Tính số hạng thứ n của dãy khi biết công thức truy hồi: Các giải: Nếu lặp theo công thức truy hồi mà số lần lặp quá nhiều sẽ dẫn đến thao tác sai, do đó ta sẽ đi tìm công thức tổng quát [r]
(1)1 1 1 A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 n 1 1 A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 970200 1/ 2/ 1 1 5 5 A A 1.3.5 3.5.7 5.7.9 2n 1 2n 3 2n 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2009.2010.2011 4/ 3/ 36 36 36 36 A 1.3.5 3.5.7 5.7.9 2009.2011.2013 5/ Bài 1.2.3.2: 1 1 1 1 1 1 1 A A 16 n 16 10000 1/Tính giá trị biểu thức: Bài 1.2.3.3: Tính tổng và viết quy trình tính: 1 1 1 1 Q 1 P 1 72 71 72 3/ 1/ S = + + + + 72 2/ 4/ K = + + + …+ 99 5/ H = 1.2 +2.3 +3.4 + …+ 49.50 6/A = 49 50 Bài 1.2.3.4: 1 1 1 1 + + + + + + + + 1/ A = 2A= 12 12 9999900000 n (n+1) Bài 1.2.3.5: Tính ( làm tròn đến chữ số thập phân): 10 / A 1 10 P 1 1 19 2/ M = Q với P = + 32 +…+ 319 ; Q = 3 1 1 1 1 15 (chính xác tới 0,0001) 3/ N = Bài 1.2.3.6: Cho S1 = 100 ; S2 = S1 + 152 ; S3 = S1 + S2 + 302 S4 = S1 + S2 + S3 +552 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +902 Tính S8 ; S9 ; S10 ;S20 Bài 1.2.3.7: Cho S1 = 100 ; S2 = S1 + 132 ; S3 = S1 + S2 + 212 S4 = S1 + S2 + S3 + 342 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +522 Tính S8 ; S9 ; S10 ;S30 Bài 1.2.3.8: Cho S1 = 196 ; S2 = S1 + 22 ; S3 = S1 + S2 + 92 S4 = S1 + S2 + S3 + 232 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 + 442 Tính S8 ; S9 ; S10 ;S50 3n Bài 1.2.3.9: Cho dãy số un = n và Sn = u1 + u2 +…+un a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn b/ Hãy tính S5;S10;S15;S20 Bài 1.2.3.10: Cho dãy số un Với u1 = ;u2= ;u n = n dấu a/ Viết quy trình bấm phím tính un b/ Tính u1000 10 10 10 10 10 Bài 1.2.3.11: Cho dãy số un.Tính u10000 với u1 = 10 ;u2= ;un n= dấu 5n Bài 1.2.3.12: Cho dãy số un = n và Sn = u1 + u2 +…+un Hãy tính S5;S10;S15;S20 3 15 15 15 Bài 1.2.3.13: Cho dãy số un.Tính u10000 với u1 = 15 ;u2= 15 15 ;un n= dấu Bài 1.2.3.14: Cho dãy số :Sn = (13+23)(13+23+33)…(13+23+33+…+n3) a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn (2) b/ Tính Sn với n = 1,2,3,…,10 Bài 1.2.3.15: Cho dãy số :Sn = 14+(14+24)+(14+24+34)+…+(14+24+34+…+n4) a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn b/ Tính Sn với n = 5;10;15;20 1 1 n 1 ( 1) 3 3 n Bài 1.2.3.16: Cho dãy số :Sn = a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn b/ Tính Sn với n = 5;7 Bài 1.2.3.17: Với số nguyên dương n > 1.Đặt Sn= 1.2 +2.3 +3.4 + … +n.