Xác định vị trí của điểm P trên đường thẳng a để diện tích POM đạt giá trị nhỏ nhất.. -HếtĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN.[r]
(1)phòng gd - đt đức thọ đề thi olympic huyện năm học 2010 - 2011 M«n to¸n líp 9; Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1: Cho biÓu thøc: P=15 √ x −11 + √ x −2 − √ x+ x+ √ x − − √ x √ x +3 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) √ 7− x=x − b) x 2+3 x +1=( x+ 3) √ x2 +1 Bài 3: Cho phơng trình: x −2( m+1) x +2 m+3=0 (Trong đó m là tham số ) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x ; x thoả mãn x − x ¿ =4 ¿ b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt, hãy tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với tham số m Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) và I là điểm chính cung AB (Cung AB kh«ng chøa C, D) D©y ID, IC c¾t AB lÇn lît t¹i M vµ N a) Chøng minh tø gi¸c DMNC néi tiÕp b) Đờng thẳng IC và AD cắt E ; đờng thẳng ID và BC cắt F Chứng minh FE song song víi AB Bµi 5: Cho x , y tho¶ m·n: x 2+ y =4 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 2 1 P= x+ + y+ y x Lu ý: Học sinh không đợc sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào - HÕt ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ( ) ( ) Câu 1: (5điểm) Rút gọn biểu thức: a+1 ¿2 ¿ ¿ a 1 1+ + ¿ a A=√ ¿ với a > √ b Tính giá trị tổng B= 1+ Câu 2: (4điểm) Cho 1 1 1 1 + + 1+ + + 1+ + + + 1+ + 2 2 3 99 100 √ √ √ ( x + √ x2 + √ 2005 )( y + √ y + √ 2005 ) =√2005 y + √ y 2+ √ 2005=− ( x − √ x 2+ √2005 ) ; (2điểm) a Chứng minh b Tính S = x + y (2điểm) Câu 3: (3điểm) Giải phương trình 3+ √ x −3=x Câu 4: (3,5điểm) Tìm giá trị nhỏ A= a2 b2 + a − b −1 với a > 1, b > Câu 5: (4,5điểm) Cho đường tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC Tiếp tuyến đường tròn (O) C cắt AB E Chứng minh rằng: Các tam giác KBC và OBE đồng dạng (2) kú thi chän häc sinh giái líp cÊp huyÖn §Ò chÝnh thøc đề thi môn toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: (4 điểm) a Chứng minh với số tự nhiên n thì An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ là số chính phương b Tìm các số nguyên x để x3 - 2x2 +9x - chia hết cho x2 + Câu 2: (4 điểm) x5 x3 3x x 2 a Tính giá trị biểu thức A = x 3x 11 với x x b Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: Chứng minh rằng: Câu 3: ( điểm) a b2 c a b2 b c2 c a2 3 2 Giải phương trình: x x 12 x 3x x Câu 4: (7 điểm) Từ điểm P nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là các tiếp điểm Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC đường tròn a Chứng minh PC cắt AH trung điểm AH b Tính AH theo R và PO = d c Đường thẳng a qua P cho khoảng cách từ O đến đường thẳng a R , đường thẳng vuông góc với PO O cắt tia PB M Xác định vị trí điểm P trên đường thẳng a để diện tích POM đạt giá trị nhỏ Câu 5: (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 1 a2 1 b2 1 c2 -HếtĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi này gồm 01 trang) (3) x x x2 2x 1 x x x Câu 1: (3 điểm) Cho A = a) Rút gọn A b) Tìm x để A > c) Tìm giá trị lớn A Câu 2: (6 điểm) 2 a) Giải phương trình: x x x x 18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + ¿ ( x+ y)(x − y 2)=45 c) Giải hệ phương trình: ( x − y)( x + y )=85 ¿{ ¿ Câu : (4 điểm) a) Cho a b c 0 , tính giá trị biểu thức: 1 P 2 2 2 b c a a c b a b2 c2 b) Tìm số tự nhiên n cho A n n là số chính phương Câu : (5 điểm) a) Từ điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N (O;R)) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N