y)( y  z )  y  z   z  x 4  x  y  z  2 z x y 2 xy xy  ( y  z )( z  x) z  z ( x  y )  xy x  y xy xy  xy   1   1      1  2 z z z z z z z  z   ( y  z )( z  x) xy   x  y  x  y   x  y       z2 z    ( x  y )( z  x) yz    y  z  y  z      y  z   y  z  x x    ( x  y)( y  z) xz    z  x  z  x      z  x   z  x  y y     x  y  xy xy xy  x  y  xy  x  y  z2 z2 z yz yz yz  y  z  yz  y  z  x x x zx xz z  x  y y ( x  y)( x  y )( y  z )( z  x) ( y  z )( y  z )( z  x)( x  y ) ( z  x)( z  x)( y  z )( x  y )  xy yz   xz zy   xy zx    2  x  y  z              2 z x y  z x  y x  z y 4  x  y  z  a2 b2 c2   a  b  c VD1.3: Cho số a, b, c dương CMR b  c  a c  a  b a  b  c Xét bổ đề sau: 2 a b2  a  b  a y  b2 x  a  b        a y  b x   x  y    a  b   xy    a xy  b x  a y  b xy a xy  2abxy  b xy   x y xy xy xy  a x  2abxy  b y 0   ax  by  0 2  a  b   c  a  b  c  a  b  c a2 b2 c2    2c a b  c a b c Áp dung ta có: b  c  a c  a  b a  b  c a b c   3 VD1.4: Cho a ,b, c cạnh tam giác.CMR: b  c  a a  c  b a  b  c a  b  c  0; b  c  a  0; a  c  b  abc  a  b  c   b  c  a   c  a  b  ;  a  b  c  x;  b  c  a   y ;  c  a  b   z xz x y zy y  z x  z x  y  y  z  x  z  x  y ;b  ;c   abc   2 2 2  xyz  y  z   x  z   x  y   a a b c 2a 2b 2c yz xz x y   2        6  x y z  b c  a a c  b a b  c  b c  a c  a  b a b  c a b c    3 b c  a a c  b a b  c VD1.5: Cho a, c, b dương CMR: a) a 2 a a b  2 b) b a 1 1 1   a    b    c   8 b  c  a c)  d) e) f) 1   4 a b  a  b   1 1    9 a b c  a  b  c   1 1 16     a b c d a b c d 1   a  2  a   0   a   0 a a a   a) b) a b a b  2    0  b a b a  a    b b  0 a   1 1 a b c   a    b    c   8; a  2 ; b  2 ; c  2 b  c  a b b c c a a  1 1 1 a b c    a    b    c   2 2 8 b  c  a b c a  c) 1 a b a b  a  b     4    4   2 b a b a a b d) e) 1 1 a b c a b c  a b  c b  a c     9        9             6 b a b c c a a b c b a b c c a  a  b  c   1 1 16 16 1 1 1 1             a b c d a b c d  a b   c d  a b c d 1 a b       a  b  4ab  a b a b ab a b 1 cd       c  d  4cd   c d cd cd c d 4  16  1 1            4     4 a b c d a b c d  a b   c d  a b c d  a b c  d  f) VD1.6: Cho a ,b, c, d dương CMR: a b c d    2 b c d c d a d  a b a b c a b c d    2 bcd cd a d ab abc a2 b2 c2    a  c  d  a b c  d  a c  d  a  b d2 a b c d     d  a  b  c a  c  d  a b c  d  a c  d  a b d  a b  c 1 a  c  d  a   a  b  c  d  ; b  c  d  a   a  b  c  d  ; c  d  a  b   a  b  c  d  2 d  a  b  c   a  b  c  d  a b c d 2a 2b 2c        a c  d  a bc  d a c  d  a b d  a b  c a b  c  d a  b  c  d a  b  c  d  2d 2 a bc  d Nhưng dấu xảy a  b  c d ; b a  c  d ; c a  b  d d a  b  c hệ vô nghiệm  a b c d    2 b c d c d a d a b a b c VD1.7: Cho số