(n+1) a/Viết quy trình tính Sn S2 b/Tính S50 ; S2005 ; S20052005 c/ So sánh 2005 với S20052005 1 1 1 1 Sn 3 4 n ( n 1) Bài 1.2.3.18: Cho a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn b/ Tính S10 ; S12 và S2007 ;S2011 với chữ số phần thập phân A(n) n 2 n n Bài 1.2.3.19: Với số nguyên dương n Đặt a/Tính A(2007) b/So sánh A(2008) với A(20072008) Bài 1.2.3.20: Cho S1 = 81 ; S2 = S1 + 152 ; S3 = S1 + S2 + 252 S4 = S1 + S2 + S3 +392 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +572 Tính S8 ; S9 ; S10 Bài 1.2.3.21: Tính giá trị biểu thức : a/ A = + + 15 +… + 9800 b/ B = 1.2.3 + 3.5.7 + 5.7.9 +…+ 95.97.99 c/C=3 + + 11 + 20 + 37 +…+ (2n + n) với n = 10, n = 20, n= 30 d/D = + 32 + 34 + 36 +…+ 3100 e/E = + 73 + 75 + 77 +…+ 799 Bài 1.2.3.22: (1 2) (1 3) (1 2008) 1/ Tính A = 1.2008 2.2007 3.2006 2007.2 2008.1 2/ Tính B = - 24 + 34 - 44 + …+ 494 - 504 1 1 2! 3! 4! 50! 4/ Tính D = 40 38 36 5/ Tính E = 40 39 38 3/ Tính C = 6) A 2 3 4 5 6 n n ( n 1) 7 8 ( n 1) ( n 2) 9 20109 Bài 1.2.3.23: Tính : (n 2) 3 C 54 43 Bài 1.2.3.24: Cho Cn = a/ Viết quy trình tính Cn b/ TínhC50 ; C100 Sin 210 Sin 210 Sin 20 Sin210 Sin 20 Sin n Bài 1.2.3.25: Cho Tn = a/ Viết quy trình tính Tn b/Tính T100 Bài 1.2.3.26: Tính gần đúng (làm tròn đến chữ số thập phân) : 7 3 5 7 A= Bài 1.2.3.27: Với số nguyên dương n > Đặt Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) Tính S100 và S2005 Dạng 3.3: Luỹ thừa A - Tìm số dư: Bài 3.3A.1: (3) a)Tìm số dư chia 2006 ❑10 cho 2000 b) Tìm số dư phép chia A = 38 + 36 + 32004 cho 91 Bài 3.3A.2: Tìm số dư chia 29455 - cho Bài 3.3 A.3: Tìm số dư chia (19971998 +19981999 + 19992000)10 cho 111 Bài 3.3 A.4: Tìm số dư chia 15325 - cho Bài 3.3 A.5: 1) Tìm số dư chia 10! cho 11 2) Tìm số dư chia 17762003 cho 4000 Bài 3.3 A.6: a) Tìm số dư chia 13! cho 11 b) Tìm số dư phép chia: 715 : 2001 Bài 3.3 A.7: Tìm số dư chia 570 + 750 cho 12 2100 Bài 3.3 A.8: Tìm số dư chia 51200 cho 41 Giải: Vì 41 là số nguyên tố, ta có: 5120041 51200(mod 41) 32(mod 41) Mặt khác:21 2(mod 41) , 22 4(mod 41) , 23 8(mod 41) , 24 16(mod 41) , 25 32(mod 41) , 26 23(mod 41) , 27 5(mod 41) 2100 = 214.7+2 = (27)14.22 (5)14.22(mod 41) Ta có:52 25(mod 41) , 53 2(mod 41) 514 = 53.4 +2 =(53)4.52 24.52(mod 41) 31(mod 41) Nên: 2100 (5)14.22(mod 41) 31.22(mod 41) 1(mod 41) ABC 2100 = 41q +1 (q N) 2100 Vậy: 51200 =5120041q +1 = (5120041)q.51200 (32)q 51200(mod 41) (32)q 32(mod 41) (32)q+1 (mod 41) (q N) Cách này không ra! Cách khác:Ta có:5120040 1(mod 41) ,51200 32(mod 41) Mà: 22 -1(mod5) (22)48 1 (mod5) (22)48 1.2 (mod5) 297 2 (mod5) 297 23 2.23 (mod5.23) 2100 16 (mod 40) Nên: 2100 = 40q +16 2100 Cho nên: 51200 =5120040q +16 = (5120040)q.5120016 3216(mod 41) Mà: 3216 = 280 = (240)2 1(mod 41) 2100 1(mod 41) Vậy: 51200 Bài 3.3 A.9: a) Viết quy trình tìm số dư chia (515 + 1) cho (212 +1) b) Hãy tìm số dư r Bài 3.3 A.10: Tính phần dư các số 70 ; 71 ; 72 ; 73 ; 74 ; 75 ; 76 ; 77 ; 78 ; 