Tiếp tuyến P cắt AM B, cắt AN C Cho A cố định và AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi P di động trên cung nhỏ MN Tính giá trị không đổi theo a và R b) Cho tam giác ABC có diện tích 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC và cạnh CA lấy điểm D và E cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE I Tính diện tích tam giác BID Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 1+ x y ¿ 10 10 x y 16 16 Q= + + (x + y )−¿ y2 x2 ( ) Hết ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (4 điểm): 1 x x x với x > Chứng minh: Từ đó, cho biết biểu thức x x có giá trị lớn là bao nhiêu? Giá trị đó đạt x bao nhiêu? Bài (3 điểm): Một người từ nhà đến sân ga Trong 12 phút đầu, người đó 700m và thấy đến sân ga chậm 40 phút, vì trên quãng đường còn lại, người với vận tốc 5km/h nên đến sân ga sớm phút Hãy tính quãng đường từ nhà đến sân ga Bài (4 điểm): (4) a) Chứng minh với số nguyên n thì n2 + n + không chia hết cho b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 +2012x2+2011x +2012 Bài (2 điểm): Giải phương trình: 1 x x3 1 x Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn có độ dài là BH = 4cm và HC = 9cm Gọi T và E là hình chiếu H trên cạnh AB và AC a) Tính độ dài TE b) Các đường thẳng vuông góc với TE T và E cắt BC theo thứ tự M và N Chứng minh M là trung điểm BH, N là trung điểm CH c) Tính diện tích tứ giác TENM Bài (3 điểm): Cho hình bình hành ABCD có A = 1200 , AB = a, BC = b Các đường phân giác bốn góc A, B, C, D cắt tạo thành tứ giác MNPQ Tính diện tích tứ giác MNPQ? HẾT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán Lớp: Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI Bài 1: (3,0 điểm) Cho a,b,c > Chứng minh : a b 2 a) b a 1 1 1 1 a b c 6 b c c a a b b) Bài 2: (3,0 điểm) x4 x 1 x : x 2 x x x x Cho biểu thức A= , với x 0, x 4 a) Rút gọn A b) Tìm x cho A < Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình a) x x 2 x x x x x 10 x 12 15 13 11 b) 17 Bài 4: (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phương Bài 5: (1,5 điểm) Chứng minh đa thức sau A = n3 + 3n2 + 2n chia hết cho 6, với số nguyên n Bài 6: (6,0 điểm) (5) Cho tam giác ABC vuông góc đỉnh A, đường cao AH Đường tròn đường kính BH cắt cạnh AB điểm D và đường tròn đường kính CH cắt cạnh AC điểm E Gọi I,J theo thứ tự là các trung điểm các đoạn thẳng BH, CH a,Chứng minh bốn điểm A,D,H,E nằm trên đường tròn Xác định hình dạng tứ giác ADHE b,Chứng minh DE là tiếp tuyến chung ngoài hai đường tròn c,Cho biết AB = 6cm, AC = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng DE? đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện M«n : To¸n líp N¨m häc 2010-2011 ( Thêi gian lµm bµi 150 phót ) C©u 1: ( 2,5 ®iÓm ) So s¸nh : 2008 2009 + √2009 √2008 Cho biÓu thøc B= vµ √ 2008+ √ 2009 1 1 + + + + √1 √2 √3 √ 2010 Chøng minh r»ng B> 86 C©u 2: (1,0 ®iÓm ) Chøng minh biÓu thøc : x − x − 1¿ 2010 cã gi¸ trÞ lµ mét sè tù nhiªn víi P=¿ 10+ √ ( √ −1) √ x= √ 6+2 √5 − √5 C©u 3: ( 2,5 ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √ x −1+2=x T×m c¸c sè nguyªn x, y tho¶ m·n y=√ x + x +5 C©u 4: (3,0 ®iÓm ) Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đờng thẳng CD K KÎ AI vu«ng gãc víi AK c¾t CD t¹i I 1 + = 2 AM AK AB BiÕt gãc MAN cã sè ®o b»ng 450, CM + CN = cm, CM - CN = cm TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMN Tõ ®iÓm O tam gi¸c AIK kÎ OP, OQ, OR lÇn lît vu«ng gãc víi IK, AK, AI ( P IK, Q AK, R Chøng minh : AI) Xác định vị trí