a, b dương a + b = 2.CMR :  x  y xy  xy  x  y  2 2  xy  x  y 2  2 1  xy  x  y  2  xy  x  y   2 2 VD1.9: Cho a ,b dương CMR ab  a  b  a  b3 ab  a  b  a  b3   a  b   a  ab  b  ab  a  b    a  b   a  ab  b   ab  a  b  0   a  b   a  b  0 1 1  3  3  VD1.10: Cho a ,b, c dương CMR: a  b  abc b  c  abc c  b  abc abc 1  3  3  a  b  abc b  c  abc c  b  abc 1 1 1       ab  a  b   abc bc  b  c   abc ac  a  c   abc  a  b  c  ab  a  b  c  bc  a  b  c  ca a  b3 ab  a  b  ; b3  c bc  b  c  ; c  a ac  a  c   a b c  abc  a  b  c  abc 1 1 1      VD1.11 Cho a, b, c dương CMR : a  b  c b  c  a c  a  a a b c 1 1 1 1   1 1       2    2     a b  c b  c  a c  a  b a b c  a b  c b c  a c a  b  a b c 1 1 1    ;    ;    a  b  c b  c  a 2b b b  c  a c  a  b 2c c a  b  c c  a  b 2a a 1   2  1 1  2       2      a b  c b c  a c a  b  b c a a b c a2 b2 c2   1 VD1.12: Cho số a ,b, c dương a + b + c = CMR b  c c  a a  b a b c b c  b c   a  a      a  b  b  c  c  a       9   a  b  c    b c a c a b  b c a c a b   b c a c a b  a b c a b c 4,5   1  1  4,5     b c a c a b b c a c a b b c  a2 b2 c2  a   a  b  c     a  b  c       a b  c     b c c  a a b  b  c a  c a b   a  b  c a2 b2 c2     a  b  c  b c c a a b 2 2  a  b  c   1 a b c     b c c a a b 2 VD1.13: Cho a, b, c dương CMR : ab  cd   a  b  c  d  2 a b c  d a b  c  d  a  d    b  c a d  b c ab  cd       2 2  a  d   b  c 1 16 64     VD1.14 Cho a b c dương CMR a b c d a  b  c  d 1 1 4 1 1 16 16         4    4     4   a b a b a b c a b c a b c a b c d a b  c d  a b c  1   16    16   a b c d   a b c d 64    a b c d 2 a 3a  a  2b   b 3b  b  2a  6 VD1.15: Cho số dương a ,b cho a  b 6 CMR : 3a  a  2b 2a  b  a 3a  a  2b  2a  ab 3b  b  2a 3b  b  2a   2b  a  b 3b  b  2a  2b  ab 3a  a  2b    a 3a  a  2b   b 3b  b  2a  2  a  b   2ab 3  a  b  3.2 6 c  a  c  c  b  c   ab VD1.16: Cho c > a,b > c CMR: c  a  c c  b  c  1 ab ab c a c c a c c c c c      11 a b b a a a b b    1 2 c  a  c   c  c  b   ab  Vậy bất đẳng thức chứng minh hoàn toàn VD1.17: Cho a,b,c,x,y,z số dương.CMR: VD1.18 : Cho a,b,c dương CMR 8 x  y 4  x 8  y2   x4  y   xyz  abc   a  x   b  y   c  z  5 xy 2 4  x  y 2    x  y  x  y  4   x  y  1  4   4  4 xy   x  y  4 xy xy   x  y   5 xy 9a b c a 2b  b c  c a   a 2b 2c VD1.19: Cho a,b,c số dương a + b + c = 3.CMR a b  b c  c a    2a b c   9a 2b c 2 2 2 2 2 a b b c c a    a b  b c  c a    2a b c  9a b c   2a 2b c a 2b c 1     9   a 2b  b c  c a   2   9   a 2b  b c  c a       9 a b c   ab bc ca  2 a 4b2 b4c c4a2 2 2 3   a ; b c  b c    b ; c a  c a   3c ab ab bc bc ca ca 1     a 2b  b 2c  c a       3a  3b  3c 3  a  b  c  9  ab bc ca  a 2b  a b  9a b c  a 2b  b