Sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU TIẾN Mang l■i tr■ nghi■m m■i m■ cho ng■■i dùng, công ngh■ hi■n th■ hi■n ■■i, b■n online khơng khác so v■i b■n g■c B■n có th■ phóng to, thu nh■ tùy ý sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em s¸ng kiÕn kinh nghiƯm ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Người thực hiện: Trần Mạnh Hân Tổ chuyên môn : Toán - Tin NĂM HỌC 2013- 2014 123doc Xu■t Sau Nhi■u h■n phát event s■ m■t t■ h■u thú ýn■m t■■ng m■t v■,raevent kho ■■i, t■oth■ c■ng ki■m 123doc vi■n ■■ng ti■n kh■ng ■ãthi■t t■ng ki■m l■ th■c b■■c v■i ti■nh■n 123doc online kh■ng 2.000.000 b■ng ■■nh tàitài v■ li■u t■o li■u tríhi■u c■ c■a ■ t■t h■i qu■ c■ gianh■t, l■nh t■nguy v■c: l■nh thu tínnh■p tài v■c cao nh■t tài online li■u tínMong cho d■ng, kinh t■t mu■n công c■ doanh mang ngh■ online thành l■i thơng cho viên Tính tin, c■ng c■a ■■n ngo■i website ■■ng th■i ng■, Khách ■i■m xã h■itháng m■thàng ngu■n 5/2014; có th■ tài 123doc nguyên d■ dàng v■■t tri tra th■c m■c c■u quý 100.000 tàibáu, li■uphong m■t l■■t cách truy phú,c■p ■am■i d■ng, xác, ngày, nhanh giàus■ giá chóng h■u tr■ 2.000.000 ■■ng th■ithành mongviên mu■n ■■ng t■oký, ■i■u l■t ki■n vào top cho200 chocác cácwebsite users cóph■ thêm bi■n thunh■t nh■p t■iChính Vi■t Nam, v■yt■123doc.net l■ tìm ki■m thu■c ■■i nh■m top 3■áp Google ■ng Nh■n nhu c■u ■■■c chiadanh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Nhi■u 123doc Sau Th■a thu■n event s■ cam nh■n h■u k■t s■ thú xác m■t d■ng v■, s■ nh■n mang event kho t■ th■ l■i ki■m ■■ng CH■P vi■n nh■ng ti■n h■ kh■ng NH■N quy■n th■ng thi■tl■ CÁC th■c s■ l■i v■ichuy■n ■I■U t■t h■n 123doc nh■t 2.000.000 KHO■N sang cho ng■■i ph■n TH■A tàit■o li■u thông dùng THU■N c■ ■ tin t■t h■i Khixác c■ khách giaminh l■nh t■ng Chào hàng tài v■c: thu m■ng kho■n tr■ nh■p tài thành b■n email online ■■n thành tínb■n cho d■ng, v■i viên ■ã t■t 123doc 123doc.net! công ■■ng c■a c■ ngh■ 123doc kýthành v■i Chúng thông 123doc.netLink viên n■p tin, c■a cung ti■n ngo■i website vào c■p ng■, Khách xác tài D■ch kho■n th■c V■ s■ c■a (nh■ hàng ■■■c 123doc, ■■■c cóg■i th■v■ mơ b■n d■■■a t■ dàng s■ d■■i ■■■c ch■ tra■ây) email c■u h■■ng cho tài b■n li■u b■n, nh■ng ■ã m■t tùy ■■ng quy■n cách thu■c ky, l■i b■n vàosau xác, vuin■p lịng “■i■u nhanh ti■n ■■ng Kho■n chóng nh■p website Th■a email Thu■n c■a v■ S■vàD■ng click D■ch vào link V■” 123doc sau ■ây ■ã (sau g■i ■ây ■■■c g■i t■t T■i t■ng th■i ■i■m, chúng tơi có th■ c■p nh■t ■KTTSDDV theo quy■t Nhi■u Mang Luôn 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thông dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thông B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mơ ngun b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Mangh■n Ln 123doc Th■a Xu■t Sau Nhi■u h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chun ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thơng B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i không t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Luônh■n 123doc Th■a Xu■t Sau h■■ng phát thu■n cam nh■n m■t t■k■t s■ t■i ýxác n■m t■■ng d■ng s■ nh■n website mang ■■i, t■o t■l■i c■ng ■■ng d■n 123doc CH■P nh■ng ■■u ■■ng h■ NH■N ■ã quy■n th■ng chia t■ng ki■m CÁC s■s■ l■i b■■c ti■n vàchuy■n ■I■U t■t mua online kh■ng nh■t bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh ng■■i li■u ph■n tài TH■A v■ li■u hàng thơng dùng tríTHU■N hi■u c■a ■■u tin Khi qu■ Vi■t xác khách nh■t, minh Nam Chào hàng uy tài l■nh Tác m■ng tín kho■n tr■ phong v■c cao thành b■n email nh■t tàichuyên ■■n li■u thành b■n Mong v■i nghi■p, viên kinh ■ã 123doc 123doc.net! mu■n ■■ng c■a doanh hoàn mang 123doc kýonline v■i h■o, Chúng l■ivà 123doc.netLink cho Tính ■■ n■p tơi c■ng cao ■■n cung ti■n tính ■■ng th■i vào c■p trách xác tài ■i■m D■ch xãkho■n th■c nhi■m h■itháng V■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i ■■■c ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c g■i t■ng tài 123doc v■ mô nguyên b■n ng■■i ■■a t■s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ th■c m■c ■ây) email M■c h■■ng quý 100.000 cho b■n tiêu báu, b■n, nh■ng ■ã hàng phong l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau vuingày, n■p lòng “■i■u giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Lnh■n Th■a Xu■t Sau Nhi■u 123doc Mang h■■ng phát thu■n l■i event cam s■ nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thông B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t u■t phát Nhi■u Mang Luôn 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n t■ m■t tr■ t■ h■u ýk■t s■ thú nghi■m t■i