Đang tải... (xem toàn văn)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNHBµi 1: Gi¶i bµi to¸n b»ng ph¬ng ph¸p ®¬n h×nhf(x) = x1 + 3x2 + 3x3 3x4 x5 minx1 + 4x2 x3 x4 = 4 (1)2x2 +2x3 + x4 + x5 = 4 (2)x2 +2 x3 +2 x4 + x6 = 3 (3)xj 0 (j = 1,6 )
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài 1: Giải toán ph-ơng pháp đơn hình f(x) = x1 + 3x2 + 3x3 - 3x4 - x5 x1 + 4x2 - x3 - x4 = 2x2 +2x3 + x4 + x5 = x2 +2 x3 +2 x4 + x6 = xj (j = 1,6 ) HƯ sè Èn c¬ sở Ph-ơng án -1 x1 x5 x6 -1 -3 (1) (2) (3) 4 x1 0 x2 x3 -1 2 -3 x4 -1 2 -1 x5 0 x6 0 f(x) x1 x5 x4 11/2 5/2 3/2 0 -1 9/2 3/2 1/2 -6 1 0 0 0 1/2 -1/2 1/2 dc f(x) -3/2 -3/2 -7 0 -1/2 Bài toán ó cho có Pat- x* = (11/2, 0, 0, 3/2, 5/2, 0) vµ f(x)min = -3/2 Bµi 2: Giải toán ph-ơng pháp đơn hình f(x) = x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 + 3x6 x1 + x2 + x3 + x4 = 2x1 +3x3 - 2x4 + x5 = x1 + x3 + 3x4 + x6 = xj (j = 1,6 ) HƯ sè Èn c¬ Ph-¬ng së ¸n 3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 1 1 0 x5 2 -2 x6 1 3 3 f(x) x2 x1 x6 24 2 11 dc 0 10 -1/2 3/2 -1 -1/2 1/2 0 0 -1/2 4 -1/2 f(x) 13 0 -13/2 15 -11/2 x2 1 -1/4 -1/4 -1/2 (1) (2) (3) x1 x4 3/2 1/2 0 11/8 -1/8 3/8 -1/8 1/4 1/4 f(x) 11/2 0 15/4 -37/8 -29/8 - Bài toán ó cho có Pat- x* = (3/2, 1, 0, 1/2, 0, 0) vµ f(x)min = 11/2 Bài 3: Giải toán ph-ơng pháp đơn hình f(x) = -2x2 + 2x3 + 2x4 - 2x5 + x6 x1 + x2 + 5x3 + x5 = 2x1 + 3x3 + x4 - 2x5 = x1 + x3 + 3x5 + x6 = xj (j = 1,6 ) HÖ sè ẩn Ph-ơng sở án -2 2 -2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -2 x2 1 x4 2 -2 x6 1 -2 -2 -2 f(x) x2 x1 x6 -1 4 f(x) -4 dc 0 -5 7/2 3/2 -1/ 1/2 -1 -1 0 0 -1/2 -19/2 -1/2 -3/2 4 x2 x1 x5 2 1 0 15/4 11/8 -1/8 -1/4 3/8 -1/8 0 -1/2 1/4 1/4 f(x) -6 0 -37/4 -5/4 -1/2 Bài toán ó cho có Pat- x* = (2, 2, 0, 0, 1, 0) vµ f(x)min = -6 Bài 4: Giải toán ph-ơng pháp đơn hình (1) (2) (3) f(x) = x1 + x2 + x3 + 3x4 2x1 - x2 + x3 - 5x4 = 3x1 -3x3 +6x4 = 2x1 - x2 - x4 xj (j = 1,4 ) HS CS PA x2 -1 -1 x3 -3 (1) (2) (3) 1 xg1 xg2 x5 x1 3 x4 -5 -1 x5 0 1 xg1 0 xg2 1 0 P xg1 x1 x5 -1 -1 -1 -2 -1 2 -9 -5 0 1 0 0 P xg1 x1 x3 3 0 -1 1/2 -1/2 -1/2 0 -9 -3/2 -1/2 -5/2 -3/2 1/2 1/2 0 0 1/2 0 0 -3/2 -3 -2 -4 -3/2 -3 -1 -1 1 P x2 x1 x3 f(x) 13 0 -12 -5 dc dc dc Bài toán có Pat- x* = (4, 6, 3, 0) vµ f(x)min = 13 Bài 5: Giải toán ph-ơng pháp đơn h×nh f(x) = -5x1 + x2 + x3 - 4x4 max 3x1 - x2 - x3 + x4 = x1 - x2 + x + x4 2x1 + x2 +2x3 xj (j = 1,4 ) HS CS PA -5 -1 -4 0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 g x1 -1 -1 0 x5 1 -1 1 0 x6 2 0 P -1 -1 0 (1) (2) (3) xg1 0 0 xg1 x1 x6 1 2 -1 -4 -2 -2 -3 -2 0 1 0 1/2 3/2 5/2 0 0 -4 -2 -1 -2 -1 -3/2 -1/2 5/2 0 1 -5 P x2 x1 x6 f(x) -7 0 Bài toán cho cã Pat- x* = (3/2, 1/2, 0, 0) f(x)max = -7 Bài 6: Giải toán ph-ơng pháp đơn hình f(x) = -2x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 2x1 + 5x2 - x3 - 4x4 - 2x5 2x1 + 2x2 + 4x3 - 2x4 - x5 -2x1 + x2 + 7x3+ 2x4 xj (j = 1,5 ) HS CS PA x2 2 dc dc = = 1 xg1 xg2 x6 6 -2 x1 2 -2 0 P xg1 x2 x6 1 -3 -3 -11 -6 1 -1 -3 1/2 -1/2 1/2 0 1 0 P x4 x2 x6 1 2 -3 -3 -2 0 -11 -11 -9 38 1 0 1/2 1/2 -1 0 0 f(x) x5 x2 x6 2 -10 -6 -2 0 -52 -22 -9 16 2 1 0 0 f(x) -4 -30 -2 0 (1) (2) (3) x3 -1 x4 -4 -2 x5 -2 -1 0 x6 0 1 xg1 xg2 0 0 dc dc dc Bài toán ó cho có Pat- x* = (0, 2, 0, 0, 2) vµ f(x)min = Bµi 7: Giải toán ph-ơng pháp đơn hình f(x) = 3x1 + 4x2 + 4x3 + 5x4 + x5 x1 - x2 - x3 + x4 + x5 -3 (1) x1 + x2 + x3 - x4 - x5 (2) x1 + x2 - 2x3- 3x4 +2 x5 (3) xj (j = 1,5 ) HS CS PA 1 xg1 xg2 x8 x1 -1 1 x2 1 x3 1 -2 x4 -1 -1 -3 x5 -1 -1 0 x6 x7 x8 -1 0 -1 0 1 g x xg2 0 0 0 P xg1 x2 x8 2 -2 2 -3 -2 -1 -2 -2 -1 -1 -1 0 P x7 x2 x8 1 -2 -2 -1 0 0 -3 0 -1 0 -1 f(x) 12 -7 0 -9 -5 -1 1 -1 0 1 0 -1 -1 -1 1 0 0 -4 0 Bài toán cho cã Pat- x* = (0, 3, 0, 0, 0) f(x)min = 12 Bài 8: Giải toán ph-ơng pháp đơn hình f(x) = 2x1 + 2x2 - 3x3 - 2x4 + x5 x1 - x2 + x4 + 2x5 = 16 x1 + x2 + 2x3 - 2x5 35 2x2 - 2x3 + 4x5 = -20 xj (j = 1,5 ) HS CS PA 1 x4 xg2 xg3 16 35 20 x1 xg3 1 0 P x4 xg2 55 16 15 1 x2 -3 x3 -2 x4 x5 -1 -2 2 0 -2 -4 -1 -1 3 0 -6 2 x6 dc (1) (2) (3) xg2 -1 0 0 -1 -1 0 dc x3 10 dc -1 -2 0 15 21 15 4/3 1/3 dc 1/3 0 0 8/3 2/3 -1 -1/3 -1/3 -2 -3 P x4 x2 x3 -4/3 -1/3 -5 0 -1 f(x) -77 Bài tốn cho khơng giải c Bài 9: Giải toán ph-ơng pháp đơn h×nh f(x) = 