79 ; 710 ; 711 chia cho 13 và điền vào bảng sau: 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 710 711 Số dư Bài 3.3 A.11: a) Tìm số dư chia 19972008 cho 2003 b/ Tìm số dư chia 19972001cho 2003 c/ Tìm số dư chia 2100 cho 100 d/ Tìm số dư chia 9100 cho 100 e/ Tìm số dư chia 11201 cho 100 Bài 3.3 A.12: Tìm số dư chia 102007200708 cho 111007 B - Chứng minh chia hết: Bài 3.3B.1: 1) Chứng minh rằng: 42n+1 + 3n+2 ⋮ 13 2) Chứng minh với bất kì số nguyên dương n thì biểu thức: (4) [7.52n + 12.6n] ⋮ 19 Bài 3.3B.2: a/ Chứng minh rằng: 24n - ⋮ 15 b/ Chứng minh rằng: 6969+1919 ⋮ 44 Bài 3.3 B.3: a)Chứng minh rằng: 18901930 + 19451975 ⋮ b) 192007+132004 ⋮ ⋮ 102 Bài 3.3 B.4: Chứng minh rằng: 220 ❑119 + 119 ❑69 +69 ❑220 Bài 3.3 B.5: Chứng minh rằng: a) 25n - ⋮ 31 b) (n2 + n - 1)2 - ⋮ 24 Bài 3.3 B.6: Chứng minh rằng: ❑2 + ⋮ 461 Bài 3.3 B.7: Chứng minh rằng: a) 1n + 2n + 3n + + mn (mod m ) b) A = n8 - n6 - n4 + n2 chia hết cho 5760 với n là số tự nhiên lẻ c) B = 9n3 + 9n2 + 3n - 16 không chia hết cho 343 với số nguyên n Bài 3.3 B.8: Chứng minh rằng: 22225555 + 55552222 ⋮ Giải: Ta có:2222 3(mod7) , 5555 4(mod7) Mặt khác:22226 1(mod7) , 5555 = 5(mod6) 5555 = 6q +5 (q N) nên 22225555 = 22226q +5 = (22226)q.22225 3(mod7) Tương tự: 55552222 4(mod7) Vậy: 22225555 + 55552222 7(mod7) 0(mod7) đpcm Bài 3.3 B.9: Chứng minh rằng: n N* ta có: 2n 2n 2n a) 17 b) 15n 19 69 220 119 n n 1 2 2 Giải:a) Với n = thì: 4 217 k k 2 Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k N , k 1) tức là: 17 2k 1 2k 1 Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + tức là: 17 k1 Thật vậy: 2 k chẵn và 4 k lẻ k1 22 k chẵn và 2 k lẻ * 2k 1 2k 1 Vậy: 17 với k đpcm Bài 3.3 B.10: CMR: 210 n1 22 n1 1923 a) +3 ⋮ b) 36 Giải: c) Ta có:2 (mod 37) Mà: 26 1(mod 9) nên:(26)n 1(mod 9) (26)n 22 1.22 (mod9 22) 26n +2 4 (mod36) 26n +2 =36q +4 (q N) 26 n2 Nên: = 236q+ =(236)q.24 16 (mod 37) c) 26 n2 2137 n 4 21 16 21(mod 37) 0(mod 37) dpcm Vậy: Bài 3.3 B.11: Số 312 - chia hết cho hai số tự nhiên nằm khoảng 70 đến 79 Tìm hai số đó Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: a/20012004 + 20032006 ⋮ 10 b/ + 72 + 73+ …+72008 ⋮ 400 Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n thì : 3n+2 - 2n+2 +3n - 2n ⋮ 10 C - Số tận cùng: Ta có: abcde a.10 b.10 c.10 d 10 e Cho nên: (5) - Tìm chữ số tận cùng:Ta xét đồng dư mod 101 - Tìm chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 102 - Tìm chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 103 - Tìm n chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 10n Bài 3.3C 1: a/Tìm chữ số tận cùng số:9 ❑9 b/Tìm chữ số tận cùng số: 14 ❑14 c/Tìm ,3,4,5 chữ số tận cùng số: 521 Bài 3.3 C 2: Tìm chữ số tận cùng số:2 ❑3 Bài 