de thi hsg 9

Lêi gi¶i: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n.[r]

phòng gd-đt đức thọ §Ò thi chÝnh thøc đề thi olympic toán năm học 2012-2013 Thêi gian lµm bµi 120 phót x   2x   x   Bµi 1: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x  2 a2 x  2a     x  x  2  b) Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè a th× ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: (*) 1 x   2x   2x   2x    2x   0 2 Lêi gi¶i: a) Ta cã 1 x   2x   2x   2x    2x   0 2 2x  0  x  §KX§:       2x   2x   2x   2x  4 Phơng trình tơng đơng   2x    1 1  2x  0    2x  1    2x   4  2x    2x   4 2x   2x  1  2x  Ta cã , đó dấu “=” xảy và 2x  1  2x  1  x 3 x 3 KÕt hîp víi §KX§ ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ b) §KX§: x  0  x 4 Phơng trình tơng đơng Ta cã a2 x  2a  a2 x  2a    x    x    x   a2 x  2a     3 x    2a   a x  2a  x   0 a2 x       x 4 x     x  0 Suy  2 §Ó ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm th× ph¬ng tr×nh a2 42  2a Dó đó  a2 x  2a   ;     x   0  x   0 1    0  4a   0  a      ax   0 cã nghiÖm x = 4 2 Bµi 2: a) T×m GTNN cña biÓu thøc P   4x  4x  4x  12x  b) Tìm số thực a để phơng trình sau có nghiệm nguyên x  ax  a  0 P   4x  4x  4x  12x   Lêi gi¶i: a)  2x    2x  2x    2x 4 GTNN cña P lµ Đạt đợc  2x  1   2x    2x  1   2x  0  4x  4x  0   2x  1 2  2x   2x  4  2x  2   x  2  a2  4a  0   a   12  a  2 b) §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn th×    a 2  ; a 2  Khi đó gọi x1; x2 là các nghiệm phơng trình Theo hệ thức Viets ta có  x1  x a  x1x  x1  x 2  x1  x  1   x  1 3   x1  1  x  1 3   x1x a  x1 – vµ x2 – lµ íc cña Gi¶ sö x1  x2 th× x1 –  x2 – Ta cã trêng hîp sau:  x1  3  x 4  x1    x 0      x  1  x 2 đó a = và  x    x  đó a = -2 a    2; 6 §èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã lµ gi¸ trÞ cÇn t×m m   x   m   y  m  0 Bài 3: a) Chứng minh đờng thẳng (d) có phơng trình  qua điểm cố định A Tìm tọa độ A (1)  x  y   x  4  2 x  y  2xy  4x  4y 5 (2) b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:  m   x   m   y  m  0  mx  my  m  3x  2y  0 Lêi gi¶i: a) Ta cã   x  y  0    m  x  y  1   2y  3x  1 0 2y  3x    đúng với m và  x 1   y x  (m lµ tham sè) lu«n ®i 2x  2y  0  2y  3x  0  x 1  y 2 Vậy đờng thẳng (d) luôn qua điểm cố định A(1; 2)  x  y b) Tõ ph¬ng tr×nh (2) suy  x  y 1   x  y   x  y  3   x  y   9   x  y   9    x  y    x  2  x 4 x  2     x    x 0 Với x – y = thay vào phơng trình (1) đợc x =  y = 3; x =  y = -1 x   Với x – y = -5 thay vào phơng trình (1) đợc v« nghiÖm  x;y     4;3  ; 0;  1 VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ Bài 4: Cho ABC cố định nội tiếp đờng tròn (O) Đờng thẳng d thay đổi luôn qua A và cắt cung nhỏ AB điểm E (E  A) Đờng thẳng d cắt hai tiếp tuyến B và C đờng tròn (O) lần lợt M và N, MC cắt BN F Chøng minh r»ng a) CAN  BMA vµ MBC  BCN b) Tứ giác BMEF nội tiếp đợc đờng tròn c) Chứng minh đờng thẳng EF luôn qua điểm cố định d thay đổi    ACN  s® AC ABC 60 N Lêi gi¶i: a) Ta cã      MBA  s® AB ACB 600  ACN MBA A    E ANC  s® EBC  AC M   BC   s® BE  BAM   s® EBC 2 F O XÐt CAN vµ BMA cã    ACN MBA I  B C    ANC BAM  CAN  BMA (g – g)     CA CN BC CN BC BM      BM BA BM CB CN CB  BC BM    CN CB   XÐt MBC vµ BCN cã MBC BCN 120  MBC  BCN (c – g – c)   BMC CBF (v× MBC  BCN)   BCM chung b) XÐt MBC vµ BFC cã   (g – g) 0         BFC MBC 120  BFM 60 MÆt kh¸c BCA  AEB 180 , BEM  AEB 180      BEM BCA 60 Suy BEM BFM 60 , tø gi¸c BMEF néi tiÕp (E, F cïng nh×n MB díi gãc b»ng  nhau)     c) Đờng thẳng EF cắt đờng tròn (O) K Ta có BMF CBF (vì MBC  BFC); BMF BEF (góc nội tiếp       cïng ch¾n BF ); BMF BCK (gãc néi tiÕp cïng ch¾n BK )  CBF BCK  BF // CK (1)    60 BKC  s® BAC 120  KBF  Ta l¹i cã mµ BFC 120  BK // FC (2) Từ (1) và (2)  tứ giác BFCK là hình bình hành Do đó EF qua trung điểm I BC cố định 1 1 1      Bµi 5: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng a  3b b  3c c  3a a  2b  c b  2c  a c  2a  b 1 1 2       x  y  4xy   x  y  0 Lêi gi¶i: Víi x, y > ta cã x y x  y ThËt vËy x y x  y víi x, y DÊu “=” x¶y vµ chØ x = y 1    ¸p dông bµi to¸n phô trªn ta cã: a  3b b  2c  a a  3b  b  2c  a a  2b  c 1    b  3c c  2a  b b  3c  c  2a  b b  2c  a 1    c  3a a  2b  c c  3a  a  2b  c c  2a  b 1 1 1      Cộng theo vế BĐT trên đợc a  3b b  3c c  3a a  2b  c b  2c  a c  2a  b DÊu “=” x¶y vµ chØ a  3b b  2c  a  b  3c c  2a  b  a b c c  3a a  2b  c  Lêi gi¶i: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n