Kỹ thuật 2 Rút một biểu thức để thế Cụ thể: Rút một biểu thức từ phương trình này thay vào phương trình kia để được phương trình một ẩn giải được.. Ví dụ 4 Giải hệ phương trình.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH A PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp biến đổi tương đương TG: HỒ TUẤN x D *THOẠI A B A B 0 A B Dạng 1: Phương trình Lưu ý: Điều kiện (*) tùy chọn vào độ phức tạp A 0 hay B 0 B 0 A B A B Dạng 2: Phương trình Dạng 3: Phương trình A 0 ) A B C B 0 A B AB C (chuyển dạng 2) ) A B C A B AB A B C và ta sử dụng phép thế: 3 A B C ta phương trình: A B A.B.C C 1.1 Bình phương hai vế phương trình 1.1.1 Phương pháp Thông thường ta gặp phương trình dạng: A B C D , ta thường bình phương hai vế, điều đó đôi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau 1.1.2 Ví dụ Ví dụ Giải phương trình: x 3x 2 x x +, ĐK: x 0 +, Bình phương hai vế không âm phương trình ta được: x 3 x 1 x x x 1 để giải phương trình tất nhiên không khó phức tạp chút +, Phương trình giải đơn giản ta chuyển phương trình: 3x x x x +, Bình phương hai vế ta có: x x x 12 x x 1 f x g x h x k x Nhận xét: Nếu phương trình: f x h x g x k x Mà có: thì ta biến đổi f x h x k x g x sau đó bình phương, giải phương trình hệ x3 x 1 x2 x 1 x x 3 Ví dụ Giải phương trình: +, ĐK: x Bình phương hai vế phương trình? Nếu chuyển vế thì chuyển nào? +, Ta có nhận xét: x3 x x x x x 3 , từ nhận xét ta có lời giải sau: dạng: (2) PT x3 x 3 x x2 x 1 x 1 x3 x x x x 0 x 3 +, Bình phương hai vế ta được: +, Thử lại: x 1 3, x 1 là nghiệm x 1 x 1 f x g x h x k x +, Qua lời giải trên ta có nhận xét: Nếu phương trình: mà f x h x k x g x f x h x k x g x có thì ta biến đổi: 1.2 Trục thưc 1.2.1 Trục thức để xuất nhân tử chung 1.2.1.1 Phương pháp Một số phương trình vô tỷ ta có thể nhẩm nghiệm x0 phương trình luôn A x 0 x x0 A x 0 đưa dạng tích ta có thể giải phương trình chưng minh A x 0 A x 0 vô nghiệm, chú ý điều kiện phương trình để ta có thể đánh giá vô nghiệm 1.2.1.2 Ví dụ: Trình bày các ví dụ nhân liên hợp Trong tập tin “Liên hợp ngược PT, BPT, HPT” 1.2.2 Đưa hệ tạm 1.2.2.1 Phương pháp Nếu phương trình vô tỷ có dạng: A B C , mà: A B C đây C có thể là số, có thể là biểu thức x Ta có thể giải sau: A B C A B A C C A B A B Khi đó ta có hệ: A B 1.2.2.2 Ví dụ 2 Ví dụ Giải phương trình sau: x x x 3x 3 x 3x 3 x 3x Ta thấy: 3 3 2 +, Trục thức ta có: x 3x x x 2 x 3x x x 3 x 3x 2 2 +, Vậy ta có hệ: x 3x x x x 1 x 2 2 Ví dụ Giải phương trình sau: x x x x x x x x x 1 2 x Ta thấy: +, x không phải là nghiệm +, Xét x 2x Trục thức ta có: 2x x 2x x 1 x 2x2 x x x 2 (3) x x x x 2 x2 x x x2 x x2 x x +, Vậy ta có hệ: x +, Thử lại thỏa Vậy phương trình có nghiệm: x 0 và x 0 x 8 2 Ví dụ Giải phương trình: x x x x 3x x x 1 x x 1 x x , không thỏa điều kiện trên +, Ta thấy: t 2 x Ta được: t t t t 3 x và đặt +, Ta có thể chia hai vế cho +, Làm tiếp tương tự Ví dụ Bài tập đề nghị x x x x 10 x x x x 3 x 1) 5) 2) 3) x 3x 3x 6) 10 