Nghiên cứu ảnh hưởng của một số hiệu ứng phi tuyến lên lời giải soliton lan truyền trong sợi quang

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH THÁI THỊ MINH NGUYỆT NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG PHI TUYẾN LÊN LỜI GIẢI SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG Chuyên ngành: Quang học Mã số: 62441101 LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ Vinh 2009 - 1 - MỤC LỤC Lời mở đầu 3 Chương 1: SỰ LAN TRUYỀN XUNG ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG TÁN SẮC PHI TUYẾN 6 1.1 Phương trình lan truyền xung trong sợi quang. 6 1.1.1 Sự phân cực phi tuyến của môi trường. 6 1.1.2 Phương trình sóng phi tuyến. 7 1.1.3 Sự lan truyền xung ngắn trong môi trường phi tuyến. 12 1.1.4 Sự lan truyền xung cực ngắn. 14 1.2 Một số hiệu ứng phi tuyến ảnh hưởng lên xung lan truyền trong sợi quang. 15 1.2.1 Chế độ lan truyền xung. 15 1.2.2 Hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm. 18 1.2.3 Hiệu ứng tự biến điệu pha. 22 1.2.4 Hiệu ứng tán sắc bậc ba. 26 1.2.6 Hiệu ứng tự dựng xung 1.2.7 Hiệu ứng tán xạ Raman 31 34 1.3 Soliton quang học 39 1.3.1 Cơ sở xuất hiện Soliton quang học. 39 1.3.2 Lời giải Soliton cơ bản ( Soliton bậc một). 41 1.3.3 Soliton bậc cao (lời giải N Soliton). 46 1.3.4 Các kiểu Soliton khác- Soliton tối. 48 Chương 2 KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG BẬC CAO LÊN LỜI GIẢI SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG 51 2.1 Phương pháp giải tích Jacobian. 51 2.2 Khảo sát ảnh hưởng đồng thời của một số hiệu ứng bậc cao lên lời giải Soliton trong sợi quang. 52 - 2 - PHẦN KẾT LUẬN 61 MỘT SỐ CỤM TỪ VIẾT TẮT NLSE Nonlinear Schrodinger Equation. Phương trình Schrodinger phi tuyến GNLSE Generalized Nonlinear Schrodinger Phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng GVD Group Velocity Dispersion Tán sắc vận tốc nhóm SPM Self Phase Modulation Tự biến điệu pha TOD Third-Order Dispersion Tán sắc bậc ba SS Self- Steppening Tự dựng xung SRS Stimulated Raman Scatering Tán xạ Raman cưỡng bức FWHW Full Width at Half Maximum Độ rộng toàn phần tại một nửa cực đại xung RMS Root-mean-square Độ rộng căn quân phương. - 3 - LỜI MỞ ĐẦU Nghiên cứu quá trình lan truyền xung ánh sáng trong môi trường vật chất là một trong những vấn đề cơ bản của ngành Quang học. Kể từ khi laser ra đời vào năm 1960, quang học phi tuyến đã có những phát triển vượt bậc và có nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và công nghệ, trong đó có thông tin quang. Trong lĩnh vực này, truyền tải và xử lý thông tin sẽ là đối tượng trực tiếp của các quá trình nghiên cứu. Sự ra đời của nó đã cải tạo mạng lưới thông tin trên toàn thế giới. Nhờ đó, một số lượng tín hiệu hình, tín hiệu âm thanh có thể truyền đi một cách nhanh chóng và có hiệu quả bởi do tốc độ truyền thông tin là rất lớn, sự tổn hao trong quá trình lan truyền thấp. Đặc biệt, tính ổn định của tín hiệu được truyền đi là rất cao và hầu như không bị méo. Tính chất này được tạo ra bằng cách sử dụng các Soliton quang học để truyền thông tin. Soliton quang học là đối tượng của nhiều nghiên cứu về mặt lý thuyết cũng như thực nghiệm trong suốt ba thập kỷ qua bởi những ứng dụng mạnh mẽ, tiềm tàng trong truyền đạt thông tin đường dài và toàn bộ các thiết bị chuyển mạch quang cực nhanh. Soliton quang học trong một sợi điện môi được đề xuất lần đầu tiên vào năm 1973 bởi