DC NGUYEN TAT THANH GK1 TOAN 9 21 22 TOAN TIEU HOC THCS THPT VIET NAM

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 ĐỀ CƯƠNG GIỮA KÌ MƠN TỐN LỚP Tài liệu sưu tầm, ngày 09 tháng 10 năm 2021 A Câu Website: tailieumontoan.com TRƯỜNG THCS&THPT ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GK I NGUYỄN TẤT THÀNH Mơn: TỐN TỔ TỐN Năm học: 2021 - 2022 PHẦN TRẮC NGHIỆM Tìm x để biểu thức sau có nghĩa P = A x  Câu ( C D C 12 D −12 B C D B −a C a D a )( ) B 18 Giá trị biểu thức 2 + bằng: 3+ 2 3− 2 B Giá trị biểu thức 1 + bằng: 2+ 2− Biểu thức Tất nghiệm phương trình A x = x = là: C x = Câu Rút gọn biểu thức A Câu Nếu −1 a A a Câu D −81 Biểu thức +  − bằng: A −2 Câu C 81 B −9 A −8 Câu D x  Số 81 có bậc hai số học là: A 22 Câu C x  B x  A Câu x −1 x −1 B x = −2 D x = 2 −3 kết là: −1 B C − D x − x = x bằng: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN Website: tailieumontoan.com A B C x +2 là: x −2 B x  x  C x  D −3 Câu 10 Điều kiện xác định biểu thức M = A x  D x  Câu 11 Căn bậc hai 10 A C  10 B 5 10 Câu 12 Tìm tất giá trị x để biểu thức A x  B x  Câu 13 Rút gọn biểu thức Biểu thức Câu 18 C −3 − D + C 25 D 12 C D 25x − 16 x = x B Giá trị x để x − 20 + A x = Câu 17 kết B −5 A Câu 16 D x  −2 + 16 có giá trị A Câu 15 B − −3 A Câu 14 (3 − ) x + xác định? C x  −2 D x −5 − x − 45 = B x = Với x  x  giá trị biểu thức A = C x = x−x x −1 A x B − x Rút gọn biểu thức A = x +1 x 2+5 x + + kết 4− x x −2 x +2 A x x +2 B x + 12 x +2 D x = C C x x +2 D x − D x x −2  x −2 x +  (1 − x ) − Câu 19 Rút gọn biểu thức  kết  x − x + x +   A Câu 20 x +x B x−x C x D x − x Cho tam giác DEF có góc D = 90 , DE = cm , DF = 8cm Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN Website: tailieumontoan.com a) EF A 14cm B 10cm C 100cm D 11cm B 3652' C 3612' D 3412' b) góc E A 538' Câu 21 Cho tam giác MNP có góc M = 90 , N = 30 , MP = 5cm M P N H a) PN A 2,5cm B 7cm C 10cm D 11cm C 3cm D 4cm b) Kẻ đường cao MH , hình chiếu PH A 2,5cm Câu 22 Câu 23 Ở hình bên ta có A x = 9,6cm y = 5, 4cm B x = 5, 4cm y = 10 cm C x = 10cm y = 5cm D x = 5, 4cm y = 9,6cm Gía trị biểu thức : cos2 20 + cos2 40 + cos2 50 + cos2 70 A Câu 24 B 5cm B C D Trong hình bên độ dài OB Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN Website: tailieumontoan.com B 30° O A Câu 25 D 2 Cho tam giác hình bên a) A cos  = B cos  = C cos  = D cos  = b) A tan  = B tan  = C tan  = D tan  = TỰ LUẬN Bài Tính giá trị biểu thức : ( a) A = b) B = c) C = ( 3− ) − (1 − ) + 3 ( d) D = 12 − + 15 ) 3−2 12 + 27 − 12 :  15 − 20 21 −  e) E =  +  : 1−  −  2− 4−2 1− f) F = + + − ) Cho −1  x  Rút gọn biểu thức sau A= Bài C B B Bài C ( x − 1) x2 −1 + ( x + 1) ( x + 1) ; b) B = 1+ x ( 2x − ) + 1− x ( 1− x + 1+ x ) Giải