3.3 C 3: Tìm chữ số tận cùng số:14 ❑14 Giải:Ta có:14 4(mod 10) Mà: 14 - (mod 5) 1413 - (mod 5) 1413 - 1.7 (mod 5) 1413 - 1.7.2 (mod 5.2) 1414 - 14 (mod 10) (mod 10) Nên: 1414 =10q +6 (q N) Vậy: 14 ❑14 = 1410q +6 = 14(5q+3).2 = (145q +3)2 Vì : q N nên 145q +3 luôn có chữ số hàng đơn vị là Do đó: (145q +3)2 luôn có chữ số hàng đơn vị là Cách 2: Ta có:142 (mod 10) Nên: (142)7 67 (mod 10) (mod 10) 1414 = 10 q +6 (q N) 14 ❑14 = 1410q +6 = (142)5q 146 6 146 (mod 10) 6 (142)3 (mod 10) 6 63 (mod 10) 64 (mod 10) 6 (mod 10) Vậy: Chữ số tận cùng là Bài 3.3 C 4: Tìm 2,3,4,5, chữ số tận cùng số:521 HD: 521=514 54 53 203125 (mod 106) Bài 3.3 C 5: Tìm chữ số tận cùng số:51995 Bài 3.3 C 6: a) Tìm chữ số tận cùng của: ❑9 99 b)Tìm chữ số tận cùng của: 11 1 (100) 100(1 )(1 ) 40 2 Giải: a) Vì 100 = nên: 40 Ta có: 1(mod 100) Mặt khác: 1(mod 40) (92)4 1(mod 40) (92)4 1.9(mod 40) 99 = 40q + (q N) Vậy: ❑9 = 940q + = (940)q.99 99 (mod 100) 89 (mod 100) KL: Hai chữ số tận cùng ❑9 là:89 b) Ta có: ❑9 89 (mod 100) nên ❑9 = 100k + 89 (k N) 99 119 = 11100k + 89 = (11100)k 1189 mà 115 51(mod 100) (115 )2 1(mod 100) (1110 )10 1(mod 100) 11100 1(mod 100) 14 14 14 14 9 9 99 Nên: 11 1189(mod 100) 1140.2+9(mod 100) (1140)2.119(mod 100) 119(mod 100) 91 (mod 100) (6) 99 KL: Hai chữ số tận cùng 11 là: 91 Bài 3.3 C 7: Tìm chữ số tận cùng 21 + 35 + 49 + + 20048009 Bài 3.3 C 8: Tìm số tận cùng các số: 6713 và 21000 Bài 3.3 C 9: Tìm hai số tận cùng số: 21999 + 22000 + 22001 Bài 3.3 C.10: Tìm hai số tận cùng số:2999 2010 870 41 2011 190 195 Bài 3.3 C.11: Tìm số tận cùng số: A 22 Bài 3.3 C.12: Tìm chữ số tận cùng số:2007200820072008 99 9 Bài 3.3 C.13: Tìm hai số tận cùng số: Bài 3.3 C.14: Tìm hai số tận cùng số:1012 + 1023+1034+1045 : Dãy số Dạng 5.1: Khi biết số hạng đầu tiên ¿ U 0=U 1=1 Bài 5.1.1: Cho U n+ 1=√U n+ √ U n −1 ¿{ ¿ a) Tính U6 b) Lập quy trình tính Un? ¿ U =1, U 2=2 Bài 5.1.2: Cho U n+ 1=2008 U n +U n −1 ¿{ ¿ a) Tính U10 b) Lập quy trình tính Un+1? Bài 5.1.3: Cho U1 = , U2 = 3,Un+2 = 3Un+1- 2Un a) Lập quy trình tính Un b) Tính U17 , U18 , U25 , U27 Bài 5.1.4: Cho U1 = - ;U2 = ; Un+2 = Un + Un+1 , n = ,2 , 1) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính Un , n 2) Tính U22 ; U23 ; U24 ; U48; U49 ; U50 3) Tính chính xác đến chữ số và điền vào bảng sau: U3 U5 U6 U1 U4 U2 U2 U3 U4 U5 U7 U6 Bài 5.1.4: Cho dãy số : u1 = ; u2 = ; un+1 = 3un + un-1 , n 2 ( n là số tự nhiên) 1) Hãy lập quy trình tính un+1 2) Tính các giá trị un với n = 18 ; 19 ; 20 Bài 5.1.5: Cho dãy số : u1 = ; u2 = ; ; un+1 = un + un-1 ,với n 1) Hãy lập quy trình bấm phím tính un+1 2) Tính u12 , u48 , u49 và u50 Bài 5.1.6: Cho dãy số theo thứ tự với u1 = ; u2 = 20 và từ u3 trở lên tính theo