ýt■■ng xác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event t■o kho m■i ■■i, t■o t■ c■ng th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■ng ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia ki■m t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c ti■n s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công online h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N b■ng sang b■ng cho tài ■■nh hi■n tài ng■■i li■u ph■n tài TH■A li■u tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng trí hi■u hi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin qu■ t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia nh■t, b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online uy hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác tín m■ng tín kho■n tr■ cao nh■p không tài phong v■c cao thành b■n nh■t email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tín Mong b■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã mu■n t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n mang hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i l■i h■o, Chúng l■i thông B■n cho 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có c■ng tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i ■■ng tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác xã tài ■i■m D■ch xã to,h■i kho■n th■c nhi■m h■i thum■t tháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ngu■n ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cótài g■i t■ng th■ tài 123doc nguyên v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t tri d■■i tri dùng ■■■c ch■ th■c tra th■c m■c ■ây) email c■u quý M■c h■■ng quý 100.000 cho tài báu, b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng phong ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u phú, quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a ■a l■i b■n vào d■ng, 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p giàu lòng “■i■u nhanh giàu ti■n giá s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u tr■ thành tr■ nh■p ■■ng 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email th■i vi■n th■i Thu■n mong c■a thành mong tài v■ li■u mu■n viên mu■n S■ online ■■ng D■ng t■o click t■o l■n ■i■u ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n ki■n V■” vào Vi■t 123doc cho top sau cho Nam, cho 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■i users website c■p users ■âynh■ng có ■■■c cóph■ thêm thêm tài bi■n g■i thu thu li■u t■t nh■p nh■t nh■p ■■c T■it■i Chính khơng t■ng Chính Vi■tth■i vìth■ Nam, vìv■y v■y ■i■m, tìm 123doc.net t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racó ■■i thu■c ■■i tr■■ng th■ nh■m nh■m c■p top ngo■i ■áp 3nh■t ■áp Google ■ng tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net nhu Nh■n nhuc■u c■u ■■■c chia theo chias■ quy■t danh s■tàitài hi■u li■u li■uch■t ch■t c■ng l■■ng l■■ng ■■ng vàvàki■m bình ki■mch■n ti■n ti■nonline online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong giảng dạy mơn tốn, ngồi việc giúp học sinh nắm chắn kiến thức việc phát huy tính tích cực học sinh, biết lựa chọn phương pháp học vào giải toán điều cần thiết Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số dạng tốn phổ biến quan trọng chương trình phổ thông, thường gặp đề tuyển sinh đại học – cao đẳng chuyên đề hay gặp đề thi chọn học sinh giỏi phổ thông Các giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đa dạng phong phú Cả lý luận thực tiễn dạy học chứng tỏ chúng có hiệu việc phát triển tư cho học sinh Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc nhiều vào đặc thù toán Đứng trước toán này, học sinh phổ thông thường lúng túng phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski…Vì việc lựa chọn phương pháp giải toán với toán quan trọng Trong viết tập trung vào vấn đề: “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT” sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Việc lựa chọn công cụ hình học vào giải tốn đại số cách nhìn mẻ Nội dung phương pháp nhìn tốn đại số theo quan điểm hình học, giải toán đỏi hỏi phải tọa độ hóa tốn đại số Như vậy, việc chọn hệ trục tọa độ quan trọng Việc chọn hệ trục tọa độ hợp lý giúp cho việc giải toán nhanh gọn, sáng Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh cách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tài liệu liên quan khác,… - Phương pháp quan sát: Quan sát trình dạy học trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm - Mục lục - Mở đầu - Nội dung - Thực nghiệm sư phạm - Tài liệu tham khảo Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 