Nghiên cứu ảnh hưởng của một số hiệu ứng phi tuyến lên lời giải soliton lan truyền trong sợi quang

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH THÁI THỊ MINH NGUYỆT NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG PHI TUYẾN LÊN LỜI GIẢI SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG Chuyên ngành: Quang học Mã số: 62441101 LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ Vinh 2009 -1- MỤC LỤC Lời mở đầu Chương 1: SỰ LAN TRUYỀN XUNG ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG TÁN SẮC PHI TUYẾN 1.1 Phương trình lan truyền xung sợi quang 1.1.1 Sự phân cực phi tuyến môi trường 1.1.2 Phương trình sóng phi tuyến 1.1.3 Sự lan truyền xung ngắn môi trường phi tuyến 12 1.1.4 Sự lan truyền xung cực ngắn 14 1.2 Một số hiệu ứng phi tuyến ảnh hưởng lên xung lan truyền 15 sợi quang 1.2.1 Chế độ lan truyền xung 15 1.2.2 Hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm 18 1.2.3 Hiệu ứng tự biến điệu pha 22 1.2.4 Hiệu ứng tán sắc bậc ba 26 1.2.6 Hiệu ứng tự dựng xung 31 1.2.7 Hiệu ứng tán xạ Raman 34 1.3 Soliton quang học 39 1.3.1 Cơ sở xuất Soliton quang học 39 1.3.2 Lời giải Soliton ( Soliton bậc một) 41 1.3.3 Soliton bậc cao (lời giải N Soliton) 46 1.3.4 Các kiểu Soliton khác- Soliton tối 48 Chương KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT SỐ HIỆU 51 ỨNG BẬC CAO LÊN LỜI GIẢI SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG 2.1 Phương pháp giải tích Jacobian 51 -2- 2.2 Khảo sát ảnh hưởng đồng thời số hiệu ứng bậc cao lên lời giải 52 Soliton sợi quang PHẦN KẾT LUẬN 61 MỘT SỐ CỤM TỪ VIẾT TẮT NLSE GNLSE GVD Nonlinear Schrodinger Phương trình Schrodinger phi Equation tuyến Generalized Nonlinear Phương trình Schrodinger phi Schrodinger tuyến suy rộng Group Velocity Tán sắc vận tốc nhóm Dispersion SPM Self Phase Modulation Tự biến điệu pha TOD Third-Order Dispersion Tán sắc bậc ba SS Self- Steppening Tự dựng xung SRS Stimulated Raman Tán xạ Raman cưỡng Scatering FWHW RMS Full Width at Half Độ rộng toàn phần Maximum nửa cực đại xung Root-mean-square Độ rộng quân phương -3- LỜI MỞ ĐẦU Nghiên cứu trình lan truyền xung ánh sáng môi trường vật chất vấn đề ngành Quang học Kể từ laser đời vào năm 1960, quang học phi tuyến có phát triển vượt bậc có nhiều ứng dụng quan trọng khoa học cơng nghệ, có thơng tin quang Trong lĩnh vực này, truyền tải xử lý thông tin đối tượng trực tiếp trình nghiên cứu Sự đời cải tạo mạng lưới thơng tin tồn giới Nhờ đó, số lượng tín hiệu hình, tín hiệu âm truyền cách nhanh chóng có hiệu tốc độ truyền thông tin lớn, tổn hao trình lan truyền thấp Đặc biệt, tính ổn định tín hiệu truyền cao không bị méo Tính chất tạo cách sử dụng Soliton quang học để truyền thông tin Soliton quang học đối tượng nhiều nghiên cứu mặt lý thuyết thực nghiệm suốt ba thập kỷ qua ứng dụng mạnh mẽ, tiềm tàng truyền đạt thơng tin đường dài tồn thiết bị chuyển mạch quang cực nhanh Soliton quang học sợi điện môi đề xuất lần vào năm 1973 Hasegawa Tappert [4], làm thí nghiệm kiểm tra Moollenauer vào năm 1980 [5] Sự tồn dạng xung Soltion sợi quang nội dung quan trọng nghiên cứu trình lan truyền xung ánh sáng mơi trường phi tuyến nói chung sợi quang đơn mode nói riêng -4- Đối với nghiên cứu lan truyền xung quang học môi trường phi tuyến, xuất phát điểm lý thuyết điện từ Maxwell