phương trình sau : Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN Website: tailieumontoan.com a) Bài ( )( ) x + − x = − 2x b) x2 − x + − = c) x2 − = x − d) (2x − 5) e) x − 20 + x − − f) x − 12 x + = − 2x 27 x = −4   x + 4x   − 2x x Cho P = 1 − + − 1  :  4x −1   − 4x x −1   b) Tìm x để P − P2  a) Rút gọn P Bài Bài x − 45 = c) Tìm x để P    2x +1   + x3 x P = − − x  Cho      x x −1 x + x +   + x  a) Rút gọn P b) Tìm x để P =  x  x+2 − Cho P =  với x   x +1   x x +1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Bài Bài  x −3 x   9− x x −3 x +2 − 1 :  + − Cho P =    x−9   x+ x −6 x −2 x +     a) Rút gọn P b) Tìm x để P   x +1 x x   x +1 1− x  + + + Cho P =   :   − x x − x + x − x +     a) Rút gọn P b) Tính P với x = 2− Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN Website: tailieumontoan.com c) So sánh P với Bài Cho A = x +1 x +4 − B = với x  ; x  x + x −3 x −1 x +3 a) Tính A x = x −1 b) Chứng minh B = c) Tìm x để Bài 10 Cho A = A x  +5 B x x − 24 + B = với x  ; x  x −9 x +8 x −3 a) Tính A x = 25 x +8 x +3 b) Chứng minh B = c) Tìm giá trị nguyên x để B nguyên d) Tìm x để P = A.B nguyên 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c Bài 11 Cho a, b, c  a + b + c = Chứng minh Bài 12 Cho x + x + y + y + = Chứng minh x + y = Bài 13 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : )( ( ) a) P = x − x + ; E = x+ x +1 b) P = x + c) P = x + x +1 ; x +4 Bài 14 Cho x  1, y  Tìm giá trị lớn biểu thức P = Bài 15 a) Tìm biết: x3 + x + x = − y x −1 + x y − xy b) Tính: x = + + − Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN Bài 16 Website: tailieumontoan.com Cho ABC vuông A Đặt BC = a , CA = b , AB = c Kẻ đường cao AH ABC Tính BH theo a, b, c CH Cho ABC vuông A , có đường cao AH Biết BH = ; CH = Tính AB , AC tỉ số Bài 17 Bài 18 Cho ABC có A = 60 ; B = 40 cạnh AB = 10cm a) Tính đường cao BH cạnh BC b) Tính diện tích tam giác ABC Bài 19 Bài 20 Cho tam giác ABC vuông A a) Biết cosC = Tính sinC , cos B tanC 13 sin B − 3cos B b) Biết tan B = Tính E = 2sin B + 3cos B Cho tam giác ABC có AB = 10 , AC = 24, BC = 26 a) Chứng minh tam giác ABC vng tính góc B, góc C; b) Gọi AD đường phân giác tam giác ABC Tính DB, DC ; c) Từ D kẻ DE, DF vng góc với AB, AC Tứ giác AEDF hình gì? Tính diện tích tứ giác Bài 21 Cho  ABC vuông A , B = 30 ; BC = 20 a) Tính AB , AC b) Từ A kẻ AM , AN vuông góc với phân giác ngồi góc C Chứng minh MN // BC MN = BC c) Chứng minh: A , M , C , N cách điểm d) Tính diện tích tam giác MAB Bài 22 Cho tam giác ABC có góc A nhọn Chứng minh: S ( ABC ) = AB AC.sin A Câu 23: Giải ABC biết B = 45 , C = 75 ; BC = 10 cm Câu 24: Cho góc nhọn xOy , tia Ox lấy điểm A , A ; tia Oy lấy điểm B , B cho điểm lấy không trùng với O