PHẦN 2: NỘI DUNG I CƠ Sở LÍ THUYếT Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc mặt phẳng a) Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x ' Ox, y 'Oy vng góc với Trên Ox,Oy   chọn véc tơ đơn vị i , j Như ta có hệ trục toạ độ Đề-các vng góc Oxy b) Toạ độ điểm véc tơ   - Cho điểm M tùy ý mặt phẳng (Oxy ) Vì hai véctơ i , j khơng đồng phẳng nên có    số (x ; y ) cho: OM  xi  yj Bộ hai số (x ; y ) hoàn toàn xác định điểm M gọi toạ độ điểm M , ký hiệu M (x ; y )    - Cho a mặt phẳng Oxy Khi tồn điểm M cho OM  a Gọi  (x ; y ) toạ độ điểm M Khi hai số (x ; y ) gọi toạ độ véc tơ a hệ trục Oxy  ký hiệu a  (x ; y ) c) Các phép tính véc tơ   Cho hai véctơ a  (a1; a2 ),b  (b1;b2 ) k số thực sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Các phép tính véctơ phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với số, tích vơ hướng hai véctơ xác định sau:   a  b  (a1  b1; a2  b2 )  ka  (ka1; ka2 )  a b  a1b1  a2b2 d) Các cơng thức độ dài, góc, khoảng cách:   Cho hai véctơ a  (a1; a2 ),b  (b1;b2 ) gọi  góc tạo hai véctơ  i) Độ dài véctơ: a  a12  a 22  ii) Khoảng cách hai điểm A(x A ; yA ), B(x B ; yB ) : AB  AB  (x B  x A )2  (yB  yA )2  a1a2  b1b2 a b iii) Góc hai véctơ: cos      a b a12  a22 b12  b22 e) Phương trình đường thẳng  - Phương trình đường thẳng d qua điểm M (x ; y ) nhận véctơ n  (a;b) làm véctơ pháp tuyến là: a(x  x )  b(y  y )  - Khoảng cách từ điểm M (x ; y ) đến đường thẳng d : ax  by  c  là: d (M ;d )  ax  by  c a  b2 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 f) Phương trình đường trịn Phương trình đường trịn tâm I (a;b) , bán kính R là: (x  a )2  (y  b)2  R Một số bất đẳng hình học a) Bất đẳng thức véctơ       i) a  b  a  b  a  b       - Dấu “=” bên trái xảy a , b ngược hướng a  b        - Dấu “=” bên phải xảy a , b hướng a  b       ii)  a b  a b  a b       - Dấu “=” bên trái xảy a , b ngược hướng a  b        - Dấu “=” bên phải xảy a , b hướng a  b  b) Bất đẳng thức tam giác: Với ba điểm A, B,C ta ln có AB  BC  AC Dấu “=” xảy A, B,C theo thứ tự thẳng hàng sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Tổng quát: Trong tất đường gấp khúc nối điểm A, B cho trước đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ c) Cho điểm M nằm đường thẳng d Khi độ dài đoạn thẳng MH (với H  d ) ngắn H hình chiếu vng góc M đường thẳng d II BÀI TậP Phương pháp: + Biến đổi hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ dạng tọa độ để xác định véctơ, điểm, đường có tọa độ từ điều kiện biểu thức ban đầu + Chuyển toán từ dạng đại số dạng hình học tọa độ, giải tốn phương pháp hình học từ suy kết dạng đại số Bài 1: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f (x )  x  x   x  3x  với x   Giải: Viết lại hàm số dạng: 2 2            f (x )  x       x             Hàm số xác định  Xét hệ trục tọa độ Oxy Cách 1: Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 2   1              ;   u v   Chọn u  x  ; ; v  x           2  2        Khi f (x )  u  v  u  v  k       Dấu xảy véctơ u, v  u  kv (k  0)   x   Vậy f (x )  x   1      Cách 2: Gọi A  ;  B  ;  ,C (x, 0)  2   2  2 2              AC  x      BC  x              Nên ta có: f (x )  AC  BC Theo bất đẳng thức tam giác ta có: 2 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em       AC  BC  AB           2   2  Nên f (x )  2, x   Vậy f (x )  C giao điểm AB trục Ox , từ x   Bình luận: - Nếu áp dụng phương pháp hàm số việc xét biến thiên gặp khó khăn để tìm nghiệm phương trình f '(x )  dẫn tới việc giải phương trình bậc - Về cách chọn điểm chọn vectơ 1:     + Cách 1: Việc chọn vectơ u, v cần phải khéo léo để cho u  v số đồng thời dấu “=” phải xảy       A + Cách 2: Câu hỏi đặt lại chọn cặp điểm  ; , B  ;   mà không   2   phải cặp điểm khác, biểu thức tính khoảng cách AB, BC khơng đổi, ta 1      chọn A ; , B  ;  thu f (x )  AC  BC Lúc A B nằm  2   2  phía so với trục Ox Khi để tìm giá trị nhỏ AC  BC toán dài Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1    cách chọn điểm B ' đối xứng với B qua Ox , tức B '  ;   M  2     giao điểm AB ' trục Ox Nên ta chọn điểm B  ;    2  - Mở rộng toán: + Thứ nhất: Liệu hệ số biểu thức có phải khơng? Nếu thay x  x  biểu thức x  x hay x  x  sao? Trả lời: Do áp dụng công thức khoảng cách độ dài véctơ nên biểu thức dấu phải dương + Thứ hai: Hệ số x hai biểu thức hàm số có thiết phải khơng? Nếu khơng sao? Ví dụ: f (x )  x  x   2x  x  sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Trả lời: Do áp dụng: “Trong tất đường gấp khúc nối điểm A, B cho trước đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất” cần khoảng cách