Đang tải... (xem toàn văn)
c Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB... a Cho A là một tập hợp gồm 1008 số nguyên dương phân biệt bất kì, mỗi số không vượt[r]
PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2012-2013 Mơn: Tốn Thời gian làm 120 phút Đề thi gồm 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Câu 1: (2,5 điểm ) 2 a) Phân tích đa thức a (b c) b (c a ) c (a b) thành nhân tử 3 b) Cho số nguyên a, b, c thoả mãn (a b) (b c) (c a ) 210 Tính giá trị biểu thức A a b b c c a Câu 2: (2,5 điểm) 2 x y 3 xy a) Giải phương trình nghiệm nguyên: b) Giải phương trình: (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 Câu 3: (2,5 điểm) 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ( x 2012) ( x 2013) b) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng: 1 x x y y z z Câu 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC b) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi H BC c) Kẻ DH BC Chứng minh CQ PD Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH ====== HẾT ====== Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh……………………………………………………SBD………………… PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG Câu (2,5đ) H ƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC 2012-2013 HDC gồm trang Nội dung Điểm a) Ta có 0,5 2 2 a (b c) b (c a) c (a b) a (b c) b (c a) c (b c c a) 0,5 (b c)( a c ) (c a)(b c ) (b c)( a c)( 0,25 a c) (c a)(b c)(b c) (b c)(a c)(a c b c) (b c)(a c)(a b) b) Đặt a b x; b c y ; 0,25 c a z x y z 0 z ( x y ) 0,5 Ta có: 0,5 x3 y z 210 x3 y ( x y )3 210 3xy ( x y ) 210 xyz 70 Do x, y, z số nguyên có tổng xyz 70 ( 2).( 5).7 nên x, y, z 2; 5; 7 A a b b c c a 14 (2,5đ) 2 a) x y 3 xy Ta có: 0,25 ( x y) 0 x y 2 xy xy 2 xy xy 1 0,5 0,5 ( x y ) 0 x y xy xy xy xy Suy xy 1 Mà Lại có: x, y Z xy 3; 2; 1; 0;1 Lần lượt thử ta ( x, y ) ( 2;1); (1; 2); (2; 1); ( 1; 2);(1;1) nghiệm phương trình b) (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 Đặt x t Ta có 0,5 0,5 (t 1)(t 1)t 72 (t 1)t 72 t t 72 0 t 9t 8t 72 0 t (t 9) 8(t 9) 0 (t 9)(t 8) 0 0,25 Mà t nên t 0 t 9 t 3 x x PT có nghiệm 5 x ; 3 Ghi : - Hướng dẫn chấm trình bày ý bản, học sinh có cách giảikhác mà Giám khảo cho điểm khơng vượt q thang điểm ý - Phần hình học, học sinh khơng vẽ hình khơng cho điểm - Tổng điểm toàn tổng điểm câu khơng làm trịn ===================== PHỊNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2013-2014 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (1,5 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2014 x 2013 x 2014 b) Giải phương trình: x 3 x 13 x x Câu 2: (1,5 điểm) 2 a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x xy y x y 0 b) Cho số a, b, c thỏa mãn: a(a b) b(b c) c(c a ) 0 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A a b c 3abc 3ab 3c Câu 3: (1,5 điểm) 2014 a) Cho số tự nhiên a1, a2, ., a2013 có tổng 2013 Chứng minh rằng: a31 + a32+ +a32013 chia hết cho b) Tìm số tự nhiên n để n 18 n 41 hai số phương Câu 4: (1,5 điểm) a) Cho đa thức P x x bx c , b c số nguyên Biết đa thức x x 25 x x 28 x chia hết cho P x Tính P 2 b) Cho hai số x; y thỏa mãn: x x y y 0 x y y 0 2 Tính giá trị biểu thức Q x y Câu 5: (2,5 điểm) Cho điểm M di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AMCD, BMEF a) Chứng minh rằng: AE BC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Câu 6: (1,5 điểm) a) Cho A tập hợp gồm 1008 số ngun dương phân biệt bất kì, số khơng vượt số k Tìm giá trị lớn k cho A có số bội số số khác thuộc A b) Cho a, b, c số dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng: 1 1 + + ≤ 2 a +2 b + b +2 c +3 c +2 a +3 2 Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên học sinh dự thi:………………………………………;SBD:…………… ... abc 1 Chứng minh rằng: 1 1 + + ≤ 2 a +2 b + b +2 c +3 c +2 a +3 2 Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên học sinh dự thi: ………………………………………;SBD:…………… ... điểm toàn tổng điểm câu khơng làm trịn ===================== PHỊNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2013-2014 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (1,5 điểm) a) Phân tích đa...PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG Câu (2,5đ) H ƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC 2012-2013 HDC gồm