Chứng minh: Bài 25 SOAB OA  OB = SOA B OA OB Cho tam giác ABC cạnh a , M điểm thay đổi tam giác Từ M kẻ MP, MK , ME vng góc với BC, CA, AB a) Chứng minh: MP + MK + ME không phụ thuộc vào vị trí điểm M tính tởng theo a b) Tìm GTNN MP2 + MK + ME M thay đổi tam giác ABC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN Website: tailieumontoan.com Bài 26 Cho hình thang vng ABCD , vng A, B Biết AB = AD = a , BC = 2a Tính sin BCD Bài 27 Cho tam giác ABC vuông cân A , đường trung tuyến BM Gọi D hình chiếu C BM , H hình chiếu D AC Chứng minh: AH = 3HD Bài 28 Cho tứ giác ABCD có đường chéo cắt O khơng vng góc với Gọi H , K trực tâm tam giác AOB COD Gọi G I trọng tâm tam giác BOC AOD a) Gọi E trọng tâm tam giác AOB F giao điểm AH DK Chứng minh tam giác IEG HFK đồng dạng với b) Chứng minh IG vng góc với HK − x + x − = x2 − x + 11 Bài 29 Giải phương trình Bài 30 Cho số dương a , b , c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: + a + b3 + b3 + c + c3 + a3 + + 3 ab bc ca HẾT Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN Website: tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I PHẦN TRẮC NGHIỆM BẢNG ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A A B C B D D C C B C D B A A B B A B B C/A D B B B/A Câu HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x −1 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa P = x −1 A x  B x  C x  D x  Lời giải Chọn A P= Câu x −1 có nghĩa x −1   x  x −1 Số 81 có bậc hai số học là: A B x − C 81 D −81 Lời giải Chọn A 81 =  92 = 81 nên bậc hai số học 81 Câu ( )( ) Biểu thức +  − bằng: C B 18 A 22 D Lời giải Chọn B (2 Câu )( ) ( 5+  5− = Giá trị biểu thức A −8 ) −( 2) 2 = 20 − = 18 2 + bằng: 3+ 2 3− 2 B C 12 D −12 Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN 35 Website: tailieumontoan.com Mà DB + DC = BC   DC + DC = 26 12 17 17 312 (đvđd) DC = 26  DC = 26 : = 12 12 17 Ta có DB = 5 312 130 (đvđd) DC  DB = = 12 12 17 17 c) * Do ABC vng A nên BAC = 90 Vì DE ⊥ AB; DF ⊥ AC  AED = AFD = 90 Xét tứ giác AEDF có EAF = AED = AFD = 90 nên tứ giác AEDF hình chữ nhật Hình chữ nhật AEDF có đường chéo AD phân giác EAF nên AEDF hình vng * Ta có DE ⊥ AB; CA ⊥ AB  DE // AC  BD BE (định lý Talet) = BC BA 130 BE 50 (đvđd)  17 =  BE = 26 10 17 Lại có AE + BE = AB  AE +  120  S AEDF = AE =    17  Bài 21 50 120 (đvđd) = 10  AE = 17 17 49,8 (đvdt) Cho  ABC vuông A , B = 30 ; BC = 20 a) Tính AB , AC b) Từ A kẻ AM , AN vng góc với phân giác ngồi góc C Chứng minh MN // BC MN = AC c) Chứng minh: A , M , C , N cách điểm d) Tính diện tích tam giác MAB Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN 36 Website: tailieumontoan.com C N O M 30° A B a) Áp dụng tỉ số lượng giác  ABC vng A có: sin B = AC  AC = BC.sin B = 20.sin 30 = 10 BC cos B = AB  AB = BC.cos B = 20.cos 30 = 10 BC b) Vì CM , CN phân giác ngồi góc C nên: CM ⊥ CN  NCM = 90 Xét tứ giác AMCN có: NCM = CNM = AMC = 90  tứ giác AMCN hình chữ nhật  OM = OC (tính chất) với O giao AC MN  OCM cân O  OCM = OMC Mà OCM = MCB (vì CM tia phân giác góc C ) OMC = MCB , mà góc vị trí so le  MN // BC Vì tứ giác AMCN hình chữ nhật nên AC = MN (tính chất) c) Vì tứ giác AMCN hình chữ nhật nên OA = OM = ON = OC (tính chất)  A , M , C , N cách điểm d) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN 37 Website: tailieumontoan.com C N O M 30° A E B Kẻ ME vng góc với AB Vì ABC vng A nên ACB + ABC = 90  ACB = 60 Mà CM phân giác góc C nên ACM = ACB = 30 Vì ACM vuông M nên ACM + MAC = 90  MAC = 60  MAE = 30 Áp dụng tỉ số lượng giác tam giác vng AMC có: sin ACM = AM  AM = AC.sin ACM = 10.sin 30 = AC Áp dụng tỉ số lượng giác tam giác vng AEM có: sin MAE = SAMB = Bài 22 ME  ME = AM sin MAE = 5.sin 30 = 2,5 AM 1 25 ME AB = 2,5.10 = (đvdt) 2 Cho tam giác ABC có góc A nhọn Chứng minh: S ( ABC ) = AB AC.sin A Lời giải A H B C Kẻ CH vng góc với AB Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN 38 Website: tailieumontoan.com Áp dụng tỉ số lượng giác tam giác vng ACH có: sin A = CH  CH = AC.sin A AC 1 Diện tích tam giác ABC là: S ( ABC ) = CH AB = AB AC.sin A 2 Bài 23: Giải ABC biết B = 45 , C = 75 ; BC = 10 cm Lời giải Xét ABC có: ABC + ACB + BAC = 180 ( tổng ba góc tam giác )  45 + 75 + BAC = 180  BAC = 180 − (45 + 75) = 60 Kẻ CH ⊥ AB , H  AB Xét BCH vuông H (do CH ⊥ AB ) có CBH = 45 (gt) nên BCH vng cân H  BH = HC ( tính chất tam giác vuông cân)   BCH = 45 Ta có, BH + HC2 = BC2 ( định lý Pytago, BCH vuông H )  2.BH = 102 = 100  BH = 50  BH = (cm) ( BH  )  CH = (cm) ( = BH ) Ta có, BCH + HCA = BCA  45 + HCA = 75  HCA = 75 − 45 = 30 Xét ACH vng H có: HA = HC.tan HCA = 2.tan30 = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 (cm) TRAN MINH TUAN 39 Website: tailieumontoan.com HC AC = = cosHCA 10 =  8,16 (cm) cos30 Ta có, AB = AH + BH = 6 + 15 +5 =  11,15 (cm) 3 Vậy ABC có AB  11,15 (cm) ; AC  8,16 (cm) ; BAC = 60 Câu 24: Cho góc nhọn xOy , tia Ox lấy điểm A , A ; tia Oy lấy điểm B , B cho điểm lấy không trùng với O Chứng minh: SOAB OA  OB = SOA B OA OB Lời giải Kẻ AH ⊥ Oy, A' K ⊥ Oy ( H , K  Oy )  AH // A' K (quan hệ từ vng góc đến song song) Xét OA' K có AH // A' K (cmt)  OA AH = (hệ định lý Ta-let) OA' A' K (1) Ta lại có: SOAB = AH.OB SOA ' B ' = A'K.OB' Do đó, SOAB AH OB AH OB = = SOA ' B ' A ' K OB ' A ' K OB ' Từ (1) (2) suy ra, ( 2) SOAB OA OB OA.OB = = SOA ' B ' OA ' OB ' OA '.OB ' Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN 40 Bài 25 Website: tailieumontoan.com Cho tam giác ABC cạnh a , M điểm thay đởi tam giác Từ M kẻ MP, MK , ME vng góc với BC, CA, AB a) Chứng minh: MP + MK + ME không phụ thuộc vào vị trí điểm M tính tởng theo a b) Tìm GTNN MP2 + MK + ME M thay đổi tam giác ABC Lời giải a) Kẻ AH ⊥ BC  BH = HC = a Áp dụng định lí Pytago tam giác vng AHB , ta được: AB2 = AH + BH a  a = AH +   2 2 3a a  AH = a −   = 2  AH =  S ABC a 1 a a2 = AH BC = a = 2 Nối MA, MB, MC Ta có: S ABC = SBCM + S ACM + S ABM Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN 41 Website: tailieumontoan.com  S ABC = MP.BC MK AC ME AB + + 2  a MP.a MK a ME.a = + + 2  a ( MP + MK + ME ) a =  MP + MK + ME = a Vậy MP + MK + ME không phụ thuộc vào vị trí điểm M MP + MK + ME = b) Với x, y, z  a , ta ln có: ( x + y + z )  ( x + y + z ) Thật vậy: ( x + y + z )  ( x + y + z )  x + y + z + xy + yz + zx  ( x + y + z )  x2 + y + z − xy − yz − zx   ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )  (đpcm) 2 Dấu '' = '' xảy x = y = z Áp dụng BĐT ta được: ( MP + MK + ME )  ( MP + MK + ME ) a 3 2     ( MP + MK + ME )    MP + MK + ME  Bài 26 a2 Dấu '' = '' xảy MP = MK = ME = a  M trọng tâm tam giác ABC Vậy MP2 + MK + ME đạt GTNN a2 M trọng tâm tam giác ABC Cho hình thang vng ABCD , vng A, B Biết AB = AD = a , BC = 2a Tính sin BCD Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN 42 Website: tailieumontoan.com Kẻ DH ⊥ BC ( H  BC ) Cách 1: Xét tứ giác ADHB có : DAH = ABH = BHD = 90 Suy : ADHB hình chữ nhật  AD = DH = BH = AB = a Mà BC = 2a  HC = a Xét tam giác DHC vuông H có : Theo định lý Pytago ta có : DH + HC = DC  DC = a + a = a Theo hệ thức lượng ta có : sin HCD = sin BCD = Vậy sin BCD = DH a = = DC a 2 Cách 2: Xét tứ giác ADHB có : DAH = ABH = BHD = 90 AB = AD Suy : ADHB hình vng  AD = DH = BH = AB = a Mà BC = 2a  HC = a Suy DHC vuông cân H (do DHC = 90 )  HCD = 45  sin HCD = sin BCD = sin45 = Bài 27 2 Cho tam giác ABC vuông cân A , đường trung tuyến BM Gọi D hình chiếu C BM , H hình chiếu D AC Chứng minh: AH = 3HD Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN 43 Website: tailieumontoan.com ABC vuông cân A  AB = AC Đặt AB = AC = a Áp dụng Định lý Pytago vào ABC  BC2 = AB2 + AC2 = a2 + a2 = 2a2  BC = a Ta có M trung điểm AC  AM = MC = a Áp dụng Định lý Pytago vào ABM vuông A  a  5a2 a  BM = AB + AM = a +   =  BM =  2 2 2 Xét ABM DCM Có BAM = CDM = 90 BMA = CMD (2 góc đối đỉnh)  ABM ∽ DCM (g-g)  AM BM = (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) DM CM a a AM CM 2 2a2 a a  DM = = = = = BM a 4a 5 10 Xét DMC vng D có đường cao DH ứng với cạnh huyền MC a 5   MD  10  a2 5.2 a  MD = MC.MH  MH = = = = a MC 100a 10 Mà AH = AM + MH  AH = a a 3a + = (1) 10 MH + HC = MC  HC = MC − MH = a a 2a − = 10 Xét DMC vng D có đường cao DH ứng với cạnh