Hasegawa và Tappert [4], được làm thí nghiệm kiểm tra bởi Moollenauer vào năm 1980 [5]. Sự tồn tại dạng xung Soltion trong sợi quang là nội dung quan trọng trong nghiên cứu quá trình lan truyền xung ánh sáng trong môi trường phi tuyến nói chung và trong sợi quang đơn mode nói riêng. Đối với những nghiên cứu về lan truyền xung quang học trong môi trường phi tuyến, xuất phát điểm là lý thuyết điện từ của Maxwell. Lý thuyết này có ưu điểm là mô tả tốt các quá trình điện từ trong một giới hạn khá rộng nhưng lại rất đơn giản và đẹp đẽ về mặt toán học. Trên cơ sở này, vấn đề lan truyền xung được mô tả theo phương pháp gần đúng do bởi các quá trình phi tuyến là - 4 - rất phức tạp. Khi đó lan truyền của xung ánh sáng được mô tả bằng phương trình của hàm bao biến thiên chậm. Phương trình hàm bao trong môi trường Kerr ở các khai triển bậc thấp có dạng là phương trình Schrodinger phi tuyến (NLSE). Trong phương trình này, ta bỏ qua ảnh hưởng của các hiệu ứng tương ứng với các khai triển bậc cao. Lúc này, xung chỉ chịu ảnh hưởng của hai hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD) và hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM). Ảnh hưởng của hai hiệu ứng này trong một điều kiện nào đó sẽ hình thành Soliton. Vì giới hạn ở khai triển bậc thấp nên phương trình NLS chỉ mô tả gần đúng sự biến đổi hàm bao của các xung laser ngắn (có độ rộng phổ cỡ ps) hoặc lớn hơn, còn các xung cực ngắn (độ rộng phổ cỡ fs) sẽ có sự sai lệch khi mô tả bằng NLSE. Do đó, đối với các xung cực ngắn, ta cần phải kể đến các khai triển bậc cao hơn. Lúc này, lan truyền của xung cực ngắn được mô tả bởi phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng (GNLSE). Trong GNLSE, ta đưa vào các hiệu ứng phi tuyến bậc cao như : tán sắc bậc ba (TOD), tự dựng xung (SS), tán xạ Raman cưỡng bức (SRS). Mỗi hiệu ứng sẽ ảnh hưởng lên xung lan truyền trong sợi quang, đóng vai trò là nhiễu khi ta xem xét chúng độc lập. Tuy nhiên, khi xét đồng thời ảnh hưởng của các hiệu ứng kể trên, lời giải GNLSE vẫn có thể cho ta dạng Soltion lan truyền trong sợi quang, mặc dù điều kiện để có lời giải Soliton sẽ có phần hơi khác. Vì vậy, mục đích của đề tài là bằng phương pháp giải tích- khai triển Jacobian, giải GNLSE, tìm ra lời giải Soltion khi xét đồng thời một số hiệu ứng bậc cao. Xuất phát từ lí do trên chúng tôi đã chọn đề tài: “NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG PHI TUYẾN LÊN LỜI GIẢI SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG” Trên cơ sở đó nội dung chính của đề tài sẽ được trình bày trong hai chương theo bố cục sau: - 5 - Chương 1: “SỰ LAN TRUYỀN XUNG ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG TÁN SẮC PHI TUYẾN”. Trong chương này chúng tôi trình bày cơ sở lý thuyết của vấn đề nghiên cứu. Bao gồm: xem xét sự đáp ứng phân cực của môi trường khi chịu kích thích bởi một trường quang học; dẫn ra phương trình lan truyền sóng phi tuyến. Từ phương trình tổng quát này chúng tôi xét các trường hợp riêng, quan trọng cho các xung ngắn, cực ngắn với các phương trình lan truyền tương ứng: NLSE và GNLSE. Các hiệu ứng phi tuyến ảnh hưởng lên xung trong quá trình lan truyền như: GVD, SPM, SS, TOD, RSR cũng được trình bày chi tiết. Tiếp đến là phần trình bày tổng quan về Soliton quang học. Trong mục này, chúng tôi trình bày cơ sở xuất hiện Soliton quang học đồng thời dẫn ra một phương pháp cơ bản giải phương trình NLS để tìm nghiệm Soliton của nó – Phương pháp tán xạ ngược. Các Soliton cơ bản và Soliton bậc cao được tìm thấy khi xung lan truyền trong chế độ tán sắc dị thường. Ngoài ra trong phần này còn trình bày một dạng Sliton khác, đó là Soliton tối còn gọi là Dark Soliton. Chương 2 “KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG ĐỒNG THỜI CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG BẬC CAO LÊN QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG”. Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược phương pháp giải tích khai triển Jacobian. Trên cơ sở đó giải GNLSE để tìm nghiệm Soliton. Cuối cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo. - 6 - Chương 1 SỰ LAN TRUYỀN XUNG ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG TÁN SẮC PHI TUYẾN 1.1 Phương trình lan truyền xung trong sợi quang 1.1.1 Sự phân cực phi tuyến trong sợi quang Khi trường quang học lan truyền trong môi trường điện môi, chúng sẽ kích thích các phân tử và sinh ra các phân cực vi mô. Sự đáp ứng của bất kì chất điện môi nào với trường quang học có cường độ lớn đều trở nên phi tuyến và được đặc trưng bởi vector phân cực toàn phần P r . Trường hợp trường quang học có công suất lớn lan truyền trong môi trường điện môi, khi đó vectơ phân cực là phi tuyến và liên hệ với vectơ cường độ điện trường E r theo công thức[1]: (1) (2) (2) (3) (3) P(t) [ E(t) E (t) E (t) .] 0 = ε χ +χ +χ + r r r r (1) (2) (3) P (t) P (t) P (t) . = + + + r r r (1.1) trong đó 0 ε là hằng số điện môi trong chân không, (j) χ là độ cảm điện môi bậc j, (1) χ là độ cảm điện môi tuyến tính, biểu diễn phần đóng góp lớn nhất của vector phân cực P r , các hiệu ứng của nó thể hiện sự phụ thuộc của chiết suất vào tần số n( )ω . (2) χ mô tả các hiệu ứng phi tuyến bậc hai như phát hoà âm bậc hai, phát tần số tổng, phát tần số trừ…. Sự đóng góp thành phần phi tuyến lớn nhất kể đến trong vector phân cực P r là của (3) χ các thành phần bậc cao khác có thể bỏ qua do chúng quá bé. Thành phần bậc ba của vector phân cực phi tuyến tương ứng với các hiện tượng như phát hoà âm bậc ba, hiệu ứng trộn bốn sóng và khúc xạ phi tuyến. Khi mà điều kiện hợp pha được thỏa mãn, các quá trình phi tuyến này sẽ dẫn đến hiện tượng phát các tần số mới, điều này là không thuận lợi cho quá trình truyền thông tin trong sợi quang. - 7 - Các sợi quang được chế tạo từ hỗn hợp Ôxit-silic là một chất điện môi. Hầu hết các hiện tượng phi tuyến xảy ra trong sợi quang đều bắt nguồn từ sự khúc xạ phi tuyến, một hiện tượng mô tả liên hệ giữa sự phụ thuộc của chiết suất phi tuyến 2 n( , E )ω % vào tần số ω và cường độ trường, được mô tả như sau[3]: 2 2 2 n( , E ) n( ) n Eω = ω + % (1.2) trong đó ( )n ω là chiết suất tuyến tính, thoả mãn: 2 (1) n ( ) 1ω = + χ (1.3) và n 2 là chiết suất phi tuyến cho bởi : (3) 2 3 n Re( ) 8n = χ (1.4) Trong đa số trường hợp n 2 là đại lượng dương [7]. Chiết suất phi tuyến phụ thuộc vào cường độ trường dẫn đến một số lượng lớn các hiện tượng phi tuyến đáng chú ý. Khi đó pha của một xung quang học biến đổi theo biểu thức: 2 0 2 0 ( ) = = + % nk L n n E k L φ (1.5) trong đó 0 k 2 /= π λ và L tương ứng với số sóng và chiều dài sợi quang. Sự biến đổi pha phi tuyến phụ thuộc vào cường độ trường sẽ gây ra hiệu ứng SPM lên xung dẫn đến mở rộng phổ xung, nếu xét trong chế độ tán sắc dị thường, trong một điều kiện nhất định nào đó sẽ cho Soliton