BCKH Phân tích tĩnh kết cấu vỏ bằng phần tử vỏ phẳng có biến dạng trơn kết hợp ES+NSMITC3

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2021 15 (2V): 34–48 PHÂN TÍCH TĨNH KẾT CẤU VỎ BẰNG PHẦN TỬ VỎ PHẲNG CÓ BIẾN DẠNG TRƠN KẾT HỢP ES+NS-MITC3 Đỗ Anh Vũa , Châu Đình Thànhb,∗ a Phịng Quản lý Kiến trúc quy hoạch Hạ tầng kỹ thuật, Sở Xây Dựng Đồng Tháp, số 60 đường 30/4, Phường 1, thành phố Cao Lãnh, tỉnh Đồng Tháp, Việt Nam b Khoa Xây dựng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh, số 01 Võ Văn Ngân, Phường Linh Chiểu, TP Thủ Đức, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam Nhận ngày 22/02/2021, Sửa xong 05/04/2021, Chấp nhận đăng 15/04/2021 Tóm tắt Trong nghiên cứu này, phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp cạnh (ES) nút (NS) phần tử phát triển cho phần tử vỏ phẳng tam giác nút MITC3 Phần tử vỏ phẳng MITC3 có biến dạng cắt ngồi mặt phẳng xấp xỉ lại nên không xảy tượng khóa cắt phân tích kết cấu vỏ mỏng Các biến dạng số miền phần tử vỏ phẳng MITC3 làm trơn cách trung bình miền phần tử chung cạnh chung nút Phần tử vỏ phẳng đề xuất ES+NS-MITC3 điều chỉnh đóng góp phương pháp làm trơn biến dạng cạnh có khuynh hướng làm tăng độ cứng phương pháp làm trơn biến dạng nút có tính chất làm giảm độ cứng thông qua hệ số tỉ lệ β ∈ [0, 1] Hiệu phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 đánh giá thơng qua phân tích tĩnh số kết cấu vỏ đồng điển hình Kết so sánh độ võng kết cấu vỏ điển hình tính tốn phần tử ES+NS-MITC3 số phần tử vỏ phẳng tam giác nút tương tự cho thấy độ xác hội tụ phần tử đề xuất cải thiện Từ khố: phần tử vỏ phẳng; khóa cắt; kỹ thuật MITC3; phương pháp làm trơn biến dạng; phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp STATIC ANALYSES OF SHELL STRUCTURES USING FLAT SHELL FINITE ELEMENTS HAVING COMBINED SMOOTHED STRAINS ES+NS-MITC3 Abstract In this study, the combination of the edge-based smoothed strain (ES) and the node-based smoothed strain (NS) methods is developed for the 3-node triangular flat shell finite element MITC3 Using the MITC3 technique to interpolate the transverse shear strains independently, the flat shell finite element MITC3 overcomes the shear locking phenomenon when used to analyze thin shell structures The constant strains on each flat shell finite element MITC3 are smoothed by averaging on domains of elements having common edges and nodes The proposed flat shell finite element ES+NS-MITC3 modifies the contribution of the edge-based smoothed strain approach, which usually behaves over stiffness, and the node-based smoothed strain approach normally causing overly soft behaviors by using the scale factor β ∈ [0, 1] The effectiveness of the ES+NS-MITC3 element is evaluated by static analyses of several benchmark homogenous shell structures Comparison between numerical deflections computed by the ES+NS-MITC3 element and those provided by other similar 3-node triangular flat shell finite elements shows that the accuracy and convergence of the proposed element are improved Keywords: flat shell finite element; shear locking; MITC3 technique; smoothed strain methods; combined smoothed strain methods https://doi.org/10.31814/stce.nuce2021-15(2V)-04 © 2021 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: chdthanh@hcmute.edu.vn (Thành, C Đ.) 34 Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Giới thiệu Việc phân tích kết cấu vỏ có tầm quan trọng ngành khoa học kỹ thuật như: xây dựng, khí, hàng khơng, hàng hải, tơ, Kết cấu vỏ mỏng, nhẹ có ưu điểm chịu tải trọng tốt, khả vượt nhịp lớn có tính thẩm mỹ cao Lý thuyết vỏ đồng chia làm loại: lý thuyết vỏ cổ điển Kirchhoff –Love (CPT) lý thuyết vỏ biến dạng cắt bậc Reissner-Mindlin (FSDT) [1] Trong đó, lý thuyết vỏ cổ điển bỏ qua biến dạng cắt mặt phẳng áp dụng cho loại vỏ mỏng Đối với vỏ dày, biến dạng cắt mặt phẳng khác không nên lý thuyết vỏ biến dạng cắt bậc sử dụng Do kết cấu vỏ thường có hình dạng, điều kiện biên chịu tải trọng phức tạp nên phương pháp số, phổ biến phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH), áp dụng Khi phân tích PP PTHH [2] kết cấu vỏ thường rời rạc loại phần tử: phần tử vỏ khối chiều, phần tử vỏ chiều suy biến phần tử vỏ phẳng Trong loại phần tử phần tử vỏ phẳng, kết hợp phần tử ứng xử theo lý thuyết biến dạng cắt bậc phần tử ứng suất phẳng, thường sử dụng rộng rãi dễ thiết lập cơng thức PTHH dựa vào xấp xỉ chuyển vị tuyến tính dạng C Tuy nhiên, phân tích kết cấu vỏ mỏng, phần tử vỏ phẳng dạng C túy khơng loại bỏ biến dạng cắt ngồi mặt phẳng dẫn đến