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 2x1 + 2x3 + x4 = 14 -5x1 -3x2 - x3 +2x4 -62 -2x1 +2x2 + 2x3 + x4 = 16 xj (j = 1,4 ) HS CS PA x1 x2 x3 x4 x5 xg1 xg1 14 2 1 x5 62 -2 g x3 16 -2 2 0 0 P x3 x5 xg3 30 55 dc -4 xg3 0 1/2 -5/2 0 2 0 1/2 -5/2 0 0 P x3 x5 x2 52 -4 10 -2 dc 0 1 0 f(x) 23 -5 0 -1/2 (1) (2) (3) 0 0 Bµi to¸n cho cã Pat- x* = (0, 1, 7, 0, 52) f(x)min = 23 Bài 10: Giải toán ph-ơng pháp đơn hình f(x) = 3x1 - 3x2 + x3 + 3x4 2x1 - x2 + x3 - 2x4 5 3x1 + 2x2 - 3x3 +6x4 =3 x1 - 2x2 + 3x3 - 2x4 2 xj (j = 1,4 ) HS CS PA -3 -1 -3 (1) (2) (3) 1 x5 xg2 x6 -3 P x5 x4 x6 1/2 -3 -1 f(x) x5 x4 x3 f(x) 5/4 3/2 x2 -1 -2 x3 -3 x4 -2 6 -2 x5 0 x6 0 xg2 0 3 -1/3 1/2 1/3 dc -4/3 -3 -1/2 1 0 0 2 0 3/2 -4 -1/3 1 -2/3 dc 5/2 0 0 0 0 0 1/4 1/2 0 0 -5/4 x1 -21/4 -1 -7/3 Bài toán ó cho có Pat- x* = (0, 0, 3/2, 5/4) vµ f(x)min = -21/4 Bµi 11: Giải toán ph-ơng pháp đơn hình f(x) = 3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 x1 + 3x2 + x3 - 4x4 -2x5 = 2x1 + 2x2 + 2x3 -2x4 =2 -2x1 + x2 + 5x3 + 2x4 4 xj (j = 1,5 ) HS CS PA x1 x2 x3 x4 x5 g x2 g x1 -4 -2 xg2 0 x6 2 -2 -2 0 0 P xg1 x2 x6 P 3 -2 dc -3 -2 (1) (2) (3) x6 xg1 0 -2 -6 -1 -1 -2 -2 0 0 0 -2 -1 -2 0 Bài tốn cho khơng giải Bµi 12: Giải toán ph-ơng pháp đơn hình f(x) = 3x1 - x2 + 4x3 - 3x4+ x5 max x1 + 3x2 + x3 - 4x4 - 2x5 = 10 (1) 2x1 + 2x2 + 2x3 -2x4 + 2x5 -4x1 - 4x2 + 3x3 + 8x4 + 4x5 15 xj (j = 1,5 ) HS CS PA 0 xg1 x6 x7 10 15 0 P xg1 x2 x7 10 23 P (2) (3) x1 xg1 -4 x2 x3 x4 2 -4 -4 -2 -2 dc 1 -2 -2 x5 x6 x7 -2 0 1 0 -4 -1 -1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 -5 0 Bài tốn cho khơng giải Bài 13: Giải tốn p.pháp đơn hình f(x) = 4x1 - 6x2 +14 x3 - 5/2x4 -3x2 - 2x3 + 2x4 -72 (1) 2x1 - 3x3 + x4 = 60 (2) 2x1- 4x2 - 3x3 - 2x4 = 36 (3) xj (j = 1, 2, 3, 4) Đưa tốn dạng tắc với vế phải phương trình khơng âm f(x) = 4x1 - 6x2 +14 x3 - 5/2x4 3x2 + 2x3 - 2x4 + x5 = 72 2x1 - 3x3 + x4 = 60 2x1- 4x2 - 3x3 - 2x4 = 36 xj (j = 1, 2, 3, 4, 5) Lập toán phụ P= xg2 + xg3 3x2 + 2x3 - 2x4 + x5 = 72 g 2x1 - 3x3 + x4 +x = 60 2x1- 4x2 - 3x3 - 2x4 + xg3 = 36 xj (j = 1, 2,…, 5); xg2 , xg3 HS CS