điểm đầu cuối không đổi, nên cặp điểm A, B phải có dạng A(m, n), B(p,q ) A(x  m, n), B(x  p,q) A(m, y  n), B(p, y  q) A(x, y ), B(x  p, y  q) (trong m , n, p, q giá trị khơng đổi) Và với điểm C thay đổi áp dụng cơng thức khoảng cách để tính AC , BC ta ln hệ số x + Thứ ba: Khi thay hàm số f (x )  x  x   x  3x  đạt giá trị lớn nhỏ hay không? Trả lời: Do cách chọn điểm mà hàm số f (x ) đạt giá trị lớn Nếu muốn       A tìm giá trị lớn hàm số ta chọn  ; , B  ;  cho phía so  2   2  với trục Ox ta có f (x )  AC  BC  AB Từ ta tìm giá trị lớn hàm số + Thứ tư: Ta tìm thêm giá trị lớn hàm số không? Trả lời: Nếu giới hạn biến x lại tập D ta tìm giá trị lớn hàm số Các vấn đề áp dụng trình bày qua tốn Bài 2: Tìm giá trị lớn hàm số: f (x )  x  2px  2p  x  2qx  2q , ( p, q hai số cho trước) Giải: TH1: Xét p  q  Trên mặt phẳng tọa độ Oxy xét điểm A(x  p; p ); B (x  q,  q ) Khi : Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 2 f (x )  (x  p)2  p  (x  q )2  q  OA  OB Rõ ràng có: OA  OB  AB Mà AB  (q  p )2  ( p  q )2 không đổi với vị trí A B Vậy ta ln có f (x )  (q  p)2   p  q  Dấu "=" xảy A,O, B theo thứ tự thẳng hàng   Ta có OA  (x  p; p ), BO  (q  x ; q ) Khi A,O, B theo thứ tự thẳng hàng  q p pq p x p  x  q x p q q Do độ dài đoạn AB khơng đổi với vị trí A, B nên ta có:    AB  (p  q )2  ( p  q )2  sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em  q p  p q f (x )  f    p  | q | TH2: Xét | p |  | q |  p  q  Lúc f (x )  x  f (x )  0, x  Vì vậy, với trường hợp ta có: f (x )  (p  q )2  ( p  q )2 Bài 3: Cho a, b, c, h bốn số dương cho trước x , y, z ba số thực thay đổi cho ax  by  cz  k, ( k số cho trước) Tìm giá trị nhỏ hàm số: f (x, y, z )  a h  x  b h  y  c h  z (1) Giải: Trên hệ trục Ouv , lấy điểm: A(ah, ax ), B ((a  b )h; ax  by ),C (a  b  c )h; ax  by  cz  Ta có: OA  a h  x ; AB  b h  y , BC  c h  z Vậy f (x; y; z )  OA  AB  BC , (2) Và OA  AB  BC độ dài đường gấp khúc OABC nối hai điểm cố định O(0; 0) C ((a  b  c)h; k ) Từ (2) suy : f (x ; y; z )  OC  k  h (a  b  c)2 , (3) Dấu "=" (3) xảy ta  O, A, B,C theo thứ tự thẳng hàng Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498)  FB: thayHanSP1 ax  by ax  by  cz ax k   x y z  ah  bh ah  bh  ch ah a b c Như vậy:   k k k   k  (a  b  c)2 h f  ; ; a  b  c a  b  c a  b  c  (4) Từ (3) (4), ta có: f (x ; y; z )  k  (a  b  c)2 h x  y  z  k a b c Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số :   f (x )  x  2x   x  2x  miền    x |   x  1   Phân tích: Nếu làm ta tìm giá trị nhỏ mà khơng tìm giá trị lớn Với ta sử dụng định lí: “Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn đó” Giải: f (x )   (x  1)2   (x  1)2 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Viết lại hàm số dạng: Xét hệ trục tọa độ Ouv , xét điểm cố định N (2;2) điểm chuyển động M (1;1  x ) M giới hạn đoạn thẳng M 0M1 với M (1; 0), M (1; ) Khi   x  ta   x  Do: OM   (x  1)2 , MN   (x  1)2 Suy f (x )  OM  MN Nên f (x )  ON  + Vậy f (x ) đạt GTNN O, M, N theo thứ tự thẳng hàng hay M giao điểm ON M 0M1 Dễ dàng tìm M (1;1) hay x  + Và max f (x )  max (OM  MN )  max{OM  M 0N ;OM  M 1N }   x [  ;1] M [ M 0M ] Vậy max f (x )   x  ; f (x )  x  x [  ;1] x [  ;1] Bình luận: - Bài sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình f '(x )  khơng khó Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 - Sử dụng phương pháp giảng dạy phù hợp với chương trình lớp 10, phần hệ trục tọa độ mặt phẳng Bài 5: Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  (x  1)2  y  (x  1)2  y  y  (trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006) Phân tích: Hai thức làm ta nghĩ tới tọa độ điểm M (x  1; y ), N (x  1; y ) sử dụng bất đẳng thức tam giác để đánh giá hai thức Tuy nhiên cần khéo léo chọn để dấu xảy Giải: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , xét điểm M (x  1; y ) , N (x  1; y ) Ta OM  ON  (x  1)2  y  (x  1)2  y Do OM  ON  MN nên (x  1)2  y  (x  1)2  y   y Đẳng thức xảy M,O, N theo thứ tự thẳng hàng Từ ta x  sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Do A   y  y   f (y ) Ta tìm giá trị nhỏ f (y ) hai trường hợp: + Nếu y  ta f (y )   y   y f '(y )  2y 1y  1; f '(y )   y  3 Bảng biến thiên Từ suy ra: f (y )   3, y  Dấu xảy y  + Nếu y  , tương tự ta f (y )   y  y     Vậy A   với số thực x, y Khi x  0, y  A   nên giá trị nhỏ A  3 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Bình luận: Nếu chọn cặp điểm M (x  1; y ), N (x  1; y) MN  nhỏ  khơng có dấu “=” xảy Vì vậy, việc chọn tọa độ phải tinh tế Bài 6: Với x   , tìm giá trị nhỏ hàm số: f (x )  2x  2x   2x  (  1)x   2x  (  1)x  Giải: Phân tích vế trái: 