x x 7) 4) x 11x 21 x 0 1.3 Phương trình biến đổi tích +, Khi đó: x2 x 2x x 16 x 18 x 2 x x x x 2 x x x Ví dụ Giải phương trình: +, ĐK: x PT 8) x x 3x x x x x x 2x x 1 x 0 x 0 x 3 Ví dụ Giải phương trình: +, ĐK: x 0 4x 4 x x 3 4x 4x 4x PT 2 1 0 x 1 x 3 x 3 x +, Khi đó: Ví dụ Giải phương trình: x 9 x x +, ĐK: x Phương trình tương đương: x 1 x 3 x 2 PT x 9 x x 97 x x 18 +, Khi đó: Phương pháp đặt ẩn phụ 2.1 Đặt ẩn phụ thông thường F n f x 0 t n f x Dạng , đặt (lưu ý n chẵn ta phải thêm điều kiện t 0) Ví dụ Giải các phương trình: 2 a) x x 11 31 2 d) x x x 9 x 2 b) x x x 3 x e) x 5 x 3 x 3x (4) c) x x m x x 13 7 2 f) x x x 23 x f x g x 2n f x g x n f x g x p 0 Dạng phương hai vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t Ví dụ x x 3 ( x 3)(6 x ) a) d) 1 , đặt t f x g x , bình x x2 x 1 x b) x x 14 5x x 3 e) x x 4 x x x c) x x x x 5 f) x x 3 x (2 x 3)( x 1) 16 Ví dụ Giải bất phương trình x x 49 x x 42 181 14 x x 6 t x x HD: Đặt … Dạng F n f x , n g x 0 , đó F(t) là phương trình đẳng cấp bậc k TH1: Kiểm tra nghiệm với g x 0 k TH2: Giả sử g x 0 chia hai vế phương trình cho g x và đặt x 2 x Ví dụ Giải phương trình t n f x g x x3 2 x x 1 x x 1 2 x x 1 x 1 +, ĐK: x 2 x 1 x 1 0 x x 1 x x 1 t 2 t t x 1 t 1 t , t 0 x x 1 +, Đặt Phương trình trở thành Với t=2: Phương trình đã cho vô nghiệm Với t 37 x : Phương trình đã cho có nghiệm 2 Ví dụ Giải phương trình: x x 7 x +, ĐK: x 1 +, Nhận xét: Ta viết: x 1 x x 1 7 +, Đồng thức ta được: x 1 x x 1 x 1 x x 1 7 3 x 1 x x 1 x2 x 1 x2 x 1 7 x x 2.2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Ví dụ Giải phương trình: x2 x x 1 x t 3 t x t 3x 0 t x +, Đặt t x , ta có: Ví dụ Giải phương trình: x 1 x2 x x2 1 (5) x 1 t x x x 1 t 0 +, Đặt t x x 3, t Ta được: +, Bây ta thêm bớt để phương trình bậc hai theo t có chẵn: t 1 x x x 1 t x 1 0 t x 1 t x 1 0 t x x x 1 2 3 x x Ví dụ Giải Bất phương trình +, Điều kiện: x x : +, Đặt x 1 x ,t x x 1 t2 t t 2t 2t 3t t t 1 2t t t t Ta được: 0 x 1 4 x1 x Ví dụ Giải phương trình +, Đặt x 3x x 3x+6 3 t x 3x t 0 2 +, Ta có x 3x t Ta được: +, Với t = t t 3 t 3 t 3 t 0 2 t 1 (TM) t t x 1 x 3x 1 x 3x 1 x 2 Ví dụ Giải phương trình x x 2x x 2x t x 2x t 0 x 2x t x 2x t 4x +, Đặt +, Ta được: x t t 4x t x t 4x 0 có ' x 1 t x x 1 t 2 t x t x x 1 2 2 +, Với t 2x 0 x 0 : x 2x x x 2x 4x x 2x+1=0:VN +, Với t = 2: x 2x 2 x 2x 4 x 2x 0 x 4x 1 Ví dụ Giải phương trình x 2x 2x+1 t x t 0 Cách 1: Đặt Cách 2: Bình phương hai vế: Phương pháp biến đổi theo phương trình hệ Ví dụ Giải phương trình x x x x (1) (6) 1 x x x x x x x 1 x x x 2 x 1 x x x x 1 x x 9x x x x 1 x x 9x x x x 5x x x 4x x x x x 0 +, Thay x=0 vào (1) ta có: ( đúng) +, Vậy phương trình có nghiệm là x= Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Trong Tập tin “Ứng dụng đạo hàm vào Đại số” B HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp Kỹ thuật Rút biến để Cụ thể: Rút ẩn từ phương trình này, thay vào phương trình để phương trình môt ẩn giải x 