Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm x để tổng của dãy số trên bằng 5106 Dạng 9: Tính tổng của dãy số Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính, đó là: Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng[r]
CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các kiến thức cần nhớ: Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số chẵn lại đến số lẻ lại đến số chẵn… Vì vậy, nếu: - Dãy số số lẻ kết thúc số chẵn số lượng số lẻ số lượng số chẵn - Dãy số số chẵn kết thúc số lẻ số lượng số chẵn số lượng số lẻ - Nếu dãy số số lẻ kết thúc số lẻ số lượng số lẻ nhiều số chẵn số - Nếu dãy số số chẵn kết thúc số chẵn số lượng số chẵn nhiều số lẻ số a Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số số lượng số dãy số giá trị số cuối số b Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số khác số số lượng số dãy số hiệu số cuối dãy số với số liền trước số Các loại dãy số: + Dãy số cách đều: - Dãy số tự nhiên - Dãy số chẵn, lẻ - Dãy số chia hết không chia hết cho số tự nhiên + Dãy số khơng cách - Dãy Fibonacci hay tribonacci - Dãy có tổng (hiệu) hai số liên tiếp dãy số + Dãy số thập phân, phân số: Cách giải dạng toán dãy số: Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, trước dãy số Trước hết ta cần xác định lại quy luật dãy số: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trước cộng (hoặc trừ) với số tự nhiên a + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trước nhân (hoặc chia) với số tự nhiên q khác + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) tổng số hạng đứng liền trước + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng số hạng đứng trước cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự số hạng + Số hạng đứng sau số hạng đứng trước nhân với số thứ tự + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở a lần số liền trước + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, số liền sau a lần số liền trước cộng (trừ ) n (n khác 0) Các ví dụ: Bài 1: Điền thêm số hạng vào dãy số sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…… Muốn giải toán trước hết phải xác định quy luật dãy số sau: Ta thấy: + = 3+5=8 2+3=5 + = 13 Dãy số lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ trở số hạng tổng hai số hạng đứng liền trước Ba số hạng là: 21 + 34 = 55; 34 + 55 = 89; 55 + 89 = 144 Vậy dãy số viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144 Bài 2: Viết tiếp số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27 Ta nhận thấy: 8=1+3+4 27 = 4+ + 15 15 = + + Từ ta rút quy luật dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng ba số hạng đứng liền trước Viết tiếp ba số hạng, ta dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169 Bài 3: Tìm số hạng dãy số sau biết dãy số có 10 số hạng a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 b) , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 Giải: a) Ta nhận xét : Số hạng thứ 10 : 1024 = 512 x Số hạng thứ : 512 = 256 x Số hạng thứ : 256 = 128 x Số hạng thứ : 128 = 64 x …………………………… Từ ta suy luận quy luật dãy số là: số hạng dãy số gấp đơi số hạng đứng liền trước Vậy số hạng dãy là: x = b) Ta nhận xét : Số hạng thứ 10 : 110 = 11 x 10 Số hạng thứ : 99 = 11 x Số hạng thứ : 88 = 11 x Số hạng thứ : 77 = 11 x ………………………… Từ ta suy luận quy luật dãy số là: Mỗi số hạng số thứ tự số hạng nhân với 11 Vậy số hạng dãy : x 11 = 11 Bài 4: Tìm số cịn thiếu dãy số sau : a 3, 9, 27, , , 729 b 3, 8, 23, , , 608 Giải : Muốn tìm số cịn thiếu dãy số, cần tim quy luật dãy số a Ta nhận xét : 3x3=9 x = 27 Quy luật dãy số là: Kể từ số hạng thứ trở đi, số hạng gấp lần số liền trước Vậy số cịn thiếu dãy số là: 27 x = 81 ; 81 x = 243 ; 243 x = 729 (đúng) Vậy dãy số thiếu hai số : 81 243 b Ta nhận xét: 3x3–1=8; x – = 23 Quy luật dãy số là: Kể từ số hạng thứ trở đi, số hạng lần số liền trước trừ Vì vậy, số cịn thiếu dãy số là: 23 x - = 68 ; 68 x – = 203 ; 203 x – = 608 (đúng) Dãy số thiếu hai số là: 68 203 Bài 5: Lúc 7h sáng, người từ A đến B người từ B đến A ; hai đến đích lúc 2h chiều Vì đường khó dần từ A đến B ; nên người từ A, đầu 15km, sau lại giảm 1km Người từ B cuối 15km, trước lại giảm 1km Tính qng đường AB Giải: chiều 14h ngày người đến đích số là: 14 – = Vận tốc người từ A đến B lập thành dãy số: 15, 14, 13, 12, 11, 10, Vận tốc người từ B đến A lập thành dãy số: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 Nhìn vào dãy số ta nhận thấy có số hạng giống quãng đường AB là: + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 Đáp số: 84km Bài 6: Điền số thích hợp vào trống cho tổng số ô liên tiếp 2010 783 998 Giải: Ta đánh số thứ tự sau: 783 998 Ơ1 Ơ2 Ơ3 Ơ4 Ô5 Ô6 Ô7 Ô8 Ô9 Ô10 Theo điều kiện đề ta có: 783 + Ơ7 + Ơ8 = 2010 Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2010 Vậy Ô9 = 783; từ ta tính được: Ơ8 = Ơ5 = Ô2 = 2010 - (783 + 998) = 229 Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998 Ô3 = Ô6 = 783 Điền số vào ta dãy số: 998 229 783 998 229 783 998 229 783 998 Một số lưu ý giảng dạy Toán dạng là: Trước hết phải xác định quy luật dãy dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ Từ mà học sinh điền số vào dãy cho * Bài tập tự luyện: Bài 1: 13, 19, 25, 31,……, Dãy số vừa viết Ba số viết tiếp ba số nào? Số suy nghĩ thấp cao? Đố em, đố bạn kể liền? Bài 2: Tìm viết số hạng thiếu dãy số sau: a 7, 10, 13,…, …, 22, 25 b 103, 95, 87,…, …, , 55, 47 Bài 3: Điền số thích hợp vào trống, cho tổng số ô liền bằng: a n = 14,5 2,7 8,5 b n = 23,4 8,7 7,6 Bài 4: Cho dãy phân số sau: 2001 2002 2003 2004 ; ; ; 2002 2003 2004 2005 a) Hãy viết tiếp số hạng thứ năm dãy theo quy luật? b) Chứng tỏ dãy dãy xếp theo thứ tự tăng dần? Bài 5: Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau : a) 1; 3; 4; 7; 11; 18; b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; c) ; 3; 7; 12; d) 1; 2; 6; 24; Dạng 2: Xác định số A có thuộc dãy cho hay khơng? Cách giải dạng toán này: - Xác định quy luật dãy; - Kiểm tra số A có thoả mãn quy luật hay khơng? Các ví dụ: Bài 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,…… a Dãy số viết theo quy luật nào? b Số 2009 có phải số hạng dãy khơng? Vì sao? Giải: a Ta nhận thấy: Số hạng thứ 1: 2=2x1 Số hạng thứ 2: 4=2x2 Số hạng thứ 3: 6=2x3 … Số hạng thứ n: ?=2xn Quy luật dãy số là: Mỗi số hạng nhân với số thứ tự số hạng b Ta nhận thấy số hạng dãy số chẵn, mà số 2009 số lẻ, nên số 2009 số hạng dãy Bài 2: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,…… - Viết tiếp số hạng vào dãy số trên? - Số 2009 có thuộc dãy số không? Tại sao? Giải: - Ta thấy: – = 3; 11 – = 3; ……… Dãy số viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ trở đi, số hạng số hạng đứng liền trước cộng với Vậy số hạng dãy số là: 17 + = 20 ; 20 + = 23 ; 23 + = 26 Dãy số viết đầy đủ là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 - Ta thấy: : = dư ; : = dư ; : = dư ; Vậy dãy số mà số hạng chia cho dư Mà: 2009 : = 669 dư Vậy số 2009 có thuộc dãy số chia cho dư Bài 3: Em cho biết: a Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay khơng? b Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không? c Số số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giải thích sao? Giải: a Cả số 60, 483 không thuộc dãy cho vì: - Các số hạng dãy cho lớn 60 - Các số hạng dãy cho chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho b Số 2002 khơng thuộc dãy cho số hạng dãy chia cho dư 2, mà 2002 chia dư c Cả số 798, 1000, 9999 không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì: - Mỗi số hạng dãy (kể từ số hạng thứ 2) gấp đôi số hạng liền trước nhận nó; số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước số chẵn, mà 798 chia cho = 399 số lẻ - Các số hạng dãy chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho - Các số hạng dãy (kể từ số hạng thứ 2) chẵn, mà 9999 số lẻ Bài 4: Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2 Nếu viết tiếp số 34,6 có thuộc dãy số không? Giải: - Ta nhận xét: 2,2 - = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;…… Quy luật dãy số là: Từ số hạng thứ trở đi, số hạng số hạng liền trước 1,2 đơn vị: - Mặt khác, số hạng dãy số trừ chia hết cho 1,2 Ví dụ: (13 - 1) chia hết cho 1,2 (3,4 - 1) chia hết cho 1,2 Mà: (34,6 - 1) : 1,2 = 28 dư Vậy viết tiếp số 34,6 thuộc dãy số Bài 5: Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1987,……, 55, 52, 49 Các số sau có phải số hạng dãy khơng? 100, 123, 456, 789, 1900, 1436, 2009? Giải: Nhận xét: Đây dãy số cách đơn vị Trong dãy số này, số lớn 1996 số bé 49 Do đó, số 2009 khơng phải số hạng dẫy số cho lớn 1996 Các số hạng dãy số cho số chia cho dư Do đó, số 100 số 1900 số hạng dãy số Các số 123, 456, 789 chia hết số khơng phải số hạng dãy số cho Số 1436 chia cho dư nên khơng phải số hạng dãy số cho * Bài tập lự luyện: Bài 1: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,… a Nêu quy luật dãy b Số 31 có phải số hạng dãy khơng? c Số 2009 có thuộc dãy khơng? Vì sao? Bài 2: Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 2012 Hỏi số 1004 1760 có thuộc dãy số hay khơng? Bài 3: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…, a Nêu quy luật dãy số viết tiếp số hạng b Trong số 1999 2009 số thuộc dãy số? Vì sao? Bài 4: Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,…… Có số tự nhiên có chữ số tận mà thuộc dãy số không? Bài 5: Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,…… a Số 1997 có phải số hạng dãy số hay khơng? b Số 561 có phải số hạng dãy số hay khơng? Dạng 3: Tìm số số hạng dãy * Cách giải dạng là: Đối với dạng toán này, ta thường sử dụng phương pháp giải tốn khoảng cách (tốn trồng cây) Ta có công thức sau : Số số hạng dãy = số khoảng cách+ Đặc biệt, quy luật dãy : Mỗi số hạng đứng sau số hạng liền trước cộng với số không đổi d thì: Số số hạng dãy = ( Số hạng lớn – Số hạng nhỏ ) : d + Các ví dụ: Bài 1: Cho dãy số 11; 14; 17; ;65; 68 Hãy xác định dãy số có số hạng? Lời giải : Ta có : 14 - 11= 3; 17 - 14 = 3; Vậy quy luật dãy số số hạng đứng liền sau số hạng đứmg liền trước cộng với Số số hạng dãy số là: ( 68 - 11 ) : + = 20 ( số hạng ) Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992 Hãy xác định dãy số có số hạng? Giải: Ta thấy: 4–2=2 ; 8–6 =2 6–4=2 ; ……… Vậy, quy luật dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau số hạng đứng trước cộng với Nói khác: Đây dãy số chẵn dãy số cách đơn vị Dựa vào công thức trên: (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + Ta có: Số số hạng dãy là: (1992 - 2) : + = 996 (số hạng) Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7, ……… dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 số hạng thứ dãy số này? Giải thích cách tìm? (Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981) Giải: Ta thấy: Số hạng thứ bằng: = + x Số hạng thứ hai bằng: 3=1+2x1 Số hạng thứ ba bằng: 5=1+2x2 ……… Còn số hạng cuối cùng: 1981 = + x 990 Vì vậy, số 1981 số hạng thứ 991 dãy số Bài 4: Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,… a Tìm số hạng thứ 100 dãy b Số 11703 số hạng thứ dãy? Giải: a Số hạng thứ nhất: = + 15 x Số hạng thứ hai: 18 = + 15 x Số hạng thứ ba: 48 = + 15 x + 15 x Số hạng thứ tư: 93 = + 15 x + 15 X + 15 x Số hạng thứ năm: 153 = + 15 x + 15 x + 15 x + 15 x ……… Số hạng thứ n: + 15 x1 + 15 x +15 x + …… + 15 x (n - 1) Vậy số hạng thứ 100 dãy là: + 15 x + 15 x + …… + 15 x (100 - 1) = + 15 x (1 + + + …… + 99) (Đưa số nhân với tổng = + 15 x (1 + 99) x 99 : = 74253 b Gọi số 11703 số hạng thứ n dãy: Theo quy luật