quang học. 1.1.2 Phương trình sóng phi tuyến Sự lan truyền của các sóng điện từ mà trường hợp riêng là sóng ánh sáng trong môi trường vật chất được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell, viết theo đơn vị Gauss [1]: 1 ( , ) ( , ) ∂ ∇× = − ∂ r r r r r r r B t E t c t (1.6) D(r,t) 4 (r,t)∇ = πρ r r r r (1.7) - 8 - 1 D(r,t) 4 H(r,t) j(r,t) c t c ∂ π ∇× = + ∂ r r r r r r (1.8) B(r,t) 0∇ = r r r (1.9) trong đó (r,t)ρ r và j(r,t) r r là mật độ điện tích và mật độ dòng điện trong môi trường tại thời điểm t. Các vectơ E(r,t) r r , 2 2 2 dn 1 m= − Sn , H(r,t) r r , B( ,t)r r r tương ứng là cường độ điện trường, cảm ứng điện trường, cường độ từ trường và cảm ứng từ. Trong đề tài này, chúng tôi chỉ nghiên cứu môi trường sợi quang - là môi trường điện môi nên không tồn tại điện tích tự do, khi đó (r,t) 0ρ = r , j(r,t) 0= r r . (1.10) Để đưa ra phương trình lan truyền xung trong sợi quang một cách đơn giản, ta giả thiết rằng: Môi trường không có từ tính 1µ = , do đó B(r,t) H(r,t)= r r r r . (1.11) Bước sóng của trường quang học lan truyền trong sợi quang xa miền cộng hưởng của môi trường và lớn hơn bước sóng giới hạn của sợi quang sao cho điều kiện truyền đơn mode được thoả mãn. Môi trường là phi tuyến và sự đáp ứng phi tuyến của môi trường được coi là tức thời. Trường quang học là phân cực phẳng và giữ nguyên dọc chiều dài sợi quang, do đó ta có thể đưa bài toán ba chiều về bài toán một chiều đơn giản. Do môi trường là phi tuyến nên D(r,t) r r và E(r,t) r r liên hệ với nhau thông qua hệ thức: D(r,t) E(r,t) 4 P(r,t)= + π r r r r r r (1.12) - 9 - Đối với từ trường ta cũng có thể đưa ra đại lượng tương tự, tuy nhiên theo tính toán lý thuyết người ta nhận thấy rằng trong miền quang học, việc đưa vào đại lượng như vậy là không cần thiết. Thế (1.11), (1.10) vào (1.8) ta được 2 1 D(r,t) B(r,t) c t ∂ ∇× = ∂ r r r r r (1.13) Từ (1.13) và (1.6) ta nhận được 2 2 2 1 D E 0 c t ∂ ∇×∇× + = ∂ r r r r (1.14) Thế (1.12) vào (1.14) ta nhận được 2 2 2 2 2 2 1 E 4 P E c t c t ∂ − π ∂ ∇×∇× + = ∂ ∂ r r r r r (1.15) Phương trình (1.15) là phương trình truyền sóng tổng quát nhất trong môi trường phi tuyến. Áp dụng tính chất 2 ( )∇×∇× = ∇ • ∇ • − ∇E E E r r r r r r r đối với (1.15) ta nhận thấy vấn đề rằng trong quang tuyến tính D 0∇ • = r r và do đó E 0∇ • = r r . Trong môi trường phi tuyến số hạng này là không thể bỏ qua, ngay cả trong môi trường đồng nhất. Tuy nhiên, nếu xét cho trường hợp sóng ngang, phẳng thì E∇ • r r có thể bỏ qua. Nói chung, số hạng này rất nhỏ ngay cả khi không thể loại bỏ nó, đặc biệt trong gần đúng biên độ biến thiên chậm. Trong môi trường phi tuyến, thông thường có thể tách vector phân cực toàn phần P r % thành hai phần, phần tuyến tính và phần phi tuyến như sau: tt pht P P P= + r r r % (1.16) Ở đây tt P r phụ thuộc tuyến tính vào biên độ điện trường E r . Tương tự, ta có thể tách vectơ D r % thành hai thành phần tuyến tính và phi tuyến: tt pht D D 4 P= + π r r r % (1.17) trong đó thành phần tuyến tính có dạng: - 10 - . MINH NGUYỆT NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG PHI TUYẾN LÊN LỜI GIẢI SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG Chuyên ngành: Quang học Mã số: 62441101. chọn đề tài: “NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG PHI TUYẾN LÊN LỜI GIẢI SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG Trên cơ sở đó nội dung chính của đề tài