2 2           2     f (x )  (x  1)  x  x    x    x    x           Trong mặt phẳng tọa độ, ta xét điểm      ;  ,C  ;   M (x ; x ), A(1; 0), B   2   2  Khi đó: f (x )  MA  MB  MC sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Nên f (x ) nhỏ M nhìn cạnh AB, BC , AC tam giác ABC góc 1200 Dễ thấy tam giác ABC đều, tâm O nên f (x ) đạt giá trị nhỏ M  O hay x  Và ta f (x )  f (0)  Chứng minh tốn phụ: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn điểm M tùy ý nằm mặt phẳng (ABC ) tổng MA  MB  MC nhỏ M nhìn cạnh AB, BC ,CA góc 1200 Hướng dẫn: Xét phép quay tâm A góc quay 600 - Biến điểm M thành điểm N - Biến điểm C thành điểm M Khi đó, theo tính chất phép quay góc quay 600 ta : AM  MN ,CM  NP Vậy tổng MA  MB  MC nhỏ  tổng BM  MN  NP nhỏ  B, M , N , P thẳng hàng   60 nên AMB   1200 Tương tự ta Nói riêng B, M , N thẳng hàng mà AMN   CMA   120 Từ ta điều phải chứng minh BMC Bài 7: Tìm giá trị nhỏ hàm số : f (x ; y )  (x  1)2  (y  1)2  (x  1)2  (y  1)2  (x  2)2  (y  2)2 x, y số thực (Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998) Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) Ta có P  FB: thayHanSP1 2      2 a c b a c b  1     1    1  Trong hệ trục tọa độ Oxy , xét ba véctơ u   ;  ; v   ;  ; w   ;  c b  a c  b a   a  2b  b  2c  c  2a ;v  ;w  Khi ta có u  ab bc ca  1 2     1 2       u v w    ;  ; u  v  w       a b c a a b c  b c  Vì ab  bc  ca  abc  1   1 a b c       Áp dụng bất đẳng thức u  v  w  u  v  w ta : P      Vì ba véctơ khác nên dấu "=" xảy véctơ u , v , w hướng ab  bc  ca  abc Vậy P  a  b  c  sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Bình luận: Đây dạng đề thi Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2000 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ hàm số : f (x )  2 16 32 2 x 2  x  x  x  4x  10  x  x 2 5 2 5 Giải: Ta có :   2 16    2.f (x )  x   x           2 4  x  2   2      x          Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ta xét véctơ :    16  a  (x ;2), b  (x  ; ), c  (4  x ;2), d  (x  ; ) 5 5 2     2   2 16     2 2    Ta có : a  x  , b  x      , c  (x  2)  , d  x                 2      a  b  c  d   a c  b d   2  2     Dấu xảy a, c hướng b , d hướng, tức : Khi : f (x )   Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam  DeThiThuDaiHoc.com 12 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) a  kc    b  ld FB: thayHanSP1 x  k (4  x )  2  2k  k  l      x  16  l x      x  5    8l    5 Vậy f (x )   2 x  Bình luận: Trong này, việc chọn tọa độ mang ý nghĩa định Nếu chọn hệ tọa độ hợp lý thấy lời giải gọn gàng Qua toán này, ta nhận thấy sở trực quan hình học phần giảm nhẹ độ khó tốn Vận dụng hình học toán đại số, giúp học sinh đỡ phải tính tốn cồng kềnh phức tạp Bài 12: Cho x i , yi (i  1,2, , n ) 2n số thực thỏa mãn : n n x i 1 i   yi  Tìm giá trị i 1 n nhỏ biểu thức P   x i2  yi2 i 1 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Giải: Xét mặt phẳng tọa độ Oxy :   k k n  n n i 1  i 1 i 1 Gọi Mk điểm có tọa độ M k  x i ;  yi , k  1,2, , n   i1 i 1  n Nói riêng điểm M n  xi ;  yi  mà  i 1  x i   yi  nên Mn nằm đường thẳng: x y  k 1 k 1  k 2  k 2   Dễ thấy: M k 1M k   x i   x i    yi   yi   x k2  yk2 (k  1, 2, , n )  i1   i 1  i 1 i 1 Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng x  y  , OH  Khi ta ln có: OM  M 1M   M n 1M n  OH , hay P  Dấu "=" xảy  O, M 1, M 2, , M n theo thứ tự thẳng hàng M n  H Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com 13 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498)  y1 x1  y2 x2   yn xn FB: thayHanSP1  tan 450   x  x   x n  y1  y2   yn  Vậy P  2n x i  yi  , (i  1, 2, , n ) 2n Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : f (x ; y )  x  y miền   (x ; y ) | x  2y   0; x  y   0;2x  y   0 Giải: Miền  miền tam giác ABC tính biên, với A(0; 4), B(4;2),C (2; 0) Gọi M (x ; y )   M nằm miền nằm biên  ABC Ta có OM  x  y Suy : OH  d (O; AC )  2.0   22  12  sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em + f (x ; y )  OM  OH , với H chân đường cao hạ từ O xuống AC   + f (x ; y )  max OA;OB ;OC   max 4; 20;2  20 M  B hay x  4; y  Vậy max f (x ; y )  x  4; y  ; f (x ; y )  x   ; y  5 Bài 14: Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a  b2  c  d  Tìm giá trị lớn biểu thức : P   a  2b   c  2d   ac  bd Giải: Nếu gọi M (a;b), N (c; d ), P (1;2) từ điều kiện a  b2  c  d  ta thấy M , N , P điểm nằm đường trịn tâm O bán kính Và biểu thức viết thành P  c2  d a  b  c  d  2ac  2bd a2  b2   a  2b    c  2d  2 2  (a  1)2  (b  2)2  (c  1)2  (d  2)2  (a  c)2  (b  d )2 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam  DeThiThuDaiHoc.com 14 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498)  FB: thayHanSP1 (MP  NP  MN ) Vế trái giá trị chu vi tam giác MNP Sử dụng tính chất : "Trong tam giác nội tiếp đường tròn, tam giác có chu vi diện tích lớn nhất" Nên P đạt giác trị lớn tam giác MNP nội tiếp đường trịn bán kính Khi ta chu vi  MNP 15 Vậy : P  30 1  2   1  2     , N  ; ; Dấu “ = ” xảy M      2 2    Tức a  1  2  1  2  ,b  ,c  ,d  2 2 Vậy max P  30 1  2  1  2  a  ,b  ,c  ,d  2 2 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em  a  b   2(a  b)  Bài 15: Cho a, b, c, d bốn số thực thỏa mãn điều kiện sau :  c  d  73  14(c  d )   Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức : P  (a  c )2  (b  d )2 Giải: (a  a )2  (b  1)2  Từ điều kiện ta có :  2 (c  7)  (d  7)  25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ta xét điểm M (a;b), N (c;d ) , từ điều kiện ta thấy M , N hai điểm nằm hai đường trịn tâm O1(1;1) bán kính đường trịn tâm O2 (7;7) bán kính Và ta có MN  (a  c )2  (b  d )2 Nối O1,O2 cắt đường tròn bé G, E cắt đường tròn lớn F , H Khi tính tọa độ điểm :    2   G 1  ;1  ; E  ;1  ,    2   2  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com 15 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1   5     ;7  ;7  F 7  , H 7       2 Ta có O1O2  O1M  MN  NO2  O1E  EF  FO2  O1M  MN  NO2  EF  MN (do O1E  O1M ; FO2  NO2 ) Và MN  O1M  O1O2  O2N  GO1  O1O2  O2H  GH Suy EF  MN  GH nên EF  MN  GH nên ta có EF  MN  GH Lại có EF  2(6  2)2  36(3  2);GH  2(6  2)2  36(3  2) Từ suy ra: 36(3  2)  P  36(3  2) Vậy P  36(3  2) M  E , N  F hay a  b   max P  36(3  2) M  G, N  H hay a  b   2 ,c  d   2 ,c  d   2 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y  f (x )  x    x miền   x | 1  x  4 Phân tích: Bài tốn sử dụng tính chất tương đối đồ thị hai hàm số liên tục sử dụng tính chất miền giá trị hàm số  u  v  u  x    Với x   , ta đặt  (*)  v   x u  0, v    Tức là, xét hệ tọa độ Ouv u, v thuộc phần đường trịn tâm O bán kính góc phần tư thứ Ta tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f (u; v )  u  v với điều kiện (*) Giải: Gọi  giá trị tùy ý hàm số y  f (x ) miền xác định  Tức hệ sau có nghiệm:   x    x   (1) 1  x   u  x   Đặt  hệ (1) có nghiệm v   x  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com 16 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498)  u  v   hệ sau có nghiệm : u  v   u  0, v   FB: thayHanSP1 (2) Với ý : Đồ thị hàm số u  v   suy từ đồ thị hàm số u  v  tịnh tiến lên  đơn vị  Hệ (2) có nghiệm đường thẳng u  v   cắt cung AB , tức nằm hai đường thẳng u  v   u  v  Từ suy     Vậy ta có max f (x )   x  f (x )    x   Bình luận: - Bài sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình f '(x )  khơng khó - Sử dụng phương pháp dạy cho học sinh lớp 10 Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f (x )  x   x  x  x miền   x | 2  x  2 Phân tích: Khi đặt y   x  tốn trở thành : sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em   x2  y2   Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f (x, y )  x  y  xy thỏa mãn   y0    Điều kiện xác định nửa đường tròn tâm O bán kính lấy phía trục hồnh Giải: Gọi  giá trị tùy ý hàm số y  f (x ) miền  Tức hệ sau có nghiệm:  2 x   x  x  x    (1)     x    Đặt y   x (y  0) hệ (1) có nghiệm hệ  x  y  xy   sau có nghiệm: x  y  (2)  y   (x  y )2  Suy : x  y     (x  y )2  2(x  y )   2  (3) Coi (3) phương trình bậc hai ẩn x  y Phương trình (3) có nghiệm  '   2      Hệ (2) có nghiệm hai hệ sau có nghiệm : Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com 17 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 x  y  1   2   2 (*) x  y   y   x  y  1   2   2 (**) x  y   y   Hệ (*) có nghiệm đường x  y  1   2 cắt nửa đường tròn, tức nằm hai đường x  y  2 x  y  2 Ta suy ra: 2  1   2  2       2 Tương tự, hệ (**) có nghiệm     2 Kết luận: Hệ (1) có nghiệm      2 Vậy: f (x )   1 x  ; max f (x )   2 x  2 Bình luận: Như toán tưởng chừng tầm cách giải thông thường sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em lại thật gọn nhẹ với phương pháp sử dụng, nhìn tốn đốn mắt hình học Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f (x ; y )  x  y miền     (x ; y ) | (x  6)2  (y  3)2  25, x  (y  4)2  25, 2x  y  4, x  0, y  Giải: Miền xác định  biểu diễn miền tô đậm hình vẽ Gọi  giá trị tùy ý f (x ; y )  Điều có nghĩa hệ sau có nghiệm: x  y    (x  6)2  (y  3)2  25,  x  (y  4)2  25,  2x  y  4,  x  0, y    đồ thị hàm số x  y   cắt miền  x  (y  4)2  25  Giải hệ: 2x  y  suy tạo độ  x  0, y  điểm A( 5;2  4) Đường thẳng x  y   qua A   4  