De HSG Toan 820162017 180

Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC... híng dÉn chÊm bµi thi häc sinh giái CẤP TRƯỜNG.[r]

§Ò thi chän häc sinh GIỎI CẤP TRƯỜNG N¨m häc 2015 - 2016 phòng giáo dục & đào tạo lP TRƯỜNG THCS PHÚ HỮU M«n to¸n – LỚP Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Ngµy thi: 10 th¸ng 11 n¨m 2015 §Ò thi cã 01 trang Bµi (3 ®iÓm) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) 3x2 – 7x + 2; Bµi (6 ®iÓm) Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1)   10  x   x A    : x      x2   x  2 x x2  b) Tính giá trị A, biết x = c) Tìm giá trị x để A < d) Tìm các giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Bµi (5 điểm) a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = a b c x y z x2 y z   0   1   1 b) Cho a b c và x y z Chứng minh : a b c Bµi (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − a3 +3 a2 −4 a+5 Bài (5 điểm) Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng AD, BC, AC a) Chứng minh EI // CD; FI // AB b) Chứng minh hệ thức EF  AB + CD c) Từ hệ thức trên, suy dấu “ = ” xảy và tứ giác ABCD là hình thang - Hết Lu ý: Thí sinh thi môn Toán không đợc sử dụng Máy tính cầm tay híng dÉn chÊm bµi thi häc sinh giái CẤP TRƯỜNG phòng giáo dục & đào tạo lP TRƯỜNG THCS PHÚ HỮU N¨m häc 2015 - 2016 M«n: to¸n - líp Bµi 1: (3 ®iÓm) a) (1,5 3x2 – 7x + = 3x2 – 6x – x + = ®iÓm) = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b) (1,5 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = ®iÓm) = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ   10  x   x A      : x   x  2 x x 2  x 2   Biểu thức: 1 x a) Rút gọn kq: 1 1 x   x x 2 b) A Bµi điểm 1.5đ 4 A c) A   x  1 AZ   Z  x   1;3 x d)  A Bài (5 ®iÓm) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 =  (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 2 a)  9(x - 1) + (y - 3) + (z + 1) = (*) 2 (2,5) Do : ( x  1) 0;( y  3) 0;( z  1) 0 Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) a b c ayz+bxz+cxy b)   0  0 (2,5) Từ : x y z xyz 1.5đ 1.5đ 1.5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ  ayz + bxz + cxy = x y z x y z   1  (   ) 1 a b c Ta có : a b c 0,25đ x2 y z xy xz yz    2(   ) 1 a b c ab ac bc 0,5đ  0,5đ x2 y z cxy  bxz  ayz   2 1 a b c abc x2 y2 z2    1(dfcm) a b c 0,5đ  0,25đ 0,5đ Biến đổi để có A= a2 (a2+ 2) −2 a(a2 +2)+(a 2+2)+3 a −1 ¿2+3 = (a +2)(a −2 a+1)+3=(a 2+ 2)¿ Bài (2 điểm) Vì a2 +2>0 ∀a 0,5đ a −1 ¿2 ≥0 ∀ a nên (a 2+2) ¿ và a −1 ¿ ¿≥0 ∀ a đó 0,5đ a −1 ¿ +3 ≥ ∀ a ( a +2)¿ ⇔ a=1 Dấu = xảy và a −1=0 KL 0,25đ 0,25đ Bài (5 điểm) B A F E I D C a) Chứng minh EI // CD; FI // AB Ta có: EI là đường trung bình tam giác ACD (0,25 đ) Suy ra: EI // CD (0,25 đ) Tương tự, ta có: FI là đường trung bình tam giác ABC (0,25 đ) Suy ra: FI // AB (0,25 đ) b) Chứng minh hệ thức EF  AB + CD Ta có: EI là đường trung bình tam giác ACD Suy ra: EI = Tương tự : DC IF = AB (1) (0,5 đ) (2) (0,5 đ) Trong tam giác EIF, theo bất đẳng thức tam giác, ta có: EF  EI + IF Suy ra: EF  (0,5 đ)  AB + CD  (0,5 đ) c) Từ hệ thức trên, suy dấu “ = ” xảy và tứ giác ABCD là hình thang Khi tứ giác ABCD là hình thang thì ba điểm E, I, F thẳng hàng, lúc đó EF = EI + IF Suy ra: EF = (0,5 đ) AB + CD Ngược lại: ta có EF = (0,5 đ) AB + CD thì EF = EI + IF (0,25 đ) Suy ra: ba điểm E, I, F thẳng hàng (0,25 đ) Do EI // CD và FI // AB mà E, I, F thẳng hàng nên AB // CD (0,25 đ) Suy ra: tứ giác ABCD là hình thang