Lý thuyết có ưu điểm mơ tả tốt q trình điện từ giới hạn rộng lại đơn giản đẹp đẽ mặt toán học Trên sở này, vấn đề lan truyền xung mô tả theo phương pháp gần trình phi tuyến phức tạp Khi lan truyền xung ánh sáng mơ tả phương trình hàm bao biến thiên chậm Phương trình hàm bao mơi trường Kerr khai triển bậc thấp có dạng phương trình Schrodinger phi tuyến (NLSE) Trong phương trình này, ta bỏ qua ảnh hưởng hiệu ứng tương ứng với khai triển bậc cao Lúc này, xung chịu ảnh hưởng hai hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD) hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM) Ảnh hưởng hai hiệu ứng điều kiện hình thành Soliton Vì giới hạn khai triển bậc thấp nên phương trình NLS mơ tả gần biến đổi hàm bao xung laser ngắn (có độ rộng phổ cỡ ps) lớn hơn, xung cực ngắn (độ rộng phổ cỡ fs) có sai lệch mơ tả NLSE Do đó, xung cực ngắn, ta cần phải kể đến khai triển bậc cao Lúc này, lan truyền xung cực ngắn mô tả phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng (GNLSE) Trong GNLSE, ta đưa vào hiệu ứng phi tuyến bậc cao : tán sắc bậc ba (TOD), tự dựng xung (SS), tán xạ Raman cưỡng (SRS) Mỗi hiệu ứng ảnh hưởng lên xung lan truyền sợi quang, đóng vai trị nhiễu ta xem xét chúng độc lập Tuy nhiên, xét đồng thời ảnh hưởng hiệu ứng kể trên, lời giải GNLSE cho ta dạng Soltion lan truyền sợi quang, điều kiện để có lời giải Soliton có phần khác Vì vậy, mục đích đề tài phương pháp giải tích- khai triển Jacobian, giải GNLSE, tìm lời giải Soltion xét đồng thời số hiệu ứng bậc cao -5- Xuất phát từ lí chúng tơi chọn đề tài: “NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG PHI TUYẾN LÊN LỜI GIẢI SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG” Trên sở nội dung đề tài trình bày hai chương theo bố cục sau: Chương 1: “SỰ LAN TRUYỀN XUNG ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG TÁN SẮC PHI TUYẾN” Trong chương chúng tơi trình bày sở lý thuyết vấn đề nghiên cứu Bao gồm: xem xét đáp ứng phân cực mơi trường chịu kích thích trường quang học; dẫn phương trình lan truyền sóng phi tuyến Từ phương trình tổng qt xét trường hợp riêng, quan trọng cho xung ngắn, cực ngắn với phương trình lan truyền tương ứng: NLSE GNLSE Các hiệu ứng phi tuyến ảnh hưởng lên xung trình lan truyền như: GVD, SPM, SS, TOD, RSR trình bày chi tiết Tiếp đến phần trình bày tổng quan Soliton quang học Trong mục này, trình bày sở xuất Soliton quang học đồng thời dẫn phương pháp giải phương trình NLS để tìm nghiệm Soliton – Phương pháp tán xạ ngược Các Soliton Soliton bậc cao tìm thấy xung lan truyền chế độ tán sắc dị thường Ngoài phần cịn trình bày dạng Sliton khác, Soliton tối gọi Dark Soliton Chương “KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG ĐỒNG THỜI CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG BẬC CAO LÊN QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG” Trong chương này, chúng tơi trình bày sơ lược phương pháp giải tích khai triển Jacobian Trên sở giải GNLSE để tìm nghiệm Soliton Cuối phần kết luận tài liệu tham khảo -6- Chương SỰ LAN TRUYỀN XUNG ÁNH SÁNG TRONG MƠI TRƯỜNG TÁN SẮC PHI TUYẾN 1.1 Phương trình lan truyền xung sợi quang 1.1.1 Sự phân cực phi tuyến sợi quang Khi trường quang học lan truyền mơi trường điện mơi, chúng kích thích phân tử sinh phân cực vi mô Sự đáp ứng chất điện mơi