PA 1 x5 xg2 xg3 72 60 36 x1 2 P x5 xg2 96 72 24 0 -6 x2 -4 14 x3 -3 -3 -5/2 x4 -2 -2 x5 0 xg2 1 xg3 0 -4 4 -6 -1 -2 0 0 x1 18 dc -2 -3/2 -1 0 24 54 30 0 dc -17/4 3/4 0 -6 -4 P x5 x2 x1 -3/2 1/2 0 -20 0 f(x) 84 a Bµi to¸n cho cã Pat- x* = (30, 6, 0, 0) vµ f(x)min = 84 b Xác định PATU có thành phần x2 =3 cho biết tính chất ca phng ỏn i vi bi toỏn Từ bảng đơn hình thứ ta đ-ơc: Bài toán chớnh tc tng đương tốn cho cã PAT¦ x* = (30, 6, 0, 0, 54) víi f(x)min = 84, phương z4 = (-1/2, -3/4, 0, 1, 17/4) phương không đổi nên x() = x* + z4, phương án tối ưu ca toán chớnh tc tng ng ca bi toỏn ó cho -Tập PATƯ toán đà cho : X = x=(30-1/2, 6-3/4, 0, ) PATU có thành phần x2 =3 6-3/4 = =4 Vậy PATU cần tìm x1 = ( 28, 3, 0, 4), PATU x1 PACB (vì 8) Bi 14: Giải tốn p.pháp đơn hình f(x) = 2x1 - 4x2 + 2x3 - 7/2x4 max 2x1 + x2 - x3 + x4 = 20 -x1 - 2x2 + x4 16 2x1- 2x2 + x3 - 2x4 24 xj (j = 1, 2, 3, 4) HS CS PA (1) (2) (3) -2 x1 2 -1 x2 -2 -2 -2 x3 -1 7/2 x4 1 -2 x5 0 x6 0 1 xg1 0 1/2 -1 -1/2 1/2 0 0 3/2 -3 0 -9/2 -1/4 3/4 -3/2 0 0 1/4 14 1/2 0 xg1 x5 x6 20 16 24 -2 0 P x1 x5 x6 20 10 16 dc 0 -2 -2 -f(x) x1 x5 x3 -20 11 27 0 dc -3/2 -3 -5 -1/4 -9/4 -3/2 -1/2 2 0 -f(x) -26 -1/2 0 -3/2 a Bài toán ó cho có Pat- x* = (11, 0, 2, 0) vµ f(x)max= 26 b Xác định PATU có thành phần x4 =10 Bµi to¸n tắc tương đương tốn cho cã PAT¦ x* = (11, 0, 2, 0, 27, 0) víi f(x)max = 26, phương z4 = (1/4, 0, 3/2, 1, -3/4, 0) phương không đổi nên x() = x* + z4, 36 l cỏc phng ỏn ti u ca toán chớnh tắc tương đương tốn cho -TËp PAT¦ toán đà cho : X = x=(11+1/4, 0, 2+3/2, , 27-3/4, 0) 36 PATU có thành phần x4 =10 =10 Vậy PATU cần tìm x1 = ( 27/2, 0, 17, 10) Bài 15: f(x) = -2x1 + x2 + 2x3 + 2x4 + x5 x1 - 2x2 + 2x3 - x4 x1 + 2x2 + x3 + x4 + x5 = 10 2x1+ x2 - x3 15 xj (j = 1, …, 5) HS CS PA -2 x1 1 2 (1) (2) (3) x2 -2 2 x3 -1 x4 -1 1 x5 0 x6 0 x7 0 1 x6 x5 x7 10 15 -2 f(x) x6 x5 x1 10 1/2 5/2 15/2 0 1 -5/2 3/2 1/2 -1 5/2 3/2 -1/2 -1 -1 0 0 0 -1/2 -1/2 1/2 -2 f(x) x3 x5 x1 -25/2 1/5 11/5 38/5 0 dc -1/2 -1 1/2 -1 -2/5 0 2/5 -3/2 -1/5 0 8/5 -1/5 -3/5 1/5 -1/5 2/5 f(x) -63/5 0 -4/5 -1/5 -7/5 a Bài toán cho cã