huyền MC  DH = MH HC  DH = a 2a a2 a =  DH = (2) 10 25 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN 44 Website: tailieumontoan.com Từ (1) (2)  AH = 3HD (đpcm) Bài 28 Cho tứ giác ABCD có đường chéo cắt O khơng vng góc với Gọi H , K trực tâm tam giác AOB COD Gọi G I trọng tâm tam giác BOC AOD a) Gọi E trọng tâm tam giác AOB F giao điểm AH DK Chứng minh tam giác IEG HFK đồng dạng với b) Chứng minh IG vng góc với HK Lời giải a) Chứng minh tam giác IEG HFK đồng dạng với Gọi R, J trung điểm OD, OB Ta có I trọng tâm OAD  A, I , R thẳng hàng AI = AR E trọng tâm OAB  A, E, J thẳng hàng AE = AJ Xét ARJ có I  AR, E  AJ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN 45 Website: tailieumontoan.com   AI = AR  IE // RJ (Định lý Talet đảo) Mà   AE = AJ   IE // BD Chứng minh tương tự: E trọng tâm OAB G trọng tâm BOC  EG // AC  IE // BD Ta có   IEG = AOB  EG // AC Mà AOB = DOC (2 góc đối đỉnh)  IEG = DOC Gọi L giao điểm FK AC Ta có: FK ⊥ OA L , FH ⊥ OD S  FLO = OSF = 90 Xét tứ giác FLOS có FLO + LOS + OSF + SFL = 360 Mà FLO = OSF = 90 (chứng minh trên)  LOS + SFL = 180  HFK = SFL = 180 − LOS Mà LOS = AOD  HFK = 180 − AOD = DOC  IEG = DOC Ta có   HFK = DOC  IEG = HFK (1) Xét ARJ có I  AR, E  AJ Theo chứng minh trên, ta có: AI =  IE //RJ IE = 2 AR AE = AJ 3 RJ Mà R, J trung điểm OD, OB  RJ = 2 1 BD  IE = RJ = BD  IE = BD 3 Chứng minh tương tự: E trọng tâm OAB G trọng tâm BOC  EG = Từ suy AC EG AC (2) = EI BD Đặt AOD =  Ta có FK = FL + LK = AL cot  + LC cot  = AC cot   FK = cot  AC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN 46 Website: tailieumontoan.com Chứng minh tương tự, ta có  FH = cot  BD FK FH FK AC (3) =  = AC BD FH BD Từ (1), (2), (3)  IEG∽ HFK (c-g-c) b) Chứng minh IG vng góc với HK Gọi M , N, P trung điểm AD, BC, BD Khi ta có: MP đường trung bình BAD PN đường trung bình CBD  PM AB = (1) PN CD Gọi S,T giao điểm AH ,CK với BD Gọi Q giao điểm HO với AB Vì H trực tâm OAB  HQA = 90  SHO = 90 − HAQ = ABO = ABS Xét OSH ASB có: OSH = ASB = 90 SHO = SBA  OSH ∽ ASB (g-g)  OH OS = AB AS Chứng minh tương tự OKT ∽ CTD (g-g)  OK TO = CD TC Vì H , K trực tâm tam giác AOB COD  AH ⊥ BD CK ⊥ BD  AH // CK hay AS // TC  OSA∽ OTC (Định lý Talet)  Từ suy OS SA OS TO =  = OT TC SA TC OH OK OH AB =  = (2) AB CD OK CD Từ (1) (2) suy OH PM OH OK =  = OK PN PM PN Gọi V giao điểm KO DC Gọi X giao điểm AB CD Vì H trực tâm tam giác AOB  HO ⊥ AB Q  OQX = 90 Vì K trực tâm tam giác COD  KO ⊥ CD V  OVX = 90 Xét tứ giác VOQX có góc vng Theo định lý ta có tởng góc 360  QOV + QXC = 180  QOV = 180 − QXC = 180 − AXD Mặt khác KOH = QOV (2 góc đối đỉnh) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN 47 Website: tailieumontoan.com Ta lại có M , N, P trung điểm