với trường quang học có cường độ lớn trở nên phi tuyến đặc trưng vector phân cực toàn phần P Trường hợp trường quang học có cơng suất lớn lan truyền mơi trường điện mơi, vectơ phân cực phi tuyến liên hệ với vectơ cường độ điện trường E theo công thức[1]: P(t)   [(1)E(t)  (2)E(2) (t)  (3)E(3) (t)  ]  P(1) (t)  P(2) (t)  P(3) (t)  (1.1)  số điện môi chân không, ( j) độ cảm điện môi bậc j, (1) độ cảm điện mơi tuyến tính, biểu diễn phần đóng góp lớn vector phân cực P , hiệu ứng thể phụ thuộc chiết suất vào tần số n() (2) mô tả hiệu ứng phi tuyến bậc hai phát hoà âm bậc hai, phát tần số tổng, phát tần số trừ… Sự đóng góp thành phần phi tuyến lớn kể đến vector phân cực P (3) thành phần bậc cao khác bỏ qua chúng bé Thành phần bậc ba vector phân cực phi tuyến tương ứng với tượng phát hoà âm bậc ba, hiệu ứng trộn bốn sóng khúc xạ phi tuyến Khi mà điều kiện hợp pha thỏa mãn, trình phi tuyến dẫn đến tượng phát tần số mới, điều khơng thuận lợi cho q trình truyền thông tin sợi quang -7- Các sợi quang chế tạo từ hỗn hợp Ôxit-silic chất điện môi Hầu hết tượng phi tuyến xảy sợi quang bắt nguồn từ khúc xạ phi tuyến, tượng mô tả liên hệ phụ thuộc chiết suất phi tuyến n(, E ) vào tần số  cường độ trường, mô tả sau[3]: n(, E )  n()  n E 2 (1.2) n( ) chiết suất tuyến tính, thoả mãn: n ()   (1) (1.3) n2 chiết suất phi tuyến cho : n2  Re((3) ) 8n (1.4) Trong đa số trường hợp n2 đại lượng dương [7] Chiết suất phi tuyến phụ thuộc vào cường độ trường dẫn đến số lượng lớn tượng phi tuyến đáng ý Khi pha xung quang học biến đổi theo biểu thức:   nk0 L  (n  n2 E )k0 L (1.5) k  2 /  L tương ứng với số sóng chiều dài sợi quang Sự biến đổi pha phi tuyến phụ thuộc vào cường độ trường gây hiệu ứng SPM lên xung dẫn đến mở rộng phổ xung, xét chế độ tán sắc dị thường, điều kiện định cho Soliton quang học 1.1.2 Phương trình sóng phi tuyến Sự lan truyền sóng điện từ mà trường hợp riêng sóng ánh sáng mơi trường vật chất mơ tả hệ phương trình Maxwell, viết theo đơn vị Gauss [1]:   E (r, t )   B(r, t ) c t D(r, t)  4(r, t) -8- (1.6) (1.7)   H(r, t)  D(r, t) 4  j(r, t) c t c B(r, t)  (1.8) (1.9) (r, t) j(r, t) mật độ điện tích mật độ dịng điện mơi trường thời điểm t Các vectơ E(r, t) , dn   m2 Sn2 , H(r, t) , B(r, t) tương ứng cường độ điện trường, cảm ứng điện trường, cường độ từ trường cảm ứng từ Trong đề tài này, nghiên cứu môi trường sợi quang - môi trường điện môi nên không tồn điện tích tự do, (r, t)  , j(r, t)  (1.10) Để đưa phương trình lan truyền xung sợi quang cách đơn giản, ta giả thiết rằng: Môi trường từ tính   1, B(r, t)  H(r, t) (1.11) Bước sóng trường quang học lan truyền sợi quang xa miền cộng hưởng mơi trường lớn bước sóng giới hạn sợi quang cho điều kiện truyền đơn mode thoả mãn Môi trường phi tuyến đáp ứng phi tuyến môi trường coi tức thời Trường quang học phân cực phẳng giữ nguyên dọc chiều dài sợi quang, ta đưa tốn ba chiều tốn chiều đơn giản Do môi trường phi tuyến nên D(r, t) E(r, t) liên hệ với thông qua hệ thức: D(r, t)  E(r, t)  4P(r, t) -9- (1.12) Đối với từ trường ta đưa đại lượng tương tự, nhiên theo tính tốn lý thuyết người ta nhận thấy miền quang học, việc đưa vào đại lượng không cần thiết Thế (1.11), (1.10) vào (1.8) ta   B(r, t)  D(r, t) c2 t (1.13) Từ (1.13) (1.6) ta nhận  2D 0 c2 t (1.14)  2E 4  2P  E  2  c t c t (1.15)  