phần a ta có: + 15 x + 15 x + 15 x + …… x (n – 1) = 11703 + 15 x (1 + + + ……+ ( n – 1)) = 11703 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) : = 11703 15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x = 23400 n x (n – 1) = 23400 : 15 = 1560 Nhận xét: Số 1560 tích hai số tự nhiên liên tiếp 39 40 (39 x 40 = 1560) Vậy, n = 40, số 11703 số hạng thứ 40 dãy Bài 5: Trong số có ba chữ số, có số chia hết cho 4? Lời giải: Ta nhận xét : Số nhỏ có ba chữ số chia hết cho 100 số lớn có ba chữ số chia hết cho 996 Như số có ba chữ số chia hết cho lập thành dãy số có số hạng nhỏ 100, số hạng lớn 996 số hạng dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) số hạng đứng liền trước cộng với Vậy số số có ba chữ số chia hết cho : ( 996 – 100 ) : = 225 ( số ) * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ……,2008 Tìm xem dãy số có số hạng ? Bài 2: Tìm số số hạng dãy số sau: a 1, 4, 7, 10, ……,1999 b 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ; 108,9 ; 110,0 Bài 3: Xét dãy số: 100, 101, ………, 789 Dãy có số hạng? Bài 4: Có số chia cho dư mà nhỏ 2010 ? Bài 5: Người ta trồng hai bên đường đoạn đường quốc lộ dài 21km Hỏi phải dùng để đủ trồng đoạn đường ? Biết trồng cách 5m Dạng 4: Tìm số hạng thứ n dãy số Bài tốn 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, Hỏi số hạng thứ 100 dãy số số Giải: Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là: 98 - = 99 Mỗi khoảng cách - = -3 =2 Số hạng thứ 100 + 99 = 199 Công thức tổng quát: Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách (Số số hạng - 1) Bài tốn 2: Tìm số hạng thứ 100 dãy số viết theo quy luật: a) 3, 8, 15, 24, 35,… (1) b) 3, 24, 63, 120, 195,… (2) c) 1, 3, 6, 10, 15,… (3) Giải: a) Dãy (1) viết dạng: 1x3, 2x4, 3x5, 4x6, 5x7,… Mỗi số hạng dãy (1) tích hai thừa số, thừa số thứ hai lớn thừa số thứ đơn vị Các thừa số thứ làm thành dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy có số hạng thứ 100 100 Số hạng thứ 100 dãy (1) bằng: 100x102 = 10200 b) Dãy (2) viết dạng: 1x3, 4x6, 7x9, 10x12, 13x15,… Mỗi số hạng dãy (2) tích hai thừa số, thừa số thứ hai lớn thừa số thứ đơn vị Các thừa số thứ làm thành dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …; Số hạng thứ 100 dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: + (100 – ) x = 298 Số hạng thứ 100 dãy (2) bằng: 298 x 300 = 89400 c) Dãy (3) viết dạng: 2 3 4 5 ; ; ; ; 2 2 100 101 5050 Số hạng thứ 100 dãy (3) bằng: * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho dãy số : 101, 104, 107, 110, Tìm số hạng thứ 1998 dãy số Bài 2: Cho dãy số : 5, 8, 11, 14, a) Tìm số hạng thứ 200 dãy số b) Nếu viết tiếp số : 1000 ; 2009 ; 5000 có số hạng dãy không ? Tại Bài 3: Một bạn học sinh viết liên tiếp số tự nhiên mà chia cho dư bát đầu từ số thành dãy số Viết đến số hạng thứ 100 phát viết sai Hỏi bạn viết sai số ? Dạng 5: Tìm số chữ số dãy biết số số hạng Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, .150 Hỏi để viết dãy số người ta phải dùng chữ số Giải: Dãy số cho có : ( - 1) : + = số có chữ số Có ( 99 - 10 ) : + = 90 số có chữ số Có ( 150 - 100) : + = 51 số có chữ số Vậy số chữ số cần dùng : + 90 + 51 = 342 chữ số Bài tốn 2: Một sách có 234 trang Hỏi để đánh số trang sách người ta phải dùng chữ số Giải: Để đánh số trang sách người ta phải viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 234 thành dãy số Dãy số có ( - 1) : + = số có chữ số Có: ( 99 - 10) : + = 90 số có chữ số Có: ( 234 - 100) : + = 135 số có chữ số Vậy người ta phải dùng số chữ số là: + 90 + 135 = 594 chữ số * Bài tập tự luyện: Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành số lớn Hỏi số có chữ số Bài 2: Trường Tiểu học Thành Cơng có 987 học sinh Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường người ta phải dùng chữ số Bài 3: Cần chữ số để đánh số trang