tượng khóa cắt làm cho kết tính tốn khơng xác Do đó, để phân tích kết cấu vỏ dày mỏng cơng thức PTHH vỏ phẳng dạng C phải khử tượng khóa cắt kỹ thuật xấp xỉ lại biến dạng cắt mặt phẳng kỹ thuật dạng Mindlin (Mindlin type – MIN) [3], chênh lệch biến dạng cắt rời rạc (Discrete Shear Gap – DSG) [4], thành phần ten-xơ nội suy hỗn hợp (Mixed Interpolation of Tensorial Components – MITC) [5] Đối với phần tử vỏ phẳng tam giác nút, với ưu điểm dễ dàng việc chia lưới PTHH kết cấu vỏ có hình dạng phức tạp, kỹ thuật khử khóa cắt MIN3 [3] DSG3 [4] có ma trận độ cứng phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút phần tử Trong đó, Lee Bathe [6] phát triển kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 cho phần tử vỏ chiều suy biến dạng tam giác nút có đặc điểm trội ma trận độ cứng độc lập với thứ tự đánh số nút phần tử Cơng thức biến dạng cắt ngồi mặt phẳng theo kỹ thuật MITC3 Chau-Dinh cs [7] thiết lập dạng tường minh phụ thuộc vào tọa độ nút phần tử Trong nổ lực cải thiện khả tính tốn PP PTHH thơng thường, Liu Nguyen – Thoi [8] phát triển PP PTHH trơn biến dạng cách trung bình biến dạng bên phần tử (cellbased smoothing – CS) phần tử chung cạnh (edge-based smoothing – ES) phần tử chung nút (node-based smoothing – NS) PP PTHH trơn phát triển cho phần tử vỏ phẳng tam giác nút cách kết hợp phương pháp làm trơn biến dạng phần tử (CS) cạnh (ES) nút (NS) với kỹ thuật khử khóa cắt DSG3 MITC3 Kết quả, phần tử vỏ phẳng tam giác nút CS-DSG3, ES-DSG3 NS-DSG3 xây dựng để phân tích tĩnh kết cấu vỏ đồng nghiên cứu [9–11] Tương tự, phần tử vỏ phẳng ES-MITC3 NS-MITC3 đề xuất để phân tích tĩnh kết cấu vỏ đồng [12, 13] Pham cs [14, 15] nghiên cứu ứng xử tĩnh kết cấu vỏ làm vật liệu composite nhiều lớp vật liệu phân lớp chức phần tử ES-MITC3 Các kết phân tích ứng xử kết cấu PP PTHH trơn cho thấy so với PP PTHH thông thường, phương pháp làm trơn biến dạng cạnh thường làm tăng độ cứng phần tử Ngược lại, phương pháp làm trơn biến dạng nút lại có khuynh hướng mềm hóa độ cứng phần tử Vì vậy, với mong muốn cải thiện độ hội tụ cách tận dụng đặc điểm phương pháp làm trơn biến dạng cạnh nút, phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp miền làm trơn cạnh nút hay gọi PP β-PTHH (β-FEM) nghiên cứu Nhờ hệ số β ∈ [0, 1] tỉ lệ tham gia vào độ cứng phần tử phương pháp làm trơn biến dạng cạnh nút hiệu chỉnh PP β-PTHH phát triển 35 Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng cho phần tử sử dụng kỹ thuật khử khóa cắt DSG3 [16] MITC3 [17] Nguyen-Hoang cs áp dụng phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp cho phần tử vỏ phẳng DGS3 để phân tích tĩnh dao động tự kết cấu vỏ đồng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc [18] Kết nghiên cứu cho thấy phần tử sử dụng phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp có kết nằm kết phần tử sử dụng phương pháp làm trơn biến dạng cạnh nút Dựa kết nghiên cứu phần tử tấm, vỏ có biến dạng làm trơn, từ phần tử tam giácọ3 nút ES+NS-MITC3 ệ ự [17] báo phát triển công thức PTHH vỏ phẳng tam giác nút ES+NS-MITC3 để phân tích tĩnh số kết cấu vỏ đồng điển hình Phần tử đề xuất sử dụng phương pháp làm trơn biến dạng cạnh kết hợp làm trơn biến dạng nút kỹ thuật khử khóa ế cắtảMITC3 So với phầnể tử ị ĩ ES+NS-MITC3 ộ ố ế [17], ấ cácỏ biến đồ dạng ấcủađphần ể tử đề xuấtốphải chiếu hệ trục tọa độ thiết lập cho phần tử chung cạnh chung nút trước ộ làm ố trơn ế doạậcácđư ượ ổọ trongế kếtệcấu vỏự không ầ phần tử đồng phẳng Trong phần tiếp theo, bước thiết lập cơng thức PTHH vỏ phẳng ES+NS-MITC3 trình bày chi tiết Ở phần 3, độ hội tụ ứ tử đề xuấtỏđượcẳđánh giá thông qua kết phân tích chuyển vị tĩnh số kết cấu vỏ xác phần ế ả ể ị ĩ ộ ố ế ấ ỏ đồ ấ để ố đồng nhấtộứđiển hình Cuối cùng, số kết luận tổng kết phần ố ế ậ ỏ đư ượ ẳổ ế ầ ệ ọ độ ụ ộ ẳ ấ PTHH ỏứ đồvỏ phẳng ấỏ ES+NS-MITC3 đượ ằ ầ Côngếthức ế ế ắứ ậ ấỏ ẳ ể ị ệ ọọ độđộụ ụ ộ ộ ặ ẳ 2.1 Công thức PTHH vỏ phẳng MITC3 hệ tọa độ cục ặ ế ấ ỏ đồ ầ ấử đượ đđượ đị ằ ầ Xét kết cấu vỏ đồng rời rạc phần tử tam giác nút Theo lý thuyết biến dạng ế ế ắ ậ ấ ể ị ệ ọ độ ụ ộ ặ ẳ cắt bậc  nhất,  chuyển vị   hệ tọađộ cục 0xyz với mặt phẳng 0xy trùng với mặt trung bình phần ặ ầ đđượ đị tử xác định [1]: (1)  ầ  ượ  u= u0 −  y ; ị v ẳ= v0 + zθ x ; w đ ể zθ ơ= w0 ươ x, y, z; uươ 0ơ, v0 , w0 chuyển ủ lượtặlà chuyển ể ị u,ẳv, wđ lần  ịphương ủ vịặthẳng ầ ượ vị thẳng ểtheo ẳầ ượ mặt trung bình θ x , θy góc xoay mặt trung bình quanh trục x y với chiều dương   ầư ượ ủ ặ ụể ị ẳ ủ ềặ ươ ướ qui ước Hình ụ ề ươ ướ ầ vỏ v ẳ nnút Hình Tọa độ cácc điểm buộ ộc độ điểm buộc hệ tọa độ tự Hình Phầnptử ầvỏ phẳngể tamị giác 3c nútề ươn ướHình 2.