3xy y 11 (1) (*) y 2xy 5 (2) Ví dụ Giải hệ phương trình 2xy y 2' +, Ta rút x từ (2): +, Sẽ chia hai vế (2’) cho y? – Cần thận trọng! (vì y có thể nhận giá trị y=0 thì nghiệm) x 3xy y 11 (*) y2 x 2y +, Do y 0 không thoả hệ nên: y2 x 2y y 24 y 25 0 +, Tiếp tục giải này ta nghiệm hệ phương trình là 2; 1 và 2; 1 x x-1 y y 20 x y 1 2 Ví dụ Giải hệ phương trình +, Hệ phương trình x 2x xy y y 20 x y 1 y x 9 (1) y 3x x y 1 y (2) 2x 18 9 8 x 1 2 x 1 x 55 3 3x +, Thế (1) vào (2) ta 1; 1 +, Kết luận: Hệ có nghiệm là (7) Kỹ thuật Rút biểu thức để Cụ thể: Rút biểu thức từ phương trình này thay vào phương trình để phương trình ẩn giải x y 1 x y 1 3x 4x (1) xy x x (2) Ví dụ Giải hệ phương trình +, Dễ thấy x 0 không thỏa mãn (2) Dó đó: (2) y x2 x thay vào (1) ta x2 x2 x x 3x2 4x x 2x2 x 1 3x 1 x x x 1 x 1 2x 2x 4x 0 x 0 ( KTM ) x 2 5 2, 1, 1 +, Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm là và x 2x3 y x y 2x x 2xy 6x Ví dụ Giải hệ phương trình x xy 2x xy 3x x +, Hệ phương trình x2 x 3x 2x x 0 x 12 x 48x 64x 0 x x 0 x x =0 không thõa mãn hệ phương trình 17 x y 17 4, 4 +, Kết luận: Nghiệm hệ phương trình là Kỹ thuật Thế số biểu thức Ví dụ Giải hệ phương trình 2 y x 1 3 2x y 2 y x 2x3 y3 y x y x x 2x2 y 2xy2 5y3 0 Ta có: +, TH1: y 0 hệ phương trình vô nghiệm x y 0 y +, TH2: y 0 , chia vế cho y x x y HPT y 1 x y x x x 0 1 y y y +, Khi đó: HPT +, Kết luận: Nghiệm hệ phương trình là 1; 1 và 1; 1 (8) y y x y x 2x 1 7 y x 4x 1 7 3y Ví dụ Giải hệ phương trình +, Thế 4x x 3y phương trình (2) vào phương trình (1) ta được: y y x y 2 x y y x y 1 x y x x x 1 7 y +, Trường hợp 1: vô nghiệm 17 17 x x y 1 x 4 x 4x 7 3y 17 17 y y 4 +, Trường hợp 2: 17 17 17 17 ; ; 4 và +, Kết luận: Nghiệm hệ phương trình là x y x y x y x (1) 2 x y y 8 x (2) Ví dụ Giải hệ phương trình 2 +, (2) 8 x x y 8y x y x y x 2x-15 0 x 3 x +, Thay vào (1), thu gọn ta Với x=y vào pt thứ (2) ta 4x 4 (vô nghiệm) y y 8y 0 y Với x=3 thay vào pt thứ ta Với x= -5 thay vào pt thứ ta y 8y 119 0 (vô nghiệm) 3; 1 3; 7 +, Kết luận: Nghiệm hệ phương trình là và Phương pháp cộng: Hệ số bất định giải hệ phương trình Dạng Trong hệ có bậc Ví dụ Giải các hệ phương trình sau ìï x3 - y3 - 35 = ï í ïï 2x + 3y2 - 4x + 9y = a) ïî Hướng dẫn a) PT(1) + a.PT(2) Û x3 + 2ax2 - 4ax - y3 + 3ay2 + 9ay - 35 = Û (x + a )3 - (y + b)3 = ìï 8x3 - y3 = 63 ï í ïï 2x + y2 + 2y - x = b) ïî (9) +, Đồng hệ số, ta có: +, Như vậy, PT(1) ïìï a - b3 = - 35 ïìï a = - ïï ï Þ ïí a = - í 3a = 2a ïï ïï ïï 3a = - 4a ï b= îï î 3 – 3.PT(2) ta được: (x - 2) - (y + 3) = Û y = x - b) PT(1) + a.PT(2) Û 8x3 + 2ax2 - ax - y3 + ay2 + 2ay - 9a - 63 = Û (2x + a )3 - (y + b)3 = +, Đồng hệ số, ta có: +, Như vậy, PT(1) Dạng ìï a - b3 = - 9a - 63 ïï ïï 12a = 2a ìï a = - ïï ïï ïí 6a = - a Þ ïí a = - ïï ïï ïï - 3b = a ï b= îï ïï ïïî - 3b = 2a 3 – PT(2) ta được: (2x - 1) - (y + 2) = Û y = 2x - ìï a x2 + b y2 + c xy + d x + e y + f = (1) ï 1 1 1 í 2 ïï a2x + b2y + c2xy + d2x + e2y + f2 = (2) ïî Cách tìm hệ số k: c.d.e + 4.a.b.f = a.e2 + b.d2 + f.c2 a = a1 + ka2, b = b1 + kb2,c = c1 + kc2, Với Khi tìm k, ta thực hiện: PT(1) + k.PT(2) ta tìm mối liên hệ bậc x và y Ví dụ Giải hệ phương trình ìï ïï x + y2 = ïí ïï 57 ïï 4x + 3x + y( 3x + 1) = 25 a) ïî ìï 14x2 - 21y2 - 6x + 45y - 14 = ï í ïï 35x2 + 28y2 + 41x - 122y + 56 = b) ïî Hướng dẫn: é ê3x + y = 119 ê a) PT(1) + 2.PT(2) Û (3x + y)2 + 2(3x + y) = 0Û ê 25 ê3x + y = - 17 ê ë 15 b) PT(1) PT(2) Û (x + 3y - 7)(161x + 483y + 218) = 49 Ví dụ Giải các hệ phương trình sau (10) ìï x2 + 8y2 - 6xy + x - 3y - 624 = ï í ïï 21x2 - 24y2 - 30xy - 83x + 49y + 585 = a) ïî ìï xy - 3x - 2y = 16 ï í ïï x + y2 - 2x - 4y = 33 c) ïî ìï x2 + y2 - 3x + 4y = ï í ïï 3x - 2y2 - 9x - 8y = b) ïî ìï x2 + xy + y2 = ï í ï x + 2xy - 7x - 5y + = d) ïïî Phương pháp đặt ẩn phụ Kỹ thuật: Biến đổi hệ cho có hai biểu thức giống Chú ý: Các phép biến đổi tương đương phương trình: chuyển vế, nhân chia hai số, thay biểu thức, … 3x 17 3x x 3y 2x y x 3y 2x y 3x 9xy 15 3x x 3y 2x y Ví dụ Giải hệ phương trình 2x y 3x a 2x y +, Đặt ; x 3y b 17 a b ab 15 +, Ta được: 17 15 a ; b a 5; b 15 37 11 ; , ; , 2; 3 , 4; 2 10 10 +, Tiếp tục giải, ta tìm các nghiệm hệ là x y x y 4 y x y x y Ví dụ Giải hệ phương trình +, Dễ thấy y=0 không thõa mãn hệ phương trình, ta viết lai hệ dạng x2 1 x y 4 y x y x 1 x2 1 a , b x y y y Đặt a b 4 a 1 a b 1 b 1 +, Ta hệ 1,2 , 2,5 +, Từ đó ta tìm nghiệm Phương pháp đưa tích Trong tập tin “Đưa tích HPT dùng Casio” Bài tập thêm Giải hệ phương trình xy x y x y x y y x 2x y a) x y xy 2 b) x y 3 Phương pháp hàm số Lý thuyết tập tin “Ứng dụng đạo hàm vào Đại số” y 5x+4 x 2 c) y 5x 4xy 16x-8x 16 0 (11) x y y x 0 Ví dụ Giải hệ phương trình x y 0 x 1 +, ĐK: 0 y 1 x x y y HPT x y +, Khi đó: +, Xét hàm đặc trưng: f ' t t f t t 1 t 1 t 1 2 với t [0;1] t 0,1 +, Ta có +, Suy ra: f(t) đồng biến trên đoạn [0;1] và f liên tục trên đoạn [0;1] f x f y x y +, Do đó: +, Thay x y vào phương trình (2) ta phương trình (2) xy x x x x x x 2 x x 1 x 1 1 ; +, Kết luận: Nghiệm hệ phương trình là 2 x x y y y 4x y 6 Ví dụ Giải hệ phương trình +, ĐK: x 5 x xy y y (1) HPT 4x y 6 (2) +, Khi đó: x3 x (1) y3 y y3 y +, Ta thấy y 0 không thỏa mãn hệ, nên +, Xét hàm số: f t t t, t R , (*) f có f t 3t t R f t x x f y y x y y y (2) x y 4x x 6 x 1 2 +, Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm: 1; 1 và 1; 1 4x2 x y 3 y 0 (1) 2 (2) Ví dụ Giải hệ phương trình 4x y 4x 7 x ; y +, ĐK: đồng biến t R (12) +, Ta thấy: (1) 4x x y 1 y +, Xét hàm số f t t t Ta có f ' t 3t suy f đồng biến trên R x 0 (1) x y x2 y +, Do đó: 5 4x2 2x2 4x 0 2 +, Thế vào (2), ta được: +, Nhận thấy x 0 và x 3 không phải là nghiệm (3) 5 3 g x 4 x x x 7, 0; Xét hàm trên khoảng 5 4 g ' x 8 x x x 4 x x 0, 4x 4x 2 Suy hàm g(x) nghịch biến 1 g 0 x ; suy y=2 Mặt khác , đó (3) có nghiệm 1 ; 2 +, Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm: Ví dụ (Ví dụ 1.3 tập tin “Ứng dụng đạo hàm vào đại số”) (13)