Bai 1 : Cho lăng tru đ ng ABC.A’B’C’ co đay ABC la môt tam giac vuông tai A, AC
= b ,
0
C 60=
.Đ ng cheo BC’ cua măt bên BB’C’C tao v i mp(AA’C’C) môt goc
0
30
.
1/Tinh đô dai đoan AC’
2/Tinh V khôi lăng tru.
Bai 2 : Cho lăng tru tam giac ABC.A’B’C’ co đay ABC la môt tam giac đêu canh a va
điêm A’ cach đêu cac điêm A,B,C.Canh bên AA’ tao v i mp đay môt goc
0
60
.
1/Tinh V khôi lăng tru.
2/C/m măt bên BCC’B’ la môt hinh ch nhât.
3/Tinh
xq
S
hinh lăng tru.
Bai 3 : Tinh V khôi t diên đêu canh a.
Bai 4 : Cho hinh chop t giac đêu S.ABCD.
1/Biêt AB =a va goc gi a măt bên va đay băng
α
,tinh V khôi chop.
2/Biêt trung đoan băng d va goc gi a canh bên va đay băng
ϕ
.
Tinh V khôi chop.
Bai 5 :Cho hinh chop tam giac đêu S.ABC.
1/Biêt AB=a va SA=l ,tinh V khôi chop.
2/Biêt SA=l va goc gi a măt bên va đay băng
α
,tinh V khôi chop.
Bai 6 : Hinh chop cut tam giac đêu co canh đay l n 2a, đay nho la a, goc gi a đ ng
cao v i măt bên la
0
30
.Tinh V khôi chop cut .
Bai 7 : Môt hinh tru co ban kinh đay R va co thiêt diên qua truc la môt hinh vuông.
1/Tinh
xq tp
S va S
cua hinh tru .
2/Tinh V khôi tru t ng ng.
3/Tinh V khôi lăng tru t giac đêu nôi tiêp trong khôi tru đa cho .
Bai 8 : Môt hinh tru co ban kinh đay R va đ ng cao
R 3
.A va B la 2 điêm trên 2
đ ng tron đay sao cho goc h p b i AB va truc cua hinh tru la
0
30
.
1/Tinh
xq tp
S va S
cua hinh tru .
2/Tinh V khôi tru t ng ng.
Bai 9 : Thiêt diên qua truc cua môt hinh non la môt tam giac vuông cân co canh goc
vuông băng a .
1/Tinh
xq tp
S va S
cua hinh non.
2/Tinh V khôi non t ng ng.
Bai 10 : Cho môt t diên đêu co canh la a .
1/Xac đinh tâm va ban kinh măt câu ngoai tiêp t diên.
2/Tinh S măt câu.
3/Tinh V khôi câu t ng ng.
Bai 11 : Cho môt hinh chop t giac đêu co canh đay la a ,canh bên h p v i măt đay
môt goc
0
60
.
1/Xac đinh tâm va ban kinh măt câu ngoai tiêp hinh chop.
1
2/Tinh S măt câu
3/Tinh V khôi câu t ng ng.
Bai 12 : Cho hinh non co đ ng cao SO=h va ban kinh đay R. Goi M la điêm trên
đoan OS, đăt OM = x (0<x<h).
1/Tinh S thiêt diên
( )Γ
vuông goc v i truc tai M.
2/ Tinh V cua khôi non đinh O va đay
( )Γ
theo R ,h va x.
Xac đinh x sao cho V đat gia tri l n nhât?
Bai 13 : Hinh chop t giac đêu S.ABCD co canh đay a, goc gi a măt bên va đay la
ϕ
.
1/Tinh ban kinh cac măt câu ngoai tiêp va nôi tiêp hinh chop .
2/ Tinh gia tri cua
tanϕ
đê cac măt câu nay co tâm trung nhau.
Bai 14 : Môt hinh non đinh S co chiêu cao SH = h va đ ng sinh l băng đ ng kinh
đay.Môt hinh câu co tâm la trung điêm O cua đ ng cao SH va tiêp xuc v đay hinh
non .
1/Xac đinh giao tuyên cua măt non va măt câu.
2/Tinh
xq
S
cua phân măt non năm trong măt câu .
3/Tinh S măt câu va so sanh v i
tp
S
cua măt non.
Bai 15 : Cho lăng tru tam giac đêu ABC.A’B’C’ canh đay a,goc gi a đ ng thăng
AB’ va mp(BB’CC’) băng
ϕ
.Tinh
xq
S
cua hinh lăng tru.
Bai 16 : Cho lăng tru xiên ABC.A’B’C’ co đay la tam giac đêu canh a.Hinh chiêu cua
A’ xuông (ABC) trung v i tâm đ ng tron ngoai tiêp tam giac ABC .Cho
0
BAA ' 45=
.
1/C/m BCC’B’ la hinh ch nhât .
2/Tinh
xq
S
cua hinh lăng tru.
Bai 17 : Môt hinh chop t giac đêu S.ABCD co canh đay băng a va goc
ASB = α
.
1/Tinh
xq
S
cua hinh chop.
2/C/m răng đ ng cao cua hinh chop băng :
2
a
cot 1
2 2
α
−
3/ Goi O la giao điêm cac đ ng cheo cua đay ABCD .Xac đinh goc
α
đê măt
câu tâm O đi qua 5 điêm S,A,B,C,D.
Bai 18 : Cho khôi chop tam giac đêu S.ABC co đay la tam giac đêu canh a ,cac canh
bên tao v i đay môt goc
0
60
.Tinh V khôi chop đo.
Bai 19 : Cho khôi chop S.ABC co đay la tam giac cân ,AB=AC=5a ,BC =6a ,va cac
măt bên tao v i đay môt goc
0
60
.Tinh V khôi chop đo.
Bai 20 : Cho hinh chop tam giac S.ABC co đay la tam giac vuông B.Canh SA
vuông goc v i đay.T A ke cac đoan thăng
AD SB,AE SC⊥ ⊥
.Biêt AB=a,
BC=b,SA=c.
1/Tinh V khôi chop S.ADE.
2
2/Tinh khoang cach t E đên mp(SAB) .
Bai 21 : Ch ng minh răng tông cac khoang cach t 1 điêm trong bât kycua 1 t diên
đêu đên cac măt cua no la 1 sô không đôi .
Bai 22 : Cho hinh hôp ch nhât ABCD.A’B’C’D’ co AB =a,BC =2a ,AA’ =a.Lây
điêm M trên canh AD sao cho AM =3MD.
1/Tinh V khôi chop M.AB’C
2/Tinh khoang cach t Mđên mp(AB’C) .
Bai 23 : Cho hinh hôp ch nhât ABCD.A’B’C’D’ co AB =a,BC =b ,AA’ =c.Goi M,N
theo th t la trung điêm cua A’B’ va B’C’.Tinh ti sô gi a thê tich khôi chop
D’.DMN va thê tich khôi hôp ch nhât ABCD.A’B’C’D’ .
Bai 24 : Cho 2 đoan thăng AB va CD cheo nhau ,AC la đ ng vuông goc chung cua
chung .Biêt răng AC=h, AB =a, CD =b va goc gi a 2 đ ng thăng AB va CD băng
0
60
.Tinh V t diên ABCD.
Bai 25 : Cho t diên đêu ABCD.Goi (H) la hinh bat diên đêu co cac đinh la trung
điêm cac canh cua t diên đêu đo .Tinh ti sô
ABCD
V(H )
V
.
Bai 26 : Tinh V khôi t diên đêu canh a.
Bai 27 : Tinh V khôi bat diên đêu canh a.
Bai 28 : Cho hinh hôp ABCD.A’B’C’D’ .Tinh ti sô V khoi hôp đo va V khôi t diên
ACB’D’.
Bai 29 : Cho hinh chop S.ABC.Trên cac đoan thăng SA,SB,SC lân l t lây 3 điêm
A’, B’, C’ khac v i S .C/m :
S.A 'B'C '
S.ABC
V
SA 'SB'SC '
. . .
V SA SB SC
=
Bai 30 : Cho hinh chop tam giac đêu S.ABC co AB=a .Cac canh bên SA,SB,SC tao
v i đay môt goc
0
60
.Tinh V khôi chop đo .
Bai 31 : Cho hinh chop tam giac S.ABC co AB=5a ,BC=6a ,CA=7a.Cac măt bên
SAB,SBC,SCA tao v i đay môt goc
0
60
. Tinh V khôi chop đo .
Bai 32 : Cho hinh chop S.ABCD co đay ABCD la hinh ch nhât ,SA vuông goc v i
đay va AB=a ,AD=b, SA =c.Lây cac điêm B’,D’ theo th t thuôc SB,SD sao cho
AB' SB,AD ' SD⊥ ⊥
.Măt phăng (AB’D’) căt SC tai C’.Tinh V khôi chop đo .
Bai 33 : Cho hinh chop t giac đêu S.ABCD ,đay la hinh vuông canh a ,canh bên
tao v i đay môt goc
0
60
. Goi M la trung điêm SC.Măt phăng đi qua AM va song
song v i BD ,căt SB tai E va căt SD tai F.Tinh V khôi chop S.AEMF.
Bai 34 : Cho hinh lăng tru đ ng tam giac ABC.A’B’C’ co tât ca cac canh đêu băng a.
1/ Tinh V khôi t diên A’BB’C.
2/Măt phăng đi qua A’B’ va trong tâm
ABC
, căt AC va BC lân l t tai E va
F.Tinh V khôi chop C.A’B’FE.
Bai 35 : Cho hinh lâp ph ng ABCD.A’B’C’D’.canh a .Goi M la trung điêm cua
A’B’,N la trung điêm cua BC.
1/Tinh V khôi t diên ADMN.
3
2/Măt phăng (DMN) chia khôi lâp ph ng đa cho thanh 2 khôi đa diên .Goi (H) la
khôi đa diên ch a đinh A,(H’) la khôi đa diên con lai .Tinh ti sô
(H )
(H ')
V
V
Bai 36 : Cho khôi chop S.ABC co đ ng cao SA =a ,đay la tam giac vuông cân co
AB =BC =a. Goi B’ la trung điêm cua SB ,C’ la chân đ ng cao ha t A cua
ABC
.
1/ Tinh V khôi chop S.ABC.
2/C/m :
SC m p(AB'C ')⊥
.
3/Tinh V khôi chop S.AB’C’.
Bai 37 : Cho khôi chop S.ABC co đ ng cao SA = 2a ,
ABC
vuông C co AB=2a,
0
CAB 30=
.Goi H,K lân l t la hinh chiêu cua A trên SC va SB .
1/ Tinh V khôi chop H.ABC.
2/C/m :
AH SB⊥
va
SB m p(AHK )⊥
.
3/ Tinh V khôi chop S.AHK.
Bai 38 : Cho hinh lăng tru đ ng ABC.A’B’C’ co măt đay la tam giac ABC vuông tai
B va AB=a ,BC =2a ,AA’=3a .Môt mp(P) đi qua A va vuông goc v i CA’ lân l t căt
cac đoan thăng CC’ va BB’ tai M va N .
1/ Tinh V khôi chop C.A’AB.
2/C/m :
AN A 'B⊥
.
3/Tinh V khôi t diên A’AMN.
4/Tinh
AM N
S
.
Bai 39 : Cho lăng tru ABC.A’B’C’ co đô dai canh bên băng 2a ,đay ABC la tam giac
vuông tai A, AB =a,
AC a 3=
va hinh chiêu vuông goc cua đinh A’ trên mp(ABC)
la trung điêm cua canh BC.Tinh theo a thê tich khôi chop A’.ABC va tinh cosin cua
goc gi a 2 đ ng thăng AA’,B’C’.
Bai 40 : Cho hinh chop S.ABCD co đay ABCD la hinh vuông canh 2a ,SA=a ,
SB a 3=
va mp(SAB) vuông goc v i măt phăng đay.Goi M,N lân l t la trung
điêm cua cac canh AB,BC .Tinh theo a thê tich khôi chop S.BMDNva tinh cosin cua
goc gi a 2 đ ng thăng SM,DN.
Bai 41 :Cho lăng tru đ ng ABC.A’B’C’ co đay ABC la tam giac vuông ,AB=BC=a,
canh bên
AA ' a 2=
.Goi M la trung điêm cua canh BC.Tinh theo a thê tich khôi lăng
tru ABC.A’B’C’ va khoang cach gi a 2 đ ng thăng AM,B’C.
Bai 42 :Cho hinh chop S.ABCD co đay ABCD la hinh vuông canh a ,măt bên SAD la
tam giac đêu va năm trong măt phăng vuông goc v i đay.Goi M,N,P lân l t la trung
điêm cua cac canh SB,BC,CD.C/m :
AM BP⊥
va V khôi t diên CMNP.
Bai 43 :Cho hinh chop t giac đêu S.ABCD co đay la hinh vuông canh a .Goi E la
điêm đôi x ng cua D qua trung điêm cua SA, M la trung điêm cua AE ,N la trung
điêm cua BC. C/m :
M N BD⊥
va tinh khoang cach gi a 2 đ ng thăng MN va AC.
4
Bai 44 :Cho hinh chop S.ABCD co đay la hinh thang ,
0
ABC BAD 90= =
,
BA=BC=a ,AD =2a.Canh bên SA vuông goc v i đay va
SA a 2=
.Goi H la hinh
chiêu vuông goc cua A trên SB. C/m
SCD
vuông va tinh
[ ]
d H;(SCD)
.
Bai 45 :Cho hinh tru co cac đay la 2 hinh tron tâm O va O’, ban kinh đay băng chiêu
cao va băng a .Trên đ ng tron đay tâm O lây điêm A, trên đ ng tron đay tâm O’
lây điêm B sao cho AB = 2a .Tinh V khôi t diên OO’AB.
Bai 46 :Cho hinh chop S.ABCD co đay ABCD la hinh ch nhât v i AB=a ,
AD a 2=
,SA= a va
SA m p(ABCD )⊥
.Goi M,N lân l t la trung điêm cua AD va
SC .I la giao điêm cua BM va AC .
1/Cmr:
m p(SAC) m p(SM B)⊥
2/Tinh V khôi t diên ANIB.
Bai 47 :Cho hinh chop tam giac S.ABC co đay ABC la tam giac đêu canh a, SA =2a
va
SA m p(ABC)⊥
.Goi M,N lân l t la hinh chiêu vuông goc cua A trên cac đ ng
thăng SB va SC .Tinh V khôi chop A.BCMN.
Bai 48 : Cho hinh lăng tru luc giac đêu ABCDE.A’B’C’D’E’ canh bên l, măt cheo đi
qua 2 canh đay đôi diên nhau h p v i đay 1 goc
0
60
.Tinh V lăng tru.
Bai 49 : Canh đay cua 1 hinh chop tam giac đêu băng a; măt bên cua hinh chop tao
v i măt đay 1 goc
α
.Tinh V khôi chop .
Bai 50 : Cho 1 hinh hôp ch nhât ABCD.A’B’C’D’ co đ ng cheo B’D=a tao thanh
v i măt phăng đay ABCD 1 goc băng
α
va tao thanh v i măt bên AA’D’D 1 goc
băng
β
.Tinh V cua hinh hôp ch nhât trên.
Bai 51 : Đ ng sinh cua 1 hinh non co đô dai băng a va tao thanh v i đay 1 goc
α
.
Tinh diên tich xung quanh va thê tich hinh non .
Bai 52 : Cho hinh chop S.ABC co đay la tam giac vuông cân ,canh huyên BC = a
.Măt bên SBC tao v i đay goc
α
.Hai măt bên con lai vuông goc v i đay .
1/C/m SA la đ ng cao cua hinh chop .
2/Tinh V khôi chop .
Bai 53 : Cho hinh hôp ch nhât ABCD.A’B’C’D’ co đay la 1 hinh vuông va chiêu cao
băng h .Goc gi a đ ng cheo va măt đay cua hinh hôp ch nhât đo băng
α
.Tinh
xq
S
va V cua hinh hôp đo.
Bai 54 : Cho hinh chop tam giac S.ABC .Hai măt bên SAB va SBC cua hinh chop
cung vuông goc v i đay ,măt bên con lai tao v i đay 1 goc
α
.Đay ABC cua hinh
chop co
0
A 90=
,
$
0
B 60=
, canh BC =a. Tinh
xq
S
va V cua hinh chop.
Bai 55 : Đay cua hinh lăng tru đ ng ABC.A’B’C’ la 1 tam giac cân co AB=AC =a va
A 2= α
. Goc gi a măt phăng đi qua 3 đinh A’,B,C va măt đay( ABC) băng
β
.
Tinh
xq
S
va V cua hinh lăng tru đo .
5
Bai 56 : Cho lăng tru tam giac đêu ABC.A’B’C’co canh đay băng a va 1 điêm D trên
canh BB’.Măt phăng qua cac điêm D,A,C tao v i măt đay (ABC) 1 goc
α
va mp qua
cac điêm DA’C’ tao v i măt đay A’B’C’ 1 goc
β
.Tinh V lăng tru .
Bai 57 : Cho hinh non tron xoay đinh S .Trong đay cua hinh non đo co hinh vuông
ABCD nôi tiêp , canh băng a .Biêt răng
ASB
= 2
α
( )
0 0
0 45< α <
.
Tinh V va
xq
S
cua hinh non .
Bai 58 : Cho lăng tru đ ng ABC.A’B’C’ .Đay ABC la tam giac cân co AB=AC =
0
120
.Đ ng cheo cua măt BB’C’C băng d va tao v i măt đay goc
α
.
Tinh
xq
S
va V cua hinh lăng tru đo .
Bai 59 : Cho lăng tru đ ng ABC.A’B’C’ co đay ABC la tam giac vuông tai A v i
AC =a va
C = α
.Đ ng cheo BC cua măt bên (BCC’B’) h p v i măt bên
(ACC’A’) môt goc
β
.Tinh V lăng tru .
Bai 60 : Cho hinh hôp ABCD.A’B’C’D’ co đay la hinh thoi ABCD canh a ,
A = α
,
va chân đ ng vuông goc ha t B’ xuông đay (ABCD) trung v i giao điêm O cac
đ ng cheo cua đay .Cho BB’ =a .Tinh V va
xq
S
cua hinh hôp đo .
Bai 61 : Cho hinh chop S.ABCD co đay la hinh vuông ABCD canh a ; (SAC) vuông
goc v i đay ;
0
ASC 90=
va SA tao v i đay 1 goc băng
α
.Tinh V cua hinh chop.
Bai 62 : Cho hinh chop S.ABC co
0
BAC 90 ,ABC= = α
;SBC la tam giac đêu canh
a va (SAB)
(ABC)⊥
.Tinh V cua hinh chop.
Bai 63 : Cho hinh chop t giac đêu S.ABCD , co chiêu cao h ,goc đinh cua măt bên
băng 2
α
.Tinh
xq
S
va V cua hinh chop đo .
Bai 64 : Cho hinh chop S.ABC co cac măt bên đêu la tam giac vuông đinh S va
SA=SB=SC =a .Tinh
[ ]
d S;(ABC)
.
Bai 65 : Cho hinh chop S.ABC co đay la tam giac đêu canh
a 3
, đ ng cao
SA=a.Măt phăng qua A va vuông goc v i SB tai H căt SC tai K. Tinh SK va
AHK
S
.
Bai 66 : Cho hinh chop S.ABCD , đay la hinh binh hanh ABCD co diên tich băng
2
a 3
va goc gi a 2 đ ng cheo băng
0
60
.Biêt răng cac canh bên cua hinh chop
nghiêng đêu trên măt đay 1 goc
0
45
.
1/ Ch ng to ABCD la hinh ch nhât.
2/ Tinh V cua hinh chop đo .
Bai 67 : Cho hinh chop S.ABCD , đay la hinh thang vuông ABCD vuông tai A va
B ,AB=BC=2a ; đ ng cao cua hinh chop la SA =2a .
1/ Xac đinh va tinh đoan vuông goc chung cua AD va SC .
2/ Tinh V cua hinh chop đo .
Bai 68 : Cho hinh chop S.ABCD co canh SA =x ,con tât ca cac canh khac co đô dai
băng 1.
6
1/C/m:
SA SC⊥
2/Tinh V cua hinh chop đo .
Bai 69 : Cho hinh chop S.ABCD .Đay ABCD la n a luc giac đêu v i AB=BC=CD=a
va AD= 2a .Hai măt bên SAB va SAD vuông goc v i đay ,mp(SBD) tao v i mp
ch a đay 1 goc
0
45
.
1/Tinh V cua hinh chop đo .
2/Tinh
[ ]
d C;(SBD)
.
Bai 70 : Cho t diên ABCD co AB=a ,BC =b, BD =c,
0
ABD ABC 60= =
,
0
CBD 90=
.Tinh V cua t diên đo .
Bai 71 : Cho hinh lăng tru tam giac ABC.A’B’C’,trong đo ABC la tam giac đêu canh
c, A’H vuông goc v i mp(ABC).(H la tr c tâm cua tam giac ABC ), canh bên AA’ tao
v i mp(ABC) 1 goc
α
.
1/C/mr: AA’
BC⊥
2/Tinh V cua khôi lăng tru .
Bai 72 : Cho hinh chop t giac đêu S.ABCD co tât ca cac canh đêu băng a.
1/Tinh V cua hinh chop S.ABCD .
2/Tinh khoang cach t tâm măt đay ABCD đên cac măt bên cua hinh chop.
Bai 73 : Cho hinh chop tam giac đêu S.ABC, co đ ng cao SO =1 va đay ABC co
canh băng
2 6
.Điêm M,N la trung điêm cua canh AB,AC t ng ng .Tinh V cua
hinh chop S.AMN va ban kinh hinh câu nôi tiêp hinh chop đo.
Bai 74 : Trong mp(P) cho 1 điêm O va 1 đ ng thăng d cach O môt khoang OH =h
.Lây trên d hai điêm phân biêt B,C sao cho
0
BOH COH 30= =
. Trên đ ng thăng
vuông goc v i (P) tai O, lây điêm A sao cho OA =OB .
1/Tinh V cua t diên OABC.
2/Tinh
[ ]
d O;(ABC)
theo h .
Bai 75 : Cho hinh chop S.ABCD co canh SA =x va cac canh con lai đêu băng 1 .
1/C/m :
SA SC⊥
.
2/Tinh V cua hinh chop .Xac đinh x đê bai toan co nghia.
Bai 76 : Tinh V cua khôi t diên ABCD , biêt AB =a, AC=AD=BC=BD=CD=
a 3
.
Bai 77 : Cho t diên SABC co cac canh bên SA=SB =SC =d va
0
ASB 90=
,
0
BSC 60=
,
0
ASC 90=
.
1/C/m :
ABC
la tam giac vuông.
2/Tinh V cua t diên SABC.
Bai 78 : Cho lăng tru đ ng ABCD.A’B’C’D’ co đay ABCD la hinh thoi canh a, goc
nhon
0
BAD 60=
.Biêt
AB' BD '⊥
. Tinh V cua khôi lăng tru trên theo a .
Bai 79 : Trên n a đ ng tron đ ng kinh AB =2R , lây 1 điêm C tuy y .D ng
CH AB⊥
(H thuôc AB) va goi I la trung điêm cua CH .Trên n a đ ng thăng It
vuông goc v i mp(ABC) lây điêm S sao cho
0
ASB 90=
.
1/C/m :
SHC
la tam giac đêu .
7