Tài liệu Cơ bản về xử lý số tín hiệu ppt

Cơ xử lý số tín hiệu Giới thiệu xử lý số tín hiệu Trước nói đến việc xử lý số tín hiệu, xem xét việc xử lý tín hiệu Tín hiệu (ở dịng thơng tin chuyển tải thơng qua đại lượng vật lý đó, thường điện áp hay dịng điện) xử lý theo hai cách: xử lý tương tự xử lý số Lấy ví dụ việc lọc thơng thấp tín hiệu dịng điện, giải pháp tương tự dùng mạch lọc (tích cực hay thụ động) để làm suy giảm thành phần tần số không mong muốn giữ lại thành phần quan tâm ngõ ra, giải pháp số chuyển tín hiệu dòng điện thành chuỗi giá trị tương ứng thời điểm rời rạc, sử dụng cấu tính tốn số để thực việc lọc tần số, sau tái tạo lại tín hiệu lọc ngõ Việc chuyển đổi giá trị tương tự thành chuỗi giá trị số thực chuyển đổi tương tự-số (ADC-Analog to Digital Converter), việc chuyển đổi ngược lại thực chuyển đổi số-tương tự (DACDigital to Analog Converter) Như vậy, hệ thống xử lý tương tự tín hiệu sử dụng cấu tính tốn tương tự để thực việc xử lý tín hiệu tương tự, hệ thống xử lý số tín hiệu lại thực việc xử lý tín hiệu số thơng qua cấu tính tốn số Một điều cần nói thuật ngữ 'tương tự' 'số' chất việc xử lý, thuật ngữ xác 'liên tục' 'rời rạc' (theo thời gian phạm vi biến đổi tín hiệu) Chúng ta có hệ thống xử lý liên tục tín hiệu với cấu tính tốn tác động lên tín hiệu liên tục (có độ lớn thay đổi cách liên tục) đối lập với hệ thống xử lý rời rạc tín hiệu sử dụng cấu tính tốn tác động lên tín hiệu rời rạc (có độ lớn thay đổi cách rời rạc thời điểm rời rạc) Nhưng kể từ trở đi, dùng thuật ngữ phổ thông 'tương tự' 'số' để thuận tiện cho người đọc Việc xử lý số tín hiệu xem phức tạp hóa vấn đề, dựa vào ví dụ đơn giản để đánh giá Tuy nhiên, có số lý khiến việc xử lý số tín hiệu sử dụng: • • • Tính linh hoạt: liệu lấy mẫu xử lý sau đó, áp dụng nhiều thuật toán lên liệu để tìm thuật tốn thích hợp Ngồi ra, độ phức tạp thuật toán hầu hết bị giới hạn nhớ tốc độ xử lý, thuật tốn tạo sẵn để tự động thích nghi với mơi trường Cần nhấn mạnh thêm số thuật toán hữu ích đặc biệt tạo có miền thời gian rời rạc Tính lập trình: Nhiều xử lý ngày cấu hình lại (bằng cách lập trình phần mềm) để thực nhiều tác vụ xử lý số tín hiệu khác Chỉ cần thay đổi phần mềm để thực thuật tốn khác Điều có nghĩa cần số lượng linh kiện tối thiểu để thực thuật tốn xử lý phức tạp Tính lặp lại: Các chức hệ thống số dựa phần mềm hay phần cứng bên ngoài, lặp lại nhiều lần thao tác thực • • • Tính ổn định: Dữ liệu lưu trữ xử lý phần cứng số ảnh hưởng mơi trường nhiệt độ lão hóa linh kiện gặp phải xử lý tương tự khơng có Nén liệu: Dữ liệu nén để truyền với khoảng cách xa, tiết kiệm chi phí truyền liệu mà đảm bảo thơng tin đầy đủ đến điểm nhận Chi phí: Ứng dụng xử lý số tín hiệu ngày trải rộng, nhiều trường hợp, chi phí việc thực thuật toán số nhỏ chi phí cho thuật tốn tương tự Hai thành phần cần thiết để hệ thống xử lý số tín hiệu giao tiếp với giới thực DAC ADC Các DAC sử dụng nguyên lý cộng với hệ điện trở có trọng số hay mạng điện trở R-2R Mạng điện trở R-2R khắc phục số nhược điểm sơ đồ hệ điện trở có trọng số, dùng phổ biến Hai thông số quan trọng DAC độ phân giải (resolution) thời gian xác lập (settling time) Dạng đơn giản ADC đếm so sánh Sau xung clock, đếm tăng giá trị đưa vào DAC, ngõ DAC so sánh với tín hiệu ngõ vào Bộ đếm không tăng ngõ DAC lớn tín hiệu vào Kỹ thuật xấp xỉ liên tiếp (SAR) sử dụng rộng rãi ADC Ở xung clock, bit nhị phân bật hay tắt theo cách giống thuật tốn tìm kiếm nhị phân Bắt đầu từ bit có trọng số lớn nhất, bit bật giá trị ngõ DAC nhỏ tín hiệu vào Ngược lại, bit tắt bit có trọng số lớn bật Quá trình tiếp diễn đến đạt hội tụ Thời gian chuyển đổi ADC dùng thuật toán xấp xỉ liên tiếp phụ thuộc vào chu kỳ xung clock số bit (độ phân giải) Các ADC loại cho phép thực thỏa hiệp độ phân giải thời gian chuyển đổi Loại ADC thứ ba biến đổi Flash, thực trực tiếp việc so sánh điện áp ngõ vào với điện áp có từ phân áp Mỗi phân áp xác định mức lượng tử hóa Vì bit ngõ có cách song song, biến đổi loại cực nhanh Tất nhiên chúng đắt tiền, đặc biệt với độ phân giải cao Lượng tử hóa phi tuyến khác Q trình biến đổi A/D chuyển tín hiệu tương tự thành giá trị số tỷ lệ với tín hiệu gốc, biểu diễn số hữu hạn bit Do đó, tín hiệu gốc rời rạc hóa với độ phân giải hữu hạn, dẫn đến sai số giá trị gốc giá trị lượng tử hóa, sai số gọi nhiễu lượng tử hóa (quantisation noise) Nếu giá trị ngõ vào có xác suất xuất nhau, giá trị trung bình nhiễu lượng tử hóa 0, người ta thường biểu diễn nhiễu giá trị trung bình bình phương Gọi q bước lượng tử hóa, nhiễu lượng tử hóa nằm biên ±q/2, hàm mật độ xác suất nhiễu lượng tử hóa P(eq) = 1/q (vì xác suất phân bố đều, tổng xác suất phải 1) Giá trị trung bình bình phương là: Giá trị hiệu dụng (rms) nhiễu lượng tử hóa là: Xét tín hiệu vào tương tự hình sin có biên độ A Nếu sóng sin phủ vừa đủ phạm vi lượng tử hóa, bước lượng tử hóa là: với n số bit ADC Giá trị cơng suất trung bình bình phương cho bởi: Tỷ số (cơng suất) tín hiệu nhiễu lượng tử hóa SQNR là: Trong thực tế SQNR thường biểu diễn dB (với cơng suất dB tính 10log()), giá trị SQNR tính dB SQNRdB = 1.76 + 6.02n dB Điều có nghĩa với bit thêm vào độ phân giải ADC, tăng dB SQNR Quá trình biến đổi A/D thực tế thường gặp số phi tuyến: mã (một số mã nhị phân xuất hiện), phi tuyến sai phân (chuyển tiếp lượng tử hóa hàm phi tuyến tín hiệu vào, thường biểu diễn theo LSB), sai số độ lợi (sự thay đổi độ dốc hàm truyền), sai số offset (toàn mã bị dịch lên hay xuống lượng) Biến đổi A/D dùng over-sampling Nhiều nhà sản xuất ADC DAC đại tự hào phát triển linh kiện 1-bit (thực chất lượng tử hóa kiểu rơle), hiểu cần có số định để đạt SNQR yêu cầu Dưới lý việc phát triển linh kiện 1-bit Chúng ta bắt đầu với giá trị trung bình bình phương nhiễu lượng tử hóa: Cho ADC lấy mẫu tín hiệu ngõ vào tần số Fs Theo định lý lấy mẫu tần số cực đại tín hiệu ngõ vào, gọi Fb, phải thỏa mãn < Fs/2 Chú ý trung bình bình phương nhiễu lượng tử hóa tương đương với phương sai cơng suất trung bình bình phương, độc lập với tần số, nghĩa có phổ phẳng Mật độ nhiễu, nghĩa cơng suất trung bình bình phương nhiễu đơn vị băng thông (trong phạm vi đến < Fs/2), là: Bây tính cơng suất trung bình bình phương nhiễu băng thơng tín hiệu ngõ vào Vì mật độ phổ công suất phẳng, lượng nhiễu băng thông tín hiệu tỷ lệ với tỷ số Fb Fs/2, nghĩa là: với (Fs/2)/Fb gọi tỷ số over-sampling (OSR) Chúng ta so sánh giá trị công suất nhiễu với công suất nhiễu tín hiệu lấy mẫu tần số Nyquist, nghĩa Fs/2 = /Fb, ADC m-bit Nếu hai tín hiệu cách lấy mẫu có cơng suất nhiễu, có quan hệ sau: Từ có quan hệ sau: m − n = (1/2)log2(OSR) Điều có nghĩa lấy mẫu nhanh lần, tăng số bit hiệu dụng ADC lên Nói cách khác, tăng OSR để giảm số bit cần có ADC thực mà có cơng suất nhiễu băng thơng quan tâm giống ADC lấy mẫu tần số Nyquist Như tăng OSR đến cần 1-bit để thực ADC, chẳng hạn, dùng OSR 16384 để có độ phân giải 8-bit với ADC 1-bit Các định nghĩa Một tín hiệu liên tục theo thời gian hàm thời gian, gán giá trị thực cho giá trị thời gian Một tín hiệu rời rạc theo thời gian chuỗi định nghĩa theo số nguyên Nếu tín hiệu liên tục theo thời gian x(t) lấy mẫu T giây, kết chuỗi rời rạc theo thời gian x[n] = {x(nT)} Một chuỗi rời rạc theo thời gian x[n] tuần hoàn có số nguyên N cho x[n+N] = x[n] Số nguyên dương N nhỏ thỏa mãn x[n+N] = x[n] gọi chu kỳ x[n] Cần cẩn thận định nghĩa chu kỳ tín hiệu rời rạc theo thời gian Ánh xạ thường chiều, nghĩa thay nT t để chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian tương đương Các tín hiệu rời rạc điển hình gồm có tín hiệu bước nhảy (step), tín hiệu sin, tín hiệu mũ tín hiệu ngẫu nhiên rời rạc Ngồi cịn có tín hiệu xung rời rạc δ[n], mang giá trị n = với n khác Tất tín hiệu rời rạc tạo thành từ xung rời rạc dịch thu phóng thích hợp Hàm sin mũ rời rạc Các hàm sin mũ rời rạc tảng cho xử lý số tín hiệu Xét hàm sin liên tục theo thời gian: x(t) = Acos(ωct) A biên độ, ωc tần số góc tính rad/s Tần số tính Hz: ωc = 2πFc, với Fc tính Hz Một tín hiệu sin liên tục theo thời gian tuần hồn, x(t + Tp) = x(t), tất nhiên với Tp = 1/Fc Xét hàm mũ phức miền thời gian liên tục: với phần tử: Rõ ràng hàm mũ phức bao gồm lớp hàm sin thực lẫn ảo Tính chất tổng quát hàm mũ phức khiến chúng có ích cho việc phân tích tín hiệu miền thời gian liên tục lẫn rời rạc Từ biểu thức trên, giới thiệu tần số âm, (chỉ) để thuận tiện mặt toán học: Với hàm mũ phức: biểu diễn thành phần ảo theo thành phần thực thành có vectơ quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ ωc rad/s Các hàm mũ có tần số âm vectơ tương tự quay chiều kim đồng hồ Do tổng hàm mữ tần số dương hàm mũ tần số âm (với biên độ tần số) tạo vectơ nằm trục hồnh, tức tạo thành tín hiệu hình sin thực từ tổng hàm mũ phức Với hàm sin mũ rời rạc theo thời gian, có khác biệt với hàm liên tục theo thời gian Xét tín hiệu sin đơn giản: x(t) = cos(ωct) Nếu lấy mẫu khoảng thời gian rời rạc T giây, có chuỗi rời rạc theo thời gian: x[n] = cos(ωcnT) = cos(ωdn) Tần số rời rạc ωd có đơn vị rad/mẫu Theo cách tương tự, định nghĩa biến tần số: Fd = ωd/(2π) Một sóng sin rời rạc tuần hồn x[n + N] = x[n] Giá trị nguyên N nhỏ thỏa mãn điều kiện gọi chu kỳ Bây khác biệt sóng sin liên tục rời rạc theo thời gian Xét sóng cơsin rời rạc: cos(ωdn) Chúng ta cộng thêm 2π vào tần số sóng cơsin rời rạc đó: cos((ωd+2π)n) = cos(ωdn + 2πn) = cos(ωdn) Điều cho thấy phân biệt tần số khoảng ≤ ωd ≤ 2π tần số cao Vì quan tâm đến tần số âm, dùng phạm vi tần số sau: −π ≤ ωd ≤ π, −½ ≤ Fd ≤ ½ Điều áp dụng cho hàm mũ (phức) rời rạc Quan hệ tần số liên tục tần số rời rạc là: Do đó, để chuyển phạm vi tần số rời rạc trở phạm vi tần số liên tục, chia phạm vi tần số rời rạc cho chu kỳ lấy mẫu T Như vậy, nói đến tần số tín hiệu liên tục theo thời gian từ liệu rời rạc theo thời gian mà chu kỳ lấy mẫu Hệ quả, sóng sin liên tục theo thời gian lấy mẫu, phải nằm khoảng: −Fs/2 ≤ Fc ≤ Fs/2 Lấy mẫu lý tưởng tự nhiên Xét tín hiệu liên tục theo thời gian, x(t), lấy mẫu T giây Tín hiệu lấy mẫu được, x*(t), biểu diễn: Sử dụng phép biến đổi Fourier, cho thấy thành phần tần số tín hiệu lấy mẫu được, x*(t), sau: với X(jω) biểu diễn biến đổi Fourier tín hiệu gốc x(t) Với n = 0, X*(jω) trùng với X(jω), nhiên với n ≠ 0, có thành phần tần số khác, với hình dạng tương tự X(jω), bị dịch số nguyên lần tần số lấy mẫu ωs theo chiều dương lẫn chiều âm Những thành phần gọi alias Nếu tần số cao tín hiệu gốc nhỏ nửa tần số lấy mẫu, nghĩa ωb < ωs/2, tín hiệu gốc tái tạo từ tín hiệu lấy mẫu cách dùng lọc thông thấp lý tưởng (tức loại bỏ alias) Định lý lấy mẫu: Để lấy mẫu tái tạo tín hiệu, cần phải lấy mẫu tần số gấp lần tần số cao có mặt tín hiệu gốc Trong thực tế, để thực điều người ta cho tín hiệu gốc qua lọc thông thấp để loại bỏ nhiễu tần số cao làm sai lệch tín hiệu tần số thấp lấy mẫu Các lọc gọi lọc anti-aliasing Một lọc thông thấp lý tưởng phi thực tế, người ta thường lấy mẫu tần số gấp 10 lần tần số cao có mặt tín hiệu gốc Phương pháp lấy mẫu thực tế sử dụng chuỗi xung, với xung có độ rộng q giây Chuỗi xung biểu diễn hàm bước nhảy (step): Biễu diễn p(t) chuỗi Fourier, biễu diễn tín hiệu lấy mẫu sau: Thực phép biến đổi Fourier áp dụng định lý dịch tần số, có: Các hệ số Cn tính bởi: Lấy mẫu thực với dạng sóng phẳng đầu Kỹ thuật coi điều chế biên độ xung (PAM) Trong trường hợp này, sóng xung p(t) tín hiệu x(t) khơng nhân với nhau, thay vào x(t) lấy mẫu cạnh trước xung p(t) lưu mức q giây Kỹ thuật làm méo dạng tín hiệu gốc lẫn alias, khơng cho phép phân tích Fourier trực tiếp Hiện tượng méo dạng biên độ thành phần tần số tín hiệu gốc gọi hiệu ứng aperture Các hệ rời rạc theo thời gian Chúng ta thường dùng phương trình vi phân để biểu diễn phản ứng động học hệ miền thời gian liên tục Với hệ miền thời gian rời rạc, có cơng cụ tương tự phương trình sai phân Phương trình sai phân liên hệ (chuỗi) đầu hệ rời rạc, y[n], với (chuỗi) đầu vào rời rạc, x[n] Ngày nay, hệ rời rạc thực hồn tồn máy tính; thực lọc số chẳng hạn Tín hiệu vào, x[n], liệu lấy mẫu (và thực tế số nhị phân), y[n] kết việc lọc, sẵn sàng xuất giới thực thông qua DAC Bất chấp chất hệ rời rạc, muốn biểu diễn mối quan hệ vào/ra toán học, để hiểu tính chất hệ hay để thiết kế lọc đáp ứng tiêu kỹ thuật riêng phương pháp toán học hợp lý Các phương trình sai phân cơng cụ Xét hệ biểu diễn toán học phương trình sai phân: y[n] = a.y[n−1] + b.y[n−2] + c.x[n] + d.x[n−1] Ngõ tại, y[n], hàm ngõ trước (y[n−1], y[n−2]), giá trị ngõ vào tại, x[n], giá trị ngõ vào trước đó, x[n−1] Chức hệ phụ thuộc vào hệ số a, b, c, d Như với hệ liên tục, có số tính chất chung cần phải làm quen Các tính chất bao gồm: • • Tính tuyến tính Giả thiết x[n] tổng số tín hiệu, x[n] = x1[n] + x2[n] Gọi y[n] ngõ hệ ngõ vào x[n] Giả sử y1[n] ngõ ngõ vào x1[n], y2[n] ngõ ngõ vào x2[n] Hệ tuyến tính y[n] = y1[n] + y2[n] Nghĩa là, hệ tuyến tính đáp ứng với x[n] = (x1[n] + x2[n]) với tổng đáp ứng x1[n] x2[n] áp đặt độc lập Tính nhân Các tín hiệu/hệ gọi nhân 'các kiện tại' phụ thuộc vào 'các kiện' khứ Phương trình sai phân sau ví dụ hệ khơng nhân quả: y[n] = y[n−1] + x[n] + x[n+1] • • Tính bất biến theo thời gian Một hệ bất biến theo thời gian đáp ứng hệ, y[n], ngõ vào cụ thể, x[n], không phụ thuộc vào thời điểm áp đặt ngõ vào Tính ổn định Một hệ gọi ổn định với ngõ vào bị chặn, x[n], ngõ ra, y[n], bị chặn Định nghĩa cụ thể tính ổn định gọi tính ổn định ngõ vào bị chặn ngõ bị chặn (BIBO) Người ta thường xét đến hệ tuyến tính, bất biến theo thời gian (LTI) giáo trình Xử lý số tín hiệu (DSP) Chập tín hiệu-Convolution Chập tín hiệu q trình tảng cho việc phân tích xử lý tín hiệu Nó có quan hệ gần gũi với phép biến đổi Fourier, hay tổng quát phép biến đổi Laplace, miền tần số với phép biến đổi Z miền thời gian rời rạc Việc nhân thành phần miền tần số, tức nhân hàm truyền miền tần số hệ với biểu diễn miền tần số tín hiệu vào, tương đương với việc chập đáp ứng xung miền thời gian hệ với tín hiệu ngõ vào miền thời gian Nhớ lại phép biến đổi Laplace ngược hàm truyền hệ cho ta đáp ứng xung hệ Phép chập đơn phép tốn miền thời gian, khơng giống phép nhân biến đổi Laplace xảy miền tần số giả Phép chập thường ký hiệu dấu (*) Bằng cách này, biểu diễn phép chập h[n] x[n] y[n] = h[n]*x[n] Khi mô tả đồ thị, thường đảo ngược tín hiệu, tính tổng tích thành phần chồng lên cho phép dịch thời gian Với tín hiệu có nhiều thành phần khác 0, trình tốn công sức thời gian May mắn có cơng thức tốn học ngắn gọn cho phép chập: Tổng chập có ích nhiều phương diện phân tích xử lý tín hiệu, nhiên ứng dụng lấy đáp ứng rời rạc hệ, lọc tín hiệu vào rời rạc mong muốn Đối với miền thời gian liên tục, dễ dàng chứng minh hàm truyền hệ cho biết đáp ứng xung hệ Trong miền thời gian rời rạc, có quan hệ tương tự Xét hệ với ngõ vào xung rời rạc δ[n], để ý ngõ rời rạc y[n] hệ, với hàm truyền h[n] Vì ngõ vào xung rời rạc, kết phép chập sau phép dịch thời gian thành phần tương ứng h[n] nhân với (của ngõ vào), nghĩa ngõ y[n] h[n] Nói cách khác, h[n] đáp ứng xung rời rạc hệ Nhân nói phép chập, loại lọc giới thiệu đây, chúng phân loại dựa vào đáp ứng xung Trước tiên, xét phương trình sai phân bậc liên hệ ngõ y[n] ngõ vào x[n] lọc: y[n] = x[n] + 0.5y[n−1] Hàm truyền hệ tìm cách cho x[n] = δ[n] Tại n = 0, ta có x[0] = 1, y[0] = Vì tác dụng hồi tiếp (feedback) thành phần y[n−1], ngõ không đạt đến giá trị 0, dù ngõ vào xung rời rạc Chúng ta gọi đáp ứng xung đáp ứng xung vô hạn (IIR-Infinite Impulse Response), lọc tương ứng với loại hàm truyền gọi lọc đáp ứng xung vô hạn Xét phương trình sai phân khác liên hệ ngõ y[n] ngõ vào x[n] sau: y[n] = 0.25×(x[n] + x[n−1] + x[n−2] + x[n−3]) Cũng dùng xung rời rạc áp đặt vào ngõ vào hệ để tìm hàm truyền Rõ ràng, sau số phép dịch thời gian (4 phép dịch trường hợp này), ngõ trở giá trị ngõ vào xung rời rạc Đáp ứng xung gọi đáp ứng xung hữu hạn (FIR-Finite Impulse Response), lọc tương ứng với loại hàm truyền gọi lọc đáp ứng xung hữu hạn Sau số tính chất phép chập Phép chập q trình có tính giao hốn, nghĩa là: y[n] = h[n]*x[n] = x[n]*h[n] Phép chập có tính kết hợp phân bố, nghĩa là: {x[n]*h1[n]}*h2[n] = x[n]*{h1[n]*h2[n]} x[n]*{h1[n] + h2[n]} = x[n]*h1[n] + x[n]*h2[n] Nhân tiện nói đến chập tín hiệu, giới thiệu định lý cửa sổ (windowing theorem) Khi xét mối quan hệ miền thời gian tần số, thấy chập hai chuỗi rời rạc miền thời gian tương đương với nhân đáp ứng tần số chúng miền tần số Ngược lại, tích hai chuỗi rời rạc miền thời gian tương đương với chập biến đổi Fourier chúng: Phân tích miền tần số Xét trường hợp chuỗi vào x[n] có dạng hàm mũ phức x[n] = ejωdn Ngõ hệ tính tổng chập: Chúng ta định nghĩa: biểu diễn ngõ sau: H(ejωd) bao gồm thành phần biên độ pha phụ thuộc tần số, coi đáp ứng tần số hệ Cần ý đáp ứng tần số hàm liên tục tuần hoàn, đáp ứng tần số định nghĩa hoàn toàn phạm vi tần số −π ≤ ωd ≤ π Ví dụ tính đáp ứng tần số: Tính đáp ứng tần số hệ biểu diễn phương trình sai phân sau: y[n] = 0.5x[n] + x[n−1] + 0.5x[n−2] Về mặt toán học, đáp ứng xung cho bởi: h[n] = 0.5δ[n] + δ[n−1] + 0.5δ[n−2] Do đó, đáp ứng tần số cho bởi: Chúng ta tính phần biên độ phần pha riêng biệt: Vậy tính đáp ứng tần số hệ biết đáp ứng xung Đối với tín hiệu rời rạc, có cơng cụ tương tự Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc cho bởi: Do đó, với phép biến đổi, áp dụng cho tín hiệu x[n], có thành phần tần số tín hiệu, áp dụng cho đáp ứng xung h[n] hệ, đáp ứng tần số hệ Phép biến đổi ngược là: Để xác định mối quan hệ biến đổi Fourier tín hiệu vào ngõ hệ, xét phép biến đổi Fourier ngõ ra: Thừa số thứ biến đổi Fourier h[n], thừa số thứ hai, sau điều chỉnh đơi chút, biến đổi Fourier x[n] Như vậy: Do vậy, vừa chứng minh điều khẳng định trước đó, phép chập đáp ứng xung h[n] hệ với tín hiệu vào x[n] miền thời gian rời rạc tương đương với việc nhân biến đổi Fourier x[n] h[n] miền tần số Việc sử dụng trực tiếp kết đơi gặp nhiều khó khăn thực tế, việc biến đổi ngược Fourier để có ngõ rời rạc miền thời gian lúc nhanh dễ thực Tuy nhiên, xét phương trình dùng để lấy thành phần tần số tín hiệu Nếu thay ejωd z, có: Đây định nghĩa tổng quát phép biến đổi z Thơng thường, tín hiệu xem xuất n ≥ 0, dùng phép biến đổi z đơn hướng (unilateral): Do đó, có: Hơn nữa: Y(z) = H(z)X(z) nghĩa dùng bảng biến đổi z để tính H(z) X(z), tìm tích chúng, dùng bảng biến đổi z ngược để tìm chuỗi rời rạc y[n] Phép biến đổi z ngược tích hai chuỗi biến đổi z cho ta kết việc chập hai chuỗi miền thời gian rời rạc Cũng thấy rõ hàm