điểm O để OP 2+OQ +OR nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó C©u 5: ( 1,0 ®iÓm ) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n ≤ a , b , c ≤ vµ a+b +c=3 Chøng minh r»ng: a3 +b 3+ c ≤ ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN – Thời gian làm bài 150 phút Bài 1: ( 3,5 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Bài 2: ( 2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương (6) Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho a, b > và a + b = 2 1 1 a b 12,5 a b Chứng minh : Bài 4: ( 3,0 điểm) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 1 1 E x y y x Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Bài 5: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trên trung tuyến AD Gọi I, K là các trung điểm tương ứng MB, MC và P, Q là các giao điểm tương ứng các tia DI, DK với các cạnh AB, AC Chứng minh: PQ // IK Bài 6: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC , CA và AB tương ứng là h a , hb , hc Gọi O là điểm tam giác đó và khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA và AB tương ứng là x , y và z x y z M hb hc Tính ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN: TOÁN - LỚP Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) 2x x 2x x x x A : 1 x 1 x x 1 x x Cho biểu thức x 0; x ; x 1 Với a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x 17 12 c) So sánh A với A Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng: a b 2 b a) a = b + = c + ; c >0 b B 20082 c Biết a; b; c là số thực thỏa mãn điều kiện: 20082 2008 20092 2009 có giá trị là số tự nhiên b) Biểu thức Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình a) x 3x x x x 2x (7) 4x 3x x 3 b) Bài 4.(8,0 điểm) Cho AB là đường kính đường tròn (O;R) C là điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB H Gọi I là trung điểm AC, OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O;R) M, MB cắt CH K a) Chứng minh điểm C, H, O, I cùng thuộc đường tròn b) Chứng minh MC là tiếp tuyến (O;R) c) Chứng minh K là trung điểm CH d) Xác định vị trí C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó theo R M 3 2008 (1,5 điểm) Cho Bài 5: a) Chứng minh M có giá trị nguyên b) Tìm chữ số tận cùng M 3 2008 Chú ý: Thí sinh không sử dụng máy tính phòng giáo dục-đào tạo đức thọ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán9 N¨m häc: 2008-2009 Thêi gian: 150 phót Bài 1: Chứng minh m thay đổi, các đờng thẳng có phơng trình: (2m - 1) x + my + = luôn qua điểm cố định 1 1 1.2008 2.2007 k.(2008 k 1) 2008.1 S Bµi 2: 1/ Cho 2008 2009 So s¸nh S víi 2/ Cho a; b; c lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: abc = 2008 Chøng minh r»ng: 2008a b c 1 ab 2008a 2008 bc b 2008 ca c Bµi 3: Cho x = TÝnh gi¸ trÞ cña P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009 x Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2009 x 2009 x x = 2009 2008 2009 Bµi 5: Cho 00 < < 900 Chøng minh r»ng: sin cos Bµi 6: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: 1 1 ≥ ab bc ca Bµi 7: T×m tÊt c¶ c¸c ®a thøc P(x) tho¶ m·n: P(x + 1) = P(x) + 2x + víi x R 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b (8) Bài 8: Cho ABC có ba cạnh là a, b, c, có chu vi là 2p và diện tích S; r là bán kính đờng tròn nội tiếp; là bán kinh A đờng tròn bàng tiếp góc A tam giác Chứng minh: p(p – a) = S Bài 9: Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB M chuyển động trên nửa đờng tròn Xác định vị trí điểm M để MA tg + MB đạt giá trị lớn Bµi 10: Cho d·y