ệ Tọa đ ọ ự độ n đ ể kỹ k ộ ậ ọ độ ầ vỏ v ẳ n nhiên rst theo kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 [6] thành phần chuyển vị theo chiều dương qui ước h ọ độ ộ z h ỹ hệ ụ p ầ ị cục bộc 0xyz ề ươn ướ ệ ọ độ đ ự ậ hệểtọa độ h ọ ểđộ ị ụở ộ ứz ế g ế ặử ẳ ắ ừhệ d ắ Từ chuyểnm vị công ệ ọ dạng độ tử ε ạvàgbiến dạng cắt mặt phẳng ε s mặ ẳ thức (1), biến ụ ộ mặtầ phẳng ể ịở ε ứ ế ặ ẳ  ế ắ hệ tọa độ cục phần tử có dạng: m mặ ẳ   x  ệ ọ ε  ε   độ ụ  ộ T  ầε  ửε T ε = ε x εy γ xy = u,x v,y u,y + v,x =T εm + zεb    ε    ε  ε     ε     ε     x      36 ε   ε s         r ε        ε      ấu  ẩ y ướớ      đượ  ệ đạạ (2) Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng với εm = u0,x v0,y u0,y + v0,x ε s = γ xz γyz T T ; εb = −θy,x θ x,y − θy,y + θ x,x = u,z + w,x v,z + w,y T (3) T (4) Trong báo này, dấu phẩy ı,  dùng cho ký hiệu đạo hàm Các thành phần chuyển vị cục u0 , v0 , w0 , θ x , θy mặt trung bình phần tử xấp xỉ sau [19]: (5) NI uI u0 = I=1 T T đó, u0 = u0 v0 w0 θ x θy ; uI = u0I v0I w0I θ xI θyI chuyển vị cục nút I có chiều dương qui ước Hình 1; NI hàm dạng tuyến tính dạng C xác định hệ tọa độ tự nhiên rst: N1 = − r − s; N2 = r; N3 = s (6) Từ xấp xỉ chuyển vị cục mặt trung bình cơng thức (5), biến dạng màng εm , biến dạng uốn εb biến dạng cắt ngồi mặt phẳng ε s cơng thức (3) (4) xác định: 3 BmI uI ; εm = (7) BbI uI εb = I=1 I=1 (8) B sI uI εs = I=1 với BmI , BbI , B sI ma trận quan hệ biến dạng chuyển vị nút phần tử có dạng     0 0   NI,x  0 0 −NI,x       BmI =  NI,y 0  ; BbI =  0 NI,y     NI,y NI,x 0 0 0 NI,x −NI,y B sI = (9) 0 NI,x −NI 0 NI,y NI (10) Gọi (x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) (x3 , y3 ) tọa độ nút 1, 2, phần tử hệ tọa độ cục 0xyz Hình định nghĩa a = (x2 − x1 ) , b = (y2 − y1 ) , c = (y3 − y1 ) , d = (x3 − x1 ) , Ae diện tích phần tử Đạo hàm hàm dạng NI theo biến x, y biểu diễn dạng tường minh phụ thuộc tọa độ nút phần tử sau: N1,x = b−c ; 2Ae N1,y = d−a ; 2Ae N2,x = c ; 2Ae N2,y = −d ; 2Ae N3,x = −b ; 2Ae N3,y = a 2Ae (11) Biến dạng cắt ngồi mặt phẳng ε s tính trực tiếp từ xấp xỉ chuyển vị công thức (8) không tiến phân tích kết cấu vỏ có chiều dày mỏng dần Kết phần tử vỏ phẳng tam giác nút bị tượng khóa cắt sử dụng để phân tích kết cấu vỏ mỏng Để khắc phục tượng khóa cắt Lee Bathe [6] phát triển kỹ thuật khử “khóa cắt” MITC3 cách xấp xỉ lại biến dạng cắt ngồi mặt phẳng hàm thơng qua điểm buộc hệ tọa độ tự nhiên sau: ε˜ rt = ε(1) rt + cs; ε˜ st = ε(2) st − cr với 37 (1) (3) (3) c = ε(2) st − εrt − ε st + εrt (12) Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (2) (3) (3) đó, ε(1) rt , ε st , εrt , ε st giá trị biến dạng cắt mặt phẳng tính theo cơng thức (8) điểm buộc (1), (2), (3) có tọa độ Hình e˜ rt = e(1) rt + cs; (13) e˜ st = e(2) st − cr (1) (3) (3) c = e(2) st − ert − e st + ert Dùng công thức biến đổi biến dạng từ hệ tọa độ tự nhiên rst sang hệ tọa độ cục xyz sử dụng điểm Gauss để tính tốn, biến dạng cắt ngồi mặt phẳng xấp xỉ theo kỹ thuật MITC3 biểu diễn lại theo chuyển vị nút phần tử sau: ε MITC3 s (14) B MITC3 uI sI = I=1 2Ae = 2Ae = 2Ae B MITC3 = s1 B MITC3 s2 B MITC3 s3 (b − c) (b + c)/6 0 b−c Ae + (d − a) (b + c)/6 0 d − a −Ae − (b − c) (a + d)/6 − (d − a) (a + d)/6 0 c −bc/2 + c (b + c)/6 ac/2 − d (b + c)/6 0 −d bd/2 − c (a + d)/6 −ad/2 + d (a + d)/6 0 −b bc/2 − b (b + c)/6 −bd/2 + a (b + c)/6 0 a −ac/2 + b (a + d)/6 ad/2 − a (a + d)/6 (15) Thế công thức (7) (14) vào phương trình cơng ảo, ma trận độ cứng phần tử vỏ phẳng MITC3 hệ trục tọa độ cục xác định: T e T e MITC3 T Ae Ke,loc D s B MITC3 sJ I J = BmI Dm BmJ A + BbI Db BbJ A + B sI (16)   ν Eh  ν Dm =  − ν2  0     ; D = b − v  12 kh E Ds = 2 (1 + ν) h + αhe Eh3 − v2 0   v  v   0 0 1−v     ;  (17) với E, ν mô-đun đàn hồi hệ số Poisson vật liệu, h chiều dày vỏ, k = 5/6, he chiều dài lớn cạnh phần tử α = 0, hệ số ổn định [20] 2.2 Công thức PTHH vỏ phẳng MITC3 hệ tọa độ toàn cục Gọi U I = [U I VI WI θXI θY I θZI ]T chuyển vị nút I hệ tọa độ toàn cục 0XYZ Quan hệ chuyển vị nút uI hệ trục tọa độ cục 0xyz chuyển vị nút UI hệ trục tọa độ toàn cục 0XYZ cho bởi: uI = TUI (18)      T =     n xX n xY nyX nyY nzX nzY 0 0 0 n xZ 0 nyX 0 nzZ 0 n xX n xY nyX nyY nzX nzY 38 0 n xZ nyZ nzZ           (19) Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng với (n xX , n xY , n xZ ) , nyX , nyY , nyZ , (nzX , nzY , nzZ ) cosin phương trục x, y, z hệ trục tọa độ toàn cục 0XYZ Thế (18) vào (7) (14), quan hệ biến dạng chuyển vị nút phần tử hệ trục tọa độ toàn cục xác định: 3 BmI TUI ; εm = I=1 I=1 I=1 (20) B MITC3 TUI sI ε MITC3 = s BbI TUI ; εb = Kết quả, ma trận độ cứng phần tử vỏ phẳng MITC3 hệ trục tọa độ tồn cục có dạng: (21) KeIJ = TT Ke,loc IJ T Công thức (16) cho thấy thành phần ma trận độ cứng phần tử vỏ phẳng MITC3 hệ tọa độ cục liên quan bậc tự θzI Vì vậy, ma trận độ cứng kết cấu, thành phần liên quan đến bậc tự θzI nút kết nối phần tử đồng phẳng 0, tức ma trận độ cứng kết cấu bị suy biến Để khắc phục tượng này, vị trí liên quan bậc tự θzI , giá trị 10−3 lần giá trị lớn thành phần đường chéo ma trận độ cứng phần tử thêm vào [20] 2.3 Công thức PTHH vỏ phẳng ES+NS-MITC3 Các ma trận quan hệ biến dạng chuyển vị nút phần tử vỏ phẳng MITC3 cho ọ ệ miền ự phần tử phụ thuộc vào tọa độ nút phần tử Kết quả, số công thức (9) vàạ (15) trường biến dạng phần tử vỏ phẳng MITC3 không liên tục Để giảm chênh lệch biến dạng k này, biến dạng làm tử chung ả phần ứ tử ấ ươ trơn miền ế phần ề cạnh Ω đị đES chung nút k k ΩNS Các kết quảđ nghiên cứuốcho thấy,ủ phương pháp làm trơn ủbiến dạng miềnạΩES xác định ẳ ọ ầ đoạn thẳng nối ướ nút ăcạnhđộộvớiứ trọng ượ tâm ạcủa 2ươphần tử chungơcạnhế có ạkhuynh hướng làm tăng độ cứng Ngược lại,ớphương phápđ làm trơn biến dạngđ ểtrên miền ΩkNS giới hạn đoạn thẳng ề  ẳ ố ọ ủ nối trung điểm cạnh với trọng tâm phần tử chung nút làm mềm độ cứng Vì vậy, ầ ẽ ề độ ứ ậ ứ ế nghiên cứu biến dạng làm trơn miền kết hợp gồm phần bao quanh nút để tạo thành đượ k ề ế ợ ầ để ề ˆ miền làm trơn nút Ω NS phần lại chung cạnh phần tử miền làm trơn cạnh ầ ạ ữ ầ ề ¯ k [18] Hình 3. Ω ES  N ủ ầ  ọ ủ ầ tử ỏ ẳ g ầ Hình Miền làm trơn biến dạng kết hợp cạnh (ES) nút (NS) kết cấu vỏ nbằng ủ ế H ề rời rạcơn ế gphần ế tửợ vỏtr t phẳng tam E giác nnút ấ vvỏ đượ Đ Để đ ề ĩ n ằ ĩ l ê  ỉ ỉ ệ ữ ề đđị ỉ ệc ề tươ ứ n ằ  39 r ề l ươ ứ t ệu u hầ h m r ằ rrở ạnn mề ỉ   ệ ố  đư ượ đị mề   ề Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Để điều chỉnh tỉ lệ miền làm trơn, hệ số hiệu chỉnh β ∈ [0, 1] định nghĩa nhằm xác ˆ k Ω ¯ k Nghĩa là, β = tương ứng với định tỉ lệ chiều dài cạnh phần tử tham gia vào miền Ω NS ES miền làm trơn cạnh trở thành miền làm trơn nút hoàn toàn; β = tương ứng với ˆ k có diện tích miền làm trơn cạnh hồn tồn Khi đó, miền Ω NS (22) Aˆ kNS = (1 − β2 )AkNS ¯ k có diện tích: miền Ω ES (23) A¯ kES = β2 AkES cạnh diện tích miền làm trơn túy nút k ¯ Do miền làm trơn ΩES cạnh k gồm phần tử vỏ phẳng không đồng phẳng nên biến dạng định nghĩa hệ trục tọa độ cục oxyz phần tử biến đổi thành biến dạng hệ trục tọa độ cục o˜ x˜y˜ z˜ chung phần tử trước áp dụng phương pháp làm trơn Hệ trục tọa độ cục o˜ x˜y˜ z˜ định nghĩa trục o˜ x˜ trùng với cạnh chung, trục o˜ ˜ z có véc-tơ phương tổng véc-tơ pháp tuyến phần tử chung cạnh trục o˜ ˜ y tạo với trục o˜ x˜, o˜ ˜ z thành tam diện ⌣⌣⌣⌣ ˆ k thuận Tương tự, hệ trục tọa độ cục o x y z chung cho phần tử miền làm trơn Ω NS ⌣⌣ ⌣⌣ nút k thiết lập có trục o x theo phương cạnh phần tử đầu tiên, trục o z có véc-tơ phương ⌣ ⌣⌣ ⌣⌣ ¯ k trục ⌣ o y tạo với trục o x trục o z tổng véc-tơ pháp tuyến phần tử miền Ω NS thành tam diện thuận Các biến dạng phần tử vỏ phẳng MITC3 hệ tọa độ cục oxyz chuyển sang hệ tọa ⌣⌣⌣⌣ độ toàn cục 0XYZ cuối chuyển sang hệ trục tọa độ cục o˜ x˜y˜ z˜, o x y z miền làm trơn ¯k ,Ω ˆ k sau [10, 19]: Ω ES NS với AkNS ΩkNS AkES ˜ m1 Rm2 εm ; ε˜ m = R ⌣ ⌣ εm = Rm1 Rm2 εm ; ˜ b1 Rb2 εb ; ε˜ b = R ⌣ ⌣ εb = Rb1 Rb2 εb ; ΩkES (24) ˜ s1 R s2 ε MITC3 ε˜ MITC3 =R s s ⌣ MITC3 εs ⌣ (25) = R s1 R s2 ε MITC3 s đó, ma trận chuyển hệ tọa độ xác định ˜ m1 = R ˜ b1 R ⌣ Rm1    =   n2x˜ X n2y˜ X 2n x˜ X ny˜ X n2x˜Z n2y˜Z 2n x˜Z ny˜Z n x˜ X n x˜Y ny˜ X ny˜Y n x˜ X ny˜Y + ny˜ X n x˜Y n x˜Y n x˜Z ny˜Y ny˜Z n x˜Z ny˜Y + ny˜Z n x˜Y n x˜ X n x˜Z ny˜ X ny˜Z n x˜ X ny˜Z + ny˜ X n x˜Z  n x˜ X nz˜Z + nz˜X n x˜Z   ny˜ X nz˜Z + nz˜X ny˜Z   ˜ s1 =  2n x˜ X nz˜X 2n x˜Y nz˜Y 2n x˜Z nz˜Z n x˜ X nz˜Y + nz˜X n x˜Y n x˜Z nz˜Y + nz˜Z n x˜Y R 2ny˜ X nz˜X 2ny˜Y nz˜Y 2ny˜Z nz˜Z ny˜ X nz˜Y + nz˜X ny˜Y ny˜Z nz˜Y + nz˜Z ny˜Y   n2⌣ n2⌣ n2⌣ n⌣x X n⌣xY n⌣xY n⌣xZ xX xY xZ  ⌣ 2  n⌣ n⌣ n⌣ n⌣y X n⌣y Y n⌣y Y n⌣y Z = Rb1 =  yX yY yZ  2n⌣x X n⌣y X 2n⌣xY n⌣y Y 2n⌣xZ n⌣y Z n⌣x X n⌣y Y + n⌣y X n⌣xY n⌣xZ n⌣y Y + n⌣y Z n⌣xY   2n⌣ n⌣ xX z X R s1 =  2n⌣y X n⌣z X ⌣ n2x˜Y n2y˜Y 2n x˜Y ny˜Y 2n⌣xY n⌣z Y 2n⌣y Y n⌣z Y 2n⌣xZ n⌣z Z 2n⌣y Z n⌣z Z Rm2 = Rb2 n⌣x X n⌣z Y + n⌣z X n⌣xY n⌣y X n⌣z Y + n⌣z X n⌣y Y   n2xX   n xY  n2xZ =   2n xX n xY   2n xY n xZ 2n xX n xZ n2yX n2yY n2yZ 2nyX nyY 2nyY nyZ 2nyX nyZ 40 n⌣xZ n⌣z Y + n⌣z Z n⌣xY n⌣y Z n⌣z Y + n⌣z Z n⌣y Y n xX nyX n xY nyY n xZ nyZ n xX nyY + n xY nyX n xY nyZ + n xZ nyY n xX nyZ + n xZ nyX (26) (27) n⌣x X n⌣xZ n⌣y X n⌣y Z n⌣x X n⌣y Z + n⌣y X n⌣xZ n⌣x X n⌣z Z + n⌣z X n⌣xZ n⌣y X n⌣z Z + n⌣z X n⌣y Z                      (28)    (29) (30) Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng R s2  n xX nzX nyX nzX   n n nyY nzY xY zY   n xZ nzZ nyZ nzZ =   n xX nzY + n xY nzX nyX nzY + nyY nzX   n xZ nzY + n xY nzZ nyZ nzY + nyY nzZ n xX nzZ + n xZ nzX nyX nzZ + nyZ nzX           (31) với (n x˜ X , n x˜Y , n x˜Z ) , ny˜ X , ny˜Y , ny˜Z , (nz˜X , nz˜Y , nz˜Z ) , n⌣x X , n⌣x Y , n⌣x Z , n⌣y X , n⌣y Y , n⌣y Z , n⌣z X , n⌣z Y , n⌣z Z cosin phương trục x˜, y˜ , z˜, x, y, z hệ trục tọa độ toàn cục 0XYZ Theo PP PTHH trơn [8], biến dạng phần tử vỏ phẳng MITC3 làm trơn miền ¯ k Ω ˆ k sau: Ω ES NS ⌣ ⌣ ⌣ ε¯ km = εˆ km = ¯ AkES ε˜ m dΩ; ε¯ kb = ¯k Ω ES Aˆ k ⌣ εm dΩ; εˆ kb = NS ˆ k ΩNS ¯ AkES ε˜ b dΩ; ε¯ ks = ¯k Ω ES Aˆ k ⌣ εb dΩ; εˆ ks = NS ˆ k ΩNS ¯ AkES ε˜ MITC3 dΩ s (32) ⌣ MITC3 (33) ¯k Ω ES Aˆ k εs dΩ NS ˆ k ΩNS Thế biến dạng cho công thức (7), (14), (24) (25) vào biến dạng trơn công thức (32) (33), ta k NES Ae β2 e=1 ε¯ km = β AkES ε¯ kb = k AES εˆ km k NES e=1 = − β2 AkNS εˆ kb = AkNS k NES ¯ k Ω ˆk Ω ES NS k NNS e=1 Ae k NNS Ae 3 ˜ m1 Re Be ue = R m2 mI I AkES I=1 ˜ b1 Re Be ue ; R b2 bI I I=1 k NNS 1−β e=1 ⌣ Ae 3 ⌣ Rm1 Rem2 BemI ueI I=1 Rb1 Reb2 BebI ueI ; I=1 ε¯ ks = k AES εˆ ks = AkNS k NNS e=1 k NES e=1 k NES e=1 Ae Ae = k ANS Ae 3 ˜ m1 Re Be ue ; R m2 mI I I=1 (34) ˜ s1 Re B MITC3,e ue R I s2 sI I=1 k NNS e=1 Ae 3 ⌣ Rm1 Rem2 BemI ueI ; I=1 (35) ⌣ R s1 Res2 B MITC3,e ueI sI I=1 số phần tử chung cạnh chung nút miền làm trơn biến dạng Từ quan hệ cho công thức (34) (35), ma trận độ cứng phần tử vỏ phẳng MITC3 có biến dạng làm trơn miền kết hợp cạnh (ES) nút (NS), tức độ cứng phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3, hệ tọa độ tồn cục 0XYZ có dạng: ,loc ,loc +NS T + KINS KIES = TT KIES J J J (36) ,loc ¯ TmI Dm B¯ mJ + B¯ T Db B¯ bJ + B¯ MITC3 T D s B¯ MITC3 β2 Ak = B KIES ES sI sJ bI J (37) ,loc ˆ TmI Dm B ˆ mJ + B ˆ T Db B ˆ bJ + B ˆ MITC3 T D s B ˆ MITC3 = B KINS sI sJ bI J 41 − β2 AkNS (38)         Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng   ¯ mI B = k AES k NES e=1 ¯ MITC3 = B sI AkES ˆ mI B = k ANS k NNS e=1 Ae ˜ e e ; B¯ bI = k Rm1 R  m2 BmI AES  k NES e=1 ˆ MITC3 B sI Ae  ˜ s1Re B MITC3,e R s2 sI  ụ ố Ae ⌣ Rm1đ Rem2 BemI ; Để 3Đ Nk Các ví dụ số   với ể ị ủ k NES Ae ˜ Rb1 Re BebI ;  b2   e=1  (39)  Nk ầ NS Ae ⌣ ˆ bI = B Rb1 Re Be ; ệ AảkNS ủe=1 3ầ b2ỏ bI ẳ ẽ đượ ả NS Ae ⌣ R s1 Re B MITC3,e = k ANSế e=1ấ ỏ đ ể s2 sI ự đổổ đế đề ế ả ủ ả ầ ể ả ệ ố ỏ ẳ ệ ấ (40)ầ ả ị ỉ ỉ ệ ầ ầ đề ủ đưượ ọ ấ vỏả phẳng đềụ xuất, phần kết chuyển vị phần Để đánh giá hiệu phần tử tử ES+NS-MITC3 so sánh vớiỏ phần tử ES-MITC3 [12], NS-MITC3 ị ả ọ [13],ảES+NS-DSG3 [18] lời giải tham khảo phân tích tĩnh số kết cấu vỏ điển hình Dựa kết so sánh chuyển ế từ 0ấ đến ỏ1 vớiạlời giải tham khảo, hệ số hiệu chỉnh tỉ lệ thamươ vị cho phần tử đề xuất β thay đổi gia miền làm trơn cạnh và nút phần    tử vỏ phẳng    ES+NS-MITC3  chọn β =ế0,9 ộ đầ cho tất ví dụ đầ ự ị ọ 3.1 Vỏ hyperbolic paraboloid chịu ề thân ỏ tải trọng ượ ợ ả ươ đđặ ậ ệ   Kết cấu vỏ dạng hyperbolic paraboloid [21] có phương trình hình học Z = X − Y , X ∈ [−0,5; 0,5] m Y ∈ [−0,5; 0,5] m, liên kết đầu ngàm đầu tự do, chịu trọng lượng thân q = 8000 N/m3 theo phương Z Hình Vỏ có chiều dày h = 0,001 m, đặc trưng vật liệu E = × 1011 N/m2 , ν = 0,3 Vỏ mơ hình lưới NX × NY × với NX = NY = 8, 12, 16, 20 24 số phần tử ọcc 4.đHình ề khọc ệ điều ủkiện biên ỏ e vỏ p cạnh theo phương X phương Y Với các4 Hình hyperbolic paraboloid lưới phần tử NX = NY = 16, 20 24, chuyển vị thẳng điểm C vỏ hyperbolic paraboloid cho phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 với giá trị hệ số tỉ lệ β thay đổi từ đến thể Hình So với kết tham khảo 0,0064 m [21], Hình cho thấy với hệ số tỉ lệ β từ 0,7 đến 0,9 phần tử đề xuất cho kết tốt cho loại lưới khảo sát NX = NY = 16, 20 24 Khảo sát tương tự với hệ số tỉ lệ β từ 0,7 đến 0,9 cho ví dụ khác nghiên cứu cho thấy với hệ số tỉ lệ β = 0,9 phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 cho kết gần với lời giải tham khảo Vì vậy, hệ số tỉ lệ β = 0,9 chọn để tính tốn chuyển vị phần tử đề xuất cho ví dụ số báo Kết chuyển vị theo phương Z điểm C (X = 0,5 m; Y = m) tính phần tử ES+NSMITC3, phần tử khác lời giải tham khảo [21] trình bày Bảng 42  ướ  ả ả ụ ứ ỏ ẳ ệ ố ỉ ệ  ụ ố ươ ế đượ ấ ả ầ ọ để ể ệ ố ỉ ệ  ự ớ ị ằ ệ ố ỉ ệ  ả ầ ả ầ đđề đế ậ ấ ấ Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng ể ị ẳ m đ ểm m ủ ỏ o đượ đị Hình Chuyển vị thẳng (m) điểm C vỏ hyperbolic paraboloid xác định lưới ần ỏvà hệẳnsố tỉ lệ β Sthay đổi từ đến NX = NY =ằ 8, 16, 24ướ phần tử= vỏ phẳng ES+NS-MITC3 ệ ố ỉ ệ  đ đến n đổ n MITC3 ế qtửảvỏ phẳng ển ị ẳ đ ể trơn ủ nút ỏ (NS-MITC3) l đượcạ làm cho kết chuyển Bảng choảthấy phần vị lớn làm trơn cạnh (ES-MITC3) Phần tử MITC3 làm trơn kết hợp (ES+NS-MITC3) có ế ướ ần n ả phần tử chuyển vị nằm giá trị tính phần tử ES-MITC3 NS-MITC3, gần với kết ầ ọ ệ ự ọ ệ ự ES-MITC3 hệ số hiệu chỉnh β = 0,9 Khi lưới phần tử mịn dần phần tử ES+NS-MITC3 cho kết  ệ ự     2   ọ ố ả hội tụ đến lời giải tham khảo với độ xác phần tử loại sử dụng kỹ thuật khử khóa S cắt DSG3 (ES+NS-DSG3) ếảể ảị ể ịể ươị ươ ạươđ ểạ đ ểạ để     ằ ế ảế   ằ ằ Bảng Kết chuyển vị thẳng (m) điểm C vỏ hyperbolic paraboloid ả đượ ầ ầ ửầ ầ ầ ầ ửờ ảờ ảờ ảả ả đượ I đượ ả ả ả Lưới phần tử % Kết S Loại phần tử ấ ầ ỏ ẳ đượ ả ả ấ ầ ỏ ẳ đượ sai số tham khảo ầ ỏ 16×16×2 ẳ đượ ả 8×8×2ấ 12×12×2 20×20×2 24×24×2 ếảể ảị ểớ ị ểơớ ị ơớ ơ ơ ạ ế ảế ầ ửầ ầ ES+NS-DSG3 0,0075 0,007 0,0068 0,0068 0,0067 4,69 ợ ị ằữ ị ữ ị ị ởầ ửầở ầ ế ợ ếơ ợế 0,0064 ị ể ằ ị ể ằữ0,0063 ES-MITC3 0,0063 ể 0,0063 0,0063 1,56 ớủ ảế ầủ ảử ầủ0,0069 ệ ỉ ầ ế ớầ ảế0,0071 ệ ố ệệ 6,25 ầ 0,0068 ố ệệỉ ố ỉ0,0064 NS-MITC3 0,0083 ầ 0,0074 ầ ầ ầ 0,0063 ế đế ộ ụ đế ES+NS-MITC3 0,0066 ầớ ửướ ế ảế ộ 1,56   ướ ướ ầ ị 0,0064 ầầ ị ầ ị ầ 0,0064 ảụ ộ ảụ đế 0,0063 ắ ảờ ắ ảờ ảả ắG ảđộ ớả độớ độ S-DSG3) (a) trráiướ rướ r (a)Lưới Lưới trái ốn ả ầơ ơầ ầ ử ạụ ạụỹ ậỹụ Lướ ướ ả L loại Lưới phải loại l 1ả1l (b)(b)L Lưới phải ưướ ửậỹ ửậ (c) loại2 ạưới ả (c)Lư ưướ ả phải loại Lưới phải đ đ ỏ ỏr6 ỏ r a r a đượợa đượợ đượợ ằ h ằ h ằ ầ ử ầớ ầớ đồ đử đơớđồ đ đồ Hình Vỏ hyperbolic paraboloid mơ hình 8×8×2 phần tử ố nầ ốửnầ ầ uử L ả Lướ o ả ướ u ướ u ưới ướiướ Lướ ả Lướ ạả ả oạ Lạ ả oạ oạ ướ với sơ đồ đánh số nút phần tử khác ả ế 2ả ả ếc2 ảếể c ịảtểcẳ ị ểt ẳ ị ạt ẳđ ểttạ đ ểttạủ đC ỏể ủ C ỏ ủ p ỏ p ằ g ướ h đố ầh t ốử ầ t ầ ằ g ướ   ớơ đồớsđơ đồsđơố đồ ằ g  ướ 43 ố ầ t pốử ầ t pử ầ đồ đồ đá ơố đồ đá ầ ầạ ầ a m Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Bảng Kết chuyển vị thẳng (m) điểm C vỏ hyperbolic paraboloid mơ hình lưới 8×8×2 với sơ đồ đánh số nút phần tử khác Sơ đồ đánh số nút phần tử Loại phần tử ES+NS-DSG3 ES+NS-MITC3 (a) (b) (c) 0,0075 0,0066 0,0072 0,0066 0,0076 0,0066 Để kiểm tra khả tính tốn phần tử ES+NS-MITC3 không phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút, kết cấu vỏ hyperbolic paraboloid đánh số nút theo sơ đồ khác với lưới 8×8×2 phần tử Hình Giá trị chuyển vị điểm C tính phần tử ES+NS-MITC3 trường hợp đánh số nút phần tử khác so sánh với phần tử ES+NS-DSG3 Bảng Bảng cho thấy kết tính tốn phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 không phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút phần tử Ngược lại, phần tử vỏ phẳng ES+NS-DSG3 cho kết tính tốn phụ thuộc vào cách đánh số phần tử kỹ thuật khử khóa cắt DSG3 khơng có tính đẳng khơng gian 3.2 Vỏ trụ chịu tải trọng tập trung ọ ệ ự Vỏ trụ có ạbán kính R =ọ 300 m, dàiệ L = 600 ự m dày h = m Hình 7(a) chịu tải trọng tập trung P = kN Vỏ chịu liên kết màng ngăn cứng đầu (U = W = 0) Vật liệu làm vỏ có E = × 106 kN/m2 ν = 0,3 [22] ậ ệ ỏ  ỏ  ậ ệ    ọện biên đ ề vàệtảải trọng ả (a) Hình họọc, điều (a) Hình học, điềukiệ kiện biên tải trọng ọ b)Lưới tử tam ướ  88 ầ82tử ửphần (b) (b Lưới 8×8×2 phần tam giác nút mô g 1/8 vỏ trụ ỏ ụ c7 ị ỏả ụậc ị ả ậ ọ đ ề ọ ệ đ ề ệ bả ọ ả ủ ọ ỏ ủụ ỏ ụ Hình Vỏ trụ chịu tải tập trung ầ 3 ỏ hỏ h ỏ ụ ỏ ụ ướ   ướ ầ ử Do tính chất đối xứng, 1/8 vỏ rời rạc lưới 8×8×2, 12×12×2, 16×16×2, 20×20×2 24×24×2, tương đương 128, 288, 512, 800 1152 phần tử Hình 7(b) minh họa trường hợp lưới 8×8×2 phần tử Chuyển vị theo phương vị trí đặt lực tập trung vỏ trụ phân tích phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 sử dụng lưới có số phần tử tăng dần thể Hình Kết chuyển vị Hình cho thấy phần tử đề xuất ES+NS-MITC3 hội tụ đến lời giải tham khảo 1,8248×10−5 m [22] lưới phần tử mịn dần có độ xác tốt phần tử ES+NS-DSG3 Trong ví dụ này, phần tử đề xuất có đường hội tụ chuyển vị nằm so với kết cho phần tử ES-MITC3 nằm phần tử NS-MITC3 nằm 44 ọ đề ệ ả ọ ướ   ầ ỏ ụ ị ả ậ ọ đề ệ ả ọ Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (b) Lưới 88 2 phần tử tam giác nút mô ph hỏng 1/8 vỏỏ ụ ủ ỏ ụ vị tríạ đặtịlực tập xácỏ định ụ đượ đị vỏ phẳng ằ ES+NS-MITC3 ầ ỏ đặ trung ự ập vỏ trụ ợ phần tử Hình Chuyển vị ểtại vị ph ọ ệ ự phần tử tham khảo ứng với số phần tử tăng dần N ầ ả ứ ố ầ ă ầ hẳ D ọ ấ ệđố ứự g ỉ vvỏ đượ ằ g ướ     ằ  ữ ả  ở ươn ầ đươ ằ ướ ầ ớ ế ầ 9(a) Vỏ panel cầu liên kết tựa đơn cạnh chịu tải trọng tập trung P = 454 N Hình ằ ằ ữ ế họ ầ ợ ướ ườ 8  ằ ầ ướử yể yầ ị ươ Các ị thông số hình học vật liệu vỏ panel sau: chiều dài L = 0,4 m, bán kính phương R = 2,4 ằ đặỏ dày lự hậ= 2,54 2vỏvà hệẳsố Poisson ν = 0,3 [23].