sách có tất là: a) 752 trang b) 1251 trang Dạng 6: Tìm số số hạng biết số chữ số Bài toán 1: Để đánh số trang sách người ta dùng hết 435 chữ số Hỏi sách có trang? Giải: Để đánh số trang sách đó, người ta phải viết liên tiếp số tự nhiên thành dãy số Dãy số có số có chữ số có 90 số có chữ số Để viết số cần số chữ số + 90 = 189 chữ số Số chữ số lại là: 435 - 189 = 246 chữ số Số chữ số lại dùng để viết tiếp số có chữ số 100 Ta viết 246 : = 82 số Số trang sách 99 + 82 = 181 ( trang) Bài toán 2: Để đánh số trang sách người ta phải dùng tất 600 chữ số Hỏi sách có trang? Giải: 99 trang đầu cần dùng 9x1 + 90x2 = 189 chữ số 999 trang đầu cần dùng: 9x1 + 90x2 + 900x3 = 2889 chữ số Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối phải có chữ số Số chữ số để đánh số trang có chữ số la: 600 - 189 = 411 (chữ số) Số trang có chữ số 411: = 137 trang Vậy sách có tất là: 99 + 137 = 236 trang Bài toán 3: Để ghi thứ tự nhà đường phố, người ta dùng số chẵn 2, 4, 6, để ghi nhà dãy phải số lẻ 1, 3, 5, để ghi nhà dãy trái đường phố Hỏi số nhà cuối dãy chẵn đường phố bao nhiêu, biết đánh thứ tự nhà dãy này, người ta dùng 367 lượt chữ số thảy Giải: Số nhà có số thứ tự ghi chữ số chẵn là: (8 - 2) : + = (nhà) Số nhà có số thứ tự ghi chữ số chẵn là: (98 - 10) : + = 45 (nhà) Số lượt chữ số để đánh số thự tự nhà có chữ số là: + 45 = 94 (lượt) Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có chữ số là: 367 - 94 = 273 (lượt) Số nhà có số thứ tự chữ số là: 273 : = 91 (nhà) Tổng số nhà dãy chẵn là: + 45 + 91 = 140 (nhà) Số nhà cuối dãy chẵn là: (140 - 1) + = 280 Bài toán 4: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, , n Hãy tìm số n để số chữ số dãy gấp lần số số hạng dãy Giải: Để tìm số n cho số chữ số dãy gấp ba lần số số hạng dãy đó, ta giả sử trung bình số lẻ liên tiếp dãy có chữ số Do đó: - Từ đến gồm số lẻ có chữ số là: (9 - 1): + = (số) Môi số cần phải viết thêm chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là: x = 10 (chữ số) Các số lẻ gồm hai chữ số (99 - 11): + = 45 (số) Mỗi số cần phải viết thêm chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là: x 45 = 45 (chữ số) Các số lẻ gồm chữ số là: ( 999 - 101) : + = 450 (số) Các số có chữ số đảm bảo số chữ số dãy gấp ba lần số số hạng dãy Từ 1001 trở đi, số cần bớt chữ số Số chữ số cần thêm phải số chữ số cần bớt bằng: 10 + 45 = 55 (chữ số) Vì số phải bớt chữ số nên số số lẻ có chữ số là: 55 : = 55 (số) Ta có: (n - 1001) : + = 55 (n - 1001) : = 55 - = 54 (n - 1001) = 54 x = 108 n = 108 + 1001 = 1109 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp người ta dùng hết 756 chữ số Hỏi số hạng cuối dãy số Bài 2: Để ghi số thứ tự học sinh trường Tiểu học, người ta phải dùng 1137 chữ số Hỏi trường có học sinh ? Bài 3: Tính số trang sách Biết để đánh số trang sách người ta phải dùng 3897 chữ số? Bài 4: Để đánh số trang sách, người ta phải dùng trung bình trang chữ số Hỏi sách có trang? Dạng 7: Tìm chữ số thứ n dãy Bài tốn 1: Cho dãy số 1, 2, 3, Hỏi chữ số thứ 200 chữ số ? Giải: Dãy số cho có số có chữ số Có 90 số có chữ số Để viết số cần + 90 = 189 chữ số Số chữ số lại 200 - 189 = 11 chữ số Số chữ số cịn lại dùng để viết số có chữ số 100 Ta viết 11 : = số (dư chữ số) Nên có số có chữ số viết liên tiếp đến 99 + = 102 Còn dư chữ số dùng để viết tiếp số 103 viết 10 Vậy chữ số thứ 200 dãy chữ số số 103 Bài toán 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, Hỏi chữ số thứ 2010 dãy chữ số nào? Giải: Dãy số cho có số có chữ số Có (98 - 10) : + = 45 số có chữ số Có (998 - 100) : + = 450 số có chữ số Để viết số cần: + 45 + 450 x = 1444 chữ số Số chữ số lại là: 2010 - 1444 = 566 chữ số Số chữ số lại dùng để viết số có chữ số 1000 Ta viết được: 566 : = 141 số (dư chữ số) Nên có 141 số có chữ số viết , số có chữ số thứ 141 là: (141 - 1) x + 1000 = 1280 Còn dư chữ số dùng để viết tiếp số 1282 viết 12 Vậy chữ số thứ 2010 dãy chữ số hàng trăm số 1282 Bài tốn 3: Tìm chữ số thứ 2010 phần thập phân số thập phân phân số Giải: Số thập phân phân số là: : = 0,14285714285 Đây số thập phân vơ hạn tuần hồn Ta thấy chữ số lập thành nhóm 142857 Với 2010 chữ số có số nhóm là: 2010 : = 335 (nhóm) Vậy chữ số thứ 2010 phần thập phân số thập phân phân số chữ số Bài toán 4: Cho số có chữ số, dãy số tạo nên cách nhân đôi chữ số hàng đơn vị số cộng với chữ số hàng chục, ghi lại kết quả; tiếp tục với số vừa nhận (Ví dụ dãy: 59, 23, 8, 16, 13, ) Tìm số thứ 2010 dãy số thứ 14 Giải: Ta lập dãy số sau: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, Ta thấy hết 18 số dãy số lại lặp lại dãy 18 số đầu Với 2010 số có số nhóm là: 2010 : 18 = 111 nhóm (dư12 số) 12 số dó số nhóm thứ 112 là: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, Vậy số thứ 2010 dãy số * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, .Hãy tìm chữ số thứ 200 dãy số Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, Bạn Minh tìm chữ số thứ 2010 dãy chữ số 0, hỏi bạn tìm hay sai? 13 Bài 3: Bạn Minh viết phân số dạng số thập phân Thấy bạn Thơng sang chơi, Minh liền dố: Đố bạn tìm chữ số thứ 100 phần thập phân số thập phân mà tớ viết Thông nghĩ tí trả lời ngay: chữ số Em cho biết bạn Thông trả lời hay sai? Dạng 8: Tìm số hạng thứ n biết tổng dãy số Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, ., n Hãy tìm số n biết tổng dãy số 136 Giải: Áp dụng công thức tính tổng ta có : (1 n) n + + + + n =136 Do đó: (1 + n ) n = 136 = 17 = 16 17 Vậy n = 16 Bài toán 2: Cho dãy số: 21, 22, 23, , n Tìm n biết: 21 + 22 + 23 + + n = 4840 Giải: Nếu cộng thêm vào tổng tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 20 ta có tổng sau: + + + + 21 + 22 + 23 + .+ n Áp dụng cơng thức tính tổng ta có (1 + n) n : = + + + 20 + 4840 = ( + 20) 20 : + 4840 = 210 + 4840 = 5050 ( 1+ n) n = 5050 = 10100 = 101 100 Vậy n = 100 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho biết: + + + + n = 345 Hãy tìm số n Bài 2: Tìm số n biết 98 + 102 + + n = 15050 Bài 3: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, …, x Tìm x để tổng dãy số 5106 Dạng 9: Tính tổng dãy số Các tốn trình bày chuyên đề phân hai dạng chính, là: Dạng thứ nhất: Dãy số với số hạng số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách Dạng thứ hai: Dãy số với số hạng không cách Dạng 1: Dãy số mà số hạng cách Xuất phát từ Tốn sau: Tính: A = + + + + 98 + 99 + 100 Ta thấy tổng A có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, nhóm có tổng 101 sau: A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 + 101 + + 101 = 50 x 101 = 5050 Đây Toán mà lúc lên tuổi nhà Tốn học Gauxơ tính nhanh tổng số Tự nhiên từ đến 100 trước ngạc nhiên thầy giáo bạn bè lớp Như toán sở để tìm hiểu khai thác thêm nhiều tập tương tự, đưa nhiều dạng khác nhau, áp dụng nhiều thể loại toán khác chủ yếu là: tính tốn, tìm số, so sánh, chứng minh Để giải dạng tốn cần phải nắm quy luật dãy số, tìm số hạng tổng quát, cần phải kết hợp cơng cụ giải tốn khác Cách giải: Nếu số hạng dãy số cách tổng hai số hạng cách đầu số hạng cuối dãy số Vì vậy: Tổng số hạng dãy tổng cặp hai số hạng cách đầu số hạng đầu cuối nhân với số hạng dãy chia cho Viết thành sơ đồ: Tổng dãy số cách = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2) Từ sơ đồ ta suy ra: Số đầu dãy = tổng x : số số hạng – số hạng cuối Số cuối dãy = tổng x : số số hạng – số đầu Sau số tập phân thành thể loại, phân thành hai dạng trên: Bài 1: Tính tổng 19 số lẻ liên tiếp Giải: 19 số lẻ liên tiếp là: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37 Ta thấy: + 37 = 38 ; + 33 = 38 + 35 = 38 ; + 31 = 38 Nếu ta xếp cặp số từ hai đầu số vào, ta cặp số có tổng số 38 Số cặp số là: 19 : = (cặp