E  Thế (1.12) vào (1.14) ta nhận Phương trình (1.15) phương trình truyền sóng tổng qt mơi trường phi tuyến Áp dụng tính chất  E    (  E)  2E (1.15) ta nhận thấy vấn đề quang tuyến tính   D    E  Trong môi trường phi tuyến số hạng bỏ qua, môi trường đồng Tuy nhiên, xét cho trường hợp sóng ngang, phẳng   E bỏ qua Nói chung, số hạng nhỏ khơng thể loại bỏ nó, đặc biệt gần biên độ biến thiên chậm Trong môi trường phi tuyến, thơng thường tách vector phân cực tồn phần P thành hai phần, phần tuyến tính phần phi tuyến sau: P  P tt  Ppht (1.16) Ở Ptt phụ thuộc tuyến tính vào biên độ điện trường E Tương tự, ta tách vectơ D thành hai thành phần tuyến tính phi tuyến: D  Dtt  4Ppht - 10 - (1.17) u  2u i   u u0   (1.115) Tương tự trường hợp Soliton sáng ( Bright Soliton), phương pháp tán xạ ngược dùng để tìm nghiệm Soliton cho (1.115) Tuy nhiên tìm nghiệm phương pháp giải tích việc giả thiết có tồn nghiệm Soliton dạng u(, )  V()exp[i(, )] Hàm V() trường hợp số    Thay u(, ) vào (1.3.24) cân phần thực phần ảo thu hệ phương trình cho V ( )  ( , )  2V     2V   V    2V       (1.116) V   2 V 0    (1.117) Nghiệm tổng quát hệ (1.116), (1.117) có dạng V()  (1  B2 sech 2[B(  s )]1/2  Btanh(B)  (, )  2 (3  B2 )    B2   arctg    B2   (1.118) (1.119) thông số   s biểu diễn biên độ Soliton vị trí (tọa độ) hố tương ứng Tương tự trường hợp bright Soliton ta chọn  s  mà không tính tổng qt Trong nghiệm Soliton xuất thơng số B Về ý nghĩa vật lí B độ sâu hố trũng ( B  ) Trong trường hợp B=1 cường độ tâm hố trũng khơng, cịn giá trị khác B cường độ tâm hố trũng lớn khơng Trường hợp B  Dark Soliton cịn gọi Gray Soliton Còn trường hợp B=1 gọi Black Soliton Đối với giá trị  phương trình (1.122) mơ tả họ Dark Soliton với độ rộng hố tăng độ sâu hố giảm B giảm - 50 - H 1.15 Dạng Black Soliton khơng đổi q trình lan truyền Kết luận chương -Trong chương dẫn phương trình lan truyền sóng phi tuyến trường hợp tổng qt Từ phương trình chúng tơi xét trường hợp riêng quan trọng cho xung ngắn, xung cực ngắn thu được: xung ngắn, phương trình NLS mơ tả tốt q trình lan truyền xung sợi quang, với xung cực ngắn, lan truyền dạng xung mô tả phương trình GNLS -Xem xét hiệu ứng phi tuyến ảnh hưởng lên xung trình lan truyền như: GVD, SPM, SS, TOD, RSR, nhận thấy hiệu ứng ảnh hưởng lên xung gây mở rộng tần, thay đổi phổ xung gây biến dạng tín hiệu lan truyền sợi quang -Trình bày tổng quan Soliton quang học Bao gồm sở xuất Soliton quang học, Phương pháp tán xạ ngược, nghiệm Soliton Soliton bậc cao, Soliton tối - 51 - Chương KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG BẬC CAO LÊN QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG 2.1 Phương pháp giải tích Jacobian Đối với xung cực ngắn truyền lan môi trường tán sắc phi tuyến, cần phải xét đến ảnh hưởng số hiệu ứng bậc cao hiệu ứng TOD, hiệu ứng SS, SRS Khi xét độc lập, hiệu ứng phi tuyến đóng vai trị nhiễu ảnh hưởng lên xung, kết làm biến dạng xung (về hình dạng tần số) Do đó, làm méo mó tín hiệu truyền dẫn, phá hủy Soliton lan truyền sợi quang Tuy nhiên, xét ảnh hưởng đồng thời hiệu ứng kể trên, cho ta dạng Soliton lan truyền sợi quang Trong phần này, tiếp tục nghiên cứu điều kiện tồn lời giải Soliton xét đến ảnh hưởng số hiệu ứng bậc cao lên xung cực ngắn lan truyền sợi quang Bằng việc sử dụng phương