Tìm số dương k nhỏ nhất sao cho nếu điền bất kỳ một bộ số thuộc tập S vào bảng, mỗi ô một số thì tồn tại ít nhất một hàng hoặc một cột có giá trị tuyệt đối của tổng các số trên hàng đó h[r]
(1)Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 Câu ( 4,0 điểm ): 1.Gi¶i hÖ phư¬ng tr×nh: x y 2 xy (1 y ) y 1 x x 2015 2.Cho a;b;c>0 thỏa mãn a b c abc 2015 Chứng minh a b c + + ≥ √ ( a+b+ c ) √b+ c √ a+c √ a+ b 3.Tìm tất các ba số tự nhiên lớn cho tích hai số cộng 2015 chia hết cho số còn lại 4.Cho 2016 tập hợp, tập hợp có 45 phần tử và hai tập bất kì có đúng phần tử chung Chứng minh tồn phần tử thuộc tất 2016 tập hợp trên Câu 1(4 điểm) Giải hệ phương trình y y x (2 y 2015) x 2 y x1 y y x y y 2015 Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, có đường cao AK Trong tam giác ACK, kẻ đường phân giác AE Gọi M là trung điểm AC Gọi N là giao điểm đường thẳng ME với AK Chứng minh BN và AE song song với Câu (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh 4a 4b 4c 1 1 1 25 b c c a a b (2) Câu (4 điểm) Trong đội niên tình nguyện gồm 2015 người, bốn người bất kì có thể chọn ít người quen với ba người còn lại Hỏi có thể có bao nhiêu người đội quen với tất cả? 2 Câu (4 điểm) Cho đa thức P( x) ( x 2)( x 3)( x 2015) Chứng minh với số nguyên tố p tìm số tự nhiên n để P(n) chia hết cho p Câu (4 điểm) 2( x y 8) ( y x y )( y x y ) 2 Giải hệ phương trình: 2 x 17 x 2015 2 y 13 y Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi I, J, M là trung điểm AH, EF, BC; P, Q là các giao điểm EF với các tiếp tuyến B và C đường tròn (O); MF cắt AD L; ME cắt đường thẳng qua F và song song với BC K a) Chứng minh MP//CF, MQ//BE b) Chứng minh IJ luôn qua điểm cố định (O) và BC cố định, A di động trên cung BC c) Tính góc hai đường thẳng IK và EL? Câu (4 điểm) Tìm tất các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn: P 2015 ( x) P (2016 x y ) P ( y 2017 x) P(3 y x) P(3 y x) với x, y Câu (4 điểm) Tìm tất các số nguyên dương (x; p; n) với p là số nguyên tố thỏa mãn phương trình: ( x 1)( x 2015 x 21) 11( p n 6) Câu (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3; ;2015} a) Tìm k nhỏ với k là số phần tử tập bất kì S để tập đó chứa ít số nguyên liên tiếp b) Tính số tập gồm 15 phần tử S thỏa mãn điều kiện có ít số nguyên liên tiếp tập đó - Hết -Bài (4 điểm) (3) x3 3x x 2015 x x x 2016 0 Giải phương trình sau trên : Bài (4 điểm) Trên mặt phẳng cho trước hai điểm cố định M, N và tam giác ABC có BC MN , BAC , 90 Cho tam giác ABC chuyển động trượt trên mặt phẳng cho độ dài ba cạnh AB, BC, CA không đổi Đường thẳng AB qua M và đường thẳng AC qua N Chứng minh đường thẳng BC luôn tiếp xúc với đường tròn cố định Bài (4 điểm) 0;1 a , a , , an Cho số nguyên n 2 Chứng minh với n số tùy ý thuộc thì ta luôn có n ak 1 k 1 1 i jn a j Bài (4 điểm) Cho các số nguyên dương m, n, k với n m Chứng minh số các nghiệm x1 x2 xn y1 y2 ym x x xn nk nguyên dương hệ n k 1 i 0 Cnn 11iCnm21i Bài (4 điểm) m n a) Chứng minh và chia hết cho số nguyên tố p , mà n là số nguyên dương nhỏ thì m chia hết cho n 37 b) Tìm ước số nguyên tố p số 137438953471 , biết p 300 x x y y 2016 x y y x 2015 x Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O; các đường cao AD, BE, CF; trực tâm H Gọi K là trung điểm OH, L là giao điểm EF với BC Chứng 2 minh LB.LC KL KD Câu (4 điểm) Cho ba số thực a,b,c không âm và a b c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức 3 P 2a (a 2014) b c 2b(b 2015) c a 2c(c 2016) a b Câu (4 điểm) Cho các số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn (4) a b c d ; ad bc; d a 1 Chứng minh a+2015 là số chính phương Câu (4 điểm) Có 101 thành phố Giữa hai thành phố thì có đường bay chiều, không có đường bay nào Biết thành phố có 50 đường bay đến và 50 đường bay Chứng minh với hai thành phố A và B, ta có thể tới B từ A mà phải qua nhiều thành phố C Câu (4 điểm) x y xy 2012 x 25 y 25 2016 Giải hệ phương trình: Câu (4 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a b c 3 Chứng minh : 2 2 2 a b b c c a 24 c2 a2 b2 Câu (4 điểm) Cho n số nguyên dương lớn 1, chứng minh số n n 2015 có ít hai ước số nguyên tố phân biệt Câu (4 điểm) Cho ABC là tam giác nhọn không cân, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB Đường thẳng PO, NO cắt đường thẳng AM D,E; đường thẳng BD và CE cắt F Chứng minh rằng: a Hai tam giác FEO và NEM đồng dạng với b Các điểm N, O, F, P thuộc đường tròn Câu (4 điểm) Cho tập S là tập hợp tất các số, gồm 2016 × 2016 số thực thuộc đoạn [ −1; ] và có tổng 2015 Xét bảng ô vuông kích thước 2016 × 2016 Tìm số dương k nhỏ cho điền số thuộc tập S vào bảng, ô số thì tồn ít hàng cột có giá trị tuyệt đối tổng các số trên hàng đó trên cột đó không vượt quá k (5)