-118- Chơng 9 Chuyểnđộngquaycủavậtrắnquanhmộtđiểmcốđịnh - chuyểnđộng tổng quát củavậtrắn 9.1. Chuyểnđộngquaycủavậtrắnquanhmộtđiểmcốđịnh 9.1.1 Định nghĩa Chuyểnđộngcủavậtrắncómộtđiểm luôn luôn cốđịnh đợc gọi là chuyểnđộngquayquanhmộtđiểmcốđịnh Thí dụ: Con quaytại chỗ, bánh xe ôtô chuyểnđộng khi ôtô lái trên đờng vòng; cánh quạt của máy bay khi máy bay lợn vòng .v O r O Mô hình nghiên cứu vậtrắnchuyểnđộngquayquanhmộtđiểmcốđịnh biểu diễn trên hình 9.1. Hình 9 - 1 9.1.2 Thông số định vị. Vậtrắnquayquanhmộtđiểmcốđịnhcó thể biểu diễn bằng tiết diện( S) củavậtquayquanhđiểm O ( hình 9.2 ). Tiết diện này không đi qua điểmcốđịnh O và chuyểnđộng trong hệ toạ độ cốđịnh Oxyz. Để xác định thông số định vị củavật ta dựng trục oz, vuông góc với tiết diện (S). Dựng mặt phẳng chứa hai trục oz và oz 1 . Mặt phẳng này cắt mặt phẳng oxy theo đờng OD. Vẽ đờng thẳng ON vuông góc với mặt 0 y 1 y x 1 x N N Hình 9-2 1 -119- phẳng khi đó có góc DON = 2 . Đờng ON nằm trong mặt phẳng Oxy và gọi là đờng mút. Để xác định vị trí củavật trong hệ toạ độ oxyz trớc hết phải xác định đợc vị trí của trục oz 1 , nghĩa là phải xác định đợc các góc và . Tiếp theo phải xác định đợc vị trí củavật so với trục oz 1 nghĩa là phải xác định đợc vị trí của nó so với mặt phẳng ONz 1 , nhờ góc = NIA. Nh vậy ta có thể chọn ba góc , và là ba thông số định vị của vật., ở đây góc còn có thể thay thế bằng góc = 2 . Ba góc , , gọi là 3 góc Ơle. Góc gọi là góc quay riêng; góc gọi là góc tiến động và góc gọi là góc chơng động. 9.1.2.2. Phơng trình chuyểnđộng Trong qúa trình chuyểnđộngcủavật các góc ơle thay đổi theo thời gian vì thế phơng trình chuyểnđộngcủavậtrắnquayquanhmộtđiểmcốđịnhcó dạng: = (t). = (t). (9.1 ) = ( t). Căn cứ vào kết quả trên có thể phát biểu các hệ quả về sự tổng hợp và phân tích chuyểnđộngcủavậtrắnquayquanhmộtđiểmcốđịnh nh sau: Hệ quả 9. 1: Chuyểnđộngcủavậtrắnquayquanh 1 điểmcốđịnh bao giờ cũng có thể phân tích thành ba chuyểnđộngquay thành phần quanh ba trục giao nhau tạiđiểmcốđịnh O. Các chuyểnđộng đó là: chuyểnđộng quau riêng quanh trục Oz 1 với phơng trình = ( t); Chuyểnđộngquay chơng độngquanh trục ON với phơng trình = ( t) và chuyểnđộngquay tiến độngquanh trục Oz với -120- phơng trình = (t). Hệ quả 9.2: Tổng hợp hai hay nhiều chuyểnđộngquayquanh các trục giao nhau tạimộtđiểm là mộtchuyểnđộngquayquanhmộtđiểmcốđịnh đó. 9.1.2.3. Vận tốc góc và gia tốc góc của vật. - Vận tốc góc. Gọi vận tốc góc của các chuyểnđộngquay riêng, quay tiến động và quay chơg động lần lợt là 1, 2 và 3 ta có: 1 = ; & 2 = ; & 3 = & Theo hệ quả 9.2 dễ dàng suy ra vận tốc góc tổng hợp củavật = 1 + 2 + 3 (9.2). Vì các vectơ 1 , 2 , 3 thay đổi theo thời gian nên cũng là vectơ thay đổi theo thời gian cả về độ lớn lẫn phơng chiều. Nh vậy vectơ là vectơ vận tốc góc tức thời Tạimột thời điểmcó thể xem chuyểnđộngcủavậtrắnquayquanhmộtđiểmcốđịnh nh là mộtchuyểnđộngquay tức thời với vận tốc góc quanh trục quay tức thời đi qua mộtđiểmcốđịnh O.