công thức : un+1 = 2un + un-1 , với n 1) Tính giá trị u3 ; u4 ; u5 ; u6 ; u7 ; u8 2) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với u1 = ; u2 = 20 3) Sử dụng quy trình trên , tính giá trị u22 ; u23 ; u24 ; u25 Bài 5.1.7: Cho dãy số u1 = 144 ; u2 = 233 ; ; un+1 = un + un-1 với n 1) Hãy lập quy trình bấm phím để tính un+1 với n 2) Tính u12 ; u37 ; u38 ; u39 (7) u Bài 5.1.8: Cho dãy số n tạo thành theo quy tắc sau : Mỗi số sau tích hai số trước cộng với , u0 = u1 = 1) Lập quy trình tính un 2) Tính các giá trị un , n = ,3 , ,9 3) Có hay không số hạng dãy chia hết cho ? Nếu có , cho ví dụ Nếu không , hãy chứng minh Bài 5.1.9: Cho dãy số u1 = 144 ; u2 = 233 ; ; un+1 = un + un-1 với n 1/ Tính un với n = 3,4,5,6,7,8 2/ Hãy lập quy trình bấm phím để tính un với n 3/ Tính chính xác giá trị un với n = 13,14,15,16,17 Bài 5.1.10: Dãy số un xác định sau: u0 = ; u1 = ; un+1 = 2un - un-1+2 , n = 1,2 , a/ Lập quy trình tính un b/ Tính các giá trị un với n = 1, ,20 c/ Biết với n 1 tìm số k để uk=un.un+1 Ví dụ:u1.u2=3=u2 Hãy điền số k vào các đẳng thức sau: u2.u3 = uk ; u3.u4 = uk ; u4.u5 = uk d/ Với n 1 hãy tìm số k để uk = un.un+1 Bài 5.1.11: Cho u1 =1 ; u2 = ; u3 = ; un+3 = 2un+2 - 3un+1 + 2un (n 2) a/ Lập quy trình bấm phím liên tục để tính un b/ Áp dụng quy trình trên để tính u19 ; u20 ; u66 ; u67 ; u68 c/ Tính tổng 20 số hạng đầu tiên dãy Bài 5.1.12: Cho u5 = 588 ; u6= 1084 ; un+1 = 3un-2un-1 Tính u1 ; u2 ; u25;u30 Dạng 2: Khi biết số hạng đầu tiên xn Bài 5.2.1: Cho dãy số: xn+1 = xn với n a) Lập quy trình tính xn+1 với x1 = và tính x100 b) Lập quy trình tính xn+1 với x1 = - và tính x100 xn 2 Bài 5.2.2: Cho dãy số: x = xn với n n+1 Lập quy trình tính xn+1 với x1 = 0,25 và tính x100 Bài 5.2.3: Cho dãy số tự nhiên: U0; U1; Có: U0 = và Un+1 Un-1 = k Un (với k là số tự nhiên) a) Lập quy trình tính Un+1 b) Cho k = 100 ; U1 = 200 Tính U1;… ;U100 c) Biết U2000 = 2000.Tính U1 và k xn Bài 5.2.4: Cho dãy số xác định công thức: xn+1 = 1) Biết x1 = 0,5 Lập quy trình bấm phím liên tục để tính xn 2) Tính x12 ; x51 xn xn Bài 5.2.5: Cho dãy số : x = n+1 1) Lập quy trình bấm phím tính xn+1 với x1 = Sau đó tính x50 2) Lập quy trình bấm phím tính xn+1 với x1 = - Sau đó tính x50 5 Bài 5.1.6: Cho dãy số u1 = 12 ; u2 = - cosu1 ; ; un+1 = 1- cosun 1) Hãy lập quy trình bấm phím để tính un+1 2) Tính u50 (8) Bài 5.1.7: Cho dãy số: xn 1 xn 5 cos xn với n = 1,2,3 , và x = 12 Tính x50 Dạng 5.3: Không biết số hạng đầu tiên 3+ √ − √5 Bài 5.3.1: Cho dãy số: Un = ( ) ❑n + ( ) ❑n - Với n = 0, 1, 2, 3, 2 a) Tìm số hạng đầu tiên dãy? b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1? c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1? n −√7 ¿ ¿ Bài 5.3.2: Cho dãy số: Un = 5+ √ ¿n −¿ ¿ ¿ Với n = 0,1, 2, 3, a) Tìm số hạng đầu tiên dãy? b) Chứng minh Un+2 = 10Un+1 - 18 Un c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un? Bài 5.3.3: Ký hiệu Sn = xn1 + x2n Trong đó x1, x2 là nghiệm phương trình bậc hai: x2 - 8x + = a) Lập công thức truy hồi tính Sn+1 theo Sn và Sn-1? b) Tính S6, S7, S8 n n Bài 5.3.4: Cho dãy số: Un = (4 15) (4 15) Với n = 0,1, 2, 3, 1/ Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1? 2/ Tính chính xác giá trị Un với n = 10,11,12,13,14 (13 3) n (13 3)n Bài 5.3.5: Cho dãy số: Un = Với n = 0,1, 2, 3, a) Tìm Un với n = 0,1, 2, 3,4,5,6,7,8 b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1? c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1? (6 7) n (6 7) n Bài 5.3.6: Cho dãy số: Un = a) Tìm Un với n = 0,1, 2, 3,4,5,6,7,8 b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1? c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1? 2n un n (n 1) ; Sn= u1+ u2 + + un Tính S 20 Bài 5.3.7: Cho Bài 1: Tính gần đúng giá trị các biểu thức sau: 1.1) A = 1+2 √ 2− √3 − √3 cos 550.sin 70 10 cotg 50 0.cotg 650 cos3 480 cotg 700 1.2) B = Bài 2: Tìm tất các số có dạng 34 x y chia hết cho 36 (9) Bài 3: Kí hiệu M = 7+ 5+ 1 + 3+ 8+ 3+ 9+ 5+ ; N= 5+ 7+ a+ b 3.1) Tính M, cho kết dạng phân số Bài 4: Cho : x3 + y3 = 10,1003 và x6 + y6 = 200,2006 Hãy tính gần đúng giá trị biểu thức x9 + y9 Bài 7: Xét các số thập phân vô hạn tuần hoàn : E1 = 0,29972997 với chu kì là (2997) ; E2 = 0,029972997 với chu kì là (2997) E3 = 0,0029972997 với chu kì là (2997) 3 7.1) Chứng minh số T = + + là số tự nhiên E1 E2 E3 7.2) Số các ước nguyên tố số T là: Bài 8: Tìm x, y nguyên dương, x thỏa mãn: y = √3 9+ √ x −1 + √3 − √ x −1 n n Bài 9: Cho dãy số Un sau: Un = ( 5+2 √ ) + ( −2 √ ) với n = 1, 2, 3, 9.1) Chứng minh Un+2 + Un = 10Un+1 với n = 1, 2, 3, 9.2) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un+2 với n (nêu rõ dùng cho loại máy nào) Bài 10: Cho tam giác ABC với đường cao AH Biết góc ABC = 450, BH = 2,34cm, CH = 3,21cm 10.1) Tính chu vi tam giác ABC (chính xác đến chữ số thập phân) 10.2) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC (chính xác đến chữ số thập phân) 7.1 Phương trình sai phân tuyến tính bậc 2: Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai với hệ số là số có dạng: ax n 2 bx n 1 cx n 0 (*); với n 0;1;2; đĩ a 0; b, c là số Nghiệm tổng quát: Nếu c = thì phương trình (*) có dạng: x n+1 = n x1 ax n 2 bx n 1 0 x n 2 b x n 1 x n 1 a có nghiệm tổng quát Nếu phương trình (*) có phương trình đặc trưng là a + b + c = có hai nghiệm 1 , thì việc tìm nghiệm dựa vào các mệnh đề sau: Mệnh đề 1: Giả sử hai nghiệm phương trình đặc trưng là phân biệt ( 1 ) phương trình (*) có nghiệm n n tổng quát là: x n = C1 + C2 đó C1, C2 là số gọi là số tự và xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1 Ví dụ 1: Tìm nghiệm phương trình sai phân: u0 7; u1 6; un 2 3un 1 28un Giải Phương trình đặc trưng -3 28 = có hai nghiệm 1 4; 7 Vậy nghiệm tổng quát có dạng: un = C1 (-4)n + C2 7n Với n = ta có: C1 + C2 7(x ) Với n = ta có: -4.C1 + 7C2 6(x1 ) C1 + C2 7 -4.C1 + 7C2 Giải hệ => C1 5 C2 2 (10) n n Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: un = 5.(-4) + 2.7 1 b a thì nghiệm tổng quát phương trình (*) có Mệnh đề 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép x = C1 1n + C2 n 1n C1 + C2 n 1n dạng: n đó C1, C2 là số tự và xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1 Ví dụ 2: Tìm nghiệm phương trình sai phân: u 1; u1 2; u n2 10u n 1 25u n Giải -n Phương trình đặc trưng -10 25 = có hai nghiệm 1 5 Vậy nghiệm tổng quát có dạng: un = (C1 + C2 n)5 Với n = ta có: C1 Với n = ta có: (C1 + C2 ).5 2 C2 7 u n = (-1+ n)5n Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: Mệnh đề 3: Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm thực thì nghiệm tổng quát phương trình (*) có dạng: B b 2 n r A B ; arctg ; A ; B x n = r C1 cos n C2 sin n A 2a 2a ; C1, C2 là số tự xác đó định theo điều kiện ban đầu x0, x1 u 1; u1 ; u n 2 u n1 u n Ví dụ 3: Tìm nghiệm phương trình sai phân: Giải -1 i 1,2 2 Phương trình đặc trưng - = có hai nghiệm phức A ; B ; r 1; 2 Ta có: n n C2 sin 3 Vậy nghiệm tổng quát có dạng: u 1; u1 C1 cos C2 sin thì C1 = và 3 => C2 = Với n un = cos Vậy nghiệm tổng quát có dạng: Bài tập Tìm nghiệm un các phương trình sau: a u0 8; u1 3; un 2 12u n u n 1 un = C1 cos b u0 2; u1 8; un 2 8un 1 9un 0 c u0 1; u1 16; un 2 8u n 1 16un 0 7.2 Phương trình sai phân phi tuyến bậc 2: 7.2.1 Mở đầu: Dạng tổng quát: F(xn+2, xn+1, xn) = 0; n = 0; 1; 2; … Dạng chính tắc: xn+2 =f( xn+1, xn) ; n = 0; 1; 2; … 2 Ví dụ: Tính giá trị dãy: u0 u1 1; un 1 u n un 1; n 2 7.2.2 Phương pháp tuyến tính hóa: 7.2.2.1 Phương pháp biểu diễn nghiệm dạng tuyến tính: (11) Ví dụ 1: Cho dãy Giải u0 u1 1; un u2n ; n 3 un Tìm dạng tuyến tính dãy đã cho? Gọi số hạng tổng quát dãy có dạng: u n au n bu n c Cho n = 1; 2; ta u3 3; u 11; u5 41 Thay vào (*) ta hệ: Vậy un 4un un a b c 3 3a b c 11 11a 3b c 41 => (*) a 4 b c 0 Chú ý: Ta có thể dùng phương pháp qui nạp để chứng minh công thức trên 7.2.