số) dư số hạng Số hạng dư số hạng dãy số số 19 Vậy tổng 19 số lẻ liên tiếp là: 39 x + 19 = 361 Đáp số: 361 Nhận xét: Khi số số hạng dãy số lẻ (19) cặp số dư lại số hạng gữa số lẻ khơng chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng việc tìm số hạng cịn lại khó khăn Vậy ta làm cách sau: Ta bỏ lại số hạng số dãy số có: 19 - = 18 (số hạng) Ta thấy: + 37 = 40 ; + 33 = 40 + 35 = 40 ; + 31 = 40 ……… ……… Khi đó, ta xếp cặp số từ đầu dãy số gồm 18 số hạng vào cặp số có tổng 40 Số cặp số là: 18 : = (cặp số) Tổng 19 số lẻ liên tiếp là: + 40 x = 361 Chú ý: Khi số hạng số lẻ, ta để lại số hạng đầu dãy số (số đầu, số cuối) để lại số chẵn số hạng cặp; lấy tổng cặp nhân với số cặp cộng với số hạng để lại tổng dãy số Bài 2: Tính tổng số tự nhiên từ đến n Giải: Ghép số: 1, 2, ……, n – 1, n thành cặp (không thứ tự) : với n, với (n – 1), với (n – 2), …… Khi n chẵn, ta có S = n x (n + 1) : Khi n lẻ, n – chẵn ta có: + + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : Từ ta có: S = (n – 1) x n : + n = (n - 1) x n : + x n : = [(n – 1) x n + x n] : = (n – + 2) x n : = n x (n + 1) : Khi học sinh làm quen thực thành thạo hướng dẫn học sinh áp dụng công thức mà không cần nhóm thành cặp số có tổng Tổng dãy số cách = (số đầu + số cuối) x số số hạng : Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 100 Lời giải Ta đưa số hạng tổng dạng số tự nhiên cách nhân hai vế với 100, ta có: 100 x E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 1000 Áp dụng công thức tính tổng ta tính tổng E = 4954,95 Hoặc giải sau: Ta thấy: 11,12 - 10,11 = 12,13 - 11,12 = = 1,01 Vậy dãy số cách 1,01 đơn vị Dãy số có số số hạng : (100 - 10,11) : 1,01 + = 90 số hạng Tổng dãy số : (10,11 + 100) x 90 : = 4954,95 Bài 4: Cho dãy số: 1, 2, 3, …… 195 Tính tổng chữ số dãy? Giải: Ta viết lại dãy số bổ sung thêm số: 0, 196, 197, 198, 199 vào dãy: 0, 1, 2, 3, ……, 10, 11, 12, 13, ……, 19 90, 91, 92, 93, ……, 99 100, 101, 102, 103, ……, 109 Vì có 200 số dịng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng) Tổng chữ số hàng đơn vị dòng là: + + + …… + = x 10 : = 45 Vậy tổng chữ số hàng đơn vị là: 45 x 20 = 900 Tổng chữ số hàng chục 10 dòng đầu tổng chữ số hàng chục 10 dòng sau bằng: x 10 + x 10 + …… + x 10 = (1 + + …… + 9) x 10 = 45 x 10 = 450 Vậy tổng chữ số hàng chục là: 450 x = 900 Ngoài dễ thấy tổng chữ số hàng trăm là: 10 x 10 = 100 Vậy tổng chữ số dãy số là: 900 + 900 + 100 = 1900 Từ suy tổng chữ số dãy ban đầu là: 1900 – (1 + + + + + + + + + + + 9) = 1830 Trong Tốn học nói riêng khoa học nói chung, thường nhờ vào suy luận quy nạp khơng hồn tồn mà phát kết luận (gọi giả thuyết) Sau sử dụng suy luận diễn dịch quy nạp hoàn toàn để kiểm tra đắn kết luận Khi dạy học tiểu học, điều nói lưu ý Bài 5: Tính tổng tất số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số: Giải: Các số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số là: 9,000; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tức có 1000 số Tổng tất số dãy số là: (9,000 + 9,999) x 1000 : = 9499,5 Đáp số: 9499,5 Bài 6: Phải thêm vào tổng số hạng dãy số: 2, 4, 6, 8, , 246 đơn vị để số chia hết cho 100 ? Giải: Đây dãy số chẵn liên tiếp hay dãy số cách đơn vị Dãy số có số số hạng là: (246 - 2) : + = 123 số hạng Tổng dãy số là: (246 + 2) x 123 : = 12252 Vì 100 - 52 = 48 nên phải thêm vào tổng dãy số 48 đơn vị Dạng 2: Dãy số mà số hạng khơng cách Bài tốn 1: Tổng nhiều phân số có tử số mẫu số phân số liền sau gấp mẫu số phân số liền trước lần 1 1 1 16 32 64 Ví dụ: Cách giải: Cách 1: 1 1 1 16 32 64 Bước 1: Đặt A = 1 1 2 Bước 2: Ta thấy: 1 4 1 8 1 1 1 1 1 2 4 8 4 32 64 Bước 3: Vậy A = 1 1 1 1 2 4 32 64 A= 64 A= 164 63 64 64 64 A= 63 64 Đáp số: Cách 2: 1 1 1 16 32 64 Bước 1: Đặt A = Bước 2: Ta thấy: 1 1 2 1 1 4 1 1 8 …………… 1 1 1 16 32 64 Bước 3: Vậy A = 64 63 64 64 64 64 =1- = Bài tốn 2: Tính tổng nhiều phân số có tử số mẫu số phân số liền sau gấp mẫu số phân số liền trước n lần (n > 1) 5 5 5 18 54 162 486 Ví dụ: B = Cách giải: Bước 1: Tính B x n (n = 3) 5 5 5 18 54 162 486 Bx3=3x 15 5 5 2 18 54 162 = Bước 2: Tính B x n - B 5 15 5 18 54 162 15 5 5 5 2 18 54 162 15 486 B x = 3645 486 Bx2= 3640 486 B x 3640 :2 486 B= 1820 486 B 910 243 B 5 5 5 18 54 162 486 B x - B = 5 5 18 54 162 486 B x (3 - 1) = - Bài tốn 3: Tính tổng nhiều phân số có tử số n (n > 0); mẫu số tích thừa số có hiệu n thừa số thứ mẫu phân số liền trước thừa số thứ mẫu phân số liền sau: 1 1 x 3 x 4 x 5 x Ví dụ 1: A = Cách giải: 3 4 5 6 x 3x4 x5 x6 A = x x3 3x4 3x4 x5 x5 x6 x6 1 3 1 6 1 1 4 5 6 = = Ví dụ 2: 3 3 x 5 x 8 x 11 11 x 14 B = Cách giải: 11 14 11 x 5 x 8 x 11 11 x 14 B = 11 14 11 x5 x5 x x 8 x 11 x 11 11 x 14 11 x 14 B = 1 1 1 1 5 8 11 11 14 1 14 14 14 14 = = * Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính tổng: a) Của tất số lẻ bé 100 b) + + + 16 + …… + 169 Bài 2: a) Tính nhanh tổng tất số có chữ số b) 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384 Dãy số có mười số hạng Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh Đố em, đố chị, đố anh Tìm phương pháp tính nhanh tài Bài 3: Tính nhanh: 4 4 4 x 7 x 11 11 x 15 15 x 19 19 x 23 23 x 27 a) 1 1 1 12 20 30 42 110 b) 1 1 1 10 40 88 154 138 340 c) 1 1 1 1024 2048 4096 Bài 4: + + + …… + + + = ? Phép cộng phân số khó gì? Kê đủ số hạng uổng cơng Cách tỏ thơng = Cộng nhanh đáp lại không tốn Đố bạn hiền em thơ Đố ai biết nhờ giải mau Bài 5: Hãy tính tổng dãy số sau: a) 1, 5, 9, 13, 17, …Biết dãy số có 80 số hạng b) , 17, 27, 44, 71, 115 Biết dãy số có số hạng Bài 6: Tính nhanh: a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + … + 13,27 + 14,77 b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + … + 0,19 1 1 1 , , , , , 12 20 30 42 Bài 7: Cho dãy số: a) Hãy tính tổng 10 số hạng dãy số 10200 b) Số có phải số hạng dãy số khơng? Vì sao? Dạng 10: Dãy chữ Khác với dạng toán khác, toán dạng dãy chữ khơng địi hỏi học sinh phải tính tốn phức tạp Ngược lại để giải toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo kiến thức toán học đơn giản, hiểu biết xã hội, từ mà vận dụng dạng tốn vào đời sống hàng ngày môn học khác Các ví dụ: Bài tốn 1: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH thành dãy chữ liên tiếp: HOCSINHGIOITINHHOCSINHGIOI…… hỏi chữ thứ 2009 dãy chữ nào? Giải: Ta thấy nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH gồm 15 chữ Giả sử dãy chữ có 2009 chữ có: 2009 : 15 = 133 (nhóm) cịn dư 14 chữ Vậy chữ thứ 2009 dãy chữ HOCSINHGIOITINH chữ N tiếng TINH đứng vị trí thứ 14 nhóm chữ thứ 134 Bài toán 2: Một người viết liên tiếp nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG thành dãy THIXAHAIDƯƠNGTHIXAHAIDƯƠNG …… Hỏi: a Chữ thứ 2002 dãy chữ gì? b Nếu người ta đếm dãy số có 50 chữ H dãy có chữ A? Bao nhiêu chữ N? c Bạn Hải đếm dãy có 2001 chữ A Hỏi bạn đếm hay đếm sai? Giải thích sao? d Người ta tô màu chữ dãy theo thứ tự: XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM,… hỏi chữ thứ 2001 dãy tơ màu gì? Giải: a Nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG có 13 chữ cái: 2002 : 13 = 154 (nhóm) ... trang sách có tất là: a) 752 trang b) 1251 trang Dạng 6: Tìm số số hạng biết số chữ số Bài toán 1: Để đánh số trang sách người ta dùng hết 435 chữ số Hỏi sách có trang? Giải: Để đánh số trang... số Số trang sách 99 + 82 = 181 ( trang) Bài toán 2: Để đánh số trang sách người ta phải dùng tất 600 chữ số Hỏi sách có trang? Giải: 99 trang đầu cần dùng 9x1 + 90x2 = 189 chữ số 999 trang đầu... 600 < 2889 nên trang cuối phải có chữ số Số chữ số để đánh số trang có chữ số la: 600 - 189 = 411 (chữ số) Số trang có chữ số 411: = 137 trang Vậy sách có tất là: 99 + 137 = 236 trang Bài toán 3: