phương trình phi tuyến

giúp các bạn sinh vien ki thuat co nhung kien thuc can ban ve mon hoc moi la nay, dong thoi giup cac ban hoc tot mon phuong phap tinh, chuc cac ban thanh cong

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK2 0506 CHƯƠNG 1 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN f(x) = 0 • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (02/2006) NỘI DUNG 1– KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT. CÔNG THỨC SAI SỐ 2– PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI 3– PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN 4– PHƯƠNG PHÁP NEWTON (TIẾP TUYẾN) 5– HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN. PHƯƠNG PHÁP NEWTON – RAPHSON. 1. KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT – CÔNG THỨC SAI SỐ Phương trình f(x) = 0 (1), f: hàm số liên tục, có đạo hàm Khoảng cách ly nghiệm: Đoạn [a, b] (hoặc khoảng (a, b) ), trên đó phương trình (1) có nghiệm α duy nhất VD: Phương trình x – cosx = 0 có khoảng cách ly nghiệm: ĐK đủ: [a, b] là KCLN của (1) khi  Đạo hàm f’ không đổi dấu trên đoạn (hoặc khoảng) (a,b)  f(a).f(b) < 0 (giá trò 2 đầu trái dấu) Tìm KCLN: Tính f’, lập bảng biến thiên; Cách 2: Đồ thò (máy!) CÔNG THỨC SAI SỐ Công thức sai số tổng quát: Phương trình f(x) = 0 (1) với nghiệm chính xác α trên khoảng cách ly nghiệm [a, b] VD: P/trình f(x) = x – cosx = 0 có khoảng cách ly nghiệm [0,1] ( ) 1 m xf x ≤−⇒ α [ ] ( ) [ ] [ ] ( )      =⇔∈∀>≥ ∈ xfmbaxmxf bax ba 'min,0' :, , 11 biếtđãđúnggầnNghiệm Nếu chọn nghiệm gần đúng    ∆⇒= ?00015.0/ ?00014.0/ :739.0 b a x x Giải: Ghi nhớ: Sai số luôn làm tròn lên PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI Ý tưởng: Liên tục chia đôi khoảng cách ly nghiệm f(x) = 0 trên KCL nghiệm [a, b]. Ký hiệu: a 0 = a, b 0 = b ⇒ f(a 0 ).f(b 0 ) < 0. Chia đôi: c 0 = (a 0 + b 0 )/2 ⇒ KCL nghiệm mới? Dừng với nghiệm xấp xỉ n cx = (trung điểm ở hàng thứ n) 0 a 0 b 0 c f(a 0 ).f(c 0 ) < 0: KCL mới [a 0 , c 0 ] 0 a 0 b 0 c f(c 0 ).f(b 0 ) < 0 → [c 0 , b 0 ] Công thức sai số: 1 2 + − ≤− n ab x α ( ) 1 2log log −       − ≥⇔≤ ε ε ab n VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI Xấp xỉ nghiệm của phương trình f(x) = x – cosx = 0 trên khoảng cách ly nghiệm [0, 1] với sai số 0.2 Giải: Lập bảng chứa mọi kết quả trung gian cần thiết Tìm n để có thể xấp xỉ nghiệm f(x) = x – cosx = 0 trên khoảng cách ly nghiệm [0, 1] bằng phương pháp chia đôi, sai số 10 -8 n a n b n c n ε n DÃY LẶP ĐƠN Dãy lặp đơn: Dãy{x n } xác đònh x n+1 = ϕ(x n ), ϕ(x): hàm lặp VD: Kiểm tra những dãy sau có là lặp đơn? Nếu có, viết ra hàm lặp ϕ. Tính 5 số hạng đầu của dãy (x 0 bất kỳ). Từ đó, đoán tính hội tụ? Tìm liên hệ giữa giới hạn dãy và hàm lặp ϕ Dãy lặp đơn x n = ϕ(x n-1 ) hội tụ về α ⇒ α là nghiệm p/t x = ϕ(x) 1 15 / / 10 cos/ 1 3 1 1 += =       = + + + n n nn n n z zc nyyb x xa 2 1 0 x n n 2 1 0 z n n DÃY LẶP ĐƠN HỘI TỤ Minh hoạ sự hội tụ của dãy lặp đơn: x n+1 = ϕ(x n ) = ax n + b Dãy lặp hội tụ về nghiệm p/trình: x = ϕ(x) ⇒ α = b/(1 – a) DÃY LẶP ĐƠN PHÂN KỲ Phân kỳ Hội tụ khi dãy {x n } “co” lại ( ) ( ) 010112 xxqxxxx −≤−=−⇒ ϕϕ HÀM CO Hàm y = ϕ(x) co trên [a, b] với hệ số co q ⇔ ∃ q, 0 < q < 1: [ ] ( ) ( ) yxqyxbayx −≤−∈∀ ϕϕ :,, |ϕ’(x)| ≤ q < 1 ∀ x∈[a, b] ⇒ ϕ(x) co trên [a, b] với hệ số co q VD: Hàm y = x 2 co trên [-1/4, 1/4]??? VD: Trong những hàm sau đây, hàm nào thoả điều kiện co? Xác đònh hằng số q với các hàm co đó ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] babax x xc Rxxxb xxxa <<∈+= ∈= ∈= 0,,,1 1 / ,arcsin/ 1,0,cos/ 2 ϕ ϕ ϕ [...]... hơn) [ a ,b ] 2m1 VÍ DỤ LẶP NEWTON – TIẾP TUYẾN Giải xấp xỉ f(x) = x – cosx = 0 trên [0, 1], sai số 10–8 1/ Kiểm tra điều kiện hội tụ 2/ Xây dựng dãy lặp: Sai số : n xn 0 1 εn HỆ PHI TUYẾN – PP NEWTON – RAPHSON Minh hoạ : Hệ 2 phương trình, 2 ẩn  f1 ( x1 , x2 ) = 0   f 2 (... f’(x(k)) (thay x(k) vào) & vectơ b = –f(x(k)) 2/ Giải hệ p/tr (bằng máy bỏ túi) Ah = b Tính x(k+1) = x(k) + h VÍ DỤ LẶP NEWTON – RAPHSON VỚI HỆ PHI TUYẾN Tìm nghiệm gần đúng x(1) của hệ phi tuyến sau với 3 chữ số lẻ: 2  f1 ( x1 , x2 ) ≡ x1 + 3 ln x1 − x2 = 0   2  f 2 ( x1 , x2 ) ≡ 2 x1 − x1 x2 − 5 x1 + 1 = 0  , x ( 0) = [1.5,−1.5]... DỤ PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN Xấp xỉ nghiệm ptrình f(x) = x3 + x – 1000 = 0 với sai số 10-8 Giải: Khoảng cách ly nghiệm Lặp đơn: x = 1000 – x3 = ϕ(x): Kiểm tra điều kiện co? Xây dựng hàm lặp mới: x = 3 1000 − x = ϕ ( x ) ⇒ Hàm co?  x0 ∈ [ 9,10] Dãy lặp:   xn +1 = ϕ ( xn ) = 3 1000 − xn Sai số: n q 0 xn − α ≤ xn − xn −1 1− q xn εn CẢI TIẾN PHƯƠNG... dựng hàm ϕ với q . x (k+1) = x (k) + h VÍ DỤ LẶP NEWTON – RAPHSON VỚI HỆ PHI TUYẾN Tìm nghiệm gần đúng x (1) của hệ phi tuyến sau với 3 chữ số lẻ:      =+−−≡ =−+≡ 0152),( 0ln3),( 121 2 1212 2 211211 xxxxxxf xxxxxf [. PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN 4– PHƯƠNG PHÁP NEWTON (TIẾP TUYẾN) 5– HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN. PHƯƠNG PHÁP NEWTON – RAPHSON. 1. KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT – CÔNG THỨC