ử ầ n mm, ị ủ mô-đun ả ỏ tọụ đànậ hồiâE = 703,7ằ × 1010ầ N/m m, chiều ầ đư ượ ể ệ H ế ả ể ịở ướ ầ ỏụ ị ố ảp ầ ọ ậă ầ đề ấ E I ộ ụ đế ả ả  ướ ầ ị ầ độ ố ầ S T ần đề ấ đườn ộ ụ ủ ể ị ũ ụ 3.3 Vỏ panel cầu chịu tải trọng tập trung ((a)(a)Hình ọc, biênvà vàtảitảitrọng i trọng Hìnhhọ học,điều điều kiện kiệnn biên (ỏ ọ ịđ ềả ậện n n e ầ ướ (b) Lưới  8×8×2 ầ ửphần tử tam giác nút mô 1/4 vỏ2panel ướ ệ ả  ọ ủ ầcầu a n ọ đ ều ệ ỏ n ả ọn n ủ ải n ọ ọ đ ề  n ầ ỏị ả eập ầr ị Hình ả ưướậ9 Vỏ panel cầu chịu tải tập trung ầ ướ ỏp n ầ ị ả ập r vvỏ   ầ a n ỏ Vì tính chất đối xứng kết cấu, 1/4 vỏ cầu panel mơ hình để tính tốn chuyển vị thẳng ầ ế tự V Vỏ vvỏc ị ả ọầ ậ ỏp n ầ vị trí đặt lực xác h tập trung ố n Độọchínhvvậ ệ tốc ủ độỏhội tụ củaưphần tử đề ề xuất khảo sát cách V Vỏ b n   b n ả  ầ ế tự c ị ả R m ề d h ệ ốố n o ọ  vvậ 45 ệ ủ ỏ p ươ R m ề d p ươ N ết  ả N ể ị để ẳ g  ệ ố ướ o  h hầ đặ ự ủ ọn n tậ đ l đ ỏ n c ề đ ầ ế ả L đ Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng tính chuyển vị sai số tương đối chuyển vị so với giá trị tham khảo 1,0×10−5 m [23] vỏ cầu panel rời rạc lưới mịn dần từ 8×8×2, 12×12×2, 16×16×2, 20×20×2 đến 24×24×2 phần tử Hình 9(b) minh họa lưới 8×8×2 phần tử tam giác nút Kết chuyển vị thẳng điểm đặt lực cho phần tử ES+NS-MITC3 phần tử khác ứng với lưới khác trình bày Bảng Bảng Kết chuyển vị thẳng (×10−5 m) điểm đặt lực vỏ panel cầu Lưới phần tử Loại phần tử 8×8×2 12×12×2 ES+NS-DSG3 1,0194 1,0292 ọ 0,9328 ệ 0,9696 ự ES-MITC3 NS-MITC3 1,3335 1,2045 ES+NS-MITC3 0,9559 0,9873 ầ ầ 16×16×2 20×20×2 24×24×2 1,0273 0,9834 1,1382 0,9967 1,0235 0,9895 1,1002 0,9999 1,0199 0,9926 1,0765 1,0010 ứ ướ Kết tham khảo 1,0 đượ ợ ả n xác tốc ốđộ độ t ụ chuyển ủ ytại vị ịtríạđặtvịlực tập đặ trung ựcc ậ vỏ cầu panel ủ ỏ Hình110 Độ Độ hội tụộcủa vịyể ccầ c bởiởbằngằnphần tử ầ ES+NS-MITC3 Mvà phần c tử tham ầ khảo ả cho ểuu H ễ ệ a ữ s ố ươn n đố ủ c ể ị ẳ để đặ Hình 10 biểu diễn quan hệ sai số tương đối chuyển vị thẳng điểm đặt lực tập trung tọa độ tử ự ập c tửề hệ ầ tlogarit ệ xác ọ độ x đị ằ chiều dài cạnh phần địnhgbằngđượ phần tử ES-NS-MITC3, S N trơn biến Ndạng M ES+NS-DSG3 N pháp làm kếtươhợp cạnh ầ NS-MITC3 ES-MITC3, Nhờ phương nút, g tụợpvà độ, trường ế hợp ạnn này, ế phần ợp tử ES+NS-MITC3 h rcó tốc độ ườhội ầ xác tốt phần tử sử dụng phương pháp làm trơn cạnh nút ES-MITC3 NS-MITC3 Cùng ầ hỉ tố độ ộ ụ độ đ x tố h ụ ươ phương tử đề xuất ặsử dụng kỹ pháp ê làm trơn ặkết hợp t ưphầnM T thuật khử khóa ươcắt MITC3 có độ xác tốc độ hội tụ vượt trội phần tử ES+NS-DSG3 ế ợ ưn ầ đề ấ ụ tố độ ộ tụ ượ ộ ầ ửE ế ỹt ậ S ửk ắ M độ đ ậ r ể đểể đượ h ế ậ ấ ỉc ể h ĩ ự ịt ế ầ ế ỏ phhẳ g 46 ỏ đồồ ấ C h ế ế ắ bậ b K Kỹ ậ h ấ E ứ ấ ủ ắ I đ đư ượ ầ đề eer vvớ đ ể ấ Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Kết luận Trong báo này, phần tử vỏ phẳng tam giác nút ES+NS-MITC3 phát triển để phân tích tĩnh kết cấu vỏ đồng Cơng thức PTHH phần tử đề xuất thiết lập dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc Reissner-Mindlin hàm xấp xỉ chuyển vị tuyến tính dạng C Kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 với ưu điểm không phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút phần tử sử dụng để xấp xỉ lại biến dạng cắt mặt phẳng Các biến dạng phần tử ES+NS-MITC3 làm trơn miền kết hợp phần tử chung cạnh chung nút Kết phân tích chuyển vị vài kết cấu vỏ cong theo phương chịu tải tập trung phân bố điển hình cho thấy phần tử làm trơn cạnh (ES) tiếp cận lời giải tham khảo từ lên, ngược lại phần tử làm trơn nút (NS) tiếp cận lời giải tham khảo từ xuống Bằng cách kết hợp phương pháp làm trơn biến dạng cạnh nút thông qua hệ số tỉ lệ β ∈ [0, 1], phần tử ES+NS-MITC3 cho kết nằm kết phần tử ES-MITC3 NS-MITC3 Vì vậy, phần tử ES+NS-MITC3 có độ xác hội tụ cao phần tử ES-MITC3 NS-MITC3 ví dụ khảo sát Ngồi ra, nhờ kỹ thuật khử khóa cắt MITC3, phần tử ES+NS-MITC3 cho kết tốt phần tử ES+NS-DSG3 Phần tử đề xuất ứng dụng để tính tốn dao động ổn định phát triển để phân tích kết cấu vỏ khơng đồng Phần tử ES+NS-MITC3 có độ cứng hiệu chỉnh thơng qua hệ số tỉ lệ β ∈ [0, 1] nên dự báo cải thiện độ xác phân tích dao động ổn định kết cấu vỏ đồng không đồng so với phần tử ES-MITC3 NS-MITC3 Tài liệu tham khảo [1] Timoshenko, S P., Woinowsky-Krieger, S (1959) Theory of plates and shells McGraw-hill [2] Zienkiewicz, O C., Taylor, R L (1989) The finite element method: basic concepts and linear applications Mc Growhill, London [3] Tessler, A., Hughes, T J R (1985) A three-node mindlin plate element with improved transverse shear Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 50(1):71–101 [4] Bischoff, M., Bletzinger, K.