LÃI SUẤT NGÂN HÀNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Các dạng toán lãi suất ngân hàng: Lãi đơn: số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gố c sinh ra, tức tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r % /kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n ∈ ¥ * ) là: S n = A + nAr = A ( + nr ) Chú ý: tính tốn tốn lãi suất toán liên quan, ta nhớ r % r 100 b) Ví dụ: Chú Nam gửi vào ngân hàng triệu đồng với lãi đơn 5%/năm sau năm số tiền Nam nhận vốn lẫn lãi bao nhiêu? Giải: Số tiền gốc lẫn lãi Nam nhận sau năm là: S5 = ( + 5.0, 05 ) = 1, 25 (triệu đồng) Lãi kép: tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau a) Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r % /kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n ∈ ¥ * ) là: Sn = A ( + r ) n Chú ý: Từ công thức (2) ta tính được: S n = log ( 1+ r ) n ÷ A r% = A= n Sn −1 A Sn (1+ r ) n b) Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm a) Tính số tiền gốc lẫn lãi Việt nhận sau gửi ngân hàng 10 năm b) Với số tiền 10 triệu đó, Việt gửi ngân hàng với lãi kép % /tháng sau 10 năm Việt 12 nhận số tiền gốc lẫn lãi nhiều hay hơn? Giải: a) Số tiền gốc lẫn lãi nhận sau 10 năm với lãi kép 5%/năm 10 S10 = 10 1 + ÷ ≈ 16, 28894627 triệu đồng 100 b) Số tiền gốc lẫn lãi nhận sau 10 năm với lãi kép % /tháng 12 120 S120 = 10 + ÷ ≈ 16, 47009498 triệu đồng 12 ×100 Vậy số tiền nhận với lãi suất % /tháng nhiều 12 Ví dụ 2: a) Bạn An gửi tiết kiệm số tiền ban đầu 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng (không kỳ hạn) Hỏi bạn An phải gửi tháng vốn lẫn lãi vượt 1300000 đồng ? b) Với số tiền ban đầu số tháng đó, bạn An gửi tiết kiệm có kỳ hạn tháng với lãi suất 0,68%/tháng, bạn An nhận số tiền vốn lẫn lãi bao nhiêu? Biết tháng kỳ hạn, cộng thêm lãi không cộng vốn lãi tháng trước để tình lãi tháng sau Hết kỳ hạn, lãi cộng vào vốn để tính lãi kỳ hạn (nếu gửi tiếp), chưa đến kỳ hạn mà rút tiền số tháng dư so với kỳ hạn tính theo lãi suất khơng kỳ hạn Giải: 1300000 a) Ta có n = log1,0058 ÷ ≈ 45,3662737 nên để nhận số tiền vốn lẫn lãi 1000000 vượt q 1300000 đồng bạn An phải gửi 46 tháng b) Ta thấy 46 tháng 15 kỳ hạn thêm tháng nên số tiền nhận S = 106.1, 006815.1, 0058 ≈ 1361659, 061 Ví dụ 3: Lãi suất tiền gửi tiết kiệm số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi Bạn Châu gửi số tiền ban đầu triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy năm, lãi suất tăng lên 1,15% tháng nửa năm bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm lãi suất giảm xuống 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm số tháng tròn nữa, rút tiền bạn Châu vốn lẫn lãi 747 478,359 đồng (chưa làm tròn) Hỏi bạn Châu gửi tiền tiết kiệm tháng? Giải: Gọi X , Y ( X ,Y ∈ ¢ + : X , Y ≤ 12 ) số tháng bạn Châu gửi với lãi suất 0,7%/tháng 0,9%/tháng ta có 5.106.1,007 X 1,01156.1,009Y = 5747478,359 5747478,359 ⇔ 1,009Y = 5.106.1,007 X 1,01156 5747478,359 ⇔ Y = log1, 009 5.106.1, 007 X 1,01156 5747478,359 , cho giá trị X 5.106.1, 007 X 1, 01156 chạy từ đến 10 với STEP Nhìn vào bảng kết ta cặp số nguyên X = 5; Y = Nhập vào máy tính Mode nhập hàm số f ( X ) = log1,009 Vậy bạn Châu gửi tiền tiết kiệm + + = 15 tháng Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi số tiền vào thời gian cố định a) Cơng thức tính: Đầu tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r % /tháng số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng ( n ∈ ¥ * ) ( nhận tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) S n Ý tưởng hình thành cơng thức: + Cuối tháng thứ nhất, ngân hàng tính lãi số tiền có A S1 = A ( + r ) = ( + r ) − 1 ( + r ) r + Đầu tháng thứ hai, gửi thêm số tiền A đồng số tiền ( + r ) − 1 = A + r − 1 T1 = A ( + r ) + A = A ( + r ) + 1 = A ( ) ( 1+ r ) −1 r + Cuối tháng thứ hai, ngân hàng tính lãi số tiền có A S = ( + r ) − 1 ( + r ) r + Từ ta có cơng thức tổng quát A n ( + r ) − 1 ( + r ) r Chú ý: Từ cơng thức (1.6) ta tính được: Sn = S n r n = log ( 1+ r ) + 1÷ ÷ A( 1+ r ) A= Sn r ( + r ) ( + r ) n − 1 b) Một số ví dụ: Ví dụ 1: Đầu tháng ông Mạnh gửi ngân hàng 580000 đồng với lãi suất 0,7%/tháng Sau 10 tháng số tiền ơng Mạnh nhận gốc lẫn lãi (sau ngân hàng tính lãi tháng cuối cùng) bao nhiêu? Giải: S10 = 580000 10 ( 1, 007 ) − 1 1, 007 ≈ 6028005,598 đồng 0, 007 Ví dụ 2: Ơng Nghĩa muốn có 100 triệu đồng sau 10 tháng kể từ gửi ngân hàng với lãi 0,7%/tháng tháng ơng Nghĩa phải gửi số tiền bao nhiêu? Giải: A= 100.0,007 ≈ 9,621676353 đồng 10 1,007 ( 1,007 ) − 1 Ví dụ 3: Đầu tháng anh Thắng gửi vào ngân hàng số tiền triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng Hỏi sau tháng ( ngân hàng tính lãi) anh Thắng số tiền gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên? Giải: 100.0, 006 n = log1,006 + 1÷ ≈ 30,31174423 3.1, 006 Vậy anh Thắng phải gửi 31 tháng số tiền gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên Ví dụ 4: Đầu tháng bác Dinh gửi vào ngân hàng số tiền triệu đồng sau năm bác Dinh nhận số tiền gốc lẫn lãi 40 triệu Hỏi lãi suất ngân hàng phần trăm tháng? Giải: 12 Ta có 40 = ( + r ) − 1 ( + r ) nên nhập vào máy tính phương trình r 12 ( + X ) − 1 ( + X ) − 40 nhấn SHIFT CALC với X = ta X = 0, 016103725 X Vậy lãi suất hàng tháng vào khoảng 1,61 %/tháng Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng: a) Cơng thức tính: Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r % /tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút số tiền X đồng Tính số tiền lại sau n tháng bao nhiêu? Ý tưởng hình thành cơng thức: Cuối tháng thứ nhất, ngân hàng tính lãi số tiền có T1 = A ( + r ) sau rút số tiền lại S1 = A ( + r ) − X = A ( + r ) − X ( 1+ r ) −1 r • Cuối tháng thứ hai, ngân hàng tính lãi số tiền có T2 = A ( + r ) − X ( + r ) = A ( + r ) − X ( + r ) sau rút số tiền lại S = A ( + r ) − X ( + r ) − X = A ( + r ) − X ( + r ) + 1 = A ( + r ) 2 ( 1+ r ) −X −1 r • Từ ta có cơng thức tổng quát số tiền lại sau n tháng Sn = A ( + r ) n ( 1+ r ) −X n −1 r Chú ý: Từ công thức (9) ta tính được: r n X = A ( + r ) − Sn ( + r ) n −1 b) Một số ví dụ: Ví dụ 1: Anh Chiến gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,75%/tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, anh Chiến đến ngân hàng rút 300 nghìn đồng để chi tiêu Hỏi sau năm số tiền anh Chiến lại ngân hàng bao nhiêu? Giải: S 24 = 2.10 ( 1,0075 ) 24 ( 1,0075) − 3.10 24 0,0075 −1 ≈ 16071729, 41 đồng Ví dụ 2: Anh Chiến gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, anh Chiến rút số tiền để chi tiêu Hỏi số tiền tháng anh Chiến rút để sau năm số tiền vừa hết? Giải: 2.107.( 1,007 ) 0,007 60 Vì S n = nên áp dụng cơng thức (1.10) X = ( 1,007 ) 60 −1 ≈ 409367,3765 đồng Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r % /tháng Sau tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách tháng, hoàn nợ số tiền X đồng trả hết tiền nợ sau n tháng a) Cơng thức tính: Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng giống hồn tồn cơng thức tính gửi ngân hàng rút tiền hàng tháng nên ta có Sn = A ( + r ) n ( 1+ r ) −X n −1 r Để sau n tháng trả hết nợ S n = nên A( 1+ r ) n (1+ r ) −X n −1 r =0 A ( + r ) r n X= (1+ r ) n −1 b) Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chị Năm vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 1,15%/tháng vịng năm tháng chị Năm phải trả số tiền bao nhiêu? Giải: 5.107 ( 1,0115 ) 0,0115 48 Số tiền chị Năm phải trả năm là: X = ( 1,0115 ) 48 −1 ≈ 1361312,807 đồng Ví dụ 2: a) Ạnh Ba vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9%/tháng , tháng trả 15 triệu đồng Sau tháng anh Ba trả hết nợ? b) Mỗi tháng anh Ba gửi vào ngân hàng số tiền 15 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng sau thời gian trả nợ câu a), số tiền gốc lẫn lãi anh Ba nhận bao nhiêu? Giải: a) Ta có 500 ( 1,009 ) n ( 1,009 ) − 15 n −1 0,009 = giải X = 39,80862049 nên phải trả nợ vòng 40 tháng b) Sau 40 tháng số tiền nhận S 40 = 15 40 ( 1, 007 ) − 1 1, 007 ≈ 694, 4842982 triệu đồng 0, 007 Bài toán tăng lương: Một người lãnh lương khởi điểm A đồng/tháng Cứ sau n tháng lương người tăng thêm r % /tháng Hỏi sau kn tháng người lĩnh tất số tiền bao nhiêu? Công thức tính: Tổng số tiền nhận sau kn tháng S kn = Ak ( 1+ r ) −1 r k Ví dụ: Một người lãnh lương khởi điểm triệu đồng/tháng Cứ tháng lương người tăng thêm 7% /tháng Hỏi sau 36 năm người lĩnh tất số tiền bao nhiêu? Giải: ( 1,07 ) = 3.10 12 12 S36 −1 0,07 ≈ 643984245,8 đồng II Bài toán tăng trưởng dân số: Cơng thức tính tăng trưởng dân số X m = X n ( + r ) m−n , ( m, n ∈ ¢ + , m ≥ n ) Trong đó: r % tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m X m dân số năm m X n dân số năm n Từ ta có cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số r % = m − n Xm −1 Xn Ví dụ: Theo kết điều tra dân số, dân số trung bình nước Việt Nam qua số mốc thời gian (Đơn vị: 1.000 người): Năm 1976 1980 1990 2000 2010 Số dân 49160 53722 66016,7 77635 88434,6 a) Tính tỉ lệ % tăng dân số trung bình năm giai đoạn 1976-1980, 1980-1990, 1990-2000, 2000-2010 Kết xác tới chữ số phần thập phân sau dấu phẩy Giả sử tỉ lệ % tăng dân số trung bình năm khơng đổi giai đoạn b) Nếu trì tỉ lệ tăng dân số giai đoạn 2000-2010 đến năm 2015 2020 dân số Việt Nam bao nhiêu? c) Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề phương án: Kể từ năm 2010, năm phấn đấu giảm bớt x% ( x không đổi) so với tỉ lệ % tăng dân số năm trước (nghĩa năm tỉ lệ tăng dân số a% năm sau ( a − x ) % ) Tính x để số dân năm 2015 92,744 triệu người Giải: 53722 − 1÷ a)+ Tỉ lệ tăng dân số giai đoạn 1976 – 1980 r % = ÷.100 ≈ 2, 243350914% 49160 66016, − 1÷ + Tỉ lệ tăng dân số giai đoạn 1980 – 1990 r % = 10 ÷.100 ≈ 2, 082233567% 53722 77635 − 1÷ + Tỉ lệ tăng dân số giai đoạn 1990 – 2000 r % = 10 ÷.100 ≈ 1, 63431738% 66016, 88434, − 1÷ + Tỉ lệ tăng dân số giai đoạn 2000 – 2010 r % = 10 ÷.100 ≈ 1,31096821% 77635 Giai đoạn Tỉ lệ % tăng dân số/năm 1976-1980 1980-1990 1990-2000 2000-2010 2,2434% 2,0822% 1,6344% 1,3109% b) Nếu trì tỉ lệ tăng dân số giai đoạn 2000-2010 thì: Đến năm 2015 dân số nước ta là: 88434, ( + 1,3109 /100 ) ≈ 94,385 triệu người Đến năm 2020 dân số nước ta là: 88434, ( + 1,3109 /100 ) 10 ≈ 100, 736 triệu người c) Nếu thực phương án giảm dân số đến năm 2015 dân số nước ta là: 88434, ( 1, 013109 − x ) ( 1, 013109 − x ) ( 1, 013109 − x ) ( 1, 013109 − x ) ( 1, 013109 − x ) Ta có phương trình: 88434, ( 1, 013109 − x ) ( 1, 013109 − x ) ( 1, 013109 − x ) = 92744 giải phương trình ta được: x% ≈ 0,1182% III Lãi kép liên tục: Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r % /năm số tiền nhận vốn lẫn lãi sau n năm n là: S n = A ( + r ) Giả sử ta chia năm thành m kì hạn để tính lãi lãi suất kì hạn ( n∈¥ ) * r % số m m.n r tiền thu sau n năm S n = A 1 + ÷ m Khi tăng số kì hạn năm lên vô cực, tức m → +∞ , gọi hình thức lãi kép tiên tục người ta chứng minh số tiền nhận gốc lẫn lãi là: S = Ae n.r MERGEFORMAT Công thức (3.1) cịn gọi cơng thức tăng trưởng mũ Ví dụ 1: Sự tăng trưởng dân số ước tính theo cơng thức tăng trưởng mũ Biết tỉ lệ tăng dân số giới hàng năm 1,32%, năm 2013 dân số giới vào khoảng 7095 triệu người Khi dự đốn dân số giới năm 2020 bao nhiêu? Giải: Theo công thức tăng trưởng mũ dự đốn dân số năm 2010 S = 7095.e7.0,0132 ≈ 7781 triệu người Ví dụ 2: Biết đầu năm 2010, dân số Việt Nam 86932500 người tỉ lệ tăng dân số năm 1,7% tăng dân số tính theo công thức tăng trưởng mũ Hỏi tăng dân số với tỉ lệ đến năm dân số nước ta mức 100 triệu người? Giải: 100 ln 86,9325 Ta có 100 = 86,9325.e n.0,017 ⇔ n = ≈ 8, 0, 017 Vậy tăng dân số với tỉ lệ đến năm 2018 dân số nước ta mức 100 triệu người B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Ông An gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền a đồng, với lãi suất r% tháng, theo phương thức lãi đơn Hỏi sau n tháng ông An nhận số tiền gốc lãi tính theo cơng thức nào? A a + nar B nar C a (1 + r ) n D na (1 + r ) Câu Bà Mai gửi tiết kiệm ngân hàng Vietcombank số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 0, 79% tháng, theo phương thức lãi kép Tính số tiền vốn lẫn lãi bà Mai nhận sau năm? (làm trịn đến hàng nghìn) A 60393000 B 50 793000 C 50 790 000 D 59 480 000 Câu Chị Hà gửi ngân hàng 3350 000 đồng, theo phương thức lãi đơn, với lãi suất 0, 4% nửa năm Hỏi chị rút vốn lẫn lãi 020 000 đồng? A năm B 30 tháng C năm D 24 tháng Câu Tính theo phương thức lãi đơn, để sau 2,5 năm rút vốn lẫn lãi số tiền 10892 000 đồng với % quý bạn phải gửi tiết kiệm số tiền bao nhiêu? A 9336 000 B 10 456 000 C 617 000 D 2108000 lãi suất Câu Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng, với lãi suất m% tháng Nếu người khơng rút tiền lãi cuối N tháng số tiền nhận gốc lãi tính theo công thức nào? A A A(1 + m) N B (1 + m) N − 1 m A N +1 C (1 + m) − (1 + m) D A + Am + + NAm m Câu Bạn Lan gửi 1500 USD với lãi suất đơn cố định theo quý Sau năm, số tiền bạn nhận gốc lẫn lãi 2320 USD Hỏi lãi suất tiết kiệm quý? (làm tròn đến hàng phần nghìn) A 0,182 B 0, 046 C 0, 015 D 0, 037 Câu Chị Thanh gửi ngân hàng 155 triệu đồng, với lãi suất 1, 02% quý Hỏi sau năm số tiền lãi chị nhận bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn) A 161421000 B 6324 000 C 1581000 D 421000 Câu Hãy cho biết lãi suất tiết kiệm năm bạn gửi 15, 625 triệu đồng sau năm rút vốn lẫn lãi số tiền 19, 683 triệu đồng theo phương thức lãi kép? A 9% Câu B 8% C 0, 75% D % Một khách hàng gửi tiết kiệm 64 triệu đồng, với lãi suất 0,85% tháng Hỏi người phải tháng để số tiền gốc lẫn lãi không 72 triệu đồng? A.13 B 14 C 15 D 18 Câu 10 Anh Thành trúng vé số giải thưởng 125 triệu đồng, sau trích 20% số tiền để chiêu đãi bạn bè làm từ thiện, anh gửi số tiền lại vào ngân hàng với lãi suất 0,31% tháng Dự kiến 10 năm sau, anh rút tiền vốn lẫn lãi cho gái vào đại học Hỏi anh Thành rút tiền? (làm trịn đến hàng nghìn) A 144980 000 B 103144 000 C 181225000 D 137 200 000 10 ... lãi nhận sau 10 năm với lãi kép % /tháng 12 120 S120 = 10 + ÷ ≈ 16, 47009498 triệu đồng 12 ×100 Vậy số tiền nhận với lãi suất % /tháng nhiều 12 Ví dụ 2: a) Bạn An gửi tiết kiệm số tiền... 1: Anh Chi? ??n gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,75%/tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, anh Chi? ??n đến ngân hàng rút 300 nghìn đồng để chi tiêu Hỏi sau năm số tiền anh Chi? ??n lại... 41 đồng Ví dụ 2: Anh Chi? ??n gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, anh Chi? ??n rút số tiền để chi tiêu Hỏi số tiền tháng anh Chi? ??n rút để sau năm