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ: u n 1u n 1 u0 ; u1 ; u n ; n 2 3u 2u n n Ví dụ 2: Cho dãy Tìm công thức tổng quát dãy Giải -Ta thấy un 0 (với n) vì un = thì un-1 = un-2 = đó u2 = u1 = Vô lí un v n 3vn 2vn có phương trình đặc trưng 3 0 có nghiệm 1 1; 2 Đặt C1 1;C2 n v C C 2 Công thức nghiệm tổng quát: n Với n = 0; ta có: u n n 2n Vậy v n 1 hay 7.2.2.3 Phương pháp biến đổi tương đương: Ví dụ 3: Cho dãy Giải u0 2; u1 6 33; un 1 3u n 8u2n 1; n 2 Tìm công thức tổng quát dãy 2 Bình phương hai vế phương trình đã cho ta có: un 1 6un 1 u n un 1 2 Thay n + n ta được: un 6un u n u n 1 Trừ vế hai phương trình trên ta được: un1 un un 1 6un un 0 un 1 3u n 8u2n nên un 1 3un 9un un 3 Suy u n 1 6un u n 0 có phương trình đặc trưng 6 0 có nghiệm 1,2 Do Công thức nghiệm tổng quát Từ các giá trị ban đầu suy ra: Vậy số hạng tổng quát: Bài tập un un C1 C1,2 8 n C2 n 66 66 n 8 66 n Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình sau: u0 0; un 1 5u n 24u2n u1 1; u n 1 Bài 2: Xác định số hạng tổng quát dãy số: 7.3 Một số dạng toán thường gặp: un u2n (12) 7.3.1 Lập công thức truy hồi từ công thức tổng quát: n Ví dụ 1: (Thi khu vực 2005) Cho dãy số Giải - Cách 1: Giả sử un 2 au n 1 bu n c (*) 3 2 3 2 un 2 n Lập công thức truy hồi để tính un 2 theo u n 1 , u n Với n = 0, 1, 2, ta tính u0 0; u1 1; u2 6; u3 29; u 132 a c 6 a 6 6a b c 29 b 29a 6b c 132 c 0 Thay vào (*) ta hệ phương trình : => Vậy un 2 6un 1 7un Chú ý: Với bài trên ta có thể giả sử un 2 aun 1 bun thì bài toán giải nhanh Cách 2: 3 2; 3 Đặt 1 6 vaø 1. 7 chứng tỏ 1 , là nghiệm phương trình đặc trưng 2 6 0 6 đó ta có: 1 61 và 6 n 2 n 1 n Suy ra: 1 61 71 2n 2 6 2n 1 7 2n Vậy 1n 2 2n 2 (61n 1 71n ) (6 2n 1 7 2n ) 6 1n 1 2n 1 1n 2n 3 2 hay 3 2 n 2 n 2 2 3 3 2 n 2 n 2 2 6 3 6 2 n 1 n 1 3 n 1 3 2 2 7 3 n 1 3 7 2 n 3 2 n n 3 2 2 n tức là un 2 6un 1 7un 7.3.2 Tìm công thức tổng quát từ công thức truy hồi: Ví dụ 2: (Thi khu vực 2002) Cho dãy số u0 2; u1 10 vaø un 1 10u n u n (*) Tìm công thức tổng quát un dãy? Giải -2 5 2 Phương trình đặc trưng phương trình (*) là: 10 0 có hai nghiệm 1,2 Vậy un C11n C2 2n C1 n C2 n C1 C2 2 C1 C2 10 Với n = 0; ta có hệ phương trình sau: => un 6 5 6 n C1 1 C2 1 n Vậy số hạng tổng quát 7.3.3 Tính số hạng thứ n dãy biết công thức truy hồi: Các giải: Nếu lặp theo công thức truy hồi mà số lần lặp quá nhiều dẫn đến thao tác sai, đó ta tìm công thức tổng quát cho số hạng un theo n sau đó thực tính Ví dụ 3: Cho dãy số u0 2; u1 10 vaø un 1 10u n u n Tính số hạng thứ u ? 100 Giải - Cách 1: (13) Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím: SHIFT STO A 10 SHIFT STO B Lặp lại các phím: 10 ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A 10 ALPHA A ALPHA B SHIFT STO B Bây muốn tính u100 ta 96 lần Cách 2: un n 5 6 Tìm công thức tổng quát Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) (52 ) 100 ( n ) 100 Nhận xét: Như cách nhanh và chính xác nhiều so với cách thời gian để tìm công thức tổng quát Do đó số hạng cần tính là nhỏ thì ta dùng cách 1, còn lớn ta dùng cách (14)