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com 18 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Đường tròn (x  6)2  (y  3)2  25 cắt trục hoành B(2; 0),C (10; 0) Đường thẳng x  y   qua B   Khi đó: x  y  4  x  y  hai vị trí giới hạn mà đường thẳng x  y   cắt miền D Từ suy ra: max f (x ; y )  x  2; y  f (x ; y )  4  x  5; y   III BÀI TẬP ÁP DỤNG Xin đưa số tập áp dụng phương pháp tọa độ để quý thầy bạn bè đồng nghiệp tham khảo, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ số toán chứng minh bất đẳng thức Bài 1: Tìm giá trị lớn hàm số: f (x )  x  2x   x  4x  1  x  Bài 2: Cho a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a Bài 3: Tìm giá trị lớn hàm số: y  f (x )  x  4x  29  x  4x   sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y  f (x )  x    x miền   x | 1  x  4 Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y  f (x )  x    x miền   x | 1  x  4 Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y  f (x )   x   x  (3  x )(6  x ) miền   x | 3  x  6 Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y  f (x )  x  x  x miền   x |  x  1 Bài 8: Cho hàm số f (x )  A sin x  B cos x ,(A2  B  0) a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số b) Chứng minh cos 3x  a cos 3x  1   3a , x , a    cos 3x Bài 9: Tìm giá trị lớn hàm số: f (x ; y )  x  y  2x  12y  37  x  y  6x  6y  18 Bài 10: Tìm giá trị lớn hàm số f (x ; y )  (x  6)2  100  (x  1)2  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com 19 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x  2px  2p  x  2qx  2q ,(p  q ) Bài 12: Tìm giá trị nhỏ hàm số y  a  x  a  (c  x )2  Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f (x )  x  1993  1995  x  miền xác định Bài 14: Chứng minh x , y, z   * ta có: x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x  3(x  y  z ) Bài 15: Chứng minh a,b, c, d   ta có (a  c)2  (b  d )2  a  b  c  d Bài 16: Chứng minh x , y   ta có: (x  y )(1  xy )  2 (1  x )(1  y ) Bài 17: Chứng minh a, b, c, x , y, z   ta có: a) ax  by  cz  a  b  c x  y  z b) a  b  c  x  y  z  (a  x )2  (b  y )2  (c  z )2 x y  x  y2  sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Bài 18: Cho ba số thực x , y, z đôi khác Chứng minh rằng: y z  y2  z2  x z  x2  z2 Bài 19: Chứng minh với số thực a, b ta ln có a) a  b  2a  2b  37  a  b  6a  6b  18  b) a   a  2a  b   b  6b  18  Bài 20: Chứng minh a,b, c, d   ta có: a  2a   a  2ab  b   b  2bc  c   c  2cd  d   d  10d  26  Bài 21: Chứng minh a, b, c  , abc  ta có: bc ca ab    2 2 a b a c b c b a c a c b (Trích đề thi ĐH Nơng nghiệp I năm 2000) Bài 22: Cho x , y, u, v   : u  v  x  y  Chứng minh rằng: u(x  y )  v(x  y )  Bài 23: Chứng minh x , y   ta có: Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com 20 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 a) cos2 x cos2 y  sin2 (x  y )  sin x sin y  sin (x  y )  b) cos4 x  cos4 y  sin2 x  sin2 y  c) sin x   sin2 x  sin x  sin x  Bài 24: Chứng minh a,b  c  ta có: c(a  c)  c(b  c)  ab Bài 25: Chứng minh a, b, c   ta có: a  b  c  abc(a  b  c) x  xy  y   ta có: xy  yz  zx  Bài 26: Chứng minh x , y, z   :  y  yz  z  16  Bài 27: Chứng minh x  [0;1] ta có: x   x  x   x   Bài 28: Cho n số thực a1, a2, , an Chứng minh rằng: n sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em a12  (1  a2 )2  a22  (1  a )2   an21  (1  an )2  an2  (1  a1 )2  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com 21 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 PHẦN 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Mục đích thực nghiệm Mục đích thực nghiệm để kiểm chứng khả ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải số tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Tổ chức thực nghiệm a) Hình thức thực nghiệm: Tổ chức dạy học theo chuyên đề biên soạn theo nội dung đề cập phần Sau cho học sinh lớp chọn làm thực nghiệm đo kết thực nghiệm b) Đối tượng thực nghiệm Chọn lớp thử nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 10A1 (nhóm 1) 20 em học sinh cịn lại (nhóm 2) năm học 2013-2014 trường THPT Nguyễn Hữu Tiến – Hà Nam Trong nhóm nhóm thực nghiệm nhóm nhóm đối chứng Chọn học sinh nhóm có lực học tương đương Nội dung thực nghiệm Dạy thực nghiệm nội dung: Sử dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Đánh giá kết thực nghiệm a) Đề kiểm tra: Phát phiếu kiểm tra khả giải tập học sinh: Thời gian 45’ Bài (3đ): Tìm giá trị lớn hàm số: y  f (x )  x  4x  29  x  4x   Bài (4đ): Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y  f (x )  x    x miền   x | 1  x  4 Bài (3đ): Cho a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a b) Kết kiểm