Pat- x* = (38/5, 0, 1/5, 0, 11/5) vµ f(x)min= -63/5 b Xác định PATU có thnh phn x2 =1/5 Bài toán chớnh tc tng ng tốn cho cã PAT¦ x* = (38/5, 0, 1/5, 0, 11/5, 0, 0) víi f(x)min= -63/5, phương z2 = (0, 1, 1, 0, -3, 0, 0) phương không đổi nên x() = x* + z2, 11/15 phương án ti u ca toán chớnh tc tng ng ca bi toỏn ó cho -Tập PATƯ toán đà cho : X = x=(38/5, , 1/5+, 0, 11/5-3) 11/15 PATU có thành phần x2 =1/5 =1/5 Vậy PATU cần tìm x1 = ( 38/5, 1/5, 2/5, 0, 8/5) Bài 16: Giải tốn p.pháp đơn hình f(x) = 3x1 - x2 + 3x3 – 2x4 max 4x1 - 3x2 – x3 + 2x4 34 2x1 - 2x2 + 3x3 60 2x1 -2x2 - 3x3 +4x4 32 xj (j = 1, 2, 3, 4) Đưa tốn dạng tắc xét hàm mục tiêu –f(x) min -f(x) = -3x1 + x2 - 3x3 + 2x4 4x1 - 3x2 – x3 + 2x4 + x5 = 34 2x1 - 2x2 + 3x3 + x6 =60 2x1 -2x2 - 3x3 +4x4 - x7 = 32 xj (j = 1, 2, …, 7) Lập toán phụ HS 0 P= xg3 4x1 - 3x2 – x3 + 2x4 + x5 = 34 2x1 - 2x2 + 3x3 + x6 =60 2x1 -2x2 - 3x3 +4x4 - x7 + xg3 = 32 xj (j = 1, 2,…, 7); xg3 CS PA -3 -3 x1 x2 x3 x4 x5 xg3 x5 34 -3 -1 x6 60 -2 0 xg3 32 -2 -3 4 0 x6 x7 1 0 -1 0 0 P x5 x6 x4 32 18 60 -2 2 -2 -2 1/2 -1/2 -3 1/2 -3/4 0 1 0 0 -1 1/2 -1/4 -3 -f(x) x1 x6 x4 16 48 0 -2 -2/3 -2/3 -1/6 3/2 1/6 8/3 -5/6 0 1/3 -2/3 -1/6 0 -1/2 1/6 -1/3 -1/3 -f(x) -8 2/3 5/6 -4/3 -7/6 dc a Bài tốn cho khơng giải b Xác định tập PATU có thêm rang buộc f(x) 18 Đặt g(x) = -f(x), f(x) 18 g(x) = -f(x) -18 Ta suy PA x tối ưu g(x) = -18 Từ bảng đơn hình thứ 3, ta có : PACB x* = (6, 0, 0, 5, 0, 48, 0) víi g(x*) = -8, phương z2 = (2/3, 1, 0, 1/6, 0, 2/3, 0), 2 =2/3 phương giảm vô hạn x() = x* + z2 = (6+2/3, , 0, 5+1/6, 0, 48+2/3, 0) (0 ) phương án tốn Ta có g(x()) = g(x*) - .2 -18 = -8 - .2/3 =15 Vậy PATU cần tìm tốn cho là: x = ( 16, 15, 0, 15/2) Bài 17: a Giải tốn p.pháp đơn hình f(x) = -2x1 + x2 + 2x3 + 3/2x4 + x5 x1 - 2x2 + 2x3 - x4 = 12 2x2 + x3 + x4 + x5 = 10 5/2x1+ x2 - x3 15 xj (j = 1, 2,…, 5) HS CS PA -2 3/2 x1 x2 x3 x4 g x1 12 -2 2 -1 x5 10 1 x6 15 5/2 -1 (1) (2) (3) x5 0 x6 0 1 xg1 0 P x3 x5 x6 12 10 16 1/2 dc -1/2 3 -2 -1 -1 -1/2 0 0 0 3/2 -1/2 0 -2 f(x) x3 x5 x1 16 5/2 15/2 5/2 0 dc -1 0 -1 -5/12 17/12 -1/6 0 0 -1/6 1/6 1/3 -f(x) -3/2 