-118-
Chơng 9
Chuyển độngquaycủavậtrắnquanhmộtđiểmcốđịnh
- chuyểnđộngtổngquátcủavậtrắn
9.1. Chuyểnđộngquaycủavậtrắnquanhmộtđiểmcốđịnh
9.1.1 Định nghĩa
Chuyển độngcủavậtrắncómộtđiểm luôn luôn cốđịnhđợc gọi là
chuyển độngquayquanhmộtđiểmcốđịnh
Thí dụ: Con quaytại chỗ, bánh
xe ôtô chuyểnđộng khi ôtô lái trên
đờng vòng; cánh quạtcủa máy bay
khi máy bay lợn vòng .v
O
r
O
Mô hình nghiên cứu vậtrắn
chuyển độngquayquanhmộtđiểm
cố định biểu diễn trên hình 9.1.
H
ình 9 - 1
9.1.2 Thông số định vị.
Vật rắnquayquanhmộtđiểmcố
định có thể biểu diễn bằng tiết diện( S)
của vậtquayquanhđiểm O ( hình 9.2 ).
Tiết diện này không đi qua điểmcốđịnh
O và chuyểnđộng trong hệ toạ độ cố
định Oxyz. Để xác định thông số định vị
của vật ta dựng trục oz, vuông góc với
tiết diện (S). Dựng mặt phẳng chứa hai
trục oz và oz
1
. Mặt phẳng này cắt mặt
phẳng oxy theo đờng OD. Vẽ đờng
thẳng ON vuông góc với mặt
0
y
1
y
x
1
x
N
N
H
ình 9-
2
1
-119-
phẳng khi đó có góc DON =
2
. Đờng ON nằm trong mặt phẳng Oxy
và gọi là đờng mút.
Để xác định vị trí củavật trong hệ toạ độ oxyz trớc hết phải xác địnhđợc vị
trí của trục oz
1
, nghĩa là phải xác địnhđợc các góc và . Tiếp theo phải xác
định đợc vị trí củavật so với trục oz
1
nghĩa là phải xác địnhđợc vị trí của nó
so với mặt phẳng ONz
1
, nhờ góc = NIA. Nh vậy ta có thể chọn ba góc , và
là ba thông số định vị của vật., ở đây góc còn có thể thay thế bằng góc =
2
.
Ba góc , , gọi là 3 góc Ơle.
Góc gọi là góc quay riêng; góc gọi là góc tiến động và góc gọi là
góc chơng động.
9.1.2.2. Phơng trình chuyểnđộng
Trong qúa trình chuyểnđộngcủavật các góc ơle thay đổi theo thời gian vì
thế phơng trình chuyển độngcủavậtrắn quay quanhmộtđiểmcốđịnhcó
dạng:
= (t).
= (t). (9.1 )
= ( t).
Căn cứ vào kết quả trên có thể phát biểu các hệ quả về sự tổng hợp và
phân tích chuyển độngcủavậtrắn quay quanhmộtđiểmcốđịnh nh sau:
Hệ quả 9. 1: Chuyển độngcủavậtrắn quay quanh 1 điểmcốđịnh bao giờ
cũng có thể phân tích thành ba chuyểnđộngquay thành phần quanh ba trục giao
nhau tạiđiểmcốđịnh O. Các chuyểnđộng đó là: chuyểnđộng quau riêng quanh
trục Oz
1
với phơng trình = ( t); Chuyểnđộngquay chơng độngquanh trục
ON với phơng trình = ( t) và chuyểnđộngquay tiến độngquanh trục Oz với
-120-
phơng trình = (t).
Hệ quả 9.2: Tổng hợp hai hay nhiều chuyểnđộngquayquanh các trục
giao nhau tạimộtđiểm là mộtchuyểnđộngquayquanhmộtđiểmcốđịnh đó.
9.1.2.3. Vận tốc góc và gia tốc góc của vật.
- Vận tốc góc.
Gọi vận tốc góc của các chuyểnđộngquay riêng, quay tiến động và quay
chơg động lần lợt là
1,
2
và
3
ta có:
1
= ;
&
2
= ;
&
3
=
&
Theo hệ quả 9.2 dễ dàng suy ra vận tốc góc tổng hợp
củavật
=
1
+
2
+
3
(9.2).
Vì các vectơ
1
,
2
,
3
thay đổi theo thời gian nên cũng là vectơ thay
đổi theo thời gian cả về độ lớn lẫn phơng chiều.