pháp giải tíchphương pháp khai triển Jacobian giải phương trình lan truyền xung Trong giới hạn luận văn, không sâu chi tiết vào hàm Jacobian mà nêu số tính chất sử dụng để giải phương trình lan truyền xung Từ sử dụng tính chất làm cơng cụ để giải tốn Soliton lan truyền sợi quang đơn mode Hàm Jacobian định nghĩa sau [6]: Nếu hàm u thỏa mãn  u d  m sin  (2.1) hàm eliptic dạng Sn u; Cn u cho biểu thức: Sn u=sin  ; Cn u=cos  ; - 52 - dnu   msin  (2.2) dn u= (u ) gọi biên độ delta, m hệ số ngẫu nhiên, thông thường ta chọn thực  m  Ba hàm liên hệ với biểu thức sau: Cn2u+Sn2u=1 (2.3) dn2u+m2 Sn2u=1 (2.4) dn (u)  m  m.cn (u)  m.sn (u)  m (2.5) Nếu đặt u  u(,m) ta có d sn(,m)  cn(,m)dn(,m) d (2.6) d cn(,m)  sn(,m)dn(,m) d (2.7) d dn(,m)  m2sn(,m)cn(,m) d (2.8) Khi m  hàm Jacobian biến đổi dạng hàm hypebol sau: Snu(,m)  u() Cnu(,m)  Sech u() Tập hợp hàm Jacobian eliptic tạo thành hệ đủ nên hàm u ( ) biểu diễn [6] : l u()  a  Sn () a jSn()  b jCn()  j1 (2.9) j1 2.2 Lời giải Soliton sợi quang xét ảnh hưởng đồng thời số hiệu ứng bậc cao Sự lan truyền xung cực ngắn sợi quang đơn mode mơ tả phương trình GNLS, viết dạng sau [3] : ( U U) U U 2U  3U  i(1   U U)  3    5 U z t t t t - 53 - (2.10) Về mặt vật lý tham số 1 ,  ,  ,  ,  tương ứng với hiệu ứng GVD, SPM, TOD, SS SRS, U hàm bao biến thiên chậm chuẩn hóa, z, t tọa độ chuẩn hóa thời gian chuẩn hóa Ở đây, ta bỏ qua mát xảy sợi quang Để tìm lời giải Soliton phương trình (2.10), trước hết ta thực việc đổi biến: z,t   ,  Khi hàm U(z,t) biểu diễn theo biến sau: U(z, t)  u()exp(i) ,   kz  ct  1 ,   pz  qt  2 (2.11) k, c, p , q, 1 ,  hệ số dẫn xuất từ tham số  i , chúng có ý nghĩa vật lý sau: k có thứ nguyên số sóng nên đặc trưng cho lan truyền sóng, c có thứ nguyên vận tốc lan truyền sóng, p đặc trưng cho tốc độ thay đổi pha theo không gian, q đặc trưng cho tốc độ biến đổi pha theo thời gian, 1 2 hai tham số tương ứng với tọa độ ban đầu pha ban đầu xung Trong hệ tọa độ mới, ta biểu diễn hàm bao đạo hàm chúng dạng: U  U  U*  u () (2.12) U u exp(i)  exp(i)  u  ku '  ipu  exp(i) z z z (2.13) U u exp(i)  exp(i)  u  cu '  iqu  exp(i) t t t (2.14) 2U  cu '  iqu  exp(i)  t t    c2u ''  2icqu '  q 2u  exp(i) (2.15) 3U  c2 u ''  2icqu '  q 2u  exp(i)  t t  c3u '''  3cq u '  i(3c 2qu ''  q 3u  exp(i)   - 54 - (2.16) U u   2cuu ' t t (2.17) ( U U)   (u exp(i))  3cu 2u '  iqu  exp(i) t t (2.18) 2 Thực thay biểu thức từ (2.12)  (2.18) vào phương trình (2.10) ta thu được: ku '  ipu  i c21u ''  1q 2u   2u  33c 2qu ''  3q 3u   4qu   21cqu '  3c u  33cq u  3 4cu u  25cu u ''' ' ' ' (2.19) Bằng cách cân phần thực với phần thực phần ảo với phần ảo phương trình (2.19), thu hệ hai phương trình sau: ku '  21cuq'  3c3u '''  33cq 2u '  34cu 2u '  25cu 2u '  (2.20a) pu  1c2u ''  1q 2u  2u  33c2qu ''  3q3u  4qu  (2.20b) Giả thiết hàm u khai triển dạng: l u()  a  Sn () a jSn()  b jCn()  j1 (2.21) j1 đó, Sn()  Sn(,m) , Cn()  Cn(,m) tương ứng kí hiệu hàm eliptic dạng sin cosin, định nghĩa mục 2.1 Dựa vào tính chất hàm eliptic cân bậc lũy thừa thay (2.21) vào (2.20a,b) ta l =1 Do đó, hệ hàm sở eliptic hàm u viết: u()  a  a1Sn()  b1Cn() (2.22) đó, tham số ao, a1, b1 hệ số khai triển hệ sở hàm Sn Cn Nghiệm (2.22) dạng nghiệm tổng quát a1, b1, c, p, q xác định cách thay (2.22) vào hệ hai phương trình (2.20a), (2.20b) Bằng