Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng BI, E là BIC giao điểm của AB và CD.. là góc ngoài nên:.[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MÔN : TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 21 tháng năm 2012 x 6x (2,0 điểm) Cho biểu thức :P= x x x Câu 1 Tìm điều kiện xác định biểu thức P Rút gọn P 2 x ay Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình : ax y 5 Giải hệ phương trình với a=1 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm Câu (2,0 điểm) Một hình chữ nhật có chiều rộng nửa chiều dài Biết giảm chiều 2m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm nửa Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) (điểm O cố định, giá trị R không đổi) và điểm M nằm bên ngoài (O) Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B,C là các tiếp điểm ) (O) và tia Mx nằm hai tia MO và MC Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng này cắt (O) điểm thứ hai là A Vẽ đường kính BB’ (O) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BB’,đường thẳng này cắt MC và B’C K và E Chứng minh rằng: điểm M, B, O, C cùng nằm trên đường tròn Đoạn thẳng ME = R Khi điểm M di động mà OM = 2R thì điểm K di động trên đường tròn cố định, rõ tâm và bán kính đường tròn đó Câu (1,0 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+ b + c =4 Chứng minh : SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC Câu C1.1 (0,75 điểm) C1.2 (1,25 điểm) a b3 c3 2 KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN : TOÁN Đáp án, gợi ý Điểm Biểu thức P xác định 0,5 x 0 x 0 x 1 x 0 x 0,25 P= 0,25 x 6x x( x 1) 3( x 1) (6 x 4) 0,5 x x ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) 0,5 x x 3x x x 2x 1 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) C2.1 (1,0 điểm) ( x 1) x (voi x 1) ( x 1)( x 1) x Với a = 1, hệ phương trình 0,25 0,25 (2) có dạng: ¿ x + y =−4 x − y =5 ¿{ ¿ 0,25 0,25 6 x y 12 7 x x y 5 x y 5 x x y 5 y Vậy với a = 1, hệ phương trình x có nghiệm là: y C2.2 (1,0 điểm) -Nếu a = 0, hệ có dạng: 2 x y 5 x y => có nghiệm 0 , hệ có nghiệm -Nếu a a và khi: a a (luôn đúng, vì 0,25 0,25 0,25 0,25 a 0 với a) Do đó, với a 0 , hệ luôn có C3 (2,0 điểm) nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm với a Gọi chiều dài hình chữ 0,25 nhật đã cho là x (m), với x > Vì chiều rộng nửa chiều x 0,25 dài nên chiều rộng là: (m) 0,25 => Diện tích hình chữ nhật đã x x x2 2 cho là: (m2) Nếu giảm chiều m thì chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật là: x x − va −2 (m) đó, diện tích hình chữ nhật giảm nửa nên ta có 0,25 0,25 0,5 0,25 (3) phương trình: x x2 (x − 2)( −2)= ⋅ 2 2 x x ⇔ −2 x − x +4= ⇔ x − 12 x +16=0 ………….=> x1 6 (thoả mãn x>4); x2 6 (loại C4.1 (1,0 điểm) C4.2 (1,0 điểm) C4.3 (1,0 điểm) vì không thoả mãn x>4) Vậy chiều dài hình chữ nhật đã cho là 6+2 √ (m) 1) Chứng minh M, B, O, C cùng thuộc đường tròn Ta có: ∠ MOB=900 (vì MB là tiếp tuyến) ∠ MCO=90 (vì MC là tiếp tuyến) => ∠ MBO + ∠ MCO = = 900 + 900 = 1800 => Tứ giác MBOC nội tiếp (vì có tổng góc đối =1800) =>4 điểm M, B, O, C cùng thuộc đường tròn 2) Chứng minh ME = R: Ta có MB//EO (vì cùng vuông góc với BB’) => ∠ O1 = ∠ M1 (so le trong) Mà ∠ M1 = ∠ M2 (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) => M2 = O1 (1) C/m MO//EB’ (vì cùng vuông góc với BC) => O1 = E1 (so le trong) (2) Từ (1), (2) => M2 = E1 => MOCE nội tiếp => MEO = MCO = 900 => MEO = MBO = BOE = 900 => MBOE là hình chữ nhật => ME = OB = R (điều phải chứng minh) 3) Chứng minh OM=2R thì K di động trên đường tròn cố định: Chứng minh Tam giác MBC => BMC = 600 B 0,25 0,25 0,25 O M 0,25 E K 1 C 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 B ’ (4) => BOC = 1200 => KOC = 600 - O1 = 600 - 0,25 M1 = 600 – 300 = 300 Trong tam giác KOC vuông 0,25 C, ta có: CosKOC OC OC 3R OK R : OK Cos 30 Mà O cố định, R không đổi => K di động trên đường tròn tâm 3R O, bán kính = (điều phải chứng minh) C5 (1,0 điểm) 4a 4b3 4c 0,25 a b c a a b c b3 a b c c 0,25 a4 b4 c4 a b c 0,25 4 Do đó, Câu - Cách 2: Đặt x = 4 a b c 4 2 4 0,25 a; y b;z c => x, y , z > và x4 + y4 + z4 = BĐT cần CM tương đương: x3 + y3 + z3 > 2 hay Ta xét trường hợp: (x3 + y3 + z3 ) > = x4 + y4 + z4 x3( -x) + y3( -y)+ z3( -z) > (*) - Nếu sô x, y, z tồn it nhât sô , giả sử x thì x3 2 Khi đo: x3 + y3 + z3 > 2 ( y, z > 0) - Nếu sô x, y, z nhỏ thì BĐT(*) luôn đung Vậy x3 + y3 + z3 > 2 CM Cách 3: Có thể dùng BĐT thức Côsi kết hợp phương pháp làm trội và đánh giá cho kết dài, phức tạp) _ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TUYÊN QUANG Năm học 2011 - 2012 MÔN THI: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình: x x 0 c) Giải phương trình: x x x 2011 b) Giải hệ phương trình: 4 x y 6 3 y x 10 (5) Câu (2,5 điểm) Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B chạy ngược dòng từ B đến A hết tất Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là km/giờ Câu (2,5 điểm) Trên đường tròn (O) lấy hai điểm M, N cho M, O, N không thẳng hàng Hai tiếp tuyến M , N với đường tròn (O) cắt A Từ O kẻ đường vuông góc với OM cắt AN S Từ A kẻ đường vuông góc với AM cắt ON I Chứng minh: a) SO = SA b) Tam giác OIA cân Câu (2,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – = b) Cho tam giác ABC vuông A Gọi I là giao điểm các đường phân giác Biết AB = cm, IC = cm Tính BC Hướng dẫn chấm, biểu điểm Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) x x 0 a) Giải phương trình: ' 1,0 Bài giải: Ta có ( 3) 0 Phương trình có nghiệm: ¿ x y 6 x + y =−4 b) Giải hệ phương trình: x − y =5 3 y x 10 ¿{ ¿ x 6 3 (1) (2) 0,5 1,0 Bài giải: Cộng (1) và (2) ta có: 4x - 3y + 3y + 4x = 16 8x = 16 x = 0,5 x 2 2 y Thay x = vào (1): – 3y = y = Tập nghiệm: 0,5 x x x 2011 (3) c) Giải phương trình: Bài giải: Ta có x2 6x x 3 x 1,0 0,5 x x 0 x 2011 0 x 2011 x x Mặt khác: Vậy: (3) x x 2011 2011 Phương trình vô nghiệm Câu (2,5 điểm ) Bài giải: Gọi vận tốc ca nô nước yên lặng là x km/giờ ( x > 4) 0,5 2,5 0,5 Vận tốc ca nô xuôi dòng là x +4 (km/giờ), ngược dòng là x - (km/giờ) Thời x gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là x − va −2 x x ( x − 2)( −2)= ⋅ 2 giờ, ngược dòng từ B đến A là 0,5 x2 x2 −2 x − x +4= ⇔ x − 12 x +16=0 (4) (4) 30( x 4) 30( x 4) 4( x 4)( x 4) x 15 x 16 0 x Theo bài ta có phương trình: ⇔ x = 16 Nghiệm x = -1 <0 nên bị loại 0,5 0,5 (6) Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng là 16km/giờ Câu (2,5 điểm) 0,5 A M S I O 0,5 N a) Chứng minh: SA = SO 1,0 Vì AM, AN là các tiếp tuyến nên: MAO Vì MA//SO nên: 6+2 √ (so le trong) SAO 0,5 (1) (2) ∠ SAO cân ∠ SA = SO (đ.p.c.m) Từ (1) và (2) ta có: ∠ MOB=90 ∠ MCO=90 b) Chứng minh tam giác OIA cân Vì AM, AN là các tiếp tuyến nên: ∠ (3) Vì MO // AI nên: góc MOA góc OAI (so le trong) (4) ∠ ∠ OIA cân (đ.p.c.m) Từ (3) và (4) ta có: ∠ 0 0,5 1,0 0,5 0,5 Câu (2,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – = (1) 1,0 Bài giải: (1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0,5 (x + y)2 + (y - 1)(y + 4) = (y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 (2) Vì - (x + y)2 với x, y nên: (y - 1)(y + 4) -4 y Vì y nguyên nên y 4; 3; 2; 1; 0; 1 0,5 Thay các giá trị nguyên y vào (2) ta tìm các cặp nghiệm nguyên (x; y) PT đã cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1) b) Cho tam giác ABC vuông A Gọi I là giao điểm các đường phân giác Biết AB = cm, IC = cm Tính BC Bài giải: E Gọi D là hình chiếu vuông góc C trên đường thẳng BI, E là BIC giao điểm AB và CD có DIC là góc ngoài nên: DIC = ICB ( B C ) 90 : 45 IBC D A I (7) Gọi x = BC = BE (x > 0) Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông ABC và ACE ta có: AC2 = BC2 – AB2 = x2 – 52= x2 -25 EC2 = AC2 + AE2 = x2 -25 + (x – 5)2 = 2x2 – 10x (12: )2 = 2x2 – 10x x2 - 5x – 36 = Giải phương trình ta có nghiệm x = thoả mãn Vậy BC = (cm) (8)