Nh vậy vectơ
là
vectơ vận tốc góc tức thời
Tại một thời điểmcó thể
xem chuyển độngcủavật
rắn quay quanhmộtđiểm
cố định nh là mộtchuyển
động quay tức thời với vận
tốc góc
quanh trục quay
tức thời đi qua mộtđiểm
cố định O.( hình 9.3).
1
y
1
3
0
2
x
N
H
ình 9-
3
- Gia tốc góc:
Gọi gia tốc góc tuyệt đối
củavậtđợc xác định bằng đạo hàm bậc nhất
theo thời gian của véc tơ
r
-121-
N
==
.
dt
d
rr
(9.3)
Về phơng diện hình học có thể xác định
véc tơ
nh là véc tơ vận tốc củađiểm đầu N
véc tơ vận tốc góc
r
(hình 9.4).
Xét trờng hợp đặc biệt chuyểnđộngquay
tiến động đều.
Chuyển độngcủavậtrắn quay quanh 1
điểm cốđịnhcóchuyểnđộngquay riêng và chuyểnđộngquay tiến động là đều
còn chuyểnđộngquay chơng động không có , nghĩa là
1
= const ;
2
= const;
3
= 0
0
1
2
Hình 9
-
4
Trờng hợp đặc biệt này gọi là chuyểnđộngquay tiến động đều.
Trong trờng hợp chuyểnđộngquay tiến động đều vận tốc góc đợc xác
định:
=
1
+
2
=
r
+
e
(9.4)
Và gia tốc góc:
= V
N
với N là điểm mút của .
Nhng ở đây theo hình vẽ 9.4 hình bình hành vận tốc góc đợc gắn với
mặt phẳng
( Oz và Oz
1
) và quayquanh Oz với vận tốc
2
(
e
).
Do đó :
V
N
=
e
x ON =
e
x =
e
x (
e
x
r
) =
e
x
r
nghĩa là trong trờng hợp chuyểnđộngquay tiến động đều thì:
=
e
x
r
=
2
x (9.5).
-122-
9.1.3. Khảo sát chuyểnđộngcủamộtđiểm trên vật
9.1.3.1. Quỹ đạo chuyểnđộngcủađiểm
Khi vậtchuyển động, vì mọi điểmcó khoảng cách tới điểm O cốđịnh là
không đổi vì thế quỹ đạo của chúng luôn nằm trên một mặt cầu có tâm là O và
bán kính bằng khoảng cách từ điểm khảo sát tới điểmcốđịnh O. Chính vì thế
ngời ta còn gọi chuyểnđộngquaycủamộtvậtquanhmộtđiểmcốđịnh là
chuyển động cầu.
9.1.3.2. Vận tốc củađiểm
Xét điểm M trên vật. Tạimột thời điểmvậtcóchuyểnđộngquay tức thời
với vận tốc góc
quanh trục quay thức
thời
đi qua O vì thế vận tốc củađiểm M
có thể xác định theo biểu thức:
r
0
v
M
h
r
M
=
ì
M
V
r
r
OM
(9.6)
Véc tơ
hớng vuông góc với
mặt phẳng chứa trục
và điểm M và có
độ lớn V
M
V
r
M
= .h. Trong đó h là khoảng
cách từ điểm khảo sát M đến trục quay
tức thời
(hình 9.5).
H
ình 9-
5
9.1.3.3. Gia tốc củađiểm
Gia tốc củađiểm M trên vật
rắn quayquanhmộtđiểmcốđịnh
đợc xác định nh sau:
()
OM.
dt
d
V
dt
d
W
MM
ì==
r
H
ình 9-
6
0
h
r
M
W
h
1
W
H
=
OM
dt
d
OM
dt
d
ì
+ì
r
r
-123-
=
OMV
M
ì+ì
r
r
r
Đặt
MM
WV
=ì
r
và
M
WOM
=ì
r
Cuối cùng ta đợc :
MMM
WWW
+=
(9.7)
Trong đó:
M
W
hớng từ M về H và có độ lớn W
M
= h.
2
;
M
W
hớng
vuông góc với mặt phẳng chứa véc tơ
r
và điểm M có độ lớn W
M
= h
1
. . Với h1
là khoảng cách từ điểm M tới véctơ
.