( hình 9.3). 1 y 1 3 0 2 x N Hình 9-3 - Gia tốc góc: Gọi gia tốc góc tuyệt đối củavật đợc xác định bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ r -121- N == . dt d rr (9.3) Về phơng diện hình học có thể xác định véc tơ nh là véc tơ vận tốc củađiểm đầu N véc tơ vận tốc góc r (hình 9.4). Xét trờng hợp đặc biệt chuyểnđộngquay tiến động đều. Chuyểnđộngcủavậtrắnquayquanh 1 điểmcốđịnhcóchuyểnđộngquay riêng và chuyểnđộngquay tiến động là đều còn chuyểnđộngquay chơng động không có , nghĩa là 1 = const ; 2 = const; 3 = 0 0 1 2 Hình 9-4 Trờng hợp đặc biệt này gọi là chuyểnđộngquay tiến động đều. Trong trờng hợp chuyểnđộngquay tiến động đều vận tốc góc đợc xác định: = 1 + 2 = r + e (9.4) Và gia tốc góc: = V N với N là điểm mút của . Nhng ở đây theo hình vẽ 9.4 hình bình hành vận tốc góc đợc gắn với mặt phẳng ( Oz và Oz 1 ) và quayquanh Oz với vận tốc 2 ( e ). Do đó : V N = e x ON = e x = e x ( e x r ) = e x r nghĩa là trong trờng hợp chuyểnđộngquay tiến động đều thì: = e x r = 2 x (9.5). -122- 9.1.3. Khảo sát chuyểnđộngcủamộtđiểm trên vật 9.1.3.1. Quỹ đạo chuyểnđộngcủađiểm Khi vậtchuyển động, vì mọi điểmcó khoảng cách tới điểm O cốđịnh là không đổi vì thế quỹ đạo của chúng luôn nằm trên một mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng khoảng cách từ điểm khảo sát tới điểmcốđịnh O. Chính vì thế ngời ta còn gọi chuyểnđộngquaycủamộtvậtquanhmộtđiểmcốđịnh là chuyểnđộng cầu. 9.1.3.2. Vận tốc củađiểm Xét điểm M trên vật. Tạimột thời điểmvậtcóchuyểnđộngquay tức thời với vận tốc góc quanh trục quay thức thời đi qua O vì thế vận tốc củađiểm M có thể xác định theo biểu thức: r 0 v M h r M = ì M V r r OM (9.6) Véc tơ hớng vuông góc với mặt phẳng chứa trục và điểm M và có độ lớn V M V r M = .h. Trong đó h là khoảng cách từ điểm khảo sát M đến trục quay tức thời (hình 9.5). Hình 9-5 9.1.3.3. Gia tốc củađiểm Gia tốc củađiểm M trên vậtrắnquayquanhmộtđiểmcốđịnh đợc xác định nh sau: () OM. dt d V dt d W MM ì== r Hình 9-6 0 h r M W h 1 W H = OM dt d OM dt d ì +ì r r -123- = OMV M ì+ì r r r Đặt MM WV =ì r và M WOM =ì r Cuối cùng ta đợc : MMM WWW += (9.7) Trong đó: M W hớng từ M về H và có độ lớn W M = h. 2 ; M W hớng vuông góc với mặt phẳng chứa véc tơ r và điểm M có độ lớn W M = h 1 . . Với h1 là khoảng cách từ điểm M tới véctơ . Chú ý: Về hình thức các véc tơ và giống nh gia tốc pháp tuyến M W M W W nM và gia tốc tiếp tuyến M W củađiểm M khi nó quayquanh trục cốđịnh