Câu [Đề thi vào 10, chuyên sư phạm Hà Nội, Vòng 1, năm 2018]][9D1G8][9D1K2] ( x + 1) x + + ( x − 1) x − Cho biểu thức P = 2x − x +1 x −1 , v?i x 1 − x −1 x +1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P = x − Lời giải [\quad a)] a) Với x 1, ta có P = = = = = ( ( ( ( x + 1) + ( x − 1) 3 x − x + x − x − x + x −1 x +1 − x −1 )( ) x +1 + x −1 x +1− x +1 x −1 + x −1 )( x + + x −1 2x − x + x −1 x +1 + x −1 )( x +1 − x −1 ) (2x − (2x − x +1 x −1 ) x +1 x +1 − x −1 ) x +1 x −1 x +1 x +1 − x −1 ) x +1 x +1 = x + − ( x − 1) = x + b) Với x ta có P = x −1 x +1 = x −1 x + = ( x − 1) x ( x − 3) = x = (không th?a mãn) x = (th?a mãn) Vậy với x = P = x − Câu [Đề thi vào 10, chuyên sư phạm Hà Nội, Vòng 1, năm 2018]][9D4G8] Một nhà máy chuyên sản xuất loại sản phẩm Năm 2015, nhà máy sản xuất 5000 sản phẩm Do ảnh hưởng thị trường tiêu thụ nên sản lượng nhà máy năm 2016 2017 giảm Cụ thể: số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất 2016 giảm x % so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất năm 2015, số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất năm 2017 giảm x % so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất năm 2016 Biết số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất năm 2017 giảm 51% so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất 2015 Tìm x Lời giải Điều kiện x 100 Số sản phẩm nhà máy sản xuất năm 2016 là: 5000 − 5000 x % = 5000 − 50 x (s?n ph?m) Số sản phẩm nhà máy sản xuất năm (100 − x ) x 2 x − 200 x + 10000 (s?n ph?m) 5000 − 50 x − (5000 − 50 x ) x % = 5000 − 50 x − 2017 là: = Số sản phẩm năm 2017 giảm 51\% so với năm 2015 nên ta có phuong trình: x − 200 x + 10000 = 5000 − 5000 51% x − 200 x + 10000 = 4900 x − 200 x + 5100 = x = 30 (th?a mãn) x = 170 (không th?a mãn) Vậy x = 30 Câu [Đề thi vào 10, chuyên sư phạm Hà Nội, Vòng 1, năm 2018]][9D0G1][9D0G2] Cho phương trình x − x − = Giả sử x0 nghiệm phương trình cho a) Chứng minh x0 b) Tính giá trị biểu thức M = x02 − x02 + 3x0 + x0 Lời giải a) Ta xét trường hợp sau b) Nếu x0 −1 ta có x03 − x0 = x0 ( x02 − 1) Vì x0 −1 nên x02 − suyra x03 − x0 − (vô lý) c) Nếu −1 x0 ta có x03 − x0 − x0 (vô lý) d) Nếu x0 = , ta thấy nghiệm phương trình Vậy x0 e) Ta đặt x0 = a ( a 0) để tiện biến đổi a2 − (a − 1)(a + 1) M= 2a + 3a + = 2a + 3a + Vì 3 a a 3 a − a − = a = a + (vì a 0) , từ suy a hay a Vậy M = (a − 1) 2a + 3a + (*) Ta có M2 = (a − 1)2 (2a + 3a + 2) = ( a − 2a + 1)(2a + 3a + 2) = 2a + 3a + 2a − 4a − 6a − 4a + 2a + 3a + mặt khác a = a + suyra a = a + a = 2a − a − 2a − a + suy M = 2( a + a ) − a − 2a − a + = −a + a + = −( a − a − 1) + = Mà M (chứng minh trên) suy M = Vậy M = Câu [Đề thi vào 10, chuyên sư phạm Hà Nội, Vòng 1, năm 2018]][9H1G4][9H0G3] Cho hình chữ nhật ABCD với BC = a , AB = b Gọi M , N trung điểm cạnh AB, CD Qua điểm M dựng đường thẳng cắt đường chéo AC hình chữ nhật ABCD điểm P cắt đường thẳng BC Q cho B nằm C Q [\quad 1)] a) Khi MP ⊥ AC , 1) Tính PQ theo a b 2) Chứng minh a BP = b PN · · = MNQ d) Chứng minh MNP (không thiết MP AC vng góc với nhau) Lời giải a) Trường hợp MP ⊥ AC 1) Tính PQ Ta có AC = a + b · · = PM = AM sin BAC = AM cos BCA MQ = MB · cos BMQ = ab a + b2 MB b a + b2 = · 2a cos BCA PQ = PM + QM = = ab + a + b2 b(2a + b2 ) b a + b2 2a 2a a + b 2) Chứng minh a BP = b PN · · · = MNC = MBC = 90 Vì MPC suy B, M, P, N, C thuộc đường trịn đường kính BN · · BPN = BMN = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính BN ) ) · · PNB = BCP (cùng chắn PB ) Xét VBPN VABC có: · · BPN = ABC = 90 (ch?ng minh trên) · · ( = BCP) = BCA PNB suy VBPN ∽ VABC (g-g) BP AB b = = PN AC a d) Gọi K giao điểm BC PN ; O giao điểm MN AC Ta có OM ON = CQ = CK (vì OM = ON ) CQ CK · · VQNK cân CQN = CKN ; · · · · = CKN = MNQ mà CQN (so le trong); PNM (đồng vị) · · MNQ = MNP Câu [Đề thi vào 10, chuyên sư phạm Hà Nội, Vòng 1, năm 2018]][9D0G3] Cho số nguyên x, x1 , x2 , x9 thỏa mãn (1 + x1 )(1 + x2 ) (1 + x9 ) = (1 − x1 )(1 − x2 ) (1 − x9 ) = x Tính P = x x1 x2 x9 Lời giải a) Nếu tồn i (i = 1;9) mà | xi |= ta có x = P = x x1 x2 x9 = b) Nếu tồn i (i = 1;9) mà xi = P = x x1 x2 x9 = c) Xét trường hợp xi xi 1; xi −1 , Ta có x2 x = (1 + x1 )(1 + x2 ) (1 + x9 ).(1 − x1 )(1 − x2 ) (1 − x9 ) = (1 − x12 )(1 − x22 ) (1 − x92 ) xi ¢ − xi2 (1 − x12 )(1 − x22 ) (1 − x92 ) x (vô lý) Vậy P = Vì xi 0; xi 1; xi −1 ... [Đề thi vào 10 , chuyên sư phạm Hà Nội, Vòng 1, năm 2 018 ] ][9D0G3] Cho số nguyên x, x1 , x2 , x9 thỏa mãn (1 + x1 ) (1 + x2 ) (1 + x9 ) = (1 − x1 ) (1 − x2 ) (1 − x9 ) = x Tính P = x x1 x2 x9... = 1; 9) mà | xi |= ta có x = P = x x1 x2 x9 = b) Nếu tồn i (i = 1; 9) mà xi = P = x x1 x2 x9 = c) Xét trường hợp xi xi 1; xi ? ?1 , Ta có x2 x = (1 + x1 ) (1 + x2 ) (1 + x9 ). (1 − x1... + x9 ). (1 − x1 ) (1 − x2 ) (1 − x9 ) = (1 − x12 ) (1 − x22 ) (1 − x92 ) xi ¢ − xi2 (1 − x12 ) (1 − x22 ) (1 − x92 ) x (vơ lý) Vậy P = Vì xi 0; xi 1; xi ? ?1