Chú ý: Về hình thức các véc tơ
và giống nh gia tốc pháp
tuyến
M
W
M
W
W
nM
và gia tốc tiếp tuyến
M
W
củađiểm M khi nó quayquanh trục cố
định nhng thực chất là chúng khác nhau vì ở đây hai véc tơ
và không
trùng phơng nh trong chuyểnđộngquayquanhmột trục cố định.
r
Thí dụ 9.1: Khảo sát
chuyển độngquay tiến động đều
của con quaycó hai bậc tự do
cho trên hình vẽ (hình 9 -7). Cho
biết chuyểnđộngquaytơng đối
của con quayquanh trục Oz, có
vận tốc góc
s
1
.200
r
= và
chuyển độngquay kéo theo của
trục Oz
1
quanh trục Oz có vận
tốc góc
C
= 2
S
1
. Hai trục Oz và Oz
1
hợp với nhau một góc = 30
0
. Tìm vận
tốc góc và gia tốc góc của con quay.
1
r
e
0
H
ình 9-7
Bài giải:
Chuyển độngcủa con quay là tổng hợp của 2 chuyểnđổngtơng đối và
kéo theo . Hai chuyểnđộng này là các chuyểnđộngquayquanh hai trục cắt nhau
-124-
tại mộtđiểm O cố định. Nh vậy chuyểnđộngcủa con quay là chuyểnđộng
quay quanhđiểm O cố định. ở đây chuyểnđộngtơng đối với vận tốc góc
r
là
chuyển độngquay riêng
r
1
=
r
r
; còn chuyểnđộng kéo theo với vận tốc
là
chuyển độngquay tiến động còn
3
=0. Con quay thực hiện chuyểnđộngquay
tiến động đều .
Theo (9.4) ta có vận tốc góc tuyệt đối
=
r
r
=
r
e
Véc tơ đợc biểu diễn bẳng đờng chéo hình bình hành mà hai cạnh là
r
r
và
e
.
Vì
r
hợp với
e
một góc 30 độ do đó dễ dàng tìm đợc:
2
=
r
2
+
e
2
+ 2
e
.
r
.cos30
0
hay: =
0
re
2
e
2
r
30cos 2 ++
Thay số ta đợc = 202
S
1
.
Gia tốc góc tuyệt đối
đợc xác định theo (9.5).
r
eeN
ONV ì=ì==
r
r
=
e
ì (
e
+
r
) =
e
ì
r
Véc tơ
hớng vuông góc với mặt phẳng Ozz
1
nh hình vẽ và có giá trị:
=
e
.
r
sin30
0
= 200
2
.
2
S
1
Thí dụ 9.2: Khảo sát chuyểnđộng
của bánh xe ôtô khi nó chuyểnđộng đều
trên đờng tròn bán kính R =10m.
1
W
0
a
a
I
p
W
P
Cho biết bán kính bánh xe r = 0,5m;
vận tốc tâm bánh xe (vận tốc ôtô) là V
0
=
36 km/h.
Xác định vận tốc góc, gia tốc góc
Hình 9-8
-125-
tuyệt đối của bánh xe và vận tốc, gia tốc củađiểm P trên vành bánh xe (hình
9.8).
Bài giải:
Chuyển độngcủa bánh xe đợc hợp thành từ hai chuyểnđộng thành phần:
Chuyển độngquaycủa bánh xe quanh trục Oz của nó với vận tốc góc
1
và
chuyển độngcủa trục bánh xe Oz
1
quayquanh trục Oz thẳng đứng với vận tốc
góc
2
. Hai trục z và z
1
giao nhau tạiđiểmcốđịnh I vì thế có thể nói chuyển
đông tổng hợp của bánh xe là chuyểnđộngquayquanhmộtđiểm I cố định.
Trong trờng hợp này
1
là vận tốc góc củachuyểnđộngquay riêng,
2
là vận
tốc góc củachuyểnđộngquay tiến động. Chuyểnđộngquay chơng độngcó
vận tốc bằng không.
- Xác định vận tốc góc tuyệt đối
r
của bánh xe. Theo công thức (9.2) ta
có:
=
r r
1
+
r
2
Vì hai trục quay Iz và Iz
1
luôn luôn vuông góc do đó:
r
1
vuông góc
r
2
.
Mặt khác vì bánh xe lăn không trợt trên đờng nên vận tốc điểm P là
V
P
=0.
Suy ra đờng IP chính là trục quay tức thời của bánh xe. Căn cứ vào hình
vẽ xác địnhđợc
1
=
2
.cotg.
Trong đó:
2
=
R
V
0
và tg =
R
r
.