cách này, tìm nghiệm xác mô tả dạng Soliton điều kiện tồn - 55 - Để dễ dàng hơn, ta xét hai trường hợp cụ thể: Trường hợp 1) Xét trường hợp đặc biệt, giá trị ban đầu a0 gần chứa phần hàm Cn, nghiệm u( ) (2.22) tương ứng có dạng: u()  bCn( )  U(z,t)=b1Cn(kz  ct  1 )exp(pz  qt  2 ) (2.23) Thực tính đạo hàm u ta có: u()  b1Cn()  b1Cn u' ()   bSndn (2.24) u,'' ()  bCn[1-2dn ]=u()[1-2dn ] ' u''' ()  ( bSndn)[-1+2m  6m 2Cn ]=u[-1+2m  6m 2Cn ] Thay (2.24) vào phương trình (2.20a) xếp lại số hạng ta được: [k +21qc  33q 2c  3c3 -2m23c3 ]+[6m23c3  (34c  25c) b12 ]Cn  (2.25) Phương trình (2.26) có nghiệm tổng dấu […] vế trái phải đồng thời triệt tiêu Vì ta có: 3  k+21qc  33q c  3c -2m 3c    6m 3c  (3 4c  25c) b1  (2.26a) (2.26b) Từ phương trình (2.26b) ta rút được: b1   3 mc 3  25 (2.27) Tương tự, thay (2.24) vào phương trình (2.20b) ta đưa được: [( p  q 21  3q )-1c2  33qc2 (1  2m2 )]  [   q) b12  2m2 (1c2  33qc2 )]Cn2  (2.29) Phương trình (2.29) có nghiệm biểu thức dấu […] đồng thời triệt tiêu, nghĩa là: 2 2  [p  q 1  3q ]-1c  33qc (1  2m   2 2  (   4q) b1  2m (1c  33qc )  Từ phương trình (2.30b) ta xác định tham số q sau: - 56 - (2.30a) (2.30b)  b12  2m21c2 215  3 23  31 q   b1 6m2c23  (   ) (2.31) Thay q vừa thu (2.31) vào phương trình (2.26a) ta tìm k sau: k+21qc  33q 2c  3c3 -2m23c3  Hay [(-24m 232 2c2 m  312  12 32 2c2  812 5  12  2432 45c2  48m 232 45c2  61 2 3  24m 2 32 52c2  k (2.31)  4125  9 232  12325 2c2 )c]/(3 (  5 )2 ) Để tính p, ta thay q tính (2.31) vào (2.30a) ta thu được:  2713 43  108 32 c 21 43  216 43 32 c 21m    3 2 2  721    324   c  648  2 m c   2 2 2 2   432 c  m 1  27 2 31   216 c  51   p 7212 5 2 3  216 4 32 m 2c 2 21  648 33c 2 5 2   216   6013 2  27 32 21  108 32 c 2 21    2 2 3  1296 4 2 m c   648 2 m c   161    36 2 2   27 3  324 3c 2   3   [ (   )]3 (2.32) c số Khi m  1, nghiệm (2.23) trở thành lời giải Soliton có dạng: U(z, t)  b1Sech(kz  ct  1)expi(pz+qt+2 ) (2.33) với b1, k q xác định tương ứng theo (19), (22) (23) lấy giá trị m =1 Trường hợp 2) Chúng ta giới hạn xét cho trường hợp đặc biệt, giá trị ban đầu gần nghiệm chứa phần phụ thuộc hàm Sn Trong trường hợp hàm u biễu diễn theo (2.22) trở thành u()  a1Sn() Khi hàm bao xác định theo biểu thức (2) viết U(z, t)  a1Sn(kz  ct  1)exp i(pz+qt+ 2 )  (2.34) Thực tính tốn đạo hàm u thay vào phương trình (2.20a,b) để tính hệ số tương tự trường hợp 1, cuối ta thu được: - 57 - u()  a 1S n()  a 1S n u' ()  a 1Cndn u,'' ()  a 1Sn[dn +m 2Cn ]=-u()[m -1+2dn ] (2.35) u,''' ()  u' ()[6m 2Sn -1-m ] Thay (2.35) vào (2.20a) ta được: k +21qc  33 q c  3 c3 +m23 c3  (2.36a) 6m23c3  (3 4c  25c)a 12  (2.36b) Giải (2.36b) xác định đươc tham số a1 sau: a 1  6 mc 3  2 (2.37) Thay (2.37) vào (2.20a) ta thu [(p  q 21  q 23 )  (1c2  3q3c2 )(m2  1)]  [(   4q)a 12  m2 (1c2  3q3c2 )]Sn  (2.38) Phương trình (2.38) có nghiệm tổng dấu […] vế trái phải đồng thời triệt tiêu Do đó, ta thu hệ hai phương trình sau: (p  q 21  q 23 )  (1c2  3q3c2 )(m2  1)  (2.38) (   q)a 12  m2 (1c2  3q3c2 )  Giải (2.38) với a   6 mc tìm q, ta thu được: 3  2 21  3 2  31 q  (  5 ) (2.39) Giải (2.36a) ta tìm k cách thay q vừa tìm (2.39) c(12 32c m 2  24 32c m2 4  12 32c m2 52  8 512 12 (2.40)  4 5212  61 2 3  312  12 32 2c k   24 32c 2 4  12 32c 2  9 32 2 ) / ( (   ) ) Từ (2.38), xác định p sau: - 58 -  27 33 23  27 2 312  36 212 2  1613 53  216   7212 5 2 3  27 32 21  6013 2  7213 2  p  216 32 c 2 51  108 32 c 2 21  648 33c 2 5 2  (2.41)  324   c  324 c  2  108 c 1  27   2 2 2 3  108 4 32 m c 2 21  648 4 2 33m c 2  324 2 2 33 m2 c  216 c 2 32 m 21  108 32 c m 21 43  324 2 32 c 2 m  [ (   )]3 Lưu ý c số tuỳ ý Khi m  bậc thấp nhất, lời giải tương ứng trở thành lời giải có dạng Soliton tối có dạng sau: U( z, t )  a1 tanh(kz  ct  1 )expi(pz+qt+ ) (2.42)  Biện luận nghiệm thu Từ biểu thức mô tả lời giải Soliton sáng, Soliton tối (2.33) (2.42) ta xét điều kiện tạo thành soliton ứng với có mặt khơng có mặt tán xạ Raman cưỡng bức, nhận thấy rằng: * Trong trường hợp không xét đến hiệu ứng SRS ( 5  ): - Soliton sáng tồn tồn đồng thời hai hiệu ứng TOD, SS  3 >0 thỏa mãn (2.47) Soliton tối tồn tồn đồng thời hai hiệu ứng TOD,SS thỏa  3 E  , dễ thấy Soliton sáng Soliton tối biến -Trường hợp hiệu ứng SS không xét đến (   => E   ) Soliton sáng Soliton tối bị phá huỷ Vì vậy, để tạo thành soliton phải có cân TOD (được đặc trưng 3) tự dựng xung (đặc trưng 4) Điều xác định nghiên cứu trước - 59 - * Trường hợp xét đến hiệu ứng tán xạ Raman cưỡng ( 5  ): -Hai điều kiện để tồn Soliton sáng, tối (38), (39) khơng cịn cần thiết Và trường hợp ảnh hưởng TOD khơng đáng kể, nghĩa 3 soliton sáng tối bị phá hủy Tuy nhiên ảnh hưởng SS không đáng kể, nghĩa 4  0, soliton tối sáng tồn Đây điểm khác biệt quan trọng trường hợp có mặt khơng có mặt hiệu ứng tán xạ Raman cưỡng Vì vậy, ta thấy tán xạ Raman cưỡng đóng vai trị quan trọng việc hình thành loại soliton – tạo thành cân từ ba hiệu ứng: SRS, TOD, SS Hơn nữa, cộng thêm cân tán sắc vận tốc nhóm tự biến điệu pha có mặt tất hiệu ứng tạo soliton tối sáng Mặt khác, trường hợp tính đến ảnh hưởng hiệu ứng SRS lên xung, Soliton sáng tồn trường hợp sợi quang tán sắc thông thường 3 3  2 0 Soliton tối thể tồn trường hợp sợi quang tán sắc dị thường 3 3  2  Điều khác với kết thu xét đến ảnh hưởng hai hiệu ứng GVD SPM biết đến nghiên cứu trước Soliton sáng tồn sợi quang trường hợp tán sắc dị thường ( 1  ) Soliton tối tồn sợi quang với trường hợp tán sắc thuờng ( 1  ) Kết luận chương Trong chương này, giải vấn đề sau: -Trình bày sơ lược hàm Jacobian eliptic - 60 - -Trên sở phương pháp giải tích Jacobian, xuất phát từ phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng xem xét số hiệu ứng phi tuyến, biểu thức mô tả Soliton sáng, tối dẫn giải Từ kết thu được, điều kiện tồn Soliton bình luận Như vậy, xét đồng thời ảnh hưởng hiệu ứng bậc cao TOD, SS, SRS, thu Soliton lan truyền sợi quang Đặc biệt, xét đến có mặt hiệu ứng SRS, lời giải soliton thu có phần khác với lời giải soliton xét đến ảnh hưởng GVD SPM hình thành soliton gây xét đến có mặt hai hiệu ứng TOD SS Sen-Yua [11] nghiên cứu trước - 61 - KẾT LUẬN CHUNG Trong đề tài chúng tơi trình bày sở lý thuyết vấn đề lan truyền xung môi trường tán sắc phi tuyến, thực tính tốn giải tích sử dụng phương pháp khai triển Jacơbiên eliptic để giải phương trình GNLS xét đến ảnh hưởng số hiệu ứng phi tuyến bậc cao, đặc biệt hiệu ứng SRS lên xung Từ tìm điều kiện tồn nghiệm Soliton quang học Những kết thu tóm tắt sau:  Xuất phát từ hệ phương trình Maxwell, dẫn phương trình lan truyền sóng phi tuyến tường hợp tổng quát Từ phương trình xem xét trường