0 0 -5/6 -7/12 a Bài toán ó cho có Pat- x* = (7, 0, 5/2, 0, 15/2) vµ f(x)min= -3/2 b Xác định PATU có thành phần x2 =1 Bµi to¸n tắc tương đương tốn cho cã PAT¦ x* = (7, 0, 5/2, 0, 15/2, 0) víi f(x)min = -3/2, phương z2 = (0, 1, 1, 0, -3, 0) phương không đổi nên x() = x* + z2, 15/6 l cỏc phng ỏn ti u ca toán chớnh tắc tương đương tốn cho -TËp PAT¦ toán đà cho : X = x=(7, , 5/2+, 0, 15/2-3, 0) 15/6 PATU có thành phần x2 =1 =1 Vậy PATU cần tìm ca bi toỏn ó cho x1 = ( 7, 1, 7/2, 0, 9/2) Bài 18: Giải tốn p.pháp đơn hình f(x) = x1 - 2x2 + c4x4 max 2x1 + 3x2 - 4x3 -3x1 - 2x2 + x3 -3 x1 + x2 - 3x3 - x4 xj (j = 1, 2, 3, 4) a Khi c4 = -1, giải tốn p.pháp đơn hình Xác định PACB TƯ tốn PATU khơng cực biên có x4 = 10 - Đưa tốn dạng tắc xét hàm mục tiêu –f(x) min -f(x)= -x1 +2x2 + x4 2x1 + 3x2 - 4x3 + x5 = 3x1 + 2x2 - x3 - x6 =3 x1 + x2 - 3x3 - x4 + x7 = xj (j = 1, 2, …, 7) - Lập toán phụ P= xg2 2x1 + 3x2 - 4x3 + x5 = 3x1 + 2x2 - x3 - x6 +xg2 = x1 + x2 - 3x3 - x4 + x7 =6 g xj (j = 1, 2,…, 7); x HS CS PA x5 xg2 x7 -1 P x5 x1 x7 3 -1 -1 x1 xg2 3 x2 x3 1(-c4) x4 x5 x6 x7 -4 -1 0 -1 0 -1 0 1 dc 5/3 2/3 -1 -10/3 -1/3 0 0 -1 2/3 -1/3 0 0 1/3 1/3 -1 1/3 -f(x) x5 x1 x3 -1 53 15 0 dc -8/3 1 1/3 0 -1 -10 -1 -3 0 1/3 10 -f(x) -6 -3 0 0 -1 a Bài toán cã Pat- x* = (6, 0, 15, 0) vµ f(x)max= - Xác định PACB TU toán: + Bài toán chớnh tc tng ng ca bi toỏn cho cã PAT¦ x* = (6, 0, 15, 0, 53, 0, 0) víi f(x)max = 6, phương z6 = (0, 1, 1, 0, -3, 0) phương không đổi nên x() = x* + z6, 53/4 phương án tối ưu toán chớnh tc tng ng ca bi toỏn ó cho + Các PACB tối ưu toán là: = x* =(6, 0, 15, 0) = 53/4 x1 =(6, 0, 7/4, 0) - PATU có thành phần x4 = 10 x = (16, 0, 45, 10) b Với gái trị c4 tốn cho khơng giải được? Bài tốn cho khơng giải tốn hàm mục tiêu –f(x) min không giải Từ bảng đơn hình thứ ta có xj4 (jJ) nên tốn cho khơng giải 4 = 1+ c4 > c4 >-1 Bài 19: Cho toán f(x) = 2x1 + x2 + 5x3 min 3x1 + x2 – x3 (1) x1 + 2x2 + x3 (2) x1 + 2x2 +2x3 (3) xj0 ( j = 1, 2, 3) Vecto x0 = (3,0,0) a Viết toán đối ngẫu rõ cặp ràng buộc đối ngẫu ~ f ( y ) = y1 + y2 + 3y3 max 3y1 + y2 + y3 (1’) y1 +2 y2 + 