-U (2001) Stabilized DSG plate and shell elements Trends in Computational Structural Mechanics, 253–263 [5] Dvorkin, E N., Bathe, K.-J (1984) A continuum mechanics based four-node shell element for general non-linear analysis Engineering Computations, 1(1):77–88 [6] Lee, P.-S., Bathe, K.-J (2004) Development of MITC isotropic triangular shell finite elements Computers & Structures, 82(11-12):945–962 [7] Chau-Dinh, T., Nguyen-Duy, Q., Nguyen-Xuan, H (2017) Improvement on MITC3 plate finite element using edge-based strain smoothing enhancement for plate analysis Acta Mechanica, 228(6):2141–2163 [8] Liu, G.-R., Nguyen-Thoi, T (2010) Smoothed finite element methods CRC Press [9] Nguyen-Thoi, T., Phung-Van, P., Thai-Hoang, C., Nguyen-Xuan, H (2013) A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) using triangular elements for static and free vibration analyses of shell structures International Journal of Mechanical Sciences, 74:32–45 [10] Cui, X., Liu, G.-R., Li, G.-Y., Zhang, G., Zheng, G (2009) Analysis of plates and shells using an edgebased smoothed finite element method Computational Mechanics, 45(2-3):141–156 [11] Chai, Y., Li, W., Liu, G., Gong, Z., Li, T (2017) A superconvergent alpha finite element method (SαFEM) for static and free vibration analysis of shell structures Computers & Structures, 179:27–47 [12] Quach-Van, N (2017) Phân tích kết cấu vỏ phần tử MITC3 làm trơn cạnh (ES-MITC3) Luận văn thạc sĩ, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM [13] Do-Anh, V (2020) Phân tích kết cấu vỏ phần tử trơn NS-MITC3 Luận văn thạc sĩ, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM 47 Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng [14] Pham, Q.-H., Tran, T.-V., Pham, T.-D., Phan, D.-H (2018) An Edge-Based Smoothed MITC3 (ESMITC3) Shell Finite Element in Laminated Composite Shell Structures Analysis International Journal of Computational Methods, 15(07):1850060 [15] Pham, Q.-H., Pham, T.-D., Trinh, Q V., Phan, D.-H (2019) Geometrically nonlinear analysis of functionally graded shells using an edge-based smoothed MITC3 (ES-MITC3) finite elements Engineering with Computers, 36(3):1069–1082 [16] Wu, F., Zeng, W., Yao, L Y., Hu, M., Chen, Y J., Li, M S (2019) Smoothing Technique Based Beta FEM (βFEM) for Static and Free Vibration Analyses of Reissner–Mindlin Plates International Journal of Computational Methods, 17(02):1845006 [17] Thanh, C D., Con, H T., Binh, L P (2019) Static analysis of Reissner-Mindlin plates using ES+NSMITC3 elements Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE) - NUCE, 13(3):45–57 [18] Nguyen-Hoang, S., Phung-Van, P., Natarajan, S., Kim, H.-G (2015) A combined scheme of edge-based and node-based smoothed finite element methods for Reissner–Mindlin flat shells Engineering with Computers, 32(2):267–284 [19] Bathe, K.-J (1996) Finite Element Procedures Prentice Hall International, Inc [20] Lyly, M., Stenberg, R., Vihinen, T (1993) A stable bilinear element for the Reissner-Mindlin plate model Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 110(3-4):343–357 [21] Bathe, K.-J., Iosilevich, A., Chapelle, D (2000) An evaluation of the MITC shell elements Computers & Structures, 75(1):1–30 [22] Fluge, W (1960) Stress in shells Berlin: Springer [23] Mousa, A I., El Naggar, M H (2007) Shallow spherical shell rectangular finite element for analysis of cross shaped shell roof Electronic Journal of Structural Engineering, 7:41–51 48 ... số, phổ biến phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH), áp dụng Khi phân tích PP PTHH [2] kết cấu vỏ thường rời rạc loại phần tử: phần tử vỏ khối chiều, phần tử vỏ chiều suy biến phần tử vỏ phẳng Trong... để phân tích tĩnh kết cấu vỏ đồng nghiên cứu [9–11] Tương tự, phần tử vỏ phẳng ES-MITC3 NS-MITC3 đề xuất để phân tích tĩnh kết cấu vỏ đồng [12, 13] Pham cs [14, 15] nghiên cứu ứng xử tĩnh kết cấu. .. thuyết biến dạng cắt bậc [18] Kết nghiên cứu cho thấy phần tử sử dụng phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp có kết nằm kết phần tử sử dụng phương pháp làm trơn biến dạng cạnh nút Dựa kết nghiên