nhng thực chất là chúng khác nhau vì ở đây hai véc tơ và không trùng phơng nh trong chuyển độngquayquanh một trục cố định. r Thí dụ 9.1: Khảo sát chuyểnđộngquay tiến động đều của con quaycó hai bậc tự do cho trên hình vẽ (hình 9 -7). Cho biết chuyểnđộngquay tơng đối của con quayquanh trục Oz, có vận tốc góc s 1 .200 r = và chuyểnđộngquay kéo theo của trục Oz 1 quanh trục Oz có vận tốc góc C = 2 S 1 . Hai trục Oz và Oz 1 hợp với nhau một góc = 30 0 . Tìm vận tốc góc và gia tốc góc của con quay. 1 r e 0 Hình 9-7 Bài giải: Chuyểnđộngcủa con quay là tổng hợp của 2 chuyểnđổng tơng đối và kéo theo . Hai chuyểnđộng này là các chuyển độngquayquanh hai trục cắt nhau -124- tạimộtđiểm O cố định. Nh vậy chuyểnđộngcủa con quay là chuyển độngquayquanh điểm O cố định. ở đây chuyểnđộng tơng đối với vận tốc góc r là chuyểnđộngquay riêng r 1 = r r ; còn chuyểnđộng kéo theo với vận tốc là chuyểnđộngquay tiến động còn 3 =0. Con quay thực hiện chuyểnđộngquay tiến động đều . Theo (9.4) ta có vận tốc góc tuyệt đối = r r = r e Véc tơ đợc biểu diễn bẳng đờng chéo hình bình hành mà hai cạnh là r r và e . Vì r hợp với e một góc 30 độ do đó dễ dàng tìm đợc: 2 = r 2 + e 2 + 2 e . r .cos30 0 hay: = 0 re 2 e 2 r 30cos 2 ++ Thay số ta đợc = 202 S 1 . Gia tốc góc tuyệt đối đợc xác định theo (9.5). reeN ONV ì=ì== r r = e ì ( e + r ) = e ì r Véc tơ hớng vuông góc với mặt phẳng Ozz 1 nh hình vẽ và có giá trị: = e . r sin30 0 = 200 2 . 2 S 1 Thí dụ 9.2: Khảo sát chuyểnđộngcủa bánh xe ôtô khi nó chuyểnđộng đều trên đờng tròn bán kính R =10m. 1 W 0 a a I p W P Cho biết bán kính bánh xe r = 0,5m; vận tốc tâm bánh xe (vận tốc ôtô) là V 0 = 36 km/h. Xác định vận tốc góc, gia tốc góc Hình 9-8 -125- tuyệt đối của bánh xe và vận tốc, gia tốc củađiểm P trên vành bánh xe (hình 9.8). Bài giải: Chuyểnđộngcủa bánh xe đợc hợp thành từ hai chuyểnđộng thành phần: Chuyểnđộngquaycủa bánh xe quanh trục Oz của nó với vận tốc góc 1 và chuyểnđộngcủa trục bánh xe Oz 1 quayquanh trục Oz thẳng đứng với vận tốc góc 2 . Hai trục z và z 1 giao nhau tạiđiểmcốđịnh I vì thế có thể nói chuyểnđông tổng hợp của bánh xe là chuyển độngquayquanh một điểm I cố định. Trong trờng hợp này 1 là vận tốc góc củachuyểnđộngquay riêng, 2 là vận tốc góc củachuyểnđộngquay tiến động. Chuyểnđộngquay chơng độngcó vận tốc bằng không. - Xác định vận tốc góc tuyệt đối r của bánh xe. Theo công thức (9.2) ta có: = r r 1 + r 2 Vì hai trục quay Iz và Iz 1 luôn luôn vuông góc do đó: r 1 vuông góc r 2 . Mặt khác vì bánh xe lăn không trợt trên đờng nên vận tốc điểm P là V P =0. Suy ra đờng IP chính là trục quay tức thời của bánh xe. Căn cứ vào hình vẽ xác định đợc 1 = 2 .cotg . Trong đó: 2 = R V 0 và tg = R r . Và = 2 2 2 1 + Thay số tìm đợc: 1 = 20 (1/s), 2 = 1 (1/s) và = 20 (1/s). Chuyểnđộngcủa bánh xe là chuyểnđộng tiến động đều do đó xác định gia tốc góc tuyệt đối.nh sau: = r N V = r 2 ì IN = r 2 ì r 1 -126- Về trị số: = 2 1 sin 2 u = 20 1/s 2 hớng vào trong và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. - Xác định vận tốc điểm P Do P nằm trên trục quay tức thời nên vận tốc của nó V p = 0. - Xác định gia tốc điểm P Theo (9.7) W P = W P + W P Vì P nằm trên trục quay tức thời nên W P = r ì OP =0 Còn P hớng vuông góc với mặt phẳng chứa véc tơ vào điểm P nh hình vẽ với trị số: r W P = IP. = 10.20 = 200 m/s 2 . 9.2. Chuyểnđộng tổng quát củavậtrắn (chuyển động tự do củavật rắn) 9.2.1. Phơng trình chuyểnđộng Khảo sát vậtrắnchuyểnđộng tự do trong hệ trục toạ độ cốđịnh Oxyz. Để thiết lập phơng trình chuyểnđộngcủavật ta chọn mộtđiểm A bất kỳ trên vật làm tâm cực và gắn vào vật hệ trục Ox 1 y 1 z 1 có các trục song song với Ox, Oy, Oz. Khi đó vị trí củavật sẽ đợc xác định bởi vị trí của hệ Ax 1 y 1 z 1 so với hệ Oxyzvà vi trí củavạt so với hệ di động o x y z. Từ đó suy ra thông số định vị củavật so với hệ Oxyz sẽ là toạ độ x A , y A , z A củađiểm A và 3 góc Ơle , và của vật. Suy ra phơng trình chuyểnđộngcủavật sẽ là: x A = x A (t) y A = y A (t) z A = z A (t) = (t) = (t) = (t) ( 9.7 ) Chuyểnđộng tự do củavật luôn luôn có thể phân tích thành 2 chuyển động: -127- - Tĩnh tiến theo một tâm cực A - Chuyển độngquayquanh tâm cực A 9.2.2. Vận tốc và gia tốc của cả vật Vận tốc của cả vật đợc biểu diễn qua vận tốc của tâm cực A là A V v và vận tốc góc tức thời củavậtquayquanh trục quay tức thời đi qua cực A. Tơng tự gia tốc củavật cũng đợc biểu diễn bởi gia tốc của tâm cực A là w r A và gia tốc góc tức thời trong chuyểnđộngquay tức thời quanh trục quay tức thời đi qua A. 9.2.3. Vận tốc và gia tốc củamộtđiểm trên vật Xét điểm M bất kỳ trên vậtrắnchuyểnđộng tự do. Vận tốc củađiểm M sẽ đợc xác định theo biểu thức: MAAM VVV rrr += . ( 9.8 ) Với A V v là vận tốc tâm cực A còn MA V v là vận tốc củađiẻm M trong chuyểnđộngquayquanhđiểm A. Ta có: AMV MA ì= v r ; là vận tốc góc tức thời củavật trong chuyểnđộngquayquanh A. Tơng tự gia tốc củađiểm M cũng đợc xác định theo biể thức: ( 9.9 ) MAAM WWW rrr += Trong đó: W MA = W MA + W MA Với: W MA = ì r MA V r W MA = ì r MA V r Cuối cùng ta có: = M W r ++ MAMAA WWW rrr . ( 9. 10 ) . Chơng 9 Chuyển động quay của vật rắn quanh một điểm cố định - chuyển động tổng quát của vật rắn 9.1. Chuyển động quay của vật rắn quanh một điểm cố định 9.1.1. biệt chuyển động quay tiến động đều. Chuyển động của vật rắn quay quanh 1 điểm cố định có chuyển động quay riêng và chuyển động quay tiến động là đều còn chuyển