2y3 (2’) -y1 + y2 + 2y3 (3’) y1 0, y2 0, y3 Các cặp ràng buộc đối ngẫu : (1) y1 (2) y2 (3) y3 x10 (1’) x20 (2’) x30 (3’) b Phân tích tính chất x = (3, 0, 0) tốn cho Nêu tính chất PATU toán đối ngẫu - Vecto x0 thỏa mãn tất ràng buộc toán nên x0 PA toán - PA x0 thỏa mãn chặt ràng buộc (1), (3) x2 0, x3 0, có ràng buộc (1), (3) x3 độc lập tuyến tính Thật : Xét ma trận 1 B 2 có B = 0 Vậy x0 PACB suy biến toán - Giả sử x0 PATU toán Do x0 thỏa mãn lỏng ràng buộc (2), x1 nên PATU toán đối ngẫu (nếu có) phải thỏa mãn chặt y2 (1’), tức thỏa mãn hệ phương trình sau y2 y2 3 y1 y2 y3 y3 y1 Hệ phương trình có nghiệm tổng quát là: y = (y1, 0, – 3y1), y1 R Thử nghiệm vào ràng buộc cịn lại tốn đối ngẫu ta được: (2’) y1 + 2(2 - 3y1) 1 5y1 y1 3/5 (3’) -y1 + 2(2 - 3y1) 5 7y1 -1 y1 -1/7 y1 y3 y1 2/3 Vecto y = (y1, 0, – 3y1) thỏa mãn tất ràng buộc toán đối ngẫu 3/5 y1 2/3 nên x0 PATU toán cho - Tập PATU toán đối ngẫu : Y = y = (y1, 0, – 3y1), 3/5 y1 2/3 Bài tốn đối ngẫu có PACB tối ưu là: + Khi y1 = 3/5 ta có PACB tối ưu y1 = (3/5, 0, 1/5) + Khi y1 = 2/3 ta có PACB tối ưu y2 = (2/3, 0, 0) Bài 20: Cho a Viết toán đối ngẫu cặp ràng buộc đối ngẫu b Véctơ x = (-1,1,1) có PACB, PATƯ khơng? Giải: a = (2’) Hai tốn có cặp ràng buộc đối ngẫu b Vecto x = (-1,1,1) PA, x thỏa mãn chặt ràng buộc (2) nên x không PACB Giả sử x PATƯ, x thỏa mãn lỏng ràng buộc (1,3) PATƯ y toán đối ngẫu phải thỏa mãn =4 thỏa mãn tất ràng buộc toán đối ngẫu nên x PATƯ ‘ ... 0 xg2 1 0 P xg1 x1 x5 -1 -1 -1 -2 -1 2 -9 -5 0 1 0 0 P xg1 x1 x3 3 0 -1 ? ?1/ 2 -1/ 2 -1/ 2 0 -9 -3/2 -1/ 2 -5/2 -3/2 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 2 0 0 -3/2 -3 -2 -4 -3/2 -3 -1 -1 1 P x2 x1 x3 f(x) 13 0 -12 -5... -3 x5 -1 -1 0 x6 x7 x8 -1 0 -1 0 1 g x xg2 0 0 0 P xg1 x2 x8 2 -2 2 -3 -2 -1 -2 -2 -1 -1 -1 0 P x7 x2 x8 1 -2 -2 -1 0 0 -3 0 -1 0 -1 f(x) 12 -7 0 -9 -5 -1 ? ?1? ?? -1 0 1 0 -1 -1 -1 1 0 0 -4 0 Bài toán... 3/2 x1 x2 x3 x4 g x1 12 -2 2 -1 x5 10 1 x6 15 5/2 -1 (1) (2) (3) x5 0 x6 0 1 xg1 0 P x3 x5 x6 12 10 16 1/ 2 dc -1/ 2 3 -2 -1 -1 -1/ 2 0 0 0 3/2 -1/ 2 0 -2 f(x) x3 x5 x1 16 5/2 15 /2 5/2 0 dc -1 0