c  c a   2a 2b c x2 VD1.20: Cho a,b,c dương.CMR:  x2  y2 1 y2  z2 1 z2 2 x 1 x  x  1  ; y2 1  y2   ; z2 1  z2    2 2 1 x  y 1 y  z 1 z x2 1 x 2 x ; y2 1 y 2 y ; z2 1 z 2 z 2 x3  y  z 2 2 2 2 3 Dấu xảy : x 1  x ; y 1  y ; z 1  z ; x  y  z 1 hệ vô nghiệm nên dấu không xảy VD1.21: Cho a + b + c = Chứng minh : a2  b2  c2  a  2ab  b 0 b  2bc  c 0 c  2ca  a 0 a  b  c  2ab  2bc  2ca 1   a  b  c  1  a  b  c  a2 b2 c2 a b c  2    2 b c a c a b VD1.22: Cho a,b,c > Chứng minh rằng: b  c a  c a  b Do vai trò a,b,c nên giả sử a b c Ta có a2 b2 c2 a b c a2 b2 c2 a b c  2     2 2 2   0 2 b c a c a b b c a c a b b c a c a b b c a c a b  a2 a2 b2 c2 a b c a   b2 b   c2 c             2   2    0 2 2 2 b c a c a b b c a c a b  b c b c   a c a c   a b a b  a  ab  ac  b  c  b  c2   b  c   b  ab  bc  a  c  a  c2   a  c   c  ac  bc  a  b  a  b2   a  b   ab  a  b  b  c2   b  c   bc  b  c  a  c2   a  c   ac  c  a  a  b2   a  b    1    ab a  b    2 2 2 2 2   b  c b  c a  c a  c a  b a  b b  c b  c a  b a  b                          1 1    0 bc  b  c   2   ac a  c      a  c   a  c   a  b2   a  b     b2  c2   b  c   a  b2   a  b        ac  c  a   ab  a  b  bc  b  c   VD a2 b2 c2   1 2  2 1.23.Cho a,b,c > CMR b  bc  c a  ac  c a  ab  b a2  b  bc  c a2  a2  b2 b2 2 b   2 ;    2 2 2 b c a c  b  c  a  ac  c  a c b2   c2 a2   c2 2 2 2  c c 2 c a b2 c2        a  b2 a  ab  b  a  b2  b  bc  c a  ac  c a  ab  b a2   b2 1 VD1.24: Cho n số dương a1 ; a2 ; a3 ; ; an CMR:  a1  a2  a3   an  n n a1a2 a3 an   ;   a2 b c2    2 2   b  c a  c a  b2  1 1 1      n an   a1 a2 a3  a1  a2  a3   an    a1  a2  a3   an   n a a a a n n 1 1 1       a a2 a3 an  1 1  1   n       n n an  a1a2 a3 an n a1a2 a3 an  a1 a2 a3 1 1        an  1 1  a  a  a   an   a1 a2 a3  1   a1  a2  a3   an       n n an  a1 a2 a3   n  a1  a2  a3   an n  a1a2 a3 an n VD1.25: Chứng minh bất đẳng thức cô-si: ( n sổ dương) Với n = bất đẳng thức tương đương với: a a ( đúng) Với n = bất đẳng thức tương đương với: a  b 2 ab  a  ab  b 0  a b c d Với n = bất đẳng thức tương đương với: abcd ;  a b  0 ( ) Áp dụng trường hợp n = Ta : a  b  c  d  a  b    c  d  ab  cd    4  ab  cd  ab  cd abcd   abcd 2 Trường hợp n = Áp dụng trường hợp n = : a b c  a b c a b c   a b c  a b c   a b c     abc    abc     abc 3 3         a b c  a b c  abc  Giả sử bất đẳng thức đến n  k Có hai trường hợp: k hợp số k = pq ( p,q  k ) a p q  1 1  a p q  1 2  a p q  1 3   a pq a1  a2  a3   a p a p 1  a p 2  a p 3   a2 p a2 p 1  a2 p 2  a2 p 3   a3 p     a1  a2  a3   an p p p p  n q p  a1a2 a3 a p  p a p 1a p 2a p 3 a2 p   p a p q  1 1a p q  1 2 a pq q  q p a1a2 a3 a p p a p1a p 2 a p 3 a2 p p a p q  1 1a p q  1 2 a pq  pq a1a2 a3 an  n a1a2 a3 an TH2: k số nguyên tố k + hợp số áp dụng trường hợp ta được: a1  a2  a3   ak  a  a  a   ak  k k 1 a1a2 a3 ak   k 1 k   a1  a2  a3   ak   a  a  a   ak    k   k 1  a  a  a   ak  a1a2 a3 ak   k   k a1  a2  a3   ak k  a  a  a   ak    a1a2 a3 ak  a1a2 a3 ak  k k   Dấu xảy a1 a2 a3 a4  an x4  y4 y  z z  x4   x  y  z 3 3 x  y y  z z  x a , b , c  VD1.25: Cho Chứng minh rằng: Giải:  x4  y4   y4  z4   z4  x4  x4  y y  z z  x4   x  y  z    x   z   y  0 3 3 3 x y y z z x x y   y z   z x  y3  x  y  y3  y  z   z3  y  z   x3  x  y  x  y  x  y x y  z  zy  z z  x  yz  x y       x3  y y3  z3 z  x3 x3  y y  z3 z  x3  x3  x  y  y  x  y    y  y  z  z  y  z    x3  y3 y3  z3           x  y      y  z   3 x  y3   y3  z3 z  x3  x  y3  z  x3   z x  y z  z x Do vai trò a,b,c nên giả sử x3 y3 x3 y3 x3  y a b c  z  x  x  y ; y  z  z  x      0 z  x x3  y x  y x  y x3  y 3 3 3 3 y3 z3 y3 z3 y3  z3      0 y  z z  x3 z  x3 z  x3 z  x3 x4  y y  z z  x4     x  y  z x  y y  z z  x3 VD1.26: a + b + c = CMR : b  c 16abc 2 a  b  c 1   a  b  c  1;  a  b  c  4a  b  c   4a  b  c   b  c 4a  b  c   b  c 4bc  b  c 4a 4bc 16abc b c  ; a  3 Dấu xảy khi: VD1.27: Cho abc = ( a b c dương ) CMR: ( a + 1) ( b + 1) a + b + ab = Þ a + b + ab + = Þ ( a + b) ( a + b) = 4Þ ( a + b) b+1 a +1 = ; = a +1 b+1 4 3 a +b + + Þ a + b + ab £ 3 b +c +1 + +a +b Þ 3£ c + a3 + £ +a +b Þ ( a + b) + 4( a + b) - 12 ³ 4 éa + b ³ ù ab ab + a + b ú Þ ( a + b - 2) ( a + b + 6) ³ Þ ê êa + b £ - 6úÞ a + b ³ Þ a + b + = a + b = a + b ê ú ë û ab Þ = - a +b a +b 3a 3b ab 1 3 3 + + = 3a + 3b + - = ( a2 + b2 ) + ( a + b) + - b+1 a +1 a +b b+1 a +1 a +b 4 a +b é3 ù æ2 3 3 3 Û ( a2 + b2 ) + ( a + b) + - £ a2 + b2 + Û ê ( a2 + b2 ) + ( a + b) + - 1ỳÊ 4ỗ a + b2 + ỗ ç ê ú è 4 a +b a +b ë4 û 12 12 Û 3( a2 + b2 ) + 3( a + b) + - £ 4( a2 + b2 ) + Û 3( a + b) + £ a2 + b2 + 10 Û a2 + b2 ³ 3( a + a +b a +b 2 ( a + b) ( a + b) 12 a2 + b2 ³ Û ³ 3( a + b) + - 10 2 a +b x2 12 24 a +b = x Þ ³ 3x + - 10 Û x2 - 6x + 10 ³ Û x3 - 6x2 + 10x - 24 ³ x x Û ( x - 2) ( x2 - 4x + 12) ³ ab £ ỉ ỉ ỉ ÷ ( a3 + b3 + 1) ỗỗỗốa1 + b1 + c2 ứữ ÷³ ( a + b + c ) ÷ ( b3 + c3 + 1) ỗỗỗốb1 + c1 + a2 ø÷ ÷³ ( a + b + c ) Ta có : ÷ ( c3 + a3 + 1) ỗỗỗốc1 + a1 + b2 ứữ ữ ( a + b + c ) 1 1 1 + + c2 + + a2 + + b2 1 Þ £ a b ; £ c b ; £ c a 3 3 3 a + b + ( a + b + c) b + c + ( a + b + c) c + a + ( a + b + c) 1 1 1 + + c2 + + a2 + + b2 1 Þ + + £ a b + c b + c a 3 3 3 2 a + b + b + c + c + a + ( a + b + c) ( a + b + c) ( a + b + c) 1 1 1 + + c2 + + + a2 + + + b2 c b c a =a b ( a + b + c) Mà abc = Þ 1 = bc; = ac; = ab a b c 1 1 1 + + c2 + + + a2 + + + b2 2ab + 2bc + 2ca + a2 + b2 + c2 c b c a Þ a b = = 2 a + b + c a + b + c ( ) ( ) ab bc ca a +b +c + + £ VD1.28: Với số ngun dương Ta có: a + b b + c c + a ab ab bc bc ca ca ab £ ; £ ; £ Û £ a + b ab b + c bc c + a ca a +b Þ ab bc ca + + £ a +b b +c c +a ab bc ; £ b+c bc ca ; £ c +a ab bc ca ab + bc + ca a + b + c ab bc ca a +b +c + + = £ Þ + + £ 2 2 a +b b +c c +a 4 VD1.29: Cho xuz = 1.CMR: x + y + z ³ xyz x4 + y4 + z4 ³ ( x2 + y2 + z2 ) ca 2 2 ứ ộổ ữ x + y + z ( ) ờỗ ỳ ữ ữ ỗ ờỗ ỳ ữ ỗ ữ ờỗ ỳ ữ ỗ ( x + y + z) øû êè ú ë ³ = = ³ xyz 27 27 x2 y2 z2 + + ³ 2 VD1.30: Cho xyz = 1.CMR: + y + z + x x2 1+ y y2 1+ z z2 1+ x x2 1+ y y2 1+ z z2 1+ x + ³ x; + ³ y; + ³ zÞ + + + + + ³ x +y+z 1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x + ( x + y + z) x + y + z + ( x + y + z) x2 y2 z2 x2 y2 z2 Þ + + + ³ Þ + + ³ x+y+z1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x 2 x y z 3 Þ + + ³ - + ( x + y + z ) ³ - + xyz = 1+ y 1+ z 1+ x 4 4 2 2 x y z Þ + + ³ 1+ y 1+ z 1+ x 3a 3b ab + + £ a2 + b2 + ( a ,b , c dương ) VD1.31: Cho ab + a + b = CMR: b + a + a + b a + b + ab = Þ a + b + ab + = Þ ( a + b) ( a + b) ( a + 1) ( b + 1) = 4Þ ( a + b) b+1 a +1 = ; = a +1 b+1 4 Þ a + b + ab £ +a +b Þ 3£ +a +b Þ x2 12 24 ³ 3x + - 10 Û x2 - 6x + 10 ³ Û x3 - 6x2 + 10x - 24 ³ x x Û ( x - 2) ( x2 - 4x + 12) ³ a +b = x Þ Đặt ( a + b) + 4( a + b) - 12 ³ 4 éa + b ³ ù ab ab + a + b ú Þ ( a + b - 2) ( a + b + 6) ³ Þ ê êa + b £ - 6úÞ a + b ³ Þ a + b + = a + b = a + b ê ú ë û ab Þ = - a +b a +b 3a 3b ab 1 3 3 + + = 3a + 3b + - = ( a2 + b2 ) + ( a + b) + - b+1 a +1 a +b b+1 a +1 a +b 4 a +b é3 ù ỉ2 3 3 3 3ư Û ( a2 + b2 ) + ( a + b) + - £ a2 + b2 + Û ê ( a2 + b2 ) + ( a + b) + - 1ỳÊ 4ỗ a + b2 + ữ ữ ỗ ữ ỗ ỳ ố 4 a +b a +b 2ø ë4 û 12 12 12 Û 3( a2 + b2 ) + 3( a + b) + - £ 4( a2 + b2 ) + Û 3( a + b) + £ a2 + b2 + 10 Û a2 + b2 ³ 3( a + b) + - 10 a +b a +b a +b 2 ( a + b) ( a + b) 12 a2 + b2 ³ Û ³ 3( a + b) + - 10 2 a +b ab £ Điều nên bất đẳng thức chứng minh hoàn toàn VD1.32.Cho a,b, c > a,b, c > ... an    a1  a2  a3   an   n a a a a n n ? ?1 1 1? ??       a a2 a3 an  ? ?1 1  1   n       n n an  a1a2 a3 an n a1a2 a3 an  a1 a2 a3 ? ?1 1        an  ? ?1 1  a  a... ³ x+y+z1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x 2 x y z 3 Þ + + ³ - + ( x + y + z ) ³ - + xyz = 1+ y 1+ z 1+ x 4 4 2 2 x y z Þ + + ³ 1+ y 1+ z 1+ x 3a 3b ab + + £ a2 + b2 + ( a ,b , c dương ) VD1. 31: Cho... z2 + + ³ 2 VD1.30: Cho xyz = 1. CMR: + y + z + x x2 1+ y y2 1+ z z2 1+ x x2 1+ y y2 1+ z z2 1+ x + ³ x; + ³ y; + ³ zÞ + + + + + ³ x +y+z 1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x + ( x + y + z) x + y + z