AD, BC, BD  MP, NP đường trung bình ABD, BCD  MP // AB PN // CD Gọi U trung điểm BX  NU đường trung bình BCX  NU // CX  P, N,U thẳng hàng Xét đường thẳng MP // AX cắt đường thẳng PU  MPN + PUA = 180 (cặp góc phía)  MPN = 180 − PUA Mà NU // CX  PUA = CXA  MPN = 180 − CXA = 180 − AXD Từ suy MPN = KOH Xét HOK MPN có MPN = KOH OH OK = PM PN  HOK ∽ MPN (c-g-c)  OKH = PNM Lại có KO ⊥ CD  KO ⊥ PN Gọi W giao KO MN  PNM + OWN = 90 Mà OWN = KWM (2 góc đối đỉnh) Và OKH = PNM  KWM + OKH = 90  MN ⊥ KH Vì G I trọng tâm tam giác BOC AOD M , N, P trung điểm AD, BC, BD  O, I , M thẳng hàng O, G, N thẳng hàng OI OG = =2 IM GN  IG // MN (Định lý Talet đảo) Mà MN ⊥ KH (chứng minh trên)  IG ⊥ KH (đpcm) Bài 29 Giải phương trình − x + x − = x2 − x + 11 Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN 48 Website: tailieumontoan.com Điều kiện xác định:  x  , ta có : ( a + b )   a + b  2ab  ( a + b )  ( a + b ) Với a, b  Khi ta có: ( 4− x + x−2  ( 4− x + x−2 )  ( 4− x + x−2 ) )  2  2 ( 4− x ) +( ) x−2    ( − x + x − 2) 4  4− x + x −2  Lại có: x − x + 11 = ( x − 3) +  Do phương trình có có nghiệm khi:  − x + x − =  − x + x − =   x = (Thỏa mãn điều kiện xác định)  2  x − x + 11 = ( x − 3) = Vậy tập nghiệm phương trình S = 3 Bài 30 Cho số dương a , b , c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: + a + b3 + b3 + c + c3 + a3 + + 3 ab bc ca Lời giải Với bốn số dương x, y, z, t ta có: x + y + z + t  xy + zt  4 xyzt Thay t = x+ y+z Ta có: x + y + z + t  4 xyzt  z + y + z +  x+ y+z x+ y+z  4 xyz 3 4( x + y + z) x+ y+z x+ y+z  4 xyz   3 xyz ( x + y + z ) xyz ( x + y + z ) ( x + y + z )  xyz  x+ y+z     3 33   Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN 49 Website: tailieumontoan.com  x + y + z  3 xyz Dấu " = " xảy x = y = z Vì a, b, c ba số dương nên áp dụng bất đẳng thức ta có: + a + b3 3 1.a b3 ab 3 c  = = = = 3c ab ab ab ab abc Tương tự ta có: + b3 + c  3a bc + c3 + a3  3c ca Khi ta có: + a + b3 + b3 + c + c3 + a3 + +  3a + 3b + 3c  3 3a 3b 3c ab bc ca = 33 Vậy ( 3) abc = 3 + a + b3 + b3 + c + c3 + a3 + +  3 Dấu " = " xảy ab bc ca a = b = c = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN ... SĐT zalo: 0 39. 373.2038 TRAN MINH TUAN 35 Website: tailieumontoan.com Mà DB + DC = BC   DC + DC = 26 12 17 17 312 (đvđd) DC = 26  DC = 26 : = 12 12 17 Ta có DB = 5 312 130 (đvđd) DC  DB = ... ABC vng A có B + C = 90   67 + C = 90   C  90  − 67  23 b) Xét ABC vng A , AD phân giác ta có:  AB DB (tính chất đường phân giác) = AC DC DB 10 5 = =  DB = DC DC 24 12 12 Liên hệ tài... zalo: 0 39. 373.2038 4 0 P 3 x −1 =  x =  x = (thỏa mãn) TRAN MINH TUAN 22 Website: tailieumontoan.com  x =1 Vậy Pmax = Bài  x −3 x   9? ?? x x −3 x +2 Cho P =  − 1 :  + −   x? ?9  