Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ... CMR : tam giác đã cho là đều.[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH THI GIỎI HUYỆN NĂM 2016 Môn thi: TOÁN - Bài Thời gian làm bài : 120 phút Đề : Bài 1: Cho biểu thức : A= - a, Rút gọn A c, Tìm các giá trị x để A nhận giá trị nguyên d, Tìm giá trị x để biểu thức M = đạt Min Bài 2: Tìm giá trị nhỏ (min) biểu thức sau : K = x1420 + x404 + x55 + x50 + x35 +x25 +x20 + x7 + 2016 ; ( x>0) X 2 Cho biết : ( x x 5)( y y 5) 5 (*) Tính giá trị biểu thức: Q = Bài : cho các số thực : a1 , a2 ,a3 , … , a2016 thỏa mãn đẳng thức : a1 + a2 + a3 + … + a2016 = CMR : a12 + a22 + a32 + … +a22016 Bài : Cho x,y,z không âm thỏa mãn : x + y + z =9 Tính giá trị nhỏ ( ) biểu thức : B = xy + yz +zx Bài : Bài : Cho hai số chính phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số đó cộng với tích chúng là số chính phương lẻ Bài : Gọi a,b,c là số đo cạnh tam giác cho biết : (a+b)(b+c )(a+c) = 8abc CMR : tam giác đã cho là Câu : Tìm đa thức bậc ba cho biết : P(0)=10 ; P(1)= 12 ; P(2) = 4; P(3) = Câu : Tìm đa thức bậc P(x) cho biết chia P(x) cho các đa thức : (x-1); (x-2) ; (x-3) dư là và P(-1) = -18 Câu 10 : Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD O M là điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân b) Chứng minh : ME // BN c) Từ C kẻ CH BN ( H BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng GVBM : Xuân Hà Hướng dẫn giải : tự giải Thật ta phân tích k thành tổng 2016 số với cùng mẫu số x( với x > ) , Áp dụng Bất Đẳng Thức Cô Si cho 2016 số không âm ta có : (2) Từ (*) Ta nhân hai vế với lượng liên hợp đẳng hiệu hai bình phương ta có hệ pt sau : -5(y + y ) =5( x - x ) (1) -5(x + x ) = (y - y ) (2) Cộng (1) và (2) theo vế ta có :10 (x + y) = (x + y ) = (**) Từ ( ** ) và Q ta có : giải tương tự đây Q= x 2009 y 2009 ( x y)( x 2008 x 2007 y x 2006 y y 2008 ) 0.( x 2008 y 2008 ) 0 Giá trị : Q = : x = - y Áp dụng bất thức Bunhiacopxki cho 2016 số ta có điều cần chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Bu Nhiacôpxky ta có : B2 = (xy + yz + zx )2 (x2 + y2 + z2 )(x2 + y2 +z2 ) Mà : (x2 + y2 + z2 ) = (x +y + z )2 -2xy – 2yz – 2zx (***) B2 (x2 + y2 + z2 )(x2 + y2 +z2 ) (3) ( x y z ) xy yz zx 81 2( xy yz zx ) 2 2( xy yz zx ) B 81 2( xy yz zx ) 2 B 81 2( xy yz zx ) B 2( xy yz zx ) 81 81 3( xy yz zx ) 81 B xy yz zx 27 B (min) = 27 Khi và : = = và x + y + z = 9 x = y = z = / Gọi hai số là a2 và (a+1)2 Theo bài ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + = ( a2 + a + 1)2 là số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn a2 + a + là số lẻGọi hai số là a2 và (a+1)2 Theo bài ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + = ( a2 + a + 1)2 là số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn a2 + a + là số lẻ Từ giả thiết ta có : (a+b)(b+c )(a+c) = 8abc ( ca2 -2abc+cb2 )+( ab2 -2abc c2a) +( bc2 - 2abc +a2b)= C(a-b)2 +a(b-c)2 +b( c- a)2 = => => a=b=c => tam giác Đặt: P(x) = d+cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) P(0) = d => d=10 ; P(1) = d+cx => c + d = 12=> c = ; P(2) = d+cx +bx(2-1) =4 => 10+4+2b = 4=> b=-5 ; P(3) = d+cx +bx(x-1) +ax(x-1)(x-2) = P(3) = 10+2.3+ (-5).2 +a.32.1 = => a = Vậy HSXĐ : P(x) = x (x-1)(x-2) - 5x(x-1) +2x + 10 10 (4) Hình vẽ Xét ∆OEB và ∆OMC Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC Và B1 C1 45 BE = CM ( gt ) Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c) OE = OM và O1 O3 Lại có O2 O3 BOC 90 vì tứ giác ABCD là hình vuông O O EOM 900 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân O Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD AM BM + AB // CD AB // CN MN MC ( Theo ĐL Ta- lét) (*) Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*) AM AE Ta có : MN EB ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét) Gọi H’ là giao điểm OM và BN Từ ME // BN OME OH ' E ( cặp góc so le trong) Mà OME 45 vì ∆OEM vuông cân O ' B 450 C MH ∆OMC ∆BMH’ (g.g) OM MH ' CMH ' ( hai góc đối đỉnh) OB MC ,kết hợp OMB ' C 450 ∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) OBM MH ' C BH ' M MH ' C 900 CH ' BN BH Vậy Mà CH BN ( H BN) H H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm) (5)