Và
=
2
2
2
1
+
Thay số tìm đợc:
1
= 20 (1/s),
2
= 1 (1/s) và = 20 (1/s).
Chuyển độngcủa bánh xe là chuyểnđộng tiến động đều do đó xác định
gia tốc góc tuyệt đối.nh sau:
=
r
N
V
=
r
2
ì IN =
r
2
ì
r
1
-126-
Về trị số:
=
2
1
sin
2
u
= 20 1/s
2
hớng vào trong và vuông góc với mặt
phẳng hình vẽ.
- Xác định vận tốc điểm P
Do P nằm trên trục quay tức thời nên vận tốc của nó V
p
= 0.
- Xác định gia tốc điểm P
Theo (9.7)
W
P
=
W
P
+
W
P
Vì P nằm trên trục quay tức thời nên
W
P
=
r
ì
OP
=0
Còn
P
hớng vuông góc với mặt phẳng chứa véc tơ vào điểm P nh
hình vẽ với trị số:
r
W
P
= IP. = 10.20 = 200 m/s
2
.
9.2. Chuyểnđộngtổngquátcủavậtrắn (chuyển động tự do
của vật rắn)
9.2.1. Phơng trình chuyểnđộng
Khảo sát vậtrắnchuyểnđộng tự do trong hệ trục toạ độ cốđịnh Oxyz. Để
thiết lập phơng trình chuyểnđộngcủavật ta chọn mộtđiểm A bất kỳ trên vật
làm tâm cực và gắn vào vật hệ trục Ox
1
y
1
z
1
có các trục song song với Ox, Oy,
Oz. Khi đó vị trí củavật sẽ đợc xác định bởi vị trí của hệ Ax
1
y
1
z
1
so với hệ
Oxyzvà vi trí củavạt so với hệ di động o x y z. Từ đó suy ra thông số định vị của
vật so với hệ Oxyz sẽ là toạ độ x
A
, y
A
, z
A
củađiểm A và 3 góc Ơle , và của
vật. Suy ra phơng trình chuyểnđộngcủavật sẽ là:
x
A
= x
A
(t) y
A
= y
A
(t) z
A
= z
A
(t)
= (t) = (t) = (t) ( 9.7 )
Chuyển động tự do củavật luôn luôn có thể phân tích thành 2 chuyển
động:
-127-
- Tĩnh tiến theo một tâm cực A
- Chuyểnđộngquayquanh tâm cực A
9.2.2. Vận tốc và gia tốc của cả vật
Vận tốc của cả vậtđợc biểu diễn qua vận tốc của tâm cực A là
A
V
v
và vận
tốc góc tức thời
củavậtquayquanh trục quay tức thời đi qua cực A.
Tơng tự gia tốc củavật cũng đợc biểu diễn bởi gia tốc của tâm cực A là
w
r
A
và gia tốc góc tức thời trong chuyểnđộngquay tức thời quanh trục quay
tức thời đi qua A.
9.2.3. Vận tốc và gia tốc củamộtđiểm trên vật
Xét điểm M bất kỳ trên vậtrắnchuyểnđộng tự do. Vận tốc củađiểm M sẽ
đợc xác định theo biểu thức:
MAAM
VVV
r
r
r
+= . ( 9.8 )
Với
A
V
v
là vận tốc tâm cực A còn
MA
V
v
là vận tốc củađiẻm M trong
chuyển độngquayquanhđiểm A. Ta có:
AMV
MA
ì=
v
r
;
là vận tốc góc tức thời củavật trong chuyển
động quayquanh A.
Tơng tự gia tốc củađiểm M cũng đợc xác định theo biể thức:
( 9.9 )
MAAM
WWW
rrr
+=
Trong đó:
W
MA
=
W
MA
+
W
MA
Với:
W
MA
= ì
r
MA
V
r
W
MA
= ì
r
MA
V
r
Cuối cùng ta có:
=
M
W
r
++
MAMAA
WWW
r
r
r
. ( 9. 10 )
.
-1 1 8-
Chơng 9
Chuyển động quay của vật rắn quanh một điểm cố định
- chuyển động tổng quát của vật rắn
9.1. Chuyển động quay của vật rắn quanh một điểm. về sự tổng hợp và
phân tích chuyển động của vật rắn quay quanh một điểm cố định nh sau:
Hệ quả 9. 1: Chuyển động của vật rắn quay quanh 1 điểm cố định