truyền theo biến z hệ rời rạc tương đương với biến đổi Fourier đáp ứng xung rời rạc Nếu cần đánh giá đáp ứng tần số, thay z ejωd, đánh giá biên độ pha theo cách bình thường Biến đổi z trường hợp tổng quát biến đổi Fourier chuỗi rời rạc miền thời gian, giống phép biến đổi Laplace trường hợp tổng qt hóa biến đổi Fourier cho tín hiệu liên tục theo thời gian Để đánh giá đáp ứng tần số thuận tiện hơn, biến đổi thẳng từ hàm theo z sang miền tần số tương tự, cách thay z ejωcT, với tần số tính rad/s Phép biến đổi Fourier rời rạc-DFT Theo cách tương tự với tín hiệu liên tục theo thời gian, rút chuỗi Fourier tín hiệu rời rạc theo thời gian: với N số mẫu chu kỳ tín hiệu tuần hoàn rời rạc theo thời gian Chú ý khơng giống với trường hợp tín hiệu liên tục theo thời gian, có vơ số hệ số Ck, chuỗi Fourier rời rạc có N hệ số, nghĩa k = N−1 Việc biểu diễn hệ số thành phần biên độ pha mang nhiều thơng tin Thành phần biên độ có ích việc thể mức độ mà tần số cụ thể có mặt tín hiệu gốc, tính cách bình phương hai phần thực ảo, sau rút tổng bình phương Trục tần số tính theo đơn vị Fs/N Hz, với Fs tần số lấy mẫu Đối với phổ tần số có được, giá trị trung bình (giá trị dc) nhân N, họa tần nhân N/2 Cũng cần ý đến tính đối xứng biên độ hệ số, với tín hiệu thực, cần tính N/2 hệ số đầu tiên, phần lại đối xứng với hệ số N/2 hệ số đủ để xác định phổ tín hiệu gốc Lý việc có N hệ số tính chất tuần hoàn chuỗi Fourier theo định nghĩa Về lý thuyết, phép biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn rời rạc luôn tạo phổ liên tục Tuy nhiên, tính phức tạp việc định trị hàm liên tục máy tính, phổ phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT-Discrete Fourier Transform) giả thiết lấy từ chuỗi Fourier rời rạc tín hiệu, giả thiết tín hiệu khơng tuần hồn gốc thực chất chu kỳ tín hiệu tuần hồn, có chu kỳ vơ lớn Cụ thể, phổ liên tục phép biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc xấp xỉ Ck khoảng tần số rời rạc, với Ck hệ số chuỗi Fourier rời rạc (giả thiết tín hiệu khơng tuần hồn chu kỳ tín hiệu tuần hồn) Độ phân giải (khoảng tăng tần số) Fs/N, biểu diễn chuỗi Fourier rời rạc Do xấp xỉ phép biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc theo thời gian tập hệ số rời rạc, X(k), với: Định nghĩa DFT giả thiết liệu lấy mẫu chuỗi tuần hoàn Nếu liệu lấy mẫu khơng thực tuần hồn, thơng tin phổ tần số bị trải toàn phạm vi tần số Không may điều thường xảy với tín hiệu liên tục theo thời gian lấy mẫu không đủ chu kỳ Tuy nhiên, có phương pháp khắc phục vấn đề này, số có kỹ thuật cửa sổ (windowing) Kỹ thuật cửa sổ phương pháp điều chỉnh liệu có chiều dài hữu hạn để liệu trở nên thích hợp nhiều cho xử lý số tín hiệu Một cửa sổ mô tả số hệ số nhân áp đặt vào phần tử rời rạc chuỗi liệu Dạng cửa sổ đơn giản cửa sổ chữ nhật (có tất phần tử khác 1) Các phần tử chuỗi liệu cửa sổ w[n] nhân với phần tử tương ứng chuỗi liệu có chiều dài hữu hạn x[n] Kiểu liệu không thực có ích trừ cần cắt bỏ chuỗi liệu Một cửa sổ hữu dụng cửa sổ Hanning (còn gọi cửa sổ cosin nâng lên) Cửa sổ Hanning định nghĩa sau: Hiển nhiên, nhân chuỗi liệu với cửa sổ Hanning làm méo nghiêm trọng tín hiệu Tuy nhiên, từ quan điểm phân tích miền tần số, cửa sổ làm liệu giống tuần hoàn, nghĩa khơng có gián đoạn đột ngột Như vấn đề liên quan đến việc rị phổ giảm Một cửa sổ thông dụng khác cửa sổ Hamming, biến thể cửa sổ Hanning, định nghĩa sau: Cửa sổ Hamming nhìn chung cho kết tốt cửa sổ Hanning, phức tạp tính tốn Ngồi số cửa sổ khác Blackman, Kaiser, có cải thiện phức tạp tính tốn Một điểm cần ý cửa sổ cải thiện vấn đề rò phổ cách làm giảm kích thước side-lobe phổ tần số chúng, chúng lại làm giảm độ phân giải phổ Điều xảy cửa sổ phức tạp thường có main-lobe phổ tần số chúng rộng main-lobe cửa sổ chữ nhật, có khuynh hướng làm nhịe thành phần phổ trội lên Khi phân biệt thành phần tần số gần nhau, điều gây khó khăn nhiều Như vậy, việc dùng cửa sổ thường đòi hỏi thỏa hiệp việc chọn cửa sổ có side-lobe nhỏ để giảm rị phổ, cửa sổ có main-lobe nhỏ để có độ phân giải tần số tốt cách giảm nhòe phổ Phép biến đổi Fourier nhanh-FFT Mặc dù cách lý tưởng muốn tính biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc, dễ dàng giả thiết chuỗi liệu rời rạc chu kỳ chuỗi tuần hoàn, hệ tính chuỗi Fourier rời rạc tín hiệu Cách xử lý có ích vì, mặc thấy đường bao phổ thực tín hiệu, phép biển đổi DFT tính tốn dễ dàng nhiều máy tính Có lẽ DFT sử dụng rộng rãi tất thuật tốn DSP từ năm 1960 có nhiều kỹ thuật phát triển để tính DFT cách hiệu Những thuật toán này, gọi phép biến đổi Fourier nhanh-FFT (Fast Fourier Transform), lợi dụng thực tế số phép toán dùng để tính hệ số DFT lặp lại nhiều lần Do đó, với chút cẩn thận, nhận diện phép tốn lặp lại này, tính chúng lần, dùng lại kết cần thiết Những kỹ thuật dùng FFT không đề cập đây, xem xét thử phép tốn thừa tính DFT qua ví dụ để hiểu rõ vấn đề Xét chuỗi rời rạc theo thời gian x[n], có điểm, nghĩa N = Các hệ số phổ cho bởi: với WN = e−j2π/N Với DFT bản, phải tính WNkn cho giá trị k n Tuy nhiên, xem xét WNkn kỹ có N (=8) giá trị khác nhau, bất chấp giá trị k n, tính chất hàm mũ phức WN Do đó, thuật tốn FFT tính giá trị lần, dùng kết vị trí thích hợp, giảm số phép tốn cần thực nhiều Lấy ví dụ cụ thể, với N = 1024, DFT cần 1047552 phép cộng phức 1048576 phép nhân phức, FFT cần 10240 phép cộng phức 5120 phép nhân phức Khi chiều dài mẫu N lớn, ưu FFT so với DFT thể rõ Phần nói đến vấn đề xử lý số tín hiệu, phương pháp thiết kế mạch lọc số (ứng dụng rộng rãi DSP) giới thiệu qua ví dụ cụ thể cho dịng chip khác  ... chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian tương đương Các tín hiệu rời rạc điển hình gồm có tín hiệu bước nhảy (step), tín hiệu sin, tín hiệu mũ tín hiệu ngẫu... Cũng cần ý đến tính đối xứng biên độ hệ số, với tín hiệu thực, cần tính N/2 hệ số đầu tiên, phần lại đối xứng với hệ số N/2 hệ số đủ để xác định phổ tín hiệu gốc Lý việc có N hệ số tính chất tuần... cụ thể tính ổn định gọi tính ổn định ngõ vào bị chặn ngõ bị chặn (BIBO) Người ta thường xét đến hệ tuyến tính, bất biến theo thời gian (LTI) giáo trình Xử lý số tín hiệu (DSP) Chập tín hiệu- Convolution