tra Điểm 10 Số Nhóm (TN) 0 20 Nhóm (ĐC) 1 4 1 20 Lớp Điểm trung bình: x  Trong đó: k (n1x  n2x   x k nk )   ni x i n i 1 n x i : điểm kiểm tra ni : tần số giá trị x i Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com 22 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 n : số học sinh tham gia ( n  20 ) Kết thu được: x TN  7, 05; x §C  5, Kết luận Dựa kết thực nghiệm thấy kết nhóm thực nghiệm cao lớp đối chứng Số học sinh đạt điểm cao nhóm thực nghiệm vượt trội so với nhóm đối chứng Trong thực tế giảng dạy thấy phương pháp dạy cho học sinh học lớp 10 – học xong phần bất đẳng thức (phần đại số) phương pháp tọa độ mặt phẳng mức độ (phần hình học) Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com 23 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 PHẦN 4: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Thực mục đích đề tài, giải số vấn đề sau: Học sinh biết áp dụng điều giới thiệu để giải số toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức Học sinh trung bình trở nên nắm vững phương pháp biết vận dụng dạng tập bản, học sinh giỏi sử dụng phương pháp để giải số toán đề thi đại học đề thi học sinh giỏi Ngồi ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Phương pháp tọa độ có nhiều ứng dụng: chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Tơi khuyến khích em tìm tịi thêm Thực nghiệm cho thấy: kết ứng dụng phương pháp tương đối khả quan Học sinh tiếp thu trình bày chặt chẽ sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh hào hứng tiếp thu vận dụng ý tưởng đề tài, học sinh khơng cịn sợ mà trở nên thích thú, ham tìm hiểu tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ toán chứng minh bất đẳng thức Nếu khéo léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ toạ độ chuyển thành tốn đại số giải tích tìm lời giải ngắn gọn, phần làm sáng tỏ vấn đề đề tài Tuy nhiên, tất tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ dùng phương pháp tọa độ Ngồi phương pháp tọa độ nêu cịn nhiều kĩ thuật, phương pháp để giải toán Tuy nhiên phương pháp cho thấy việc sử dụng phương pháp tọa độ hình học vào giải toán đại số mạnh mẽ, làm cho việc trình bày lời giải trở nên gọn gàng, sáng sủa Thông quan sáng kiến kinh nghiệm này, tơi mong muốn đóng góp phần nhỏ bé công sức việc hướng dẫn học sinh ứng dụng khai thác phương pháp tọa độ cách có hiệu làm tốn, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho em học toán Qua nội dung đề tài, tơi mong muốn có tìm hiểu sâu tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ toán chứng minh bất đẳng thức muốn nghiên cứu mối quan hệ “Hình học” “Đại số” Tuy nhiên, thời gian có hạn, trình độ thân cịn hạn chế, nên tơi mong đóng góp bổ sung Hội đồng khoa học cấp đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn chỉnh hơn, đồng thời giúp đỡ tiến thành công giảng dạy Tôi xin trân trọng cảm ơn! Duy Tiên, tháng năm 2014 Người viết ThS Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com 24 ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU TIẾN s¸ng kiÕn kinh nghiƯm Người thực hiện: Trần Mạnh Hân Tổ chun mơn : Toán - Tin NĂM HỌC 2013- 2014 DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] SGK “Hình học 10 Nâng cao” NXB Giáo dục - 2006 [2] SGK "Đại số 10 Nâng cao” NXB Giáo dục - 2006 [3] Tạp chí tốn học Tuổi trẻ, NXB Giáo dục [4] Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh 10, 11, 12 tỉnh Hà Nam [5] Tuyển chọn theo chuyên đề “Toán học&Tuổi trẻ” – Quyển – NXB Giáo dục [6] Giới thiệu thi chọn học sinh giỏi Tốn THPT tồn quốc, Lê Hải Châu, NXB Trẻ - 2001 [7] Tuyển tập đề thi Olympic 30- lần thứ V VI VII [8] Chuyên đề tốn hình học tọa độ phẳng khơng gian, PGS.TS Nguyễn Văn Lộc, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2009 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh ng hi em sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em [9] Các trang web toán học: http://diendantoanhoc.net, http://www.mathvn.com, http://www.k2pi.net, http://www.mathscope.com Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com 25 ... phần làm sáng tỏ vấn đề đề tài Tuy nhiên, tất tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ dùng phương pháp tọa độ Ngồi phương pháp tọa độ nêu cịn nhiều kĩ thuật, phương pháp để giải toán Tuy nhiên phương pháp. .. ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tài liệu liên quan khác,… - Phương pháp. .. giỏi sử dụng phương pháp để giải số toán đề thi đại học đề thi học sinh giỏi Ngồi ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Phương pháp tọa độ có nhiều ứng dụng: chứng minh bất đẳng thức, giải phương