hợp riêng xung ngắn, xung cực ngắn phương trình lan truyền tương ứng: phương trình NLS phương trình GNLS  Đối với xung ngắn lan truyền sợi quang đơn mode, chúng tơi xét q trình lan truyền miền có ảnh hưởng tán sắc phi tuyến tác dụng hiệu ứng lên xung vào dang Gauss Kết thu phù hợp với thực nghiệm mở rộng thời gian xung tán sắc mở rộng phổ hiệu ứng phi tuyến  Sử dụng phương pháp tán xạ ngược giải phương trình NLS, lời giải thu Soliton Các tính tốn số cho thấy nghiệm tồn kết giải tích khẳng định Chúng tơi tính toán chi tiết cho biến đổi moodul hàm bao cường độ Soliton chu kỳ  Bằng tính tốn giải tích- sử dụng phương pháp khai triển Jacơbiên eliptic, giải chi tiết phương trình GNLS xét ảnh hưởng đồng thời số hiệu ứng bậc cao, có tham gia hiệu ứng SRS (việc giải phương trình phức tạp, thơng thường phải sử dụng phương pháp số đê giải) Kết thu nghiệm Soliton Lời giải thu xét trường hợp đơn giản cho thấy điều kiện tồn Soliton phù hợp với kết giải trước Tuy - 62 - nhiên xét đến ảnh hưởng thời hiệu ứng bậc cao, đặc biệt có tham gia hiệu ứng SRS điều kiện tồn Soliton có phần khác  Hướng mở rộng đề tài Trong phạm vi luận văn này, thực giải phương trình GNLS xét đến ảnh hưởng hiệu ứng phi tuyến liên quan đến độ cảm phi tuyến bậc ba, tìm lời giải Soliton lan truyền sợi quang Vấn đề mở rộng xét đến hiệu ứng phi tuyến liên quan đến độ cảm phi tuyến bậc cao Ngồi luận văn trình bày tính tốn lý thuyết, kết thu thực nghiệm chưa tiến hành - 63 - TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồ Quang Quý,2007,"Quang phi tuyến ứng dụng" NXB Đại học quốc gia Hà nội [2] Cao long Vân, M.Trppenbach, Đinh Xuân Khoa, 2003, "Nhập môn Quang học phi tuyến" tủ sách trường Đại học Vinh [3] Govind P Agrawal, Nonlinear Fiber Optic, Academic Press 2001 [4] Hasegawa, A., Tappert, F.D.: Appl Phys Lett 23, 142 (1973) [5] Mollenauer, L.F., Stolen, R.H., Gordon, J.P.: Phys Rev Lett 45, 1095 (1980) [6] Handbook of Mathematical Functions, Abramowitz and Stegun (ed), NewYork: Dover 196 [7] Nguyễn Việt Hưng, "Lan truyền xung ánh sáng môi trường tán sắc phi tuyến" (Luận văn cao học), Đại học Vinh 2005 [8] Đồn Thế Ngơ Vinh, "Nghiên cứu ảnh hưởng nhiễu loạn nhỏ lên trình lan truyền soliton sợi quang" (Luận văn cao học), Đại học Vinh 2007 [9] Konar, S., Sen, P.K., Kumar, J., J Nonlinear Opt Phys Mater.8, 492 (1999) [10] Malomed, B.A., Prog Opt 43, 71 (2003) [11] LOU Sen-Yue, “Self-Steepening and Third-Order Dispersion Induced Optical Solitons in Fiber” Commun Theor Phys (Beijing, China) 35 (2001) pp 589–592 (2001) [12] Artigas, D., Torner, L., Torres, J.P., Akhmediev, N.: Opt Commun 143, 322 (1997) - 64 - ... phi tuyến 1.1.3 Sự lan truyền xung ngắn môi trường phi tuyến 12 1.1.4 Sự lan truyền xung cực ngắn 14 1.2 Một số hiệu ứng phi tuyến ảnh hưởng lên xung lan truyền 15 sợi quang 1.2.1 Chế độ lan truyền. .. SỐ HIỆU 51 ỨNG BẬC CAO LÊN LỜI GIẢI SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG 2.1 Phương pháp giải tích Jacobian 51 -2- 2.2 Khảo sát ảnh hưởng đồng thời số hiệu ứng bậc cao lên lời giải 52 Soliton sợi. .. tài: “NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG PHI TUYẾN LÊN LỜI GIẢI SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG? ?? Trên sở nội dung đề tài trình bày hai chương theo bố cục sau: Chương 1: “SỰ LAN TRUYỀN