sè an đợc xác định theo công thức: a1 2 a n 3a n 2n 9n 9n 3; n = 2,3, Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn tè p th× d·y c¸c tæng t¬ng øng a1 + a2 + ap – chia hết cho p - Hết đề kiểm tra chọn đội tuyển môn toán N¨m häc 2005-2006 Thêi gian lµm bµi 90 phót Câu I Tìm tập hợp số hữu tỷ x để √ x2 + lµ sè h÷u tû ? + + =1 H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x + y + z x y z C©u II x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n C©u III Gi¶i ph¬ng tr×nh: 81x4 + = √3 102 x +12 x Câu IV Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên a là số nguyên lớn không vợt quá a, kí hiệu: T×m x tho¶ m·n: 15 x −7 x+ = [ [ a] ] Câu V Cho hình vuông ABCD, trên đờng chéo AC lấy điểm M; I, Q là trung điểm AM và MC Qua M vẽ đờng thẳng song song với AD, đờng thẳng này cắt AB N, cắt CD K Chøng minh: IB.AK = DQ.CN Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp N¨m häc 2008 - 2009 Thêi gian: 120 phót Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau P= 2009 2008 2008 2009 2008 2014 20082 4016 2009 2005.2007.2010.2011 Q= 10a 3b ab 0 2a b 5b a b a Bµi 2: BiÕt Chøng minh r»ng: 3a b 3a b Bµi 3: Chøng minh r»ng víi < 450, ta cã sin2 = 2sin cos · Bài 4: Cho tam giác ABC có ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c là hai độ dài cho trớc) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q trên cạnh BC đợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC a/ Tìm vị trí M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn đó b/ Dùng h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp tam gi¸c ABC b»ng thíc kÎ vµ com-pa (9) Tính diện tích hình vuông đó 19b - a 19c3 - b 19a - c3 + + 3(a + b + c) cb + 5c ac + 5a Bµi 5: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: ab + 5b Hết đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9, Năm học 2007-2008 Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u T×m x, y N* cho: xy 2 x y b) a) xy - 3x + y = 20; C©u Cho c¸c sè d¬ng a, b, c tháa m·n a + b + c = 6abc 1 6 a b c a) Chøng minh a b c 3 3 c a b) T×m gÝa trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: b C©u a) T×m phÇn d R(x) chia ®a thøc P(x) = x2007 + x207 + x27 + x7 + x + cho ®a thøc Q(x) = x3 - x x 1,1 th× f (x) 1 2 C©u Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x 12x 16 4x 16x 25 1 x 4x µ µ µ A C©u Cho tam gi¸c c©n ABC ( > 900) B C , H lµ trung ®iÓm cña BC KÎ HD vu«ng gãc víi AC (D AC) §êng th¼ng AI vu«ng gãc víi BD (I BD) c¾t HD t¹i O Chøng minh: a) Sin2 = sin cos b) T×m ®a thøc f(x) = 2x2 + ax + b biÕt b) O lµ trung ®iÓm cña HD Phòng gd-đt đức thọ đề thi học sinh giỏi đợt i Năm học 2006-2007 m«n to¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót −√ y ¿ − y C©u Rót gän biÓu thøc: 1− y √ y ( + √ y )¿ −√ y C©u 2.T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: y − 5=√ 17 − x C©u Cho ®a thøc: P(x) = x5 + a x4 + b x3 + c x2 + d x + e, biÕt: P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4 ) = 16; P(5) = 25 a) T×m P(6) ? b) T×m c¸c hÖ sè a, b, c, d, e cña ®a thøc P(x) ? 1 C©u a) Chøng minh: (3 x+3 y )( + )≥ Trong đó x > và y > x+2 y x+ y a+b ¿ ¿ a+b ¿ b)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: Q = a2 +¿ b2 +¿ a2 ¿ Trong đó a và b là các số thực khác không Câu Cho tam giác vuông ABC (góc A = 90 0), đờng cao AH, có cạnh AB = cm, đoạn HC = cm Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tam giác ABD a) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC (10) b) Chøng minh: CD = AC + BC (11)