De thi HSG huyen Tam Duong va Yen Lac

c Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB... a Cho A là một tập hợp gồm 1008 số nguyên dương phân biệt bất kì, mỗi số không vượt[r]

PHÒNG GD&ĐT TAM

ỚP 8 Năm học: 2012-2013

Môn: Toán 8

Thời gian làm bài 120 phút

Đề thi này gồm 01 trang.

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

Câu 1: (2,5 điểm )

a) Phân tích đa thức a b c2(  )b c a2(  )c a b2(  )thành nhân tử.

b) Cho các số nguyên a b c, , thoả mãn ( a b  )3 ( b c  )3 ( c a  )3  210 Tính giá trị của biểu thức A a b    b c   c a 

Câu 2: (2,5 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2  y2   3 xy .

b) Giải phương trình: (6 x  8)(6 x  6)(6 x  7)2  72

Câu 3: (2,5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  ( x  2012)2  ( x  2013)2

b) Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z  3 Chứng minh rằng:

2

x xy yz z  .

Câu 4: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.

b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA

có giá trị không đổi.

c) KẻDH BC HBC Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQPD.

====== HẾT ======

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh………SBD………

ĐỀ CHÍNH

THỨC

PHÒNG GD&ĐT TAM

DƯƠNG

H ƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8

NĂM HỌC 2012-2013 HDC này gồm 2 trang

1 (2,5đ)

a) Ta có

a b c b c a c a b a b c b c a  c b c c a  

(b c a)( c ) (c a b)( c ) (b c a c a c)( )( ) (c a b c b c)( )( )

(b c a c a c b c)( )( ) (b c a c a b)( )( )

          .

0,5 0,5 0,25

b) Đặt a b x  ; b c y;

c a z   x y z  0

( )

z x y

  

Ta có:

3 3 3 210 3 3 ( )3 210 3 ( ) 210

x y z   x y  x y    xy x y 

70

xyz

  Do x y z, , là số nguyên có tổng bằng 0 và

70 ( 2).( 5).7

xyz     nên

, , 2; 5;7

x y z    

14

A a b b c  c a 

0,25 0,5 0,5

2

2 2 3

x y   xy

Ta có:

(x y )  0 x y 2xy 3 xy2xy xy1 Lại có:

(x y )  0 x y 2xy 3 xy2xy xy3

Suy ra  3 xy1 Mà

, 3; 2; 1;0;1

x y Z  xy    Lần lượt thử ta được

( , )x y  ( 2;1);(1; 2);(2; 1);( 1; 2);(1;1)   

là nghiệm của phương trình.

0,25

0,5 0,5

b)

2 (6 x  8)(6 x  6)(6 x  7)  72

Đặt 6x  7 t. Ta có

(t1)( 1)t t 72 (t 1)t 72 t  t  72 0

4 9 2 8 2 72 0 2( 2 9) 8( 2 9) 0 ( 2 9)( 2 8) 0

Mà t  2 8 0 nên

3

t    t    t x

hoặc

5 3

x 

PT có nghiệm là

2 5

;

3 3

x   

 .

0,5 0,5

0,25

a) Ta có:

Ghi chú :

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giảikhác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.

- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.

- Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.

=====================

PHÒNG GD&ĐT

VĨNH TƯỜNG

ĐỀ GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2013-2014

MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: (1,5 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x42014x22013x2014

b) Giải phương trình:2x 8 3 4x 133 4x 2x 53

Câu 2: (1,5 điểm)

a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 2xy2y2 2x6y 5 0

b) Cho các số a, b, c thỏa mãn: a a b(  )b b c(  )c c a(  ) 0 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A a 3b3c3 3abc3ab 3c5

Câu 3: (1,5 điểm)

a) Cho các số tự nhiên a 1, a2, , a2013 có tổng bằng 20132014

Chứng minh rằng: a13+a23+ .+a32013 chia hết cho 3

b) Tìm số tự nhiên n để n 18và n  41 là hai số chính phương

Câu 4: (1,5 điểm)

a) Cho đa thức P x x2bx c , trong đó b và c là các số nguyên Biết rằng các đa thức

4 6 2 25

x  x  và 3x44x228x5đều chia hết cho P x  Tính P  2

b) Cho hai số x; y thỏa mãn: x2x y2 2 2y0 và x32y2 4y 3 0

Tính giá trị của biểu thức Q x 2y2

Câu 5: (2,5 điểm)

Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF

a) Chứng minh rằng: AE  BC

b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng

c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB

Câu 6: (1,5 điểm)

a) Cho A là một tập hợp gồm 1008 số nguyên dương phân biệt bất kì, mỗi số không vượt

quá số k Tìm giá trị lớn nhất của k sao cho trong A có ít nhất một số là bội số của một số khác

cũng thuộc A

b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:

1

a2+2 b2+3+

1

b2